2016届数学高考备考(石家庄一中 李光裕)
石家庄市2016届检测(一)精校版版
石家庄市2016届高三复习教学质量检测（一）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）例：How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.15.C.￡9.18.答案是B。
1. Where does the woman want to go?A. To Oxford.B. To Liverpool.C. To London.2. How many people will go to the tennis game?A. Two.B. Three.C. Four.3. What does the woman ask the boy to do after school?A. Put away}us school bag.B. Move the kitchen table.C. Hang up his coat.4. What do we know about Linda Rivera?A. She went traveling.B. She started a company.C. She was fired.5. What does the man mean?A. He prefers cold weather.B. He has had a hard week.C. It was cooler last week. 第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）6. How did the man plan to choose the music at first?A. By letting someone decide on it.B. By asking people for their advice.C. By allowing everyone to bring a piece.7. What is the woman going to do?A. Invite Sonia to the party.B. Tell the man a phone number.C. Help prepare for the party.昕第7段材料，回答第8.9题。
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
XX 市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级期中考试试题（理 科 数 学）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}1,1M =-，12N xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是 A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．∅=N M D ．M N =R2．已知i 是虚数单位，则复数()ii +-112在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，既是偶函数又在区间()∞+，0上是单调增函数的是A ．1y x =B ．1y x =-C ．lg y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．设m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α⊂，α//n ，则n m //；②若βα//，γβ//，α⊥m ，则m γ⊥； ③若n =βα ，n m //，则α//m ，且β//m ；④若γα⊥，γβ⊥，则βα//． 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积为A ．1B ．2C ． 3D ．46．如图是函数()sin()(0,0,)f x A x A x ωϕω=+>>∈R在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到sin ()y x x =∈R 的图象，只要将函数)(x f 的图象上所有的点A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是A ．18B ．24C ． 36D ．72 8．设n S 是数列{}n a ()n *∈N 的前n 项和，2n ≥时，点1(,2)n n aa -在直线21y x =+上，且{}n a 的首项1a 是二次函数223y xx =-+的最小值，则9S 的值为A ．6B ．7C ．36D ．32 9．算法程序框图如右图所示，若2a π=，133b =，ln 3c =，则输出的结果是A ．3a b c++ B ．a C ．b D ． c 10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，以F 为圆心的圆和双曲线C 的渐近线相切，与双曲线C 在第一象限的交点为M ，且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为A．2 11. 给出下列五个结论：否是否是输出c 输出b输出ab ≥c?a ≥c?开始输入a,b,c a ≥b ?否是结束①回归直线y bx a =+一定过样本中心点(),x y ；②命题∀“x ∈R ,均有2320x x -->”的否定是：“0x ∃∈R ，使得200320x x --≤”；③将函数sin y x x =+的图像向右平移6π后，所得到的图像关于y 轴对称；④243,()(1)m m m R f x m x-+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递增；⑤函数21,0()2log 1,0x x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⋅->⎪⎩恰好有三个零点．其中正确的结论为A ． ①②④B ．①②⑤C ．④⑤D ．②③⑤12．定义在R 上的函数()f x ，'()f x 是其导数，且满足'()()2f x f x +>，(1)24ef e =+，则不等式()42x x e f x e >+ (其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．(),1-∞第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式102x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项是 __________．14．已知函数)10(4)2(log )(≠>+-=a a x x f a 且的图像过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，始边过点P ，则=-+ααααcos sin cos 2sin ．15．已知不等式组002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的区域为D ，(,)M x y 是区域D 内的点，点(12)A -，，则z OA OM =⋅的最大值为__________． 16．在三棱锥ABCP -中，底面ABC 是等腰三角形，ABC PA BC BAC 平面⊥==∠,2,120 ，若三棱锥ABC P -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分12分)在AB C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos22220C C ++=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2b a =，AB C ∆2sin A B ，求sin A 与c 的值． 18．（本小题满分12分）2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为13，赔钱的概率是23；乙股票赚钱的概率为14，赔钱的概率为34．对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元．（Ⅰ）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率； （Ⅱ）试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知四棱锥A BCDE -,其中2AC BC ==,AC BC ⊥,//CD BE 且2CD BE =,CD ⊥平面ABC ,F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF 平面ABC ；（Ⅱ）设M 是AB 的中点，若DM 与平面ABC 所成角的 2,求平面ACD 与平面ADE 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，若圆222x y a +=被直线20x y -=截得的弦长为2.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A B 、为动直线(1)y k x =-，0k ≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数)1()(12--=-x a ex x f x．（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在)2,43(上的单调区间； （Ⅱ）设函数)1()()(1xex a x f x g ---+=，当)(x g 有两个极值点21x x 、)(21x x <时，总有)()(112x f x g x '≤λ，XX 数λ的值．22．（本小题满分10分）（选修4-4 坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为2(2x m t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，点F的极坐标为)π，且F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 内接矩形的周长的最大值．2015—2016学年第二学期高二年级期中考试试题（答案）理科数学一、选择题：1. B 2. C3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C9. D 10. C 11. B 12.A 二、填空题：13.45 14.10 15.2三、解答题：17. 解:（Ⅰ）cos220C C ++=∴22cos 10,C C ++=……………………………………………………2分即21)0,C +=cos C ∴=…………………………………………4分 又0C π<<，3.4C π∴=………………………………………………………………5分（Ⅱ）22222cos 5,,c a b ab C a c =+-=∴=………………………………6分由正弦定理，得sin ,C A =sinA C ∴==……………………8分1sin ,2ABC S ab C ∆=且sin ,ABC S A B ∆=………………………………9分1sin sin 22ab C A B ∴=，sin sin sin abC A B∴=由正弦定理得：2()sin sin c C C=解得 1.c =…………………………………………12分 18. 解:（Ⅰ）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为1121313434124p =⨯+⨯==………………………………………………………………4分（Ⅱ）用ξ万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则ξ的所有可能取值为9,0,2,11.-………………………………………………………………5分231(9)342p ξ=-=⨯=………………………………………………………………6分131(0)344p ξ==⨯=………………………………………………………………7分211(2)346p ξ==⨯=………………………………………………………………8分111(11)3412p ξ==⨯=………………………………………………………………9分所以，ξ的分布列为yA F z DEBx CM…………………………………………………………………………………………10分ξ的数学期望为()11111390211246124E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=-…………………12分19. 解：（Ⅰ）取AC 中点G ,连结FG 、BG∵F G 、分别是AD 、AC 的中点，∴//FG CD ,且12FG CD =． 又∵//CD BE 且2CD BE =∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴//EF BG , EF面ABC 且BG ⊆ABC 面，∴EF ∥面ABC …………………………5分 （Ⅱ））∵CD ⊥平面ABC∴CMD ∠为DM 与平面ABC 所成角，∵M 为AB 的中点,且2AC BC ==,AC BC ⊥，得2CM =∵DM 与平面ABC 22CD =，1BE =，…………7分 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CD 为z 轴建立空间直角坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,1)B A D E ∴(0,2,2),(2,1,0)AD AE =-=- 设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =由n AD n AE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取(1,2,2)n =而平面ACD 的法向量为(2,0,0)CB = 由1cos ,3n CBn CB n CB ⋅==⋅得平面ACD 与平面ADE 夹角的余弦值为13．……12分20. 解：（Ⅰ）∵圆222x y a +=被直线20x y -=截得的弦长为2,222()12a -+=∴2a =2分由椭圆C离心率为2c a =,2=,即1c =∴2221b a c =-=………4分 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=………………………………5分 （Ⅱ）由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则有22121222422,1212k k x x x x k k-+==++…………………7分 根据题意,假设x 轴上存在定点(,0)M m ,222212121212()()(1)()()MA MB x m x m y y k x x k m x x m k ⋅=--+=+-++++222222222222224(241)2(1)()121212k k m m k m k k m m k k k k --++-=+-+++=+++………9分要使上式为定值,即与k 无关,则必有222412(2)m m m -+=-, 得54m =. 此时,716MA MB ⋅=-,……………………………11分 所以在x 轴上存在定点M 5（,0）4，使得MA MB ⋅为定值, 且定值为716-…………12分 21. 解：（Ⅰ）当1=a 时，)1()(12--=-x e x x f x ，则1122)(----='x x ee x x xf ，令122)(---=x e x x x h ，则122)(---='x e x x h . 易知)(x h '在)2,43(上单调递减，又.0)(,0121)43(4<'∴<-='x h eh 所以)(x h 在)2,43(上单调递减，又因为0)1(=h ，所以当 )1,43(∈x 时，0)(>x h ，从而0)(>'x f ，这时)(x f 单调递增， 当 )2,1(∈x 时，0)(<x h ，从而0)(<'x f ，这时)(x f 单调递减.所以)(x f 在)2,43(上的增区间是 ），，（143减区间是）（2,1…………………… 4分 （Ⅱ）由题可知x e a x x g --=12)()(，则x e a x x x g -++-='12)2()(. 根据题意方程022=++-a x x 有两个不等实数根21x x 、且21x x <， 令 0>∆得1->a ，且221=+x x ，所以.11<x 由)()(112x f x g x '≤λ，其中a e x x x f x --='-12)2()(， 得])2[()(1112111212a e x x ea x x x x --≤---λ.将121122,2x x a x x -=-=代入左式得：)]2()2[()2(2211121111111x x e x x e x x x x -+-≤---λ，整理得0)]1(2[11111≤+---x x e e x λ.即不等式0)]1(2[11111≤+---x x e ex λ对任意)1,(1-∞∈x 恒成立. …………7分①当01=x 时，得.R ∈λ ②当 )1,0(1∈x 时，即121111+≥--x x e e λ令)111(212)(1111111+-=+=---x x x e e e x H ，易知)(1x H 是 )1,0(上的减函数， 所以12)0()(1+=<e e H x H ，所以.12+≥e eλ ③当 )0,(1-∞∈x 时，即121111+≤--x x e e λ.)(1x H 在 )0,(-∞上也是减函数，12)0()(1+=>e e H x H ,所以.12+≤e eλ 综上所述.12+=e eλ…………………………………………………… 12分 22. .解：(I) 点F 的极坐标为曲线C 的极坐标方程为2222c o s 3s i n12ρθρθ+=，所以直角坐标方程为22312+=x y ……………………………………3将直线AB 的参数方程的直角坐标方程中得2220--=t t ，所以(Ⅱ)设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为由对称长为………10分。
