64数列求和及数列的综合应用

＋
1 24
＋
…
＋
1 2n＋1
－
n＋1 2n＋2
＝
1 2
＋
213×11－－122n1－1－n2＋n＋12 ＝34－2n1＋1－n2＋n＋12 ，
故 Tn＝32－21n－n2＋n＋11 ＝32－n2＋n＋31 .
题型三 裂项相消法求和 【例 3】 (2014·山东模拟)已知等差数列{an}满足：a3＝7， a5＋a7＝26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
A．－110
B．－90
C．90
D．110
解析：由题意得 a27＝a3·a9，又公差 d＝－2，∴(a3－8)2＝a3(a3 －12)，∴a3＝16.∴S10＝10a12＋a10＝10a32＋a8＝5(a3＋a3＋5d) ＝5×(16＋16－10)＝110，故选 D.
答案：D
5．(2014·昆明一模)如果数列{an}满足 a1＝2，a2＝1，且
1.预测 2015 年高考仍会考查数列求和的基本方法，难度中 低档．
2．考查与函数、不等式结合的综合应用问题，难度稍大.
1.数列求和的常用方法
(1)公式法
①直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和．
②一些常见的数列的前 n 项和nn＋1
a．1＋2＋3＋4＋…＋n＝
2；
b．12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1；
列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对
数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．
[变式 1] (2014·昆明一模)已知数列{an}的前 n 项是 3＋2－ 1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，写出数列{an}的通项并求其 前 n 项和 Sn.
解：由已知得，数列{an}的通项公式为 an＝3n＋2n－1＝3n －1＋2n，
[方法·规律] 数列求和中裂项相消法的应用技巧
(1) 裂 项 相 消 法 就 是 把 数 列 的 每 一 项 分 裂 成 一 正 一 负 的 两
项，使得相加后，前后的项与项之间能够相互抵消，但在抵消的
过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消．
(2)一般地，若{an}为等差数列，则求数列{ana1n＋1}的前 n 项
[解] (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a21a＋1＋2d1＝ 0d7＝，26， 解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为 an＝2n＋1，所以 a2n－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝14(1n－n＋1 1)． 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝14(1－n＋1 1) ＝4nn＋1， 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
1.(2014·泉州二模)若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，
则数列{an}的前 n 项和为( A．2n＋n2－1
) B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n2－2
答案：C
2 ． (2014·黄 山 一 模 ) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an ＝
互抵消，从而求得其和．
归纳拓展：若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，
常采用裂
项法求和
，如对等差数列{an}有
ana1n＋1＝1d(a1n－
1 )
an＋1
，
an·1an＋2＝21d(a1n－an1＋2)．
(5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数 列通项公式组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加 减． (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如 Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝ 5050 .
2．数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数 学内容中，各是什么问题． (2) 分 解 —— 把 整 个 大题 分 解 成 几个 小 题 或几个 小 “ 步 骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、 解析几何问题、不等式问题等． (3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得 到整个问题的解答．
(2)由 bn＝(an＋5)·2n－1 得 bn＝n·2n， ∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② ①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， ∴－Tn＝211－－22n－n·2n＋1， 即 Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
c．2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
d．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ n2 ；
e．13＋23＋…＋n3＝[nn2＋1]2＝n2n4＋12.
(2)倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或 等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法， 如 等差 数列的前 n 项和即是用此法推导的． (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比 数列的前 n 项和就是用此法推导的．
特别提醒：用乘公比错位相减法求等比数列的和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“Sn”与“q·Sn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－q·Sn”的表达式．
(4)裂项法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相
an－a1n－－1 an＝an－an＋a1n＋1(n≥2)，则这个数列的第 10 项等于(
)
1
1
A.210
B.29
1
1
C.10
D.5
解析：∵1－aan－n 1＝aan＋n 1－1， ∴aan－n 1＋aan＋n 1＝2，∴a2n＝an1－1＋an1＋1， ∴{a1n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴a1n＝12n，∴a10＝ 15，故选 D. 答案：D
1 n＋
，若 n＋1
Sn＝10，则
n
的值是(
)
A．11
B．99
C．120
D．121
答案：C
3．(2014·大同一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，
则 S5 等于( )
A．1
5 B.6
1
1
C.6
D.30
答案：B
4．(2014·东营质检)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的值为( )
1.从近几年的高考试题可以看出，数列求和问题的考查一直 是高考的热点问题，大多出现在解答题的第二问，重点考查分组 求和、错位相减、裂项求和等基本求和方法；数列与函数、不等 式、平面几何等知识相结合考查也是数列综合问题的命题热点．
2．数列求和问题以基本方法的考查为主，难度中等；数列 的综合考查难度偏大．
(2)由(1)，知任意 n∈N*，an＝(b－1)bn－1，当 b＝2 时，an＝ 2n－1，所以 bn＝4×n＋2n1－1＝n2＋n＋11 .
