三角形的内切圆
三角形内切圆和外接圆的半径公式
三角形内切圆和外接圆的半径公式三角形是几何学中的基本图形之一，而内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的半径公式以及相关性质和应用。
一、三角形内切圆的半径公式内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，内切圆的半径为r，则根据三角形的性质，可以得到内切圆半径的计算公式：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]其中，s表示三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
这个公式的原理是利用海伦公式，将三角形的面积与半周长s关联起来。
根据海伦公式，三角形的面积S可以表示为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]而内切圆的半径r与三角形的面积S之间存在如下关系：S = rs将上述海伦公式和内切圆半径的关系代入，即可得到内切圆半径的计算公式。
二、三角形外接圆的半径公式外接圆是指能够将三角形的三个顶点都与圆上某一点相切的圆。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，外接圆的圆心坐标为O(x, y)，半径为R。
根据圆的性质，可以得到外接圆半径的计算公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，a、b和c分别为三角形的三边长，A、B和C为对应的内角。
这个公式的推导基于正弦定理。
根据正弦定理，三角形的边长与对应内角的正弦值之间存在如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC将上述关系变形，即可得到外接圆半径的计算公式。
三、内切圆和外接圆的相关性质和应用1. 内切圆和外接圆的圆心和半径关系：内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合，而外接圆的圆心与三角形的三个顶点的垂直平分线的交点重合。
内切圆的半径r 和外接圆的半径R满足如下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)。
三角形的内切圆
三角形的内切圆三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。
内切圆可以从许多不同角度来研究，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍三角形的内切圆的定义、性质和一些相关应用。
首先，让我们来定义三角形的内切圆。
给定一个三角形ABC，假设它的三条边分别为a、b和c。
现在我们想要找到一个圆，使得该圆内切于三角形ABC，并且与三角形的三边分别相切于点D、E和F。
圆心O位于三角形的内部，并且到三角形的三边的距离相等，我们将其距离记为r。
这个圆就是三角形ABC的内切圆。
三角形的内切圆具有许多有趣的性质。
首先，内切圆的圆心和三角形的每个顶点以及内切点D、E和F在一条直线上，这条直线叫做内切圆的欧拉线。
此外，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s 的差值，即r = S/s，其中S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s为半周长。
内切圆还有一些重要的性质。
首先，内切圆与三角形的每个外接圆相切于同一点D、E和F，并且它们的半径相等。
其次，内切圆的半径和三角形的面积成正比，当半径增加时，面积也增加，反之亦然。
此外，内切圆的面积等于三角形的面积，且内切圆的周长等于三角形的周长。
内切圆还有一些实际应用。
例如，在制作方程式赛车时，车轮的形状通常是一个内切圆，这样可以确保车轮与地面的接触面积最大，提供更好的牵引力和操控性能。
此外，在建筑和工程中，内切圆也被广泛应用，例如在圆形井盖、管道等设计中。
通过研究三角形的内切圆，我们可以更深入地了解几何学中的一些基本概念和性质。
同时，内切圆还有一些实际应用，使我们更好地理解它们在现实世界中的意义。
总结起来，三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。
它具有许多有趣的性质，包括与三角形的每个外接圆相切、与三角形的三个顶点和内切点在一条直线上等。
它也有一些实际应用，如在方程式赛车和建筑工程中的应用。
通过研究三角形的内切圆，我们可以深入了解几何学中的一些基本概念和性质。
三角形内切圆尺规作法
三角形内切圆尺规作法引言：三角形内切圆尺规作法是一种用于构造三角形内切圆的方法，通过使用尺规来确定内切圆的圆心和半径。
本文将介绍三角形内切圆的定义、性质以及尺规作法的步骤和原理。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一个点，该点称为圆心，相切点称为切点。