2015-2016学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题 word版
石家庄市第一中学2015—2016学年第一学期高二年级期末考试试题（理 科 数 学）命题人： 审核人：第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知1: 1, :1,p x q x≤< 则p ⌝是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．设,a b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A ．若,,a b a α∥∥则b α∥ B ．若,,a αβα⊥∥则a β⊥ C ．若,a αββ⊥⊥，则a α∥ D ．若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥ 3．正态分布密度函数22()2(),x x eμσ--Φ=其中0,μ<的图象可能为4．若ξ是离散型随机变量，1221(),(),33P x P x ξξ====且12x x <，又已知42(),(),39E D ξξ==则12x x +的值为A ．53B ．73C ．3D ．1135．中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有A ．120种B ．48种C ． 36种D ．18种 6．抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F A 为抛物线上一点，则以A 为圆心，AF 为半径的圆与抛物线的准线的位置关系为A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能7．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ． (2,3) D ．(3,4)8．非零向量b a ,满足b a ⊥，则函数2()()()f x ax b x =+∈R 是A ．既是奇函数又是偶函数B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．奇函数 9．下列说法中，正确的是 A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 C ．已知∈x R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件D ．命题“0x ∃∈R ，2000x x ->”的否定是：“∈∀x R ，20x x -≤”10.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是A ．2 B．C．2 D． 11. 下列几个命题：①函数y =+是偶函数，但不是奇函数；②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式02≥++c bx ax 的 解集为R ”的充要条件；③ 设函数()y f x =的定义域为R ,则 函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称；④若函数)0)(cos(≠+=A x A y ϕω为奇函数，则(2k k πϕπ=+∈Z)；⑤已知()π,0∈x ，则xx y sin 2sin +=的最小值为． 其中正确命题的个数是A ． 5B ．4C ．3D ．212．设点(,)P x y(,)x y均满足A ．(]0,2B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[]1,2第II 卷（非选择题，共90分）俯视图侧视图正视图2111316．设集合{}*12,,,()n M a a a n =∈N ,对M 的任意非空子集A ,定义)(A f 为A 中的最大元素，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的)(A f 的和为n T ，若12n n a -=，则：①3T =_______________，②n T =__________________． 三、解答题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分) 已知函数错误！未找到引用源。
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试文数试题Word版含解析
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试文数试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧【答案】B 【解析】 试题分析：{5}MN =，(){1,2}U C M N =，故选B ．考点：集合的运算． 2．若2sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．5 B ．2- C ．2．5- 【答案】D考点：同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是 A．2a b a b +<<<B．2a ba b +<< C．2a b a b +<< D2a ba b +<<【答案】B 【解析】试题分析：取4,16a b ==8==，4161022a b ++==，只有B 符合．故选B ．考点：基本不等式．4．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是A ．若,//,//ααn m 则n m //B ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥C ．若,,n m m ⊥⊥α则α//nD ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥n 【答案】B考点：空间直线与平面的位置关系，平行与垂直的判断．5．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质知44123845()10a a a a a a ==， 所以128lg lg lg a a a +++4128lg()lg104a a a ===．故选C考点：等比数列的性质，对数的运算．6．已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()2013f -等于 A ．12 B ．12- C．2 D．2-【答案】B【解析】 试题分析：(2013)(2013)cos(2013)26f f ππ-==⨯+cos(1006)26πππ=++cos()26ππ=+sin 6π=-12=-．考点：分段函数，诱导公式．7．几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2【答案】A考点：三视图，体积．8．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为A ．22(1)18x y ++= B ．18)1(22=+-y x C ．18)1(22=++y x D ．18)1(22=-+y x 【答案】A 【解析】试题分析：易知(2,1)P -关于直线1y x =+的对称点为(0,1)-，即(0,1)C -，圆心到直线34110x y +-=的距离为3d ==，所以r ==22(1)18x y ++=．故选A ．考点：圆的标准方程．9．设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是A ． 0B ．1-C ．4D ．256 【答案】C 【解析】试题分析：由题意12310a a =⎧⎨-=⎩，所以124a a +=．故选C ．考点：恒等式，同角间的三角函数关系．．10．设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A．(1,1+ B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【答案】A考点：简单线性规划的参数问题．11．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r =A ．．5 C ．3 D 【答案】D考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆、直线与圆锥曲线相交时一般设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，由直线方程与圆（圆锥曲线）方程组消元后，可得1212,x x x x +，然后再对条件进行计算并把1212,x x x x +代入运算求解，本题中圆的圆心在原点，直线2y x =-+与直线y x =垂直，其交点关于直线y x =对称，实际上这两个点的横纵坐标互换，因此我们直接解方程组得出两交点坐标，并求出C 点坐标，代入圆方程可解得r ．因此解题时要灵活运用所学知识，选用恰当的方法，适合的就是最好的．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于 ． 【答案】32-考点：向量垂直的坐标表示，向量的坐标运算．14．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =_____．【答案】8 【解析】试题分析：由椭圆定义知221212440AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，所以8AB =．考点：椭圆的定义．15．等差数列}{n a 中12016a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=，则2016S 的值为__________． 【答案】2016 【解析】试题分析：由{}n a 是等差数列，则112n S n a d n -=+，101211119()()2121022S S a d a d d -=+-+==-，20162016201520162016(2)20162S ⨯=⨯+⨯-=．考点：等差数列的前n 项和．【名师点睛】等差数列的前n 项和公式是1(1)2n n n S na d -=+，由此知1(1)2n S da n n =+-⋅，这说明数列{}n S n 是等差数列，因此此题可以这样解：设数列{}n Sn的公差为d ，则1012221210S S d -==-，1d =-，又120161S =，所以20161201520162015(1)120161S S d =+=+⨯-=，所以20162016S =． 16．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f =__________．【答案】－1考点：函数的周期性．【名师点睛】当函数具有性质：对一切实数x ，()()f x T f x +=恒成立，则函数()f x 是周期函数，T 是它的一个周期，同样若函数满足下列条件之一时，它也是周期函数： （1）()()f x a f x +=-，2T a =； （2）1()()f x a f x +=±，2T a =；（3）()()f x a f x a +=-，2T a =； （4）1()()1()f x f x a f x -+=+，4T a =．三、非选择题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若2a b ==求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角A ；（Ⅱ）由余弦定理（选用角A 的等式），求出边c ，再选用公式1sin 2S bc A =可得三角形面积．试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<所以3A π=．考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积．18．(本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ．（Ⅰ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列;（Ⅱ）在（I ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．【答案】（Ⅰ）1t =；（Ⅱ）2205n T n n =-【解析】试题分析：（Ⅰ）要说明数列{}n a 是等比数列，一般根据等比数列的定义，证明数列的后项与前项之比为同一常数，为此由已知121n n a S +=+，再写一个2n ≥时，1121n n a S ++=+，两式相减后得13(2)n n a a n +=≥，这样有13(2)n n a n a +=≥，因此要使数列为等比数列，只要213aa =即可，从而得1t =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得123,,a a a ，利用等差数列的前3项和315T =可得25b =，可设135,5b d b d =-=+，利用11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，可求得公差d ，最后由等差数列的前n 项和公式可得n T ．试题解析：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， ……… 3分 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ．5分考点：等比数列的判断，等比数列的性质，等差数列的前n 项和． 【名师点睛】判定数列为等比数列的常见方法(1)定义法:=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列;也可用=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2) ⇔{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)中项公式法:=a n ·a n+2(a n ·a n+1·a n+2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.19．(本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13；试题解析：（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==．同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C C 222''O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为2．考点：线面垂直的判断与性质，棱锥的体积，空间几何体表面上的距离的最小值．【名师点睛】不管是空间还是在平面都有两点之间线段最短，因此在求几何体表面上两点间距离的最小值时，我们都是想办法把几何体的表面展开成平面，求出此平面上两点间的线段长即可．其中对多面体表，以一个面为基础，其它面绕棱旋转到这个面所在的平面，旋转体的侧面，要掌握其侧面展开图，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是圆环．20．(本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3=y 或者01243=-+y x ；（Ⅱ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0试题解析：(Ⅰ)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1 ∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (Ⅱ)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 考点：圆的标准方程，两圆的位置关系．21．（本题满分12分）已知3a ≥，函数()2m i n (21,242),F x x x a x a =--+-其中(),m i n ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩.（Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .【答案】（Ⅰ）[2,2]a ；（Ⅱ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩；（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，22(242)212(1)(2)0x ax a x x a x -+---=+-->，当1>时，2(242)21(2)(2)x ax a x x x a -+---=--．所以使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[2,2]a ．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时， ()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．考点：新定义，函数的最值．22．(本小题满分12分）定圆M：(2216x y ++= ，动圆N 过点F )且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（I ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |=|CB |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程． 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）y=x 或y=﹣x ．试题解析：（Ⅰ）因为点F在圆22:(16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,a c ==b=1，所以轨迹E 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时12ABC S OC AB ∆==2． （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y=kx ， 联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22414A x k =+，222414A k y k =+， 所以222224(1)14A Ak OA x y k +=+=+．由|AC|=|CB|知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为1y x k =-，同理得2222214(1())4(1)1414()k k OC k k+-+==++-，22ABC OAC S S OA OC ∆∆====，222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=， 所以85ABC S ∆≥，当且仅当1+4k 2=k 2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85， 因为825>，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y=x 或y=﹣x ． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．。
