广州大学623数学分析2010年考研真题／研究生入学考试试题
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷与答案解析
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)若011lim[()]1xx a e x x→--=，则a 等于（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３(2) 设1y ,2 y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解. 若常数λ, μ使12y y λμ+是该方程的解,12 y y λμ-是对应的齐次方程的解, 则 （A ）11,22λμ== (B)11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ== （3）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<。
若0()g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是(A)() 0f a '< (B)()0f a '> (C) ()0f a "< (D) ()0f a "< （4）设()()()1010ln ,,xf x xg x xh x e ===，则当x 充分大时有(A)()()() g x h x f x << . (B) ()()()h x g x f x <<. (C)()()()f x g x h x <<. (D)()()() g x f x h x <<.(5) 设向量组12 :, ,, r I ααα⋅⋅⋅可由向量组12II : , ,, s βββ⋅⋅⋅线性表示, 则列命题正确的是 (A) 若向量组I 线性无关, 则r s ≤ (B) 若向量组I 线性相关, 则r s > (C) 若向量组II 线性无关, 则r s ≤ (D) 若向量组II 线性相关, 则r s > (6)设A 为4阶对称矩阵,且20A A +=若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(C) 1110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(D) 1110-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(7) 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xx F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩，则{}1P X ==(A) 0 (B) 1 (C)112e --(D) 11e --(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B) 324a b += (C) 1a b += (D) 2a b += 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则______x dy dx==（10）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方, x 轴上方的无界区域为G , 则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。
2010年考研数学二真题及答案
二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题一选择题 1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--=A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+¢的两个特解，的两个特解，若常若常数m l ,使21y y m l +是该方程的解，21y y m l -是该方程对应的齐次方程的解，则解，则 A 21,21==m l B 21,21-=-=m lC 31,32==m lD 32,32==m l3.=¹==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2A4e B3e C2e De 4.设,m n 为正整数,则反常积分21ln (1)mnx d xx-ò的收敛性的收敛性A 仅与m 取值有关取值有关B 仅与n 取值有关取值有关C 与,m n 取值都有关取值都有关D 与,m n 取值都无关取值都无关5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F ¢¹则z z x yxy¶¶+¶¶= A x B z C x -D z - 6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j ®¥==++åå= A121(1)(1)xd xd y x y ++òò B11(1)(1)xdxdy x y ++òòC 1101(1)(1)d x d y x y ++òòD1121(1)(1)dxdyx y ++òò7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI b b b aa a ¼¼21r 21II ,,:，下列命题正确的是：的是：A 若向量组I 线性无关，则s r £B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r £D 若向量组II 线性相关，则r>s 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=AA 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø B 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èøC 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èøD 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø二填空题二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-¢+¢¢-¢¢¢y y y y 的通解y=__________ 10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________ 11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n ny n x x y 阶导数处的在12.___________0的弧长为时，对数螺线当q p qe r =££13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则三解答题三解答题 15.的单调区间与极值。
2010年数一试题及答案
ln 2 (1 x )
n
x
dx 的收敛性（ D
）
（B）仅与 n 有关 （D）与 m 、 n 都无关
【解】 ：显然 x 0, x 1 是两个瑕点，有
1m
ln 2 (1 x)
n
0
x
dx
1 m 2 0
ln 2 (1 x)
n
x
dx 1
1 m
ln 2 (1 x)
n
2
x
dx .
B ） （C） x （D） z
（A） x
（B） z
【解】 等式两边求全微分得： F1 d 即 F1
y z F2 d 0 ， x x
xdy ydx xdz zdx F2 0 F1 ( xdy ydx) F2 ( xdz zdx) 0 , 2 x x2
.
【解】令 x t , 原式为
2
0
x cos x dx 2 t 2 cos t dt 2 t 2 sin t | 0 2t sin t dt
0
4 t sin t dt 4 t cos t | 0 cos t dt 4 .
0
0
0
2t t e ln 1 t 2 e t 2 1 2t 1 t t e2 t ln(1 t 2 ) 2 2 t e 1 t e
d2 y 0 2 故 d x t 0 .