三角形内切圆具有以下性质：1. 三角形的三条边上的切线相交于内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边之间存在一定的关系。
二、尺规作法的步骤和原理下面将介绍一种常用的尺规作法来构造三角形内切圆：步骤1：画出给定的三角形ABC。
步骤2：以任意一边上的点为圆心，以该边为半径画一个圆，与另外两条边相交于D和E两点。
步骤3：连接AD和AE两条线段。
步骤4：以D和E为圆心，DA和EA为半径，分别画两个圆，它们相交于F点。
步骤5：连接BF线段。
步骤6：以BF的中点为圆心，BF的长度为半径，画一个圆，该圆即为三角形ABC的内切圆。
原理解析：尺规作法的基本原理是利用直尺作直线，利用圆规作圆，通过多次作图和连线来确定内切圆的位置和半径。
在本方法中，步骤2中画的圆与另外两条边相交于D和E点，实际上是构造了两个相切的圆，其切点即为内切圆的切点。
步骤4中画的两个圆与BF相交于F点，通过连接BF线段，可以找到内切圆的圆心。
而步骤6中以BF的中点为圆心，BF的长度为半径作圆，可以得到内切圆的半径。
三、尺规作法的应用举例下面通过一个具体的例子来演示三角形内切圆尺规作法的应用：例：已知三角形ABC，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，求其内切圆的圆心和半径。
解：按照尺规作法的步骤进行如下操作：步骤1：画出三角形ABC。
步骤2：以AB为边，以A点为圆心，作一个圆与BC和AC相交于D和E两点。
步骤3：连接AD和AE两条线段。
步骤4：以D和E为圆心，分别以DA和EA为半径，作两个圆，它们相交于F点。
步骤5：连接BF线段。
步骤6：以BF的中点为圆心，以BF的长度为半径，作一个圆，该圆即为三角形ABC的内切圆。
三角形的内切圆
三角形的内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而内切圆是一种特殊的圆，它恰好与三角形的三条边相切于一点。
本文将探讨三角形的内切圆及其相关性质。
一. 内切圆的定义内切圆是指一个圆与一个三角形的三条边都相切于一点的情况。
这个相切点称为内切圆的切点。
二. 内切圆的特性1. 切点在三角形的角平分线上三角形的内切圆的切点在三角形的三个角的角平分线上。
这是因为切点到三角形的三条边的距离相等，而角平分线是与三角形的三条边相交且距离相等的直线。
2. 切点到三角形的三条边的距离相等内切圆的切点到三角形的三条边的距离都相等。
这是因为内切圆与三角形的边都相切于切点，根据切线与半径的性质，切点到切线的距离等于半径的长度。
3. 内切圆的半径与三角形的内角有关内切圆的半径与三角形的内角有一定的关系。
设三角形的内切圆的半径为r，三角形的三边长分别为a、b、c，那么有以下关系成立：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]其中，s为三角形的半周长，即s = (a+b+c)/2。
三. 内切圆与三角形的周长和面积的关系1. 内切圆与三角形的周长关系三角形的内切圆的半周长等于三角形的半周长，即2πr = a + b + c，其中r为内切圆的半径，a、b、c为三角形的三边长。
2. 内切圆与三角形的面积关系三角形的内切圆与三角形的面积有一定的关系。
设三角形的内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，三角形的面积为A，则有以下关系成立：A = rs四. 内切圆的应用内切圆在几何学中有很多应用。
以下列举两个常见的应用：1. 利用内切圆求三角形的面积根据上述第三点的关系式A = rs，我们可以通过已知三角形的内切圆半径和半周长来求解三角形的面积。
2. 利用内切圆求三角形的周长根据上述第二点的关系式2πr = a + b + c，我们可以通过已知三角形的内切圆半径和三边长来求解三角形的周长。
总结：本文介绍了三角形的内切圆及其相关性质。
内切圆是指一个圆与一个三角形的三条边都相切于一点的情况。
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质三角形内切圆与外接圆是几何学中常见且重要的概念，它们在三角形的性质研究以及解决相关的几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆完全位于三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
根据三角形内切圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 内切圆的圆心是三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离都相等，也就是说，内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内切圆的半径是内心到三角形三条边的距离的一半。
我们可以利用这个性质来计算内切圆的半径。