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试理数试题Word版含解析
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一期末考试理数试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧【答案】B 【解析】 试题分析：{5}MN =，(){1,2}U C M N =，故选B ．考点：集合的运算． 2．若2sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．5 B ．2- C ．2．5- 【答案】D考点：同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是 A．2a b a b +<<<B．2a ba b +<< C．2a b a b +<< D2a ba b +<<【答案】B 【解析】试题分析：取4,16a b ==8==，4161022a b ++==，只有B 符合．故选B ．考点：基本不等式．4．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是A ．若,//,//ααn m 则n m //B ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥C ．若,,n m m ⊥⊥α则α//nD ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥n 【答案】B考点：空间直线与平面的位置关系，平行与垂直的判断．5．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质知44123845()10a a a a a a ==， 所以128lg lg lg a a a +++4128lg()lg104a a a ===．故选C考点：等比数列的性质，对数的运算．6．已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()2013f -等于 A ．12 B ．12- C．2 D．2-【答案】B【解析】 试题分析：(2013)(2013)cos(2013)26f f ππ-==⨯+cos(1006)26πππ=++cos()26ππ=+sin 6π=-12=-．考点：分段函数，诱导公式．7．几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2【答案】A考点：三视图，体积．8．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为A ．22(1)18x y ++= B ．18)1(22=+-y x C ．18)1(22=++y x D ．18)1(22=-+y x 【答案】A 【解析】试题分析：易知(2,1)P -关于直线1y x =+的对称点为(0,1)-，即(0,1)C -，圆心到直线34110x y +-=的距离为3d ==，所以r ==22(1)18x y ++=．故选A ．考点：圆的标准方程．9．设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是A ． 0B ．1-C ．4D ．256 【答案】C 【解析】试题分析：由题意12310a a =⎧⎨-=⎩，所以124a a +=．故选C ．考点：恒等式，同角间的三角函数关系．．10．设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A．(1,1+ B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【答案】A考点：简单线性规划的参数问题．11．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r =A ．．5 C ．3 D 【答案】D考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆、直线与圆锥曲线相交时一般设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，由直线方程与圆（圆锥曲线）方程组消元后，可得1212,x x x x +，然后再对条件进行计算并把1212,x x x x +代入运算求解，本题中圆的圆心在原点，直线2y x =-+与直线y x =垂直，其交点关于直线y x =对称，实际上这两个点的横纵坐标互换，因此我们直接解方程组得出两交点坐标，并求出C 点坐标，代入圆方程可解得r ．因此解题时要灵活运用所学知识，选用恰当的方法，适合的就是最好的．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于 ． 【答案】32-考点：向量垂直的坐标表示，向量的坐标运算．14．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =_____．【答案】8 【解析】试题分析：由椭圆定义知221212440AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，所以8AB =．考点：椭圆的定义．15．等差数列}{n a 中12016a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=，则2016S 的值为__________． 【答案】2016 【解析】试题分析：由{}n a 是等差数列，则112n S n a d n -=+，101211119()()2121022S S a d a d d -=+-+==-，20162016201520162016(2)20162S ⨯=⨯+⨯-=．考点：等差数列的前n 项和．【名师点睛】等差数列的前n 项和公式是1(1)2n n n S na d -=+，由此知1(1)2n S da n n =+-⋅，这说明数列{}n S n 是等差数列，因此此题可以这样解：设数列{}n Sn的公差为d ，则1012221210S S d -==-，1d =-，又120161S =，所以20161201520162015(1)120161S S d =+=+⨯-=，所以20162016S =． 16．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f =__________．【答案】－1考点：函数的周期性．【名师点睛】当函数具有性质：对一切实数x ，()()f x T f x +=恒成立，则函数()f x 是周期函数，T 是它的一个周期，同样若函数满足下列条件之一时，它也是周期函数： （1）()()f x a f x +=-，2T a =； （2）1()()f x a f x +=±，2T a =；（3）()()f x a f x a +=-，2T a =； （4）1()()1()f x f x a f x -+=+，4T a =．三、非选择题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若2a b ==求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角A ；（Ⅱ）由余弦定理（选用角A 的等式），求出边c ，再选用公式1sin 2S bc A =可得三角形面积．试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<所以3A π=．考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积．18．(本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ．（Ⅰ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列;（Ⅱ）在（I ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．【答案】（Ⅰ）1t =；（Ⅱ）2205n T n n =-【解析】试题分析：（Ⅰ）要说明数列{}n a 是等比数列，一般根据等比数列的定义，证明数列的后项与前项之比为同一常数，为此由已知121n n a S +=+，再写一个2n ≥时，1121n n a S ++=+，两式相减后得13(2)n n a a n +=≥，这样有13(2)n n a n a +=≥，因此要使数列为等比数列，只要213aa =即可，从而得1t =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得123,,a a a ，利用等差数列的前3项和315T =可得25b =，可设135,5b d b d =-=+，利用11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，可求得公差d ，最后由等差数列的前n 项和公式可得n T ．试题解析：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， ……… 3分 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ．5分考点：等比数列的判断，等比数列的性质，等差数列的前n 项和． 【名师点睛】判定数列为等比数列的常见方法(1)定义法:=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列;也可用=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2) ⇔{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)中项公式法:=a n ·a n+2(a n ·a n+1·a n+2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.19．(本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B =，C 2A =．()I 求证：11CC AB ⊥； ()II 若1AB =11C -AB -A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）－105．试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． …8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)． …10分则cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105． 考点：线面垂直的判断与性质，二面角．【名师点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.同样求异面直线所成的角可从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法(三步:作,证,算),应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键,可平移线段或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC ,BD 的夹角β的余弦值为cos β=.20．(本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3=y 或者01243=-+y x ；（Ⅱ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0试题解析：(Ⅰ)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1 ∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (Ⅱ)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 考点：圆的标准方程，两圆的位置关系．21．（本题满分12分）已知3a ≥，函数()2m i n (21,242),F x x x a x a =--+-其中(),m i n ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩. （Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .【答案】（Ⅰ）[2,2]a ；（Ⅱ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩；（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩． 试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故 当1x ≤时，22(242)212(1)(2)0x ax a x x a x -+---=+-->， 当1>时，2(242)21(2)(2)x ax a x x x a -+---=--．所以使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[2,2]a ．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时， ()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩． 考点：新定义，函数的最值．22．(本小题满分12分）定圆M：(2216x y ++= ，动圆N 过点F )且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（I ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |=|CB |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程． 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）y=x 或y=﹣x ．试题解析：（Ⅰ）因为点F在圆22:(16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,a c ==b=1，所以轨迹E 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时12ABC S OC AB ∆==2． （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y=kx ， 联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22414A x k =+，222414A k y k =+， 所以222224(1)14A Ak OA x y k +=+=+． 由|AC|=|CB|知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为1y x k =-，同理得2222214(1())4(1)1414()k k OC k k+-+==++-，22ABC OAC S S OA OC ∆∆====，222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=， 所以85ABC S ∆≥，当且仅当1+4k 2=k 2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85， 因为825>，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y=x 或y=﹣x ． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．。
2016届高考模拟试题_河北省石家庄市2016届高三上学期复习教学质量检测(一) 数学文附答案
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16 、已知三棱锥 S-ABC 所在顶点都在球 O 的球面上，且 SC ⊥平面 ABC ，若 SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球 O 的表面积为 。 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 17、 （本小题满分 10 分） 已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和，且 a1 2 ， a4 20 . （ I）求数列 {an } 的通项公式； （II）设 bn
……10 分
因为 k
2 2 ，所以 12 a 18 ，即 2 3 a 3 2 4 2 3 e 2 2 .