（10）
2
0
x cos x dx
4
x
x
x
(a b) x ab (a b) x ab ( a b ) x ab lim 1 lim 1 x ( x a )( x b) x ( x a )( x b)
广州大学数学分析第一学期试卷A
广州大学2005-2006 学年第一学期试卷课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）数信学院数学系 04级 ①②③④⑤⑥班 学号 姓名一、填 空 题 10分 （2分 / 题）1.将函数展开为麦克劳林级数=-241x______________________ 。
2.将 f ( x ) = [ x ] 在( - π,π )上展开的傅里叶级数在0点处收敛于_______________ 。
3.方程 sin ( 22y x ) + xy e + arctany = 1 在( 0 , 0 )点附近可以确定的隐函数关系为 __________________________。
4. F( x ) = dy e yxyx ⎰11 , 则 )(x F ' =___________________ 。
( x > 0 ) 5、ds y x L)(+⎰= _________________ 。
(其中L ：1=+y x )二、单项选择题 （2分/题 ，共10分）1、幂级数∑∞=022n n nx 的收敛半径与收敛域为___________ 。
A 、 2 ，[ - 2 , 2 ] ；B 、 2 ，( - 2 , 2 ) ；C 、2 , ( - 2 , 2 ) ；D 、2， [ -2 , 2 ] ；2、f ( x ) = 2222y x y x +-在( 0 , 0 )点先x 后y 与先y 后x 累次极限及重极限分别为________ 。
A 、1 , 1 , 1；B 、1 , 1 , 0；C 、- 1 , 1 , 0；D 、- 1 , 1 , 不存在。
3.f 为连续函数,交换积分次序:=⎰⎰11),(y dx y x f dy ________。
A 、⎰⎰1010),(dy y x f dx ； B 、⎰⎰100),(xdy y x f dx ；C 、⎰⎰101),(xdy y x f dx ； D 、⎰⎰11),(xdy y x f dx 。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
2010年考研高数一真题(附答案)
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限（C）A、1B、C、D、（2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（B）A、B、C、D（3）、设施正整数，则反常积分的收敛性( C)A、仅与的取值有关B、仅与有关C、与都有关D、都无关（4）、( D )A、B、C、D、（5）、设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（A）A、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD、秩r(A)=n, 秩r(B)=n(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于（D）A． B.C. D.(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}= （C）A．0 Ｂ. C. D.(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）A、B、C、D、二、填空题（9）、设求（10）、（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分（12）、设则的形心坐标（13）设若由形成的向量空间维数是2，则 6（14）设随机变量概率分布为，则 2三、解答题（15）、求微分方程的通解解答：（16）、求函数的单调区间与极值解答：单调递减区间单调递增区间极大值，极小值（17）、（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设，求极限解答：（18）、求幂级数的收敛域及和函数解答：收敛域，和函数（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分解答：（1）（2）（20）、设已知线性方程组存在2个不同的解，（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求方程组的通解。
解答：（Ⅰ）（Ⅱ）的通解为（其中k为任意常数）（21）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：为实对称矩阵又的特征值为1，1，0的特征值为2，2，1，都大于0为正定矩阵。
2010年考研数学一真题和参考答案
2010考研数学（一）真题和参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。
（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。
2010年考研数学真题及答案
考研数学二真题（2010年）一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（） （A ）不是(,)f x y 的连续点 （B ）不是(,)f x y 的极值点 （C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（） （A ）有极值点，无零点 （B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）(I)略；(II)0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23ablπρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.【答案 B【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
第二类间断点为无穷间断点。
在本题中，()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===- 所以0x =为第一类间断点1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。
1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.(C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
2010年考研数学二真题及答案解析
.
(11) 函数 y ln 1 2x在x 0 处的 n 阶导数 yn 0 =
.
(12) 当 0 时,对数螺线 r e 的弧长为
.