3. 三角形的三条角平分线与内切圆的半径相交于内切圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时经常会用到。
二、三角形外接圆的定义和性质三角形外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，并完全包含三角形在内。
根据三角形外接圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形的外心。
三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等，也就是说，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外接圆的半径是外心到三角形的任意一个顶点的距离。
我们可以利用这个性质来计算外接圆的半径。
3. 三角形的三条中垂线与外接圆的半径相交于外接圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时也经常会用到。
三、三角形内切圆和外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在一些重要的关系：1. 内切圆的半径和外接圆的半径满足一个重要的关系：内切圆的半径是外接圆半径的一半。
这个关系在解决几何问题时常常会用到。
2. 如果一个三角形的内切圆和外接圆存在，则它们的圆心连线经过三角形的垂心。
垂心是三角形三条高线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等。
3. 在某些特殊的情况下，三角形的内切圆和外接圆的圆心可能重合，此时称为等圆三角形。
等圆三角形的特点是三个顶点到圆心的距离相等，换句话说，等圆三角形的内切圆和外接圆是同一个圆。
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆定义一、什么是三角形的内切圆内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，圆心位于三角形的内部。
三角形的内切圆是三角形内切圆心运动学的重要对象。
在三角形的内切圆中，圆心到三角形三边的距离是相等的，而且内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
因此，研究三角形的内切圆不仅有助于理解三角形的性质，还有助于解决与三角形相关的问题。
二、三角形内切圆的性质1.圆心到三角形三边的距离相等：三角形的内切圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三边的距离是相等的。
这个距离称为内切圆的半径。
2.内切圆的半径公式：内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，即r =A / s，其中r表示内切圆的半径，A表示三角形的面积，s表示半周长。
3.内切圆的圆心重心和内心重合：圆心、内心和重心在三角形的同一条高线上，且重心将内心和圆心一分为二。
4.内切圆的圆心和外心的连线垂直于三角形的内心和外心连线：内切圆的圆心和外心之间的连线与三角形的内心和外心之间的连线垂直。
5.内切圆的半径不超过外接圆的半径：对于任意三角形，内切圆的半径小于或等于外接圆的半径。
三、如何构造三角形的内切圆构造三角形的内切圆需要以下步骤：1.首先，画出给定的三角形ABC。
2.然后，分别作出三角形的三条角平分线，将角A、角B、角C分别平分为两部分。
这样可以得到三个交点，分别记为D、E、F，分别位于三角形的内部。
3.接下来，连接交点D、E、F和三角形的顶点A、B、C，得到三条边DA、EB和FC。
4.最后，以边DA、EB和FC为直径，画出三个圆。
这三个圆的交点即为三角形的内切圆的圆心O。
四、三角形内切圆的应用1.几何问题的解决：三角形的内切圆可以用来解决与三角形相关的几何问题，如计算三角形的面积、周长等。
通过内切圆的半径公式，可以简便地计算三角形的面积和半周长，进而得到三角形的各种性质。
2.工程测量：三角形的内切圆可以应用于工程测量中。
通过测量三角形的三个顶点和内切圆的圆心，可以确定三角形的形状和尺寸，为工程设计和施工提供参考。
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆定义
三角形的内切圆是指可以恰好嵌入一个三角形内部，且与三条边相切
的圆。
该圆被称为三角形的内切圆，也称为唯一的内切圆。
三角形的
内切圆的圆心被称为三角形的内心，其半径被称为三角形的内切圆半径。
三角形的内切圆在三角形的几何性质研究中有着广泛的应用。
三角形的内切圆有着很多独特的性质。
首先，内切圆的圆心是三角形
三条角平分线的交点。
其次，内切圆半径等于三角形的半周长与面积
的比值，也就是r=(s-a)(s-b)(s-c)/s，其中r表示三角形的内切圆半径，s表示三角形的半周长，a、b、c分别表示三角形三条边的长度。
在计算三角形的面积方面，内切圆也是非常有用的工具。
因为三角形
的内切圆半径r等于三个角的平均值与面积的比值，也就是