……12 分
所以离心率
22.解： （Ⅰ）由已知 f ( x ) x a
2 2 ， f (2) 2 a 0 ， a 3 x 2
经检验 a 3 时， f ( x ) 在 x 2 处取得极值………2 分
（I） 若 f ( x) 在 x=2 处取得极值， 求 a 的值及此时曲线 y f ( x) 在点 （1， f (1) ） 处的切线方程； （II）讨论 f ( x) 的单调性。
高三数学质量检测一 文科答案
一、选择题： 1-5CBCBA 6-10BADCC 二、填空题： 13. 6 14. 16. 11-12 DB
19、 （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形， 且 PA=PD=DA=2， ∠BAD=60° （I）求证：PB⊥AD； （II）若 PB= 6 ，求点 C 到平面 PBD 的距离。
20、 （本小题满分 12 分） 某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同） ， 为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况， 分别从这两个工厂个抽 查了25件灯具进行测试，结果如下：
河北省石家庄一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年河北省石家庄一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．D．3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 zA．24 B．18 C．16 D．124．如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．6．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．7．已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10=0的距离是d2，则d l+d2的最小值是（）A．B．2C．6D．38．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x 15 16 18 19 22y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．点在直线左侧B．点在直线右侧C．点在直线上D．无法确定9．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．510．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A． f（﹣）＜f（﹣）B． f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）11．已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，△P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为入肺颗粒物．如图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米），则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 ．14．已知f （x ）=tanx ，则等于 ．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1=1，第2个五角形数记作a 2=5，第3个五角形数记作a 3=12，第4个五角形数记作a 4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a n }，则a n ﹣a n ﹣1= （n≥2）；对n ∈N *，a n = ．16．已知函数y=x 3+px 2+qx ，其图象与x 轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是﹣4，那么切点坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单的随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿者\性别男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区的老年中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例：（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关？另附公式：K2=P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828 18．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．21．设椭圆的两个焦点是F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程；（2）已知N（0，﹣1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．2015-2016学年河北省石家庄一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】化简复数分母为实数，然后求出复数的共轭复数即可得到选项．【解答】解：因为复数==．所以=．故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的表示法与运算，复数的基本概念的应用．3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 zA．24 B．18 C．16 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C．【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题．4．如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．【解答】解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30．故选C．【点评】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，一种是根据题意补全程序框图．程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟．5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由条件根据渐近线方程，分类讨论，求得双曲线C的离心率的值．【解答】解：当焦点在x轴上时，由题意可得=，设a=3k，b=k，∴c==4k，∴=．当焦点在y轴上时，由题意可得=，设b=3k，a=k，∴c==4k，∴==．综上可得，双曲线C的离心率为或，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．6．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】先根据几何概型的概率公式求出在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于，利用几何概型求出概率即可．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．属于基础题．7．已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10=0的距离是d2，则d l+d2的最小值是（）A．B．2C．6D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；综合题．【分析】根据抛物线的方程，得到焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2．然后作PQ与垂直准线，交于点Q，过作PM与直线x+y﹣10=0垂直，交于点M，可得PQ=d1，PM=d2．连接PF，根据抛物线的定义可得d1+d2=PF+PM，因此当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，d l+d2最小，最后用点到直线的距离公式，可求出这个最小值．【解答】解：∵抛物线方程是y2=﹣8x，∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2P是抛物线y2=﹣8x上一点，过P点作PQ与准线垂直，垂足为Q，再过P作PM与直线x+y﹣10=0垂直，垂足为M则PQ=d1，PM=d2连接PF，根据抛物线的定义可得PF=PQ=d1，所以d1+d2=PF+PM，可得当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，d l+d2最小．（即图中的F、P0、M0位置）∴d l+d2的最小值是焦点F到直线x+y﹣10=0的距离，即（d l+d2）min==故选C【点评】本题借助于求抛物线上一动点到两条定直线的距离之和的最小值问题，考查了抛物线的定义与简单几何性质和点到直线距离公式等知识点，属于中档题．8．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x 15 16 18 19 22y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．点在直线左侧B．点在直线右侧C．点在直线上D．无法确定【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由样本数据可得，，利用公式，求出b，a，根据点（a，b）满足54.2+18×3.1＞100，即可确定点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系．【解答】解：由题意， =（15+16+18+19+22）=18， =（102+98+115+115+120）=110，=9993，5=9900， =1650， =5324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵54.2+18×3.1＞100，∴点（a，b）在直线右侧，故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．9．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．10．已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A． f（﹣）＜f（﹣）B． f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．11．已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，△P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题；探究型．【分析】由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列得出方程|PF1|﹣|PF2|=4与2|PF1|=|PF2|+2c，由此两方程可解出|PF1|=2c﹣4，|PF2|=2c﹣8，再由∠F1P F2=120°，由余弦定理建立关于c的方程，解出c的值，即可由公式求出离心率的值．【解答】解：由题，不妨令点P在右支上，如图，则有|PF1|﹣|PF2|=4 ①2|PF1|=|PF2|+2c ②由①②解得|PF1|=2c﹣4，|PF2|=2c﹣8又∠F1 P F2=120°，由余弦定理得4c2=（2c﹣4）2+（2c﹣8）2+（2c﹣4）×（2c﹣8）解得，c=7或c=2（舍）又a=2，故e=故选D【点评】本题考查双曲线的简单性质及等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握基础知识且能灵活选用基础知识建立方程求参数，本题考查了方程的思想及转化的思想12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为入肺颗粒物．如图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米），则甲、乙两地浓度的中位数较低的是乙．【考点】茎叶图．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据中位数的定义和茎叶图中的数据，得出甲、乙两地所测数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲地所测数据的中位数是0.066，乙地所测数据的中位数是0.062；所以较低的是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应利用茎叶图中的数据，得出结论，是基础题．14．已知f（x）=tanx，则等于．【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据f（x）=tanx，求得f（）的值．【解答】解：由f（x）=tanx，可得=tan=tan=，故答案为：．【点评】本题主要考查求正切函数的值，属于基础题．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a n}，则a n﹣a n﹣1= 3n﹣2 （n≥2）；对n∈N*，a n= ．【考点】归纳推理．【专题】计算题；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论．【解答】解：a2﹣a1=5﹣1=4，a3﹣a2=12﹣5=7，a4﹣a3=22﹣12=10，…，由此可知数列{a n+1﹣a n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．所以a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）+1=3n﹣2（n≥2）迭加得：a n﹣a1=4+7+10+…+3n﹣2，故a n=1+4+7+10+…+3n﹣2=，故答案为：3n﹣2，【点评】本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题．16．已知函数y=x3+px2+qx，其图象与x轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是﹣4，那么切点坐标为（﹣3，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）．由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，再利用y极小值=﹣4，可求a=﹣3，从而得到切点．【解答】解：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q），由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2xf′（x）=3x2﹣4ax+a2=（x﹣a）（3x﹣a），令f′（x）=0，则x=a或，∵f（a）=0≠﹣4，∴f（）=﹣4，于是（﹣a）2=﹣4，∴a=﹣3，即有切点为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单的随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿者\性别男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区的老年中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例：（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关？另附公式：K2=P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828 【考点】独立性检验的应用．【专题】阅读型．【分析】（1）先计算出该地区的老年中，需要志愿者提供帮助的老年人总数，然后将其与样本总数之比即为所占比例；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，得出该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关系的程度．【解答】解：（1）∵男性40位需要志愿者，女性30为需要志愿者，∴该地区的老年中，需要志愿者提供帮助的老年人40+30=70位，∴估计该地区的老年中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例为=14%；（2）解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2===9.967＞6.635，∵P（K2＞6.635）=0.010∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者的帮助与性别有关．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断，本题是一个基础题．18．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（I）根据频率=小矩形的高×组距，利用数据的频率之和为1求得a值；（II）由频率分布直方图求得数学成绩不低于60分的概率，利用频数=样本容量×频率计算；（III）用列举法写出从第一组和第六组6名学生中选两名学生的所有结果，从中找出数学成绩之差的绝对值不大于10的结果，利用个数之比求概率．【解答】解：（Ⅰ）根据数据的频率之和为1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，∴a=0.03；（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为500×0.85=425人（Ⅲ）数学成绩在[40，50）的学生人数：40×0.005×10=2人，数学成绩在[50，60）的学生人数：40×0.01×10=4人，设数学成绩在[40，50）的学生为A，B；数学成绩在[90，100）的学生为a，b，c，d；从6名学生中选两名学生的结果有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．共15种；其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有：{A，B}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}共7种；∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为．【点评】本题主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距，用列举法写出所有基本事件是求古典概型概率的常用方法．．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；（Ⅱ）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h （x）的图象，由图象即可得到零点个数．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）．f′（x）=﹣=令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2．（Ⅱ）g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，其定义域为（0，+∞）．令g（x）=0，得m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．h′（x）=﹣x2+1=﹣（x+1）（x﹣1）x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）递增极大值递减故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=．作出h（x）的图象，由图象可得，①当m＞时，g（x）无零点；②当m=或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；③当0＜m＜时，g（x）有两个零点．【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，∴x1=1，x2=4，y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．21．设椭圆的两个焦点是F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．（1）设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程；（2）已知N（0，﹣1）设斜率为k（k≠0）的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（1）由题意知m＞0．由，得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2，或m≤﹣1（舍去）．此时．由此能求出椭圆方程．（2）设直线l的方程为y=kx+t．由方程组，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣3=0．由△＞0，知t2＜1+3k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由，得Q 为线段AB的中点，由此能求出截距t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，知m+1＞1，即m＞0．由得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△=16（m+1）2﹣12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m﹣2）≥0，解得m≥2，或m≤﹣1（舍去）∴m≥2此时．当且仅当m=2时，|EF1|+|EF2|．取得最小值，此时椭圆方程为．（2）设直线l的方程为y=kx+t．由方程组，消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣3=0．∵直线l与椭圆交于不同两点A、B∴△=（6kt）2﹣4（1+3k2）（3t2﹣3）＞0，即t2＜1+3k2①设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由，得Q为线段AB的中点，则．∵，∴k AB k QN=﹣1，[来源：学，科，即．化简得1+3k2=2t．代入①得t2＜2t，解得0＜t＜2．又由．所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是．【点评】本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．【解答】解：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0。
石家庄市2016届高三一模数学试题分析
注重考查数学本质、数学概念：
考试说明指出试题要注重考查学生对数学本质 的理解水平，试题要注重创新性，具有一定的 探究性，强调以能力立意，以知识为载体，从 问题入手，把握学科的整体意义，用数学观点 组织材料。如12题、18题，19题、20题.