(13)
已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l 12cm , w 5cm 时,它的对角线增加的速率为
y
(t)
(t
1) 所确定,其中 (t) 具有
2
阶导数,且
数学（二）试题 第 2 页 （共 13 页）
(1) 5 ， (1) 6. 已知 d 2 y 3 , 求函数 (t) .
2
dx2 4(1 t)
(18)(本题满分 10 分)
一个高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a ,短轴为 2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当 油罐中油面高度为 3 b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的密度为
(C) 2.
(D) 3.
(2) 设 y1, y2 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,若常数 ， 使
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
(A) 1 , 1 . 22
(C) 2 , 1 . 33
(B) 1 , 1 .
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A 3，B 2, A1 B 2 ,则 A B1 =
.
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 11 分)
求函数 f (x) x2 (x2 t)et2 d 的单调区间与极值. 1
2010数学一真题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z xy z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,121211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x e -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰.(13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦.三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x xx c y y y C e C e x x e =+=+-+．(16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,即13022x x +=. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()12302,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1TQ Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx edx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。
广州大学数学分析第一学期试卷(B)
广州大学2005-2006 学年第一学期试卷课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）数信学院数学系 04级 ①②③④⑤⑥班 学号姓名一、填 空 题 ( 共 10分 ,2分 / 题)1 、将函数展开为麦克劳林级数⎰xdt t e 02= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2 、 将=)(x f {,10,<<-<≤x x x ππ展开的傅里叶级数在点0处收敛于＿＿＿＿＿。
3 、方程 1)cos(2=++y x xe y x 在点( 0 ,0 )附近可以确定的隐函数关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4 、⎰=-→200cos lim 2πααxdx ex ___________。
5、⎰⎰++SdS z y x )( = 。
其中S 为平面 1=++z y x 在第一卦限部分 。
二、单项选择题 （2分/题 ，共10分）1、幂级数∑∞=-1)1(n nn n x 的收敛半径与收敛域为___________。
A 、 -1 ，( - 1 , 1 ] ；B 、 1 ，[ - 1 , 1 ] ；C 、1, ( - 1 , 1 ]；D 、1 ， [ - 1 , 1 ) 。
2、关于f ( x , y ) = {)0,0(),(0)0,0(),(22=≠+y x y x y x xy不正确结论为 。
A 、0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ； B 、),(y x f 在点( 0 , 0 )连续；C 、),(y x f 在点( 0 , 0 )偏导数存在；D 、),(y x f 在点( 0 , 0 )可微。
3、f 在平面光滑曲线段⋂AB 上连续,则下列叙述正确的是。
A 、⎰⋂BAds y x f ),(=-⎰⋂ABds y x f ),(； B 、⎰⋂BAdx y x f ),(=-⎰⋂ABdx y x f ),(；C 、⎰⋂ABds y x f ),(=⎰⋂ABdx y x f ),(；D 、若f ( x , y )在L 上非负,则⎰⋂ABdx y x f ),(0≥。
2010考研数学三真题答案
A 所以 dy 1 dx x0
K (10)设位于曲线 y
1
(e x ) 下方，x 轴上方的无界区域为 G ，则. G 绕 x
x(1 ln2 x)
E 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .
E 答案： 2 R 4
F 详解：
V
1
因此，
E
1
，即 A
1
1
。
1
0
0
E 0,x 0
R (7)
设随机变量的分布函数
F
(
x)
1 2
,0
x 1，则 Px 1
()
F 1 ex,x 1
x
1
x x
FR 109
lim
ln8
x1 x
10 92
lim
ln
x
10! lim
1
0
)
1 x
x x
x x
所以当 x 充分大时， f (x) g(x)
所以当 x 充分大， f (x) g(x) h(x) 。
(5) 设向量组 I :1,2 ,r 可由向量组 II : 1, 2 ,s 线性表示，下列命题正确的是( )
A 答案：C
x
K 详解：因为 lim
h(x)
lim
e10
x
lim e10
1
x g(x) x x x 10
E 所以，当 x 充分大时， h(x) g(x)
E 又因为 lim
f (x)