r=(A+B+C)/2S，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角，S表示
三角形的面积。
除此之外，三角形的内切圆还可以用来判断三角形的形状。
如果三角
形的内心和外心重合，那么该三角形一定是等腰三角形或等边三角形。
如果三角形的内心和重心重合，那么该三角形一定是等边三角形。
总之，三角形的内切圆是三角形中非常重要的一个概念，它在数学和
物理等多个领域中都有着广泛的应用，是我们研究三角形的性质和口算面积的一个重要工具。
内切圆公式大全
内切圆公式大全
内切圆公式大全包括以下几种情况：
1.一般三角形内切圆半径公式：r = 2S / (a + b + c)，其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形
的三边长。
2.直角三角形内切圆半径公式：r = (a + b - c) / 2，其中a、b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
3.正方形内切圆半径公式：r = a / 2，其中a是正方形的边长。
4.正六边形内切圆半径公式：r = a / 2，其中a是正六边形的边长。
需要注意的是，以上公式仅适用于二维平面图形。
对于其他类型的图形或三维立体图形，内切圆半径的公式可能会有所不同。
同时，在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
三角形的内切圆与外接圆的半径关系
三角形的内切圆与外接圆的半径关系三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的内切圆和外接圆在数学研究中也有重要的地位。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的半径关系。
1. 三角形的内切圆内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一点的情况。
内切圆的圆心与三角形的三条边的交点共线，这个交点称为三角形的内心。
对于任意三角形，都存在一个内切圆。
我们来研究内切圆的半径与三角形的性质之间的关系。
设三角形的内切圆的半径为 r，三角形的三条边分别为 a、b、c，三角形的半周长为 s（s = (a + b + c)/2）。
根据三角形的面积公式，可以得到三角形的面积 S：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))另一方面，根据内切圆与三角形的接触性质，我们可以得到内切圆的半径与三角形的面积 S 之间的关系：S = rs将这两个等式结合起来，可以得到内切圆的半径与三角形边长之间的关系：r = √((s-a)(s-b)(s-c)/s)2. 三角形的外接圆外接圆是指一个圆完全包围三角形的情况，三角形的三个顶点都位于圆周上。
外接圆的圆心位于三角形的外心处，外接圆的半径称为三角形的外接圆半径。
我们同样研究外接圆的半径与三角形的性质之间的关系。
设三角形的外接圆的半径为 R。
根据外接圆的性质，我们可以得到外接圆半径与三角形边长之间的关系：R = (abc)/(4S)其中，a、b、c 分别为三角形的三条边的长度，S 表示三角形的面积。
3. 内切圆与外接圆半径关系我们已经得到了三角形的内切圆半径 r 和外接圆半径 R 分别与三角形的边长和面积之间的关系。
现在我们来探讨内切圆半径 r 与外接圆半径 R 之间的关系。
由于三角形的内切圆和外接圆的圆心均为三角形的某个特殊点，根据特殊点的位置关系，我们可以得到内切圆半径 r 与外接圆半径 R 之间的关系：2r = R也就是说，三角形的内切圆半径是外接圆半径的一半。
通过上述推导，我们得到了三角形的内切圆与外接圆的半径关系。
三角形内切圆的几个性质及应用
三角形内切圆的几个性质及应用
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
性质
三边与圆切线
圆心与三顶点连线分辨平分三角
半径x三边和/2=三角形面积
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
），且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点就是内切圆的圆心，圆心至三角形各个边的垂线段成正比。
内切圆的半径为r=2s/c，当中s表示三角形的'面积，c表示三角形的周长。
1、三角形内切圆半径：r=2s/（a+b+c）；
2、三角形外接圆的半径：r=abc/4s。
其中，s为三角形的面积，a，b，c分别为三角形的三边。
空间几何中的三角形内切圆定理
空间几何中的三角形内切圆定理在空间几何中，三角形内切圆定理是指对于任意给定的三角形，都存在一个内切圆，该圆与三角形的三条边相切于各自的中点。
本文将对空间几何中的三角形内切圆定理进行详细的论述。
首先，我们来回顾一下三角形的基本定义和性质。
三角形是由三条边和三个顶点组成的图形，其中每两条边之间都有一个内角。