注重考查基本方法的熟练程度，适度创新
考试说明要从学科的整体高度和思维价值的 高度考虑问题，在知识的交汇点设计试题， 使对数学基础知识的考查达到必要的深度， 同时要求试题具有一定的创新性，开放性。如：5、8、12、15、16题等
三、如何命制试题
命制试题的基本步骤
➢ 一、明确考试目的 ➢ 二、研读相关内容 ➢ 三、列双向细目表 ➢ 四、编制试卷内容 ➢ 五、审查修改筛选 ➢ 六、试答全部试题 ➢ 七、调整试题内容 ➢ 八、制定评分标准 ➢ 九、积累实测数据
石家庄市试题命制的流程
制定双向细目表和难 度系数估计表
指定负 责老师
能否的出一份好的试卷是教师基本功的一个重要方面，反映一名教师的教学水平和驾 驭教材、把握教学的一种综合能力，教师的命题实质上是教学过程的延伸和对课程教材 的深度开发，是教师专业化发展的新内容。
谢 谢！
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世界触手可及
对供选试题筛选、改 造、制成初稿
解题 反馈
中心组成 员提供试 题供筛选
修改 成稿
一套好的试卷的基本标准
➢字 要 从 型 我 就体均效要们是一衡多评、 果 的、，样委字来试要题，。号看卷经目题为要最得阅目了恰有后起读要减到信会视量有少好度通觉要科不处与过的适学必，效学考尽度生度性要验量 ， 流， 的同 区 向选 还 误高 分 社择 要 解考 度 会题 有 或吻 合 ，的 原 可合 理 交题 创 能， 流干 性 的数 难 到不 、 歧字 度 各宜 逻 义标 适 学过 辑 ，点 中 校短 性 热要 ， ，也 、 点规 从 或不 思 问范 试 通宜 维 题， 题 过超 性 不的 网过 、 必图设 络三 覆 刻文计 传行盖意并来播，面追茂看到问等求不，各答。，单题地题在不调量市提我确，要，问们定图适社方的问形中会式学题分，公及生最布题众个家好 ➢数 长 绕要中开二求不走、适乏。要度教经。育得专起家专，家大的学考教证授，他们对考试都有较深刻的研究。 ➢ 三、要经得起公众的评论
河北省石家庄市2016届高三数学第一次模拟考试试题 文(A卷,扫描版)
某某省某某市2016届高三数学第一次模拟考试试题文（A卷，扫描版）2016届高三数学一模文科答案一．选择题：A卷答案：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD B卷答案：1-5 CACAD 6-10 DBCCA 11-12 AD二．填空题：13.. 0,2≥+∈∀x x R x 14.222+15. 6 16.π26三、解答题17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002a a a a d a d a d ++⎧⎪⎨⨯⎪⎩， ……………………2分 解得112a d =⎧⎨=⎩，……………………4分 所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分（II ）1111212122121()()n b n n n n ……………………8分 ∴1111111213352121n T n n ……………10分 11122121n n n ……………………12分 18.解：（I ）当C D '=AB 的中点O ，连,C ODO '， 在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '= ∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………………………………………2分 又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ，……………………4分A BC'OD又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（II ）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '=……………………9分而△BDC '中，BD =1,BC '=，∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S '=⨯⨯=……………………10分三棱锥C ABD '-的体积1113326BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯=．1122ABD S =⨯= ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h 解得36=h ．……………………12分19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵020102005...，且04002010605(..)..， ∴45[,]x …………………2分由0405020105.()..x ，解得425.x∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ………7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个. …………10分所以该运动员得1分的概率P=62217=. ………………………12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2p p =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分 （II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+= 直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线.……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线.……………………………………12分21. （I ）解 由f (x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －3，x ∈R .………………………1分 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3，………………………………2分于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．………6分（II ）证明:待证不等式等价于23312x e x ax >-+………………………………7分 设23()312x g x e x ax =-+-，x ∈R ， 于是()33x g x e x a '=-+，x ∈R .由（I ）及3ln ln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0.………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当3ln ln 31a e>=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．………………10分 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即23312xe x ax >-+，故3132x e x a x x >+-……………………12分22.解：（I ）连接AB,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分 又PA 与圆O 切于点A,PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分 PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分 （II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=………………………………9分 222725213OP PA OA ∴=+=+=.∴四边形PBFA 的外接圆的半径为13. ………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ==………………………………6分代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=，可知/1||||||cos AQ t θ==………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为. ………………………………10分24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （II ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1，当且仅当a b =时取等号，①………………………………7分 又2a b ab +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥， 即证222224a b ab a b ++≥， 22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分文档11 / 11 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立， 所以2a b ab +≥………………………………10分。
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文
石家庄市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级期中考试数学（文）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A. P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R C P Q ⊆ D ．R Q C P ⊆ 2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a = A.12 B ． 1 C ． 32D ．2 3．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．如右框图，当126985x ,x ,p .=== 时，3x 等于 A ．7B ．8C ．10D ．115．双曲线2210x y (mn )m n-=≠ 的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为 A.38B. 83C. 163 D. 316 6．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为A.1 7．下列命题错误的是A ．命题“若220x y +=，则0x y ==” 的逆否命题为“若x ，y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x -+>C ．命题 p ：若2x = 且3y = ，则50x y +-= ，命题p 的否命题为假D ．设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“∅≠B A ”的必要不充分条件8．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为 A ．92 B ．92- C ．41D ．4-9．已知函数)log (log )(22x x x f a a +-=对任意x ∈(,)012都有意义，则实数a 的取值范围是 A ．11[,)1282 B ．11[,)642 C ．11[,)322 D ．11[,)16210．若函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的是 ①图象C 关于直线1112x π=对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称； ③函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④11．已知直线()y mx x R =∈与函数212(),03()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．)4 B．)+∞ C．) D ．12．已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N*∈）的前n 项和等于3231，则n 等于 A ．4 B ．5C ．6D ． 7第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 满足：0d ≠，105a =，315k k S S +-=，则k = ． 14． 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：2cm ）为．15．将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时 向上的点数依次成等差数列的概率为 ． 16．已知正三棱锥P ABC -,点,,P A B 都的球面上,若,,PA PB PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=-，其中ω为使()f x 能在23x =π时取得最大值的最小正整数． （1）求ω的值；（2）设ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．18．（本题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．19．（本题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，a ^＝y －－b ^x －)20．（本题满分12分）给定椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭CDBFED 1C 1B 1AA 1圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F .（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l ,l 交“准圆”于点M ,N .①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l ,l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值. 21．（本题满分12分）已知函数)1ln()(21++-=-x b x aex g x ，R b a ∈,（1）若0=a ，1=b ，求函数)(x g 的单调区间；（2）若()x g 的图象在()()00g ,处与直线01=+-ey x 相切，①求a 、b 的值；② 求证：∀x ∈)1,1(-，22)(<x g ．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分)几何证明选讲如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．23．(本题满分10分)极坐标与参数方程已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 24．(本题满分10分)不等式选讲已知函数2-=x x f )(，.)(m x x g ++-=3 (1)解关于x 的不等式∈>-+a a x f ()(01R )；(2)若函数)(x f 的图象恒在函数)(x g 图象的上方，求m 的取值范围．石家庄市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级期中考试数学（文）试题答案一、选择题： DBDBC DDBCC BB二、填空题：13．8 14. 221248cm + 15．11216.3三、解答题： 17．（本题满分12分）解：1cos 21()2sin(2)2262x f x x x ωωω+π=-=--．………….2分 （１）由题意知222()362k k ωπππ⋅-=π+∈Z ，即31()2k k ω+=∈Z 1=∴k 时，2=ω即为所求． ………………..4分 （２）由余弦定理，得：21222cos 22222=≥-+=-+=ac ac ac ac c a ac b c a θ 03θπ∴<≤，即{0}3A θθπ=<≤， ………………..8分 由（１）知1()sin(4)62f x x π=--，由x A ∈，得03x π<≤，即74666x πππ-<-≤． ………………..10分所以：16421≤-≤-)sin(πx ．故()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211,． ……………………….12分18．（本小题满分12分）解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面 ………………4分2）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥……………………8分（3）11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面且CF BF ==112EF BD ==，1B F ===13B E ===，∴22211EF B F B E +=，即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯=……………………12分19．（本题满分12分）[解析] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P (A )＝1－410＝35.故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35.………………4分(2)由数据，求得x －＝13(11＋13＋12)＝12，y －＝13(25＋30＋26)＝27,3x －y －＝972.