6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证

第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验

定律进行推证

2.1 反射定律和折射定律

在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。

我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。

2.2费马原理

费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为：

Q

P

nds =⎰极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）

费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。

几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。

2.3 折射定律的推导

设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界

面不垂直，yz 平面选取为唯一，否则yz 平面的选取不唯一，任选一个即可，如图2-1所示。设光线交xy 平面于A 点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任意可能的路径是光线沿着直线PA 传播到A 点，并沿着直线AQ 前进到Q 点。设p 点坐标为()110,,y z ，Q 点坐标为()220,,y z ，A 点坐标为(,,0)x y ，P 和Q 分别在两种均匀媒介中，不在xy 平面上，即，10z ≠ ，20z ≠。令：

1l PA ==

2l PQ ==光程 ：

1122()PAQ n l n l n n =+=光程()PAQ 是x ， y 的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x ，y 的偏导数为零，这时的A 点设为0A ，即实际光线与媒质分界面得交点为0A ，

图2-1光线在折射中任意可能路径示意图

坐标标为(,,0)x y ，则00x =，即0A 点在yz 平面上，因此光线沿着yz 平面传播，

111122(,)()0x f x y n l n l --=+=

过0A 点作xy 平面得垂线OM 即为法线，其也在yz 平面上，由此得出折射光线，法线，入射光线在同一平面上，如图2-2所示。图2-2中的1i 为入射角，2i 为折射角。光程()PAQ 在0A 点对y 的偏导数也为0。

图2-2光线在两种媒质分界面的折射

11111222(,)()()y f x y n l y y n l y y --=-+-

(0,)0y f y =

111102200102

()()0y y y y n l n l ---+-= 则：

111102200120()()y y y y n l n l ---=- （2-2） 由（2-2）式又得到：

01201

21020()()y y y y n n l l --= （2-3） 因此：

210

010202

120

()()()0n l y y y y y y n l --=-≤ 即：

12012min(,)max(,)y y y y y ≤≤ （2-4）

设 ：12y y ≤，则：

102

y y y ≤≤ （2-5） 不失一般性，如果12y y <，由（2-2）式则01y y ≠，02y y ≠否则12y y =。因此：

102y y y << ()12y y < （2-6）

由（2-6）式可知，如果P ，Q 两点的连线与分界面不垂直，折射光线和入射光线分居在法线的两侧。如果12y y =，由（2-5）式可得012y y y ==因此：

012y y y == （2-7）

在图2-2中，分别过P ，Q 两点做垂直于OM 的垂线，垂足分别为B ，C ，由于P ，

0A 点都在yz 平面上，并且法线OM 与z 轴平行，所以01y y PB -=，20y y CQ -= ，并且100l PA =，200l A Q =，把这些关系式代入（2-3）式 得到：

1200PB CQ n n PA A Q

= （2-8） 由于10sin PB i PA =，20sin CQ i A Q

= ，可以得到下式：

1122sin sin n i n i = （2-9）

综合了（2-6）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光线、法线和入射光线在同一个平面上，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，并且入射角和折射角的正弦之比为常量[3]（入射角不为0时）。

如果P ，Q 两点的连线与分界面垂直，由（2-7）式及P ， 0A ，Q 三点都

在yz 平面上，P ，0A ，Q 三点共线，则(2-9)式也满足，这时折射角和入射角都

为0，入射光线和折射光线垂直于分界面，折射光线、入射光线和法线都在同一直线上。

为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值还需要证明：

0),0(),0()],0([0020<⋅-y f y f y f xy xy xy 成立。 由于：111111221122()(,)xx n l n l f x y n l

n l x x ----∂+=++∂ ，111122()(,)xy n l n l f x y x y

--∂+=∂ 因此： 110110220(0,)0xx f y n l n l --=+> （2-10）

0(0,)0

xy f y = （2-11） 11331122111222(,)[()()]yy f x y n l n l n l y y n l y y ----=+--+- （2-12）

根据前面1l ，2l 的定义，由于10z ≠，20z ≠，因此2211()y y l -<，2222()y y l -<，则：3232111112221122()()n l y y n l y y n l n l -----+-<+ 因此(,)0yy f x y >则：

0(0,)0yy f y > （2-13）

根据（2-10）～（2-13）式得到：

0),0(),0()],0([0020<⋅-y f y f y f yy xx xy （2-14）

根据0(0,)0xx f y >可知，遵循折射定律的路径的光程的确为极小值。

2.4 反射定律的推导

对于反射定律的推导和折射定律的推导相似只是把折射定律中的折射率1n 和2n 都用n 代替，折射角2i 用反射角1i '代替，而P ，Q 两点在xy 平面的同侧，（2-9）式变为：

1s i n s i n

n i n i '= （2-15） i 和1i '都小于90︒，则有：

1i i '= （2-16）