根据三角形的内角性质，三个内角的和必须等于180度，这被称为三角形的内角和定理。
在平面空间中，我们常常研究三角形的几何属性及其相互关系。
而三角形内切圆定理就是在平面空间中成立的。
然而，在空间几何中，我们可以将三角形看作三个不在同一平面上的点的组合。
这样，我们可以得到空间中三角形内切圆定理的推广。
假设空间中的三角形ABC的三个顶点分别为A、B和C。
为了证明内切圆定理的成立，我们需要找到一个内切圆，并证明该圆与三角形的三条边相切于各自的中点。
首先，我们选择任意两个顶点A和B，在它们之间画一条线段AB，并在AB上选择中点M。
然后，我们选择另外一个点C，并找到通过C 且垂直于AB的平面。
在该平面上，我们可以找到过点C的三角形ACB的内切圆。
接下来，我们需要证明该内切圆与三角形ACB的三条边相切于各自的中点。
首先，连接圆心O和三个顶点A、B和C。
由于圆心O位于内切圆的内部，所以OA、OB和OC是三条半径。
另外，由三角形内角和定理可知，角A、角B和角C的和等于180度。
因此，角AOB、角BOC和角COA的和也等于180度。
我们知道，如果两个角的和等于180度，则这两个角互为补角。
根据补角的性质，我们可以得出角AOB、角BOC和角COA分别是三角形ACB的内角。
而根据内切圆的性质，圆上的切线与切点处的半径垂直。
因此，我们可以得出切线AO、切线BO和切线CO分别垂直于边AC、边BC和边AB。
另外，容易观察到，切线AO、切线BO和切线CO分别通过边AC、边BC和边AB的中点。
这是因为切线与半径的交点即为切点，而根据内切圆的性质，切点与切线之间的距离等于切点到圆心的距离。
三角形的内切圆
三角形的内切圆简介在几何学中，三角形的内切圆是指与三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
该圆被称为三角形的内切圆，也被称为三角形的两内切圆之一。
内切圆具有一些独特的性质和特点，对于几何学的研究和应用具有重要意义。
构造和性质三角形的内切圆可以通过以下方式进行构造：1.连接三角形的任意两个顶点，得到三条边；2.分别作三条边的垂线段，垂线段的交点即为内切圆的圆心；3.连接圆心和三个顶点，得到三条以圆心为中心的边；4.三个顶点与圆心的连线组成的三个角度相等，且都是直角；内切圆具有以下的性质：1.内切圆与三角形的三条边相切；2.内切圆的圆心是三角形的重心；3.内切圆的半径是三角形三条边长度的函数；4.内切圆的半径等于三角形的面积除以其半周长；5.内切圆的半径与三角形的三个角度都有关系；6.内切圆的半径与三角形的外接圆半径有关系。
应用三角形的内切圆在几何学和工程学中有广泛的应用。
1.几何学：内切圆是三角形的基本性质之一，对于研究三角形的性质和定理具有重要作用。
通过分析内切圆的半径和三角形的各个角度之间的关系，可以推导出很多三角形的性质和定理。
2.工程学：内切圆在工程学中有多种应用，例如在建筑设计中，内切圆可以用于确定三角形的重心，从而确定建筑物的平衡和稳定性。
在制造业中，内切圆可以用于确定三角形的内切角度，从而确定零件的装配位置和拼接方式。
3.数学建模：内切圆在数学建模中有广泛的应用，可以用于解决各种与三角形有关的问题，例如确定最大面积的三角形，确定最短路径的三角形等等。
结论三角形的内切圆是几何学中的重要概念，具有独特的构造和性质。
内切圆在几何学、工程学和数学建模中有广泛的应用，对于研究和解决与三角形有关的问题具有重要意义。
通过深入研究内切圆的构造和性质，可以进一步拓展其应用领域，促进数学和工程学的发展。
直角三角形内切圆半径公式
直角三角形内切圆半径公式
直角三角形内切圆半径公式是什么？
直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE 所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r 所以AD＝b－r,BE＝a－r,
因为AD＝AF,CE＝CF 所以AF＝b－r,CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r 所以b－r＋a－r＝r 内切圆半径r＝(a＋b－c)/2 即内切圆直径L＝a＋b－c
含义:
直角三角形：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。
直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。
若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。
11三角形的内切圆
O
内心到 的距离相等？
内心应该在什么位置？
B
C
性质:内心到三角形三边的距离相等； 是三角形三个角平分线的交点
探 已知：△ABC，求作：⊙O，使它与 究 △ABC的三边相切。
： 作法：
三 角 形
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交 点为O。
内 2．过点O作OD⊥BC，垂足为DA。
切
圆 的 作
3．以O为圆心，OD为
半径作⊙O.