∑i ＝13x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑i ＝13x 2i ＝112＋132＋122＝434,3x －2＝432. 由公式求得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n ·x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝977－972434－432＝52，a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3. ……………………8分(3)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．……………………12分 20．（本题满分12分） 解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=． 3分 （2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． 7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：x =时，1l与准圆交于点1)1)-， 此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =时，直线12l l ，垂直． 8分②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值． 12分 21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，有=)(/x g 11221122++--=++-x x x x x ， 令0)(/>x g ，解得2131-<<-x ；令0)(/<x g ，解得213->x ，所以增区间是)213,1(--，减区间是),213(+∞-；------------------------3分 （Ⅱ）（ⅰ）由切线方程可知：切点)1,0(e ，切线斜率为e1，所以ee a g 1)0(==， 因为12)(1/++-=-x b x ae x g x ，所以e b e a g 1)0(/=+=，综上，1=a ，0=b ．---------------------------------------------------6分（ⅱ）证明： =)(/x g ,21x ex --记=)(x ϕ,21x e x --所以0)(/=x g 在)1,1(-内恰有一根，记为0x ，在),1(0x -上，0)(/>x g ，)(x g 是增函数；在)1,(0x 上，0)(/<x g ，)(x g 是减函数，所以)(0x g 是极大值，也是最大值，只需证明=)(0x g 222010<--x ex ,-----9分=)(0x g <--2010x e x 22211=<e．---12分 22．(本题满分10分)几何证明选讲[解析] 设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ， 即4(4＋x )＝x (x ＋10)化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去) 即CD ＝6，CE ＝12. ……………………….5分因为CA 为直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°， 则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°， 则CD 2＋DE 2＝CE 2，∴62＋DE 2＝122，∴DE ＝63. ………………….10分 23．(本题满分10分)极坐标与参数方程 [解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数) 由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. ……………………….5分 (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. ………………….10分24．(本题满分10分)不等式选讲 [解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0， 即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1，故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．……………………….5分(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．………………….10分百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 文
某某市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级第二次月考数学（文）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2A =，集合{}2,B x x a a A ==∈，则AB =（ ）A.{}0 B ．{}2C ．{}0,2 D ．{}1,42.若复数1aiz i-=对应的点在直线052=++y x 上，则实数a 的值为( ) A.1 B.2C ．3 D.43.命题“[1,2]x ∀∈，02≤-a x ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A.4≥a B ．4≤a C ．5≥a D ．5≤a4.对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算规则如下图的程序框图，则4)23(⊗⊗的值是（ ） A.0 B ．21 C ．9 D ．235．已知角α的终边上一点的坐标为55(sin,cos ),66ππ则角α的最小正值为 （ ） A ．56π B ．23π C ．53π D ． 116π6．参数方程1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 7．把函数)||,0)(sin(πφωφω<>+=x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为sin y x =，则（ ） A ．62πφω==，B ．32π-=φ=ω，C ．621π=φ=ω，D ．1221π=φ=ω，8.已知a ，b 都是正实数，且满足42log (2)log a b ab +=，则2a b +的最小值为（）A ．12B ．10C ．8D ．6 9．函数10,ln )(<<=x xxx f 当时，下列式子关系正确的是 （ ）A ．)()()(22x f x f x f << B ．)()()(22x f x f x f <<C ．)()()(22x f x f x f <<D ．)()()(22x f x f x f <<10．已知不等式422x xay y +-≤+对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．4B ．213+ C ．3312+D ．33122+12．设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0,x a R >∈，存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（ ） A ．15B ．25C ．12D ．1第II 卷（非选择题，共90分）二、 填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，0=++PA PC PB 2，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是_________．14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =_________．15．若A 为抛物线214y x =的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AB AC ⋅等于．16.已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知直线352:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB ⋅的值. 18．（本小题满分12分）已知二次函数()x f y =的图象经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()n S n ,)(*N n ∈均在函数()x f y =的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016mT n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ． 19．（本题满分12分）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组药品有效的概率是35.0．（1）现用分层抽样在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个； （2）已知425≥b ，68≥c ，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．分组 A 组 B 组 C 组药品有效 670ab 药品无效80 50c20．（本题满分12分）在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，,PA AC PB BC ⊥⊥． （1）证明：AB PC ⊥；（2）若2PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -的体积．21．（本题满分12分）已知椭圆()222:133x y E a a +=>的离心率12e =．直线(0)x t t =>与曲线E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值． 22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-．（1）某某数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，某某数b 的取值X 围； （3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．2015—2016学年第二学期高二年级第一次月考数学（文）试题（答案）一、选择题：1.C2.C3.C4.D5.C6.D7.B8.C9.C 10.D.11.C 12.A 二、填空题：14. 30︒ 15. 3-三、解答题：17. 解：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos ρx y ρθx +=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，②（2）将5212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得2180t +=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，12||||||18MA MB t t ==.18. （1） 依题意可设二次函数()()02≠+=a bx ax x f 则()b ax x f +='2()26-='x x f ，2,3-==∴b a ，()x x x f 232-=∴点()n S n ,)(*N n ∈在函数()x f y =的图像上，n n S n 232-=∴当2≥n 时，1--=n n n S S a ()()[]12132322-----=n n n n 56-=n当1=n 时11=a 也适合，56-=∴n a n )(*N n ∈（2）由（1）知13-=n n n a a b ()()[]516563-+-=n n ⎪⎭⎫⎝⎛+--=16156121n n故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1615611317171121n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=161121n 因此，要使()*2016161121N n m n ∈<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-成立，m 必须且仅需满足201621m≤ 即1008≥m ，所以m 的最小值1008 19. （1）Q2700,35.02000⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=a a分 Q 50050700806702000=----=+c b ……4分 应在C 组抽取样本个数是902000500360=⨯个……6分 （2）()c b c b c b ,,68,425,500∴≥≥=+ 的可能性是()()()()()()()()68,432,69,431,70,430,71,429,72,428,73,427,74,426,75,425……8分若测试通过，则4301800%902000700670≥∴=⨯≥++b b ……10分()c b ,∴的可能有()()()68,432,69,431,70,430∴通过测试的概率为83………………12分20. （1）在Rt PAC Rt PBC ∆∆和中AC BC ==,PA PB AC BC =∴=取AB 中点M ，连结,PM CM ，则,AB PM AB MC ⊥⊥AB ∴⊥平面PMC ，而PC ⊂平面PMCAB PC ∴⊥（2）在平面PAC 内作AD PC ⊥，垂足为D ，连结BD ∵平面PAC ⊥平面,PBC AD ∴⊥平面PBC ，又BD ⊂平面PBC AD BD ∴⊥，又Rt PAC RtPBC ∆≅,AD BD ABD ∴=∴∆为等腰直角三角形设AB PA PB a ===，则22AD a =在Rt PAC ∆中：由AD PC AC PA ⋅=⋅得a a a 22242⨯=-⋅，解得2a = 21)22(21212==⋅=∴∆a BD AD S ABD ∴∴312213131=⨯⨯=⋅=∆-PC S V ABD ABC P21.（I ）根据椭圆的离心率得2a =，所以椭圆方程为22143x y +=；（II ）把直线和椭圆方程联立，表示出圆的半径21232t r -=，由弦长公式表示出2127AB t =-，再由基本不等式得△ABC的面积()2222712713712771272272727t t S t t t t +-=⋅-=⨯⨯-≤⨯=． 试题解析：（Ⅰ）∵椭圆()222:133x y E a a +=>的离心率12e =，∴2312a a -=，解得2a =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=． 4分 （Ⅱ）依题意，圆心为(),0C t （0＜t ＜2）．由22143x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=． 6分 ∴圆C 的半径为21232t r -=∵圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，且圆心C 到y 轴的距离d=t ，∴212302t t -<<，即22107t <<． 8分∴弦长22222123221274t AB r d t t -=-=-=-．∴△ABC 的面积()2222712713712771272272727t t S t t t t +-=⋅-=⨯⨯-≤⨯=． 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立．∴△ABC 的面积的最大值为377．22. 试题解析：（Ⅰ）()ln ()1af x x a x f x x'=+∴=+，， 20l x y +=与直线垂直，|112k y x a '∴===+=，1a ∴=（Ⅱ）21()ln (1)(0)2g x x x b x x =+--> 21(1)1()(1)x b x g x x b x x--+'=+--=设2()(1)1x x b x μ=--+，则(0)10μ=>只须21013231(1)40b b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或 b ∴的取值X 围为(3,)+∞（Ⅲ）令21212()0(1)101,1g x x b x x x b x x '=--+=∴+=-=得，2222111212121212122211()()ln()(1)()ln ()()()22x x g x g x x x b x x x x x x x x x x -=+----=+--+-2211211221222111ln ln ()22x x x x x x x x x x x x -=-=--11220,01x t x x t x =<<∴<<，，又212221212121()1725,(1)2(1)241x x b x x b t x x t x x ⎧+=-+⎪=-++≥-=⎨=⎪⎩得 2141740,04t t t ∴-+≥∴<≤，令111()ln ()(0)24h t t t t t =--<≤ 222111(1)()(1)022t h t t t t -'=-+=-<，1()(0,]4h t ∴在单减 115()()2ln 248h t h ≥=-故12()()g x g x -的最小值为152ln 28-。
河北省石家庄市第一中学高二数学下学期第一次月考试题
