线性系统的运动分析

第二章线性系统的运动分析1. 线性定常系统的运动1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u ＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。

齐次状态方程:),(B A ∑0=u ()())t (x |)t (x ,t Ax t x0t t 0=== x2）强迫运动：线性定常系统在u(t)控制作用下的运动，称为强迫运动。

)t (x |)t (x ,Bu Ax x0t t 0=+== 非齐次状态方程：),(B A ∑ux第一节状态方程的齐次解（自由解）2. 齐次状态方程的解()()t Ax t x= 满足初始状态的解是：)0(x |)t (x 0t ==0t ,)0(x e )t (x At≥=满足初始状态的解是：00)t t (A t t ,)t (x e)t (x 0≥=-)t (x |)t (x 0tt 0==证明：齐次状态方程：()()t Ax t x= 初始状态为：)0(x |)t (x 0t ==()()0x e t x At=故可得：[][]11At1s A s As1At2!2A At)A sI (L e )A sI (eL t At I e3222----=-=+++=+++=仿标量系统得：)()0()(s AX x s sX =-拉氏变换得：)0()()(1x A sI s X --=)0(])[()(11x A sI L t x ---=拉氏反变换得：)t (x e)t (x 0)t t (A 0-=初始状态为：)t (x |)t (x 0t t 0==第二节状态转移矩阵一. 状态转移矩阵的含义线性定常系统的齐次状态方程Ax x= 满足初始状态的解是：)0(|)(0x t x t ==)0()(x e t x At=满足初始状态的解是：)()(0)(0t x et x t t A -=)(|)(00t x t x t t ==已知：线性定常系统的状态转移矩阵⎪⎩⎪⎨⎧-==-)()(0)(0t t et e t t A AtΦΦ令：则有：⎩⎨⎧-==)()()()0()()(00t x t t t x x t t x ΦΦ说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：)()(00t t A t t -=-ΦΦ 1）状态转移矩阵初始条件：It t =-)(00Φ2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2:对线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。

说明3:状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。

)0(x )(1t x )0(1-t Φ)(2t x )(12t t -Φt1x 2x 01t 2t ⎪⎩⎪⎨⎧-==-)()(0)(0t t et e t t A At ΦΦ二. 状态转移矩阵的基本性质1. 不发生时间推移下的不变性IeeA t t A ==-0)(证明：状态转移矩阵定义中，令t ＝0即可得证2. 传递性（组合性）()()()202110t t t t t t -=--ΦΦΦ()()()2200t t t t =-x Φx ()()()1100t t t t =-x Φx ()()()()()()221121100t t t t t t t t t =-=--x Φx ΦΦx 证：由于又故上式成立，意为t 0至t 2 的状态转移过程可分解为t 0至t 1及t 1 至t 2 的分段转移过程。

⎪⎩⎪⎨⎧-==-)()(0)(0t t et e t t A At ΦΦ总是非奇异的，必有逆存在，且AtAt e e --=1)(AteIe ee t eee 0A AtAt)t (A A At==⋅-=τ=⋅⋅-τ+τ，有，令 ∴A t1A t e)e (--=∴证明：4. 分解性设A 为n ×n 维矩阵，t 1 和t 2 为两个独立自变量，则有：2121)(At At t t A eee=+3. 可逆性5．倍时性6. 微分性和交换性对有：AteA e Ae e dtd At At At==)(证明：()[]()()()kt ee t kt A kAt kΦ===Φ()[]()kt t kΦ=Φ证明：()()[]()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λ-λ-λ-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λ-λ-λ-=--==Φ----n 211n 21111Ats 10s 10s 1s 0s 0s A sI A sI Let()12n ttt e0eΦt 0e λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()112212121112211!1!21!1!21!1!211-∧--------∧=⎪⎭⎫⎝⎛+∧++∧+∧+=+∧++∧+∧+I=+∧++∧+∧+== =Φ-T TeTtkttI TtTTktTTtTTT TtTTktTTtTT Ie ettkkkkkktTTAt证明：1. 由定义计算例：已知求解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A Ate++++=3322!31!21t A t A At I e At⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=220!21001001t tt t +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+00!3133t t++++=3322A tt A !31t A !21At I e2. 标准型法求解思路：根据状态转移矩阵性质：对A 进行非奇异线性变换，得到：TT1A A -=联立上两式，得到：1TT -=t A At e e 有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵A 1T T TT 1--=tA At ee11T00T T T 1--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==t tt A At n e e e e λλ （1）当A 的特征值相异时：对角标准型n λλλ,,,21 求状态转移矩阵的步骤：1）先求得A 阵的特征值。