N
M O
法 ⊙O就是所求的圆。 B D C
思考： 1.一个三角形的内切圆有几个？
只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。
C
2.一个圆的外切三角形是否只有 一个？
F
E
I
有无数个
A
DB
例 如图，在△ABC中，点O是内心，
若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
S 1r(abc)
D
F
2
r
r O
r
C
E
B
三角形面积等于周长与内切圆半径乘积的一
半。
想一想,三角形内心和外心的区别?
名称
确定 方法
图形
性质
外心 三 角 形 三
三角形 边垂直平
外接圆 分线的交
的圆心 点
B
A
到三角形的三个顶
O
点距离相等；
C
内心 三 角 形
三角形 三 条 角
内切圆 的圆心
平分线 的交点 B
A
O 到三边的距离相等;
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形 用料，且使圆的面积最大。
三角形内切圆方程
三角形内切圆方程
一、圆的一般方程
圆的一般方程可以表示为：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中，D2+E2−4F>0
其中(−D2−E2+4F)是圆的半径的平方。
二、三角形的三个顶点坐标
假设三角形的三个顶点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
三、内切圆的圆心和半径
内切圆的圆心是三角形三个顶点的几何中心，即三条角平分线的交点。
内切圆的半径等于圆心到三角形三边的距离。
四、三角形三边的长度
假设三角形的三边长度分别为a，b，c。
五、三角形面积的计算公式
三角形面积的计算公式为：S=12abscos(C)其中，C是三角形的一个角。
六、根据三边长度计算三角形的面积
根据海伦公式，可以使用三边长度a，b，c计算三角形的面积：S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中，p是半周长，即p=12(a+b+c)。
七、利用面积公式和三边长度确定内切圆的半径
根据三角形面积的计算公式，可以得到内切圆的半径r：r=2Sabc 其中，S是三角形面积。
八、通过圆心和半径确定内切圆的方程
根据圆的一般方程和内切圆的圆心坐标，可以得到内切圆的方程。
设内切圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r，则内切圆的方程可以表示为：x2+y2+Dx0+Ey0+Fr2=0其中，D2+E2−4F>0，r2=2Sabc。
内切圆三角形公式
内切圆三角形公式内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，并且与三角形的三条边都相切。
内切圆在几何学中有着广泛应用，可以帮助求解三角形的各种参数和性质。
下面将介绍一些关于内切圆的常用公式和相关定理。
一、内切圆的半径公式设三角形的内切圆半径为r，三角形的周长为p（即三条边的长度之和），三角形的面积为S，则有以下关系：1.内切圆的半径公式：r=S/(p/2)这个公式说明，内切圆的半径大小与三角形面积成正比，与三角形的周长成反比。
即三角形的面积越大，内切圆的半径越大；而三角形的周长越大，内切圆的半径越小。
二、内切圆和三角形的关系1.内切圆与三角形的接点：内切圆与三角形的三条边分别相切于三个点，称为内切圆的接点。
这三个接点将三角形的三条边分成了三个小线段。
2.内切圆和三角形的切点连线：将内切圆的三个切点依次相连，可以得到三条线段，分别和三角形的三个顶点相连。
这三个线段叫做切点连线。
三、内切圆和三角形的性质1.内切圆和三角形的关系：内切圆的圆心恰好是三角形三条内角平分线的交点。
这个性质称为内切圆的圆心定理。
也就是说，内切圆的圆心和三角形的三个内角平分线的交点重合。
2.内切圆和三角形的面积关系：设三角形的内切圆的半径为r，三角形的面积为S，则有以下关系：S=p*r这个公式说明，三角形的面积等于内切圆的半径和三角形的周长的乘积。
3.内切圆和三角形的边长关系：设三角形的内切圆与三条边的切点分别为A，B，C，内切圆的半径为r，则有以下关系：AB，+，AC，=BC，+，BA，=CA，+，CB，=其中，a，b，c分别表示三角形的三条边的长度。
也就是说，三角形的每条边与相邻两个内切圆的切点的连线的长度之和等于该边的长度。
四、内切圆和三角形的角度关系1.内切圆和三角形的切角关系：设三角形的内切圆与三角形的三条边分别相切于三个点，称为内切圆的接点，则这三个点和三个相对的内角组成的6个角中的任意两个角相等。
这个性质也称为内切圆的切角定理。
内切圆三角形公式
内切圆三角形公式内切圆三角形是指一个三角形内含有一个内切圆的情况。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边相切，并且与三角形的内角位于边的中垂线上。
内切圆对于三角形的性质和特征有很大的影响，它们之间存在一些有趣的关系和公式。
在讨论内切圆三角形的公式之前，我们先来了解一下内切圆的性质和特征。
内切圆的圆心与三角形的三条边的中垂线的交点组成一个三角形，在这个三角形中，圆心与各边的交点分别是圆心角的平分点。