石家庄市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级第一次月考试题数学（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}2320M x x x =++<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 M N U =A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}1x x <- D ．{}2x x ≤- 2．设a b >，则下列不等式成立的是A ．22a b ab +>B ．0b aab-< C ．22a b > D ．22a b < 3．使命题“对任意的x∈[1,2],20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是A ．4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ．5a ≤ 4．已知{}n a 是等差数列，若7916a a +=，41a =，则12a =A ． 15B ．30C ．31D ．645．已知函数22,0()cos 1,0x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩则下列结论正确的是A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[0,)+∞6．若x ，y 满足约束条件03434x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最大值是A ．4B ．43 C ．1 D ．27．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于直线6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线12x π=对称8．阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线？处应填入语句为A ．6i ≥B ．7i ≥C ．7i ≤D ．8i ≤ 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．33π+B ．323π+ C ．23π+ D ．3π+ 10．如下图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，C A 两边分别交于M ，N 两点，且x AM =AB u u u u r u u u r，C y AN =A u u u r u u u r，则2x y +的最小值为A ．2B ．13 C ．3223+ D ．34 11．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1A 、2A 是实轴顶点，F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i PA A i ∆=构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 A ．()12，B ．5+122，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．5+112，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．5+1+2，⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 12．已知2()22f x x x =-+，若在21[,2]4m m -+上任取三个数,,a b c ，均存在以(),(),()f a f b f c 为三边的三角形，则m 的取值范围为 A ．(0,1) B ．2[0,)2 C ．2(0,]2 D ．2[,2]2第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．66(1)(1)x x +-展开式中含6x 项的系数为 ．14．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ． 15．已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 16．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知B A ,为抛物线上的两个动点，且满足ο60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=，(1)求()()9,27f f 的值 ； (2)解不等式()()82f x f x +-<．18．在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且32sin =a c A ，（Ⅰ）确定角C 的大小； （Ⅱ）若7=c，且ABC ∆的面积为332，求a b +的值． 19．设数列{}n a 满足：1113n n a a a +==，，*∈n N ．设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，112n n b b S S -=，*∈n N ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设3log n n n c b a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”各一个），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ （1）求掷骰子的次数为7的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望E ξ．21．将图①中正方形ABCD 沿着对角线BD 对折，并使平面ABD ⊥平面CBD ，从而构成图②中的三棱锥A BCD -，点E 、F 分别是线段BC 、DA 的中点．请在图②的三棱锥中解答如下问题： （1）求二面角A BC D --的正切值；（2）求异面直线DE 与CF 所成角的余弦值．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点210(2,)3H 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限， 过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，问：△2PF Q yPQx2F MO2015—2016学年第二学期高二年级第一次月考试题（答案）数学（理科）一、选择题：1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．C 11．B 12．A 二、填空题：13．20- 14．78 15．21>a 16．1 三、解答题：17. 解：（1）2)3()3()9(=+=f f f ， 321)9()3()27(=+=+=f f f （2）2)8()(＜-+x f x f Θ[])9()8(f x x f ＜-∴等价于⎪⎩⎪⎨⎧<->->9)8(080x x x x088919>⎧⎪⇒>⇒<<⎨⎪-<<⎩x x x x 18. 解：（1）由32sin a c A =及正弦定理得，2sin sin sin 3a A Ac C ==3sin 0,sin 2A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=（2）解法1：7,.3c C π==Q 由面积公式得133sin ,6232ab ab π==即 ① 由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩＝１３ 消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或 所以2332a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或故5a b += ． 19. 解：（1）∵13n n a a +=，∴{}n a 是公比为3，首项11a =的等比数列，∴通项公式为–13n n a =．∵112n n b b S S =-g ，∴当1n =时，11112b b S S =-g ， ∵11S b =，10b ≠，∴11b =．∴当1n >时，1122n n n n n b S S b b --==--，∴12n n b b -=， ∴{}n b 是公比为2，首项11a =的等比数列， ∴通项公式为12n n b -=．（2）()11133log 2log 312n n n n n n c b a n ---=-⋅==，()()01221021*******n n n T n n --=+++⋯+-+-⋅⋅⋅①，()()123120212222212n n n T n n -=+++⋯⋯+-+-⋅⋅⋅ ②，①－②得：()()()01231022222122212222n n n n n n T n n n -⋅--=++++⋯⋯+-=--=----，∴()222n n T n =-+．20. 解：（1）当ξ=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为21，因此)7(=ξP =6452121)21()21(2415=⋅⋅⋅C（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m ，向上的点数是偶数出现的次数为n ，则由⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，或59⎧-<⎪⎨+=⎪⎩m n m n ，可得： 当655,00,5======m n m n m ；当时，或ξ，1=n 或1=m ，6=n 时，7=ξ． 因此ξ的可能取值是5、7、9．每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是.2163= 64556451611)9(,645)7(,161)21(2)5(5=--=====⨯==ξξξP P P所以ξ的分布列是：ξ5 7 932649647165=⨯+⨯+⨯=ξE 21. 解：（1）取线段BD 中点O ，连接,OE AE由AB AD =，故AO BD ⊥，平面ABD ⊥平面CBD 并交于BD ，故AO ⊥平面CBD ．又OE ∥CD ，CD BC ⊥，故OE BC ⊥而OE 是AE 在平面CBD内的射影，由三垂线定理：AE BC ⊥． 所以AEO ∠设2AB =，因此（2）连接BF BF P 由,P E 分别是,BF BC 的中点，故PE ∥FC ，异面直线DE 与CF 所成角为PED ∠． 设2AB =，因此112CE CB ==在（1，且O A OC ⊥，，2AC CD AD ===在PFD ∆中，． 所以，异面直线DE 与CF 所成角的余弦值为22. 解：（1）『解法1』：(1)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+==-19404122222ba cb a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==8922b a ∴椭圆方程为18922=+y x .『解法2』：Θ右焦点为2(1,0)F ，∴1=c左焦点为)0,1(1-F，点H 在椭圆上1226a HF HF =+==所以3a =，b =22198x y +=．（2）『解法1』：由题意，设PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ∵PQ 与圆822=+y x 相切 ∴221||2=+k m ，即2122k m +=072918)98(222=-+++m kmx x k设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k kmx x +-=+，222198729k m x x +-=∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k --+=22222987294)9818(1km k km k+-⨯-+-+= 22222)98()89(8941k m k k ++-⨯⨯+=298||21222kk m+⨯=2986k km +-= 又()()2222221211111118(1)(9)99x PF x y x x =-+=-+-=-21111(9)333PF x x ∴=-=- 22211(9)333QF x x =-=-同理∴221229866)(316||||k kmx x Q F P F ++=+-=+∴69869866||||||2222=+-++=++kkmk km PQ Q F P F （定值） 『解法2』：设()),(,,2211y x Q y x P ，()221111398x y x+=≤()()2222221211111118(1)(9)99x PF x y x x =-+=-+-=-21111(9)333PF x x ∴=-=-连接,OM OP ，由相切条件知：22222222111111||||88(1)899x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=113PM x ∴=211113333PF PM x x ∴+=-+= 同理可求222113333QF QM x x ∴+=-+=所以22336F P F Q PQ ++=+=为定值．。
河北省石家庄一中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆C R Q D．Q⊆C R P2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C． D．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位5．若非零向量满足，，则的夹角为（）A．30° B．60 C．120°D．150°6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定7．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B． D．的函数f（x）的图象的左、右端点分别为A、B，点M（x，y）是f（x）的图象上的任意一点，且x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R）．向量，其中O为坐标原点．若||≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性相似”．若函数y=x2﹣3x+2在上“k阶线性相似”，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．上为增函数．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f（x）＞1．2015-2016学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆C R Q D．Q⊆C R P【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故B正确．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】常规题型．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选B．【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．5．若非零向量满足，，则的夹角为（）A．30° B．60 C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由（2+）•=0，化简得到||2=﹣2•，结合条件||=||，将化简式变为||•||=﹣2•，再结合cosθ=，易求出与的夹角θ．【解答】解：∵（2+）•=0∴（2+）•=2+2•=0即||2=﹣2•又∵||=||∴||2=||•||=﹣2•又由cosθ=易得：cosθ=﹣则θ=120°故选：C【点评】若θ为与的夹角，则cosθ=，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定【考点】余弦定理；不等式的基本性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．【解答】解：∵∠C=120°，c=a，∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2﹣b2=ab，a﹣b=，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=，∴a＞b故选A【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．7．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B． D．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．8．若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，1.25）C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】压轴题．【分析】构造函数，利用根的存在性定理只要检验两端点函数值异号即可．【解答】解：构造函数f（x）=lgx+x﹣2，由f（1.75）=，f（2）=l g2＞0知x0属于区间（1.75，2）．故选D【点评】本题考查方程根的问题，解决方程根的范围问题常用根的存在性定理判断，也可转化为两个基本函数图象的交点问题．9．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x||x﹣b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（）A．|a+b|≤3 B．|a+b|≥3 C．|a﹣b|≤3D．|a﹣b|≥3【考点】集合的包含关系判断及应用；绝对值不等式的解法．【专题】集合．【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合A、B，再结合A⊆B，观察集合区间的端点之间的关系得到不等式，由不等式即可得到结论．