2）求对应于的特征向量，并得到T 及T -1。

3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。

i λi λi p Tp 0p )(0)det(→→=-→→=-→i i i i A I A I A λλλ即：（2）A 有n 重特征根：约当标准型λ1tt t 1n tt1t A AtTe 00tee t )!1n (1tee T T e T e-λλλ-λλ-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==的矩阵指数函数约当矩阵A 求矩阵指数函数的步骤：和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵T 。

说明：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。

根据状态转移矩阵的性质，求得。

i λt A e()()()Aa A a Aa Aa Ia A a A a a Ia Aa Aa A AA AI a Aa A a A 0212n 3n 1n 2n A 02n 2n 1n 1n 1n 02n 2n 1n 1n n1n 02n 2n 1n 1n n n++++------=----==∴----=∴-------------+---- （1）凯利－哈密顿（简称C-H ）定理应用：||)(0111=++++=-=--a a a A I f n n n λλλλλ 0)(0111=++++=--I a A a Aa A A f n n n设n ×n 维矩阵A 的特征方程为：则矩阵A 满足其自身的特征方程，即：3.待定系数法(Cayley —Hamilton 定理法)--------将化为A 的有限项多项式来求解At e1n 1n 101n 0i ii AtA)t (A )t (I )t (A )t (e ---=α++α+α=α=∑ 1) A 有互异的特征根时n λλ,,1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλλλλλλ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααλλλ-----t t t11n n 2nn1n 22221n 12111n 10n 21e e e 111)t ()t ()t (注意求逆（2）的计算公式()t i α推导：t1n i1n i 10i e)t (a )t (a )t (a λ--=λ++λ+∴ 0||)(0111=++++=-=--a a a A I f n n n λλλλλ 0)(0111=++++=--I a A a A a A A f n n n 矩阵A 满足其自身的特征方程，即：()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλ-λλ--λ-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααλλλλ-λ------tt t 2t 2n t 1n 11n 12112n 113n 111n 1011111e te e t !21e t !2n 1e t !1n 111n 210!22n 1n 1001n 0001000)t ()t ()t (2) A 有n 重特征值λ1时注意求逆t1n 11n 1101e)t (a )t (a )t (a λ--=λ++λ+ 推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求λ1偏导n-1次，得到其余n-1个方程说明：记住上式!特征值互异，对每个特征值，直接列方程；对m重特征值，求m-1次导数，补充m-1个方程。

联立方程可求出系数。

⎰-+-=tt d Bu t t x t t t x 0)()()()()(00τττΦΦ若线性定常系统的非齐次状态方程的解存在，则解形式如下：一、线性系统的运动规律)(,0t x Bu Ax x初始状态为+= ⎰ττ+=τ--tt )t (A 0)t t (A 00d )(Bu e)t (x e)t (x 第三节线性系统的运动分析自由运动由初始状态引起强制运动由控制作用引起证明:1）先把状态方程写成Bu Ax x += Bu Ax x =- ⎰⎰⎰⎰-+-=+==-=-------tt t t t A t t A tt A At Attt A t t A d Bu t t x t t d Bu et x et x d Bu et x et x ed Bu ex e 000)()()()()()()()()()()()(00)(0)(0τττΦΦτττττττττττ3）对上式在区间内进行积分，得:[]t t ,0[][]Buex e Ax xeAtAtdtdAt---==- 2）两边左乘，利用的性质Ate-AteA e Ae e dtd AtAt At ==)(三. 连续时间系统的离散化模型⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x离散化模型为：⎩⎨⎧+=+=+)k (Du )k (Cx )k (y )k (Hu )k (Gx )1k (x 其中：B dt e B dt )t (H e)T (G T0At T 0AT⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ==Φ=⎰⎰线性定常系统：⎰τττ-Φ+-Φ=tt 000d )(Bu )t ()t (x )t t ()t (x 推导过程：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化设代入上式中得到：T k t kT t )1(,0+==例2-10：建立下列连续时间系统当采样周期为T 时的离散化模型。