另外，内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：三角形的面积等于内切圆的半径与三条边的长度之积的一半。
接下来，我们将介绍一些与内切圆三角形相关的公式。
1.费马点公式：费马点是指一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
对于任意一个内切圆三角形，费马点就在内切圆的圆心上。
费马点公式给出了费马点到三角形三个顶点的距离之和与内切圆半径的关系：r=d1+d2+d3其中，r表示内切圆的半径，d1、d2、d3分别表示费马点到三个顶点的距离。
2.角平分线长度公式：内切圆对于三角形的内角位于边的中垂线上，因此可以得到如下关系：l1+l2=l3+l4其中，l1、l2、l3、l4分别表示三角形两个内角的平分线长度。
3.角平分线长度与半角公式：内切圆的半角是指内切圆的半径与边的长度之比。
相邻两条边的内切圆半角之和等于对角边内切圆半角的两倍。
即：α+β=2γ其中，α、β、γ分别表示相邻两条边的内切圆半角和对角边的内切圆半角。
4.内切圆半径与三角形面积的关系：内切圆的半径与三角形的面积有一个固定的关系：S=r·p其中，S表示三角形的面积，r表示内切圆的半径，p表示三角形的半周长。
5.勾股定理公式：a=p-rb=p-rc=p+r其中，a、b、c分别表示直角边的长，p表示三角形的半周长，r表示内切圆的半径。
上述是内切圆三角形的一些公式，它们可以帮助我们理解和计算内切圆三角形的性质和特征。
根据这些公式，我们可以推导和证明一些内切圆三角形的定理和性质。
三角形内切圆半径与面积关系
三角形内切圆半径与面积关系
三角形内切圆与三角形三边都相切。
三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆。
在直角三角形的内切圆中，有两个简便公式：
1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）。
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
r=ab/ (a+b+c)。
1。
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例 如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数． 解：∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IBC=
21∠ABC ，∠ICB=2
1
∠ACB ． ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．
∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=50°． 又O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100°
说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+
2
1
∠A ；∠BOC=4∠BIC-360°． 例 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：322=-=
AC AB BC
连结OA 、OB 、OC ，设⊙O 的半径为r ，则：
r CA BC AB S ABC )(21++=
△，又BC AC S ABC ⋅=2
1
△． ∴
BC AC r CA BC AB ⋅=++2
1
)(21， ∴14
353
4=++⨯=++⋅=
CA BC AB BC AC r ．
答：直角三角形内切圆的半径为1．
说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．
例 （陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ． （1）求证：IE=BE ；
（2）若IE=4，AE=8，求DE 的长． 证明：（1）连结BI ，
∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=
2
1
（∠BAC+∠ABC ）， ∠IBE=∠IBC+∠EBC=
21∠ABC+∠EAC=2
1
（∠ABC+∠BAC ）， ∴∠BIE=∠IBE ∴IE=BE
解：（2）∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAE=∠CAE ， 又∵∠DBE=∠CAE ，
∴∠BAE=∠DBE ，又∵∠E 为公共角， ∴△ABE ∽△BDE ，∴
DE
BE
BE AE =
，∴DE AE B E 2⋅= ∴DE AE IE 2
⋅=，∴28
4AE IE DE 2
2===
． 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B 组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题．
典型例题四
已知：如图，设ABC ∆为∆Rt ，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 与D ，设E 是BC 的中点，连结OD 、OE ，求证：OD DE ⊥.
证明
连结
CD .
A
B
C
D E
I。