【解答】解：∵A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|x＜b﹣2或x＞b+2}，因为A⊆B，所以b﹣2≥a+1或b+2≤a﹣1，即a﹣b≤﹣3或a﹣b≥3，即|a﹣b|≥3．故选D．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题．温馨提示：处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解．10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则=（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】先利用向量的运算法则将，分别用等边三角形的边对应的向量表示，利用向量的运算法则展开，据三角形的边长及边边的夹角已知，求出两个向量的数量积．【解答】解：由题意可得， ==2，∵∴=====∴====故选C【点评】本试题考查了向量的数量积的基本运算．考查了基本知识的综合运用能力．11．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=的零点分别为x1，x2，则（）A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞2【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=（）x的图象的交点的横坐标，根据x2＞log4x1，求得0＜x1•x2＜1，从而得出结论．【解答】解：由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=y=（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：故有x2＞log4x1，故 log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，故选B．【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．12．（5分）定义域为的函数f（x）的图象的左、右端点分别为A、B，点M（x，y）是f（x）的图象上的任意一点，且x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R）．向量，其中O为坐标原点．若||≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性相似”．若函数y=x2﹣3x+2在上“k阶线性相似”，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．，x2﹣4x+3=0的两根为1，3；∴|x2﹣4x+3|∈；∴；∴1≤k；∴实数k的取值范围为，∴﹣1和2是方程x2+ax+b=0的根，由韦达定理得：，∴．【点评】本题考查交、并集的运算，以及二次不等式的解集和韦达定理的应用，确定集合B 的解集是解决本题的关键．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin （A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式19．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，【分析】由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…（4分）因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）因为，所以，…（10分）所以．…（12分）所以函数f（x）在上的取值范围是．…（13分）【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20．已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且．（1）若等边三角形边长为6，且，求；（2）若，求实数λ的取值范围．【考点】平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算；平面向量的综合题．【分析】（1）据向量模的平方等于向量的平方求向量的模，利用向量的数量积法则求向量的平方；（2）向量的数量积等于两向量的模和它们夹角余弦的乘积得不等式，解不等式．【解答】解：（1）当时，，．∴；（2）设等边三角形的边长为a，则，==﹣λ•（﹣λ）=﹣λa2+λ2a2，即，∴，∴．又0≤λ≤1，∴．【点评】本题考查向量模的求法：向量模的平方等于向量的平方；考查向量的数量积法则及解不等式．21．已知向量=（x2﹣3，1），=（x，﹣y）（其中实数x和y不同时为零），当|x|＜2时，有⊥，当|x|≥2时，∥．（I）求函数式y=f（x）；（II）若对∀x∈（﹣∞，﹣2}∪∪∪和时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有﹣2≤f （x）＜0，综上所述得，对x∈（﹣∞，﹣2]∪上为增函数．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f（x）＞1．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数的值．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）赋值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=﹣1，y=1及条件②可求得f（﹣1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，在①中取x=﹣1，根据奇函数定义即可证明；（Ⅲ）因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需证f（a）+f（b）＞f（c），由a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度可得1≥1﹣＞1﹣＞0，由f（x）在上的单调性及①即可证明；【解答】解：（Ⅰ）因为对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x﹣y+1）﹣f（x）f（y），取x=y=0，得f（1）=f（1）﹣2，解得f（0）=0，取x=﹣1，y=1，得f（1）=f（﹣1）﹣f（﹣1）f（1），又f（1）=2，所以2=f（﹣1）﹣2f（﹣1），解得f（﹣1）=﹣2，所以f（﹣1）=﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，证明如下：取x=﹣1，得f（y）=f（﹣y）﹣f（﹣1）f（y），即f（y）=f（﹣y）+2f（y），所以f（﹣y）=﹣f（y），即对任意实数y，有f（﹣y）=﹣f（y）；所以函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）（i）证明：因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，为了证明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三边的长”，只需证f（a）+f（b）＞f（c），因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以1＞＞＞0，1≥1﹣＞1﹣＞0，又因为f（x）在上为增函数，所以f（）＞f（）＞0，f（1﹣）＞f（1﹣）＞0，所以f（a）+f（b）=f（a）﹣f（﹣b）=f（1﹣）•f（）＞f（1﹣）•f（）=f（2﹣c）﹣f（2），在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1﹣c得f（2﹣c）=f（c）；【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高．。
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函数与导数
程序框图 平面向量 不等式（线性规划） 解析几何 概率与统计 排列组合、二项式定理 立体几何 数列 三角函数 选修部分
3、11、21
7 15 9 4、10、20 5、18 13 12、19 17 6、8、16 22、23、24
12、13、21
9 7 15 5、14、20 4、19 10 6、11、18 17 2、8、16 22、23、24
课标全国（Ⅰ）卷
立体几何
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
（1）树立信心，相信自己 统计与概率这部分内容相对于其它内容而言比较独立，思维方式与 其它内容也不尽相同．因此，老师要鼓励学生，只要努力，学好这部分 内容是没有问题的． （2）学会审题，加强理解 这道题难于对题意的理解，如果题意理解了，抽象概括纯的概率问 题，实际上并非有多难，所以，教会学生审题是非常重要的．这道题往 往是以学生所熟悉的事情为背景，在审题时，按着题的意思去理解，不 要加入太多的个人情感在里面，给自己造成不必要的理解上的负担．有 的同学会这样想，如果什么会怎么样，如果什么会怎么样，而题目中可 能并没有那么多的如果那么．此外，要想准确把握题意，平心静气，不 骄不躁是非常必要的． （3）夯实基础，建立模型 统计部分的内容要熟练，如：随机抽样、用样本估计总体、变量间 的相关关系．概率问题要注意模型化解题，如：古典概型、几何概型， 事件间的关系及其计算方法．统计案例理解到位，回归分析的基本思想 及其初步应用、独立性检验的基本思想及其初步应用．
立体几何
课标全国（Ⅰ）卷
立体几何
立体几何包括空间几何体，点线面的位置关系和空间向量与立体 几何（文科没有），高考对立体几何考查非常稳定和固定，除14年外， 都是二小一大，22分（14年一小一大，17分），三视图和组合体各一 小题，大题是以棱柱或棱锥为载体，第一问考查位置关系，第二问文 科考查计算体积、表面积或点到面的距离等，理科考查空间角． 近几年课标全国I卷（理）在对位置关系考查时，解答题的第一问 都是考查垂直（线线或面面）的位置关系，第二问题中13年与10年考 查的是直线与平面所成的角，14年、12年与11年考查的二面角，在这 五年里新课标全国I卷没有出现对异面直线所成角的考查，而15年考查 了异面直线所成角问题．对于文科解决第一问时应用的是综合法，对 于理科综合法与向量法都可以使用，向量法相对容易． 在考查线与线垂直时，往往是线线垂直与线面垂直之间的相互转 化，这里突出的体现了二维与三维空间的相互转化，但我们不能忘记 平行与垂直之间也可以相互换化．还有是利用“勾股定理”，或是三 角形有两角之和为90度等方法来证明线线垂直．其目的是为建立空间 直角坐标系打基础，为第二问题用空间向量的应用作好准备．
2015年课标全国Ⅰ（文科）试卷
2015年课标全国Ⅰ（文科）试卷
2015年课标全国Ⅰ（理科）试卷
2015年课标全国Ⅰ（文科）试卷
2015年课标全国（ Ⅰ ）试卷
2015年课标全国（Ⅰ）试卷
立体几何的考察： （１）两小一大； （２）理文有别．
解决立体几何的方法： （１）综合法： （２）向量法：
课标全国（Ⅰ）卷
概率与统计
统计概率这部分包括课标教材《必修3》的第二章学习的《统计》 （随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系），第三章学习的 《概率》（随机事件的概率、古典概型、几何概型）（文理都是一样 的）．文科：《选修1-2》《统计案例》（回归分析的基本思想及其初 步应用、独立性检验的基本思想及其初步应用）．理科：《选修2-3》 的第二章《随机变量及其分布》（离散型随机变量及其分布列、二项分 布及其应用、离散型随机变量的均值与方差、正态分布）和第三章《统 计案件》与文科相同．教材这样安排实际上是在强化对统计和概率的本 质的理解，在学习统计的基础上再来学习概率，会更好地体会统计思想 和概率的意义． 文理均为一小一大，17分． 《考试大纲》 数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对 研究问题有用的信息，并做出判断． 数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数进行整理、分 析，并解决给定的实际问题．坚持“贴近生活，背景公平，控制难度” 的原则 ．
2016届高考数学备考
石家庄一中 李光裕
2015年课标全国（Ⅰ）试卷分析
课标全国（Ⅰ）卷各单元试题命题趋势分析
2016届高三一轮复习建议
数学试卷分析评价的方法是怎样的？
2015年课标全国（Ⅰ）试卷分析
2015年课标全国Ⅰ（理科）试卷
2015年课标全
课标全国（Ⅰ）卷
处理好六种关系：
立体几何
（1）三种语言的关系：文字语言、符号语言和图形语言 （2）三种图形的关系：平面图形、三视图和直观图 （3）两种方法的关系：传统（综合）与向量（代数）
（4）两种位置之间的关系：平行与垂直
（5）两个维度的关系：立体问题平面化；平面角与空间角 （6）立体几何与空间想象能力的关系：立体几何是载体， 空间想象能力是目的
（3）学生的知识水平；（4）要达到的目标.
课标全国（Ⅰ）卷各单元试题命题趋势分析
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
三角
三角部分包括三角函数图象和性质、三角恒等变换 和解三角形三部分，文科理科题数基本上是三小或一小 一大，总分在15分或17分，近几年相对稳定．一小一大 时解答题多是应用正余弦考查解三角形，其中运用三角 恒等变换，小题是考查三角函数图象和性质.若是三小基 本上三部分内容各占一题．15年理、14年、13年文和11 年以前是三小，13年理、12年是一小一大． 由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识， 在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易 的试题．
22
5 5 5 22 17 5 22 12 15 10
10、12、14、21
9 2 15 5、16、20 4、19
27
5 5 5 22 17
6、11、18 7、13 8、17 22、23、24
22 10 17 10
2015年课标全国（ Ⅰ ）试卷
考查内容 集合与逻辑 复数 14年理科 1 、14 2 15年理科 3 1 14年文科 1、14 3 15年文科 1 3
2015年课标全国（Ⅰ）试卷
总体评价
简言之
试卷结构稳定，考点略有调整． 考点覆盖面全，突出主干知识． 试题层次明显，小题易大题难． 试题先易后难，关注考生心理． 突破固有模式，创新而不落伍． 加强通性通法，淡化变形技巧． 试题注重基础，凸显能力立意． 强化思想方法，考查数学素养．
2015年课标全国（ Ⅰ ）试卷
课标全国（Ⅰ）卷
课程标准提出：
概率与统计
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科， 它可以为人们制定决策提供依据．随机现象在日常生活中 随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认 识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同 时为统计学提供了理论基础．因此，概率与统计的基础知 识已经成为一个未来公民的必备常识．
课标全国（Ⅰ）卷
三角
课标全国（Ⅰ）卷
数列
课标全国（Ⅰ）卷
数列
课标全国（Ⅰ）卷
数列
课标全国（Ⅰ）卷
数列
课标全国（Ⅰ）卷
数列
课标全国（Ⅰ）卷
数列
数列这部分内容包括等差与等比两个特殊和一般数列的研究，考 查主要是两个方向通项公式和前n项和．所占分值，15年理、14年和11 年以前是一个大题12分；12年和15年文是二小10分；13年理是三小15 分，文科是一小一大17分． 数列若考查大题难度属中低档的题目较多，重点是等差或等比数 列，求通项公式和用裂项相消或错位相减求前n项和，往往也和其它知 识相结合，如对数的运算，体现了在知识的交汇处设置题目的思 路．小题若考查等差或等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公 式等，一般的难度不大；若考查一般数列，则重点考查运算能力和逻 辑推理能力，研究数列的最基本方法，往往注重题目的综合性与创新 意识，“小、巧、活”，会有很大的难度．
课标全国（Ⅰ）卷
立体几何
《考试大纲》 空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图 形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及 其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图 表等手段形象地揭示问题的本质． 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能 力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是 指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是 指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加 辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括 有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标 志．
关注两点：（１）其它地市的试题； （２）所学内容都有可能作为考题．
2015年课标全国（Ⅰ）试卷
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压轴题： （１）每个人根据自己的学习情况要有不同的要求； （２）解题的细化完整才能取得高分（细节决定成败）．
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