Tn＝222＋233＋244＋…＋n2＋n＋11 ， 12Tn＝223＋234＋…＋2nn＋1＋n2＋n＋12 ，
两
式
相
减
，
得
1 2
Tn
＝
2 22
＋
1 23
第四节 数列求和与数列的综合应用
考点
考纲要求
考查角度
等差数列 前n项和公 式
掌握等差数列前nHale Waihona Puke Baidu 和公式
求等差数列的前n项 和
等比数列 前n项和公 式
掌握等比数列前n项 和公式
求等比数列的前n项 和
数列的综 合应用
通过构造等差、等比 等差、等比数列与 数列的模型，运用数 其他知识的综合应 列的知识解决问题 用
3．数列的实际应用问题 (1)解答数列应用题的基本步骤． ①审题：仔细阅读材料，认真理解题意． ②建模：将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题．分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项 还是求前 n 项和．
③求解：求出该问题的数学解． ④还原：将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤如下框图：
[变式 2] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n ∈N*，点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b>0，且 b≠1，b，r 均为常 数)的图象上．
(1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝n4＋an1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于 b>0，且 b≠1， 所以当 n≥2 时，{an}是以 b 为公比的等比数列． 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， aa21＝b，即bbb＋－r1＝b，解得 r＝－1.
特别提醒：变化率呈复制“Mt＝M0(1＋p)t”形式的应用问题 常转化为指数模型或对数模型的数列问题求解．
(2)与几何问题相关的应用题需从问题实际出发，构造一个 几何模型，结合几何性质转化为数列求解．
归纳拓展：数列实际应用问题的常见模型有①等差模型；② 等比模型；③混合模型；④生长模型；⑤递推模型．用数列知识 解相关的实际问题，关键是弄清所构造的数列的首项是什么，项 数是多少，然后结合数列相关知识求解．
和可尝试此
方法，事
实上，
1＝ anan＋1
d＝ danan＋1
[方法·规律] 数列求和中错位相减法的应用技巧 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公比 q≠1)，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． (2)用乘公比错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 更值得注意． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错 项”对齐，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用等比数列求和公式时必须要注意公比 q 是否为 1， 从而选取恰当的表达方式．
题型一 分组转化法求和 【例 1】 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2 ＝2(a11＋a12)，a3＋a4＋a5＝64(a13＋a14＋a15)． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝(an＋a1n)2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
[解] (1)设公比为 q，则 an＝a1qn－1，且 q>0，a1>0. 由已知有aa11＋ q2＋a1qa1＝q32＋a1a1＋ 1q4a＝11q6， 4a11q2＋a11q3＋a11q4， 化简得aa2121qq＝ 6＝26，4. 又 a1>0，故 q＝2，a1＝1.所以 an＝2n－1.
(2)由(1)知 bn＝(an＋a1n)2 ＝a2n＋a1n2＋2＝4n－1＋4n1－1＋2. 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋14＋…＋4n1－1)＋2n＝44n－－11
＋11－－4114n＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1. [方法·规律] 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋ 2n)＝n2＋23n－1＋211－－22n＝12n(3n＋1)＋2n＋1－2.
题型二 错位相减法求和
【例 2】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，点(n，Sn)在曲线 f(x) ＝x2－4x(x∈N*)上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝(an＋5)·2n－1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的值． [解] (1)由点(n，Sn)在曲线 f(x)＝x2－4x(x∈N*)上知 Sn＝n2 －4n， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n －5； 当 n＝1 时，a1＝S1＝－3，满足上式． ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－5.