人教版中考数学专题课件：圆的有关性质
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中考数学复习课件 第六章第19讲 圆的有关性质
(2)过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在 DE的左侧，如图2.若AB＝ ，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE 的大小．
解题要领：①把握问题中关键点，如 弧的中点、弦的中点、直径、垂直以 及60°角等；②求线段长度时，常常 用到垂径定理，灵活运用锐角三角函 数、相似三角形求解．
优弧 大于半圆的弧
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
同心圆 与等圆
同心圆 有公共圆心的圆叫做同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆
圆心角 顶点在② 圆心 的角叫做圆心角
圆周角 顶点在③ 圆 上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
外心 三角形三条边的垂直平分线的交点，是三角形外接圆 的圆心，也叫做三角形的外心
类型
圆心角、圆周角的关系
3．[2018·苏州]如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上
的点，D是
上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为( B )
B．110° D．130°
A．100° C．120°
4．[2018·菏泽]如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则 ∠OBA的度数是( D ) A．64° C．32° B．58° D．26°
类型
垂径定理 )
1．[2018·枣庄]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2 ，BP＝6, ∠APC＝30°，则CD的长为(C
2．[2018·临安区]如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半 径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝( A )
解题要领：①出现垂直于直径的弦(条件是线段可延长变为弦)，考虑垂径定理；② 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，是根据圆的性质计算时的重要辅助线；③充 分利用弧或弦的中点这个条件，往往连接圆心；④特别注意无图的计算题，要注意 分类讨论，不可遗漏其他的情况．
2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)高品质版
∠BAC=40°，则
∠BOC=_8_0_°
5.如图，已知⊙O中，弧AD= D
O
弧BC，∠DCA=30°
则∠BAC= __3_0_°___.
若⊙O的直径AB=4，则
C
B
AD=___2____.
点与圆的 位置关系
O C
A B
点A在圆上 点B在圆外 点C在圆内
d ＝r d＞r d＜r
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数 ）个，经过A、B两
点的圆（ 无数 ）个，若AB=6则经过A、B两点的
圆的半径r的取 值范围是（ R≥3
）
（2）经过三角形的三个顶点有且只有（ 一） 个
圆 ，若AB=3，AC=5，BC=4则三角形的外接圆的
圆心在（ AC的中点 ），半径是（ 2.5 ）。
直线与圆 相交
PA=PB ∠APO= ∠BPO ∠AOP= ∠BOP
圆与圆的 位置关系
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r 10.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm， 两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
4.如图，在⊙O中，若已知
课件人教版九年级数学上册课件24.1圆的有关性质精品课件ppt.ppt
A
课件
O B
活动一：复习导入
垂径定理
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课件
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O
▪ 的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
▪
则CD4=15
cm
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
课件
活动四：顺利闯二关
▪ 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
▪ ①请画出图形
▪ ②根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 7cm或1cm
▪
(2)你能直接写出此题的答案么：
O
B
A
课件
D
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上结A O
B
论是否仍成立？
课件
D
思 1.图中有哪些相等的量？
?
考 2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时， C 以上结论是否仍成立？
4.当弦AB与直径 CD不垂直时,以 A
课件
思考： 1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？
C B
O
九年级数学上第章圆圆的有关性质圆课件 【人教版】PPT实用课件
思考：
①“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？ 直径是圆中最长的弦吗？
②“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？ ③面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两 个圆呢？
【针对训练】
D
D
0<d≤4
探究点二 运用“圆的半径相等”解决问题
C
【针对训练】
A
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
A
等边三角形
•
9.使用了举例论证，以人们对待周六 观点这 个电视 栏目的 态度为 例，具 体有力 的论证 了关于 评论的 影响力:评论是 否有效 取决于 其具体 内容， 评论也 绝不是 简单的 对与错 的问题 。为下 文引出 中心论 点作铺 垫。
•
10．培根是英国文艺复兴时期最重要 的散文 家、哲 学家之 一。从 他的散 文中我 们可以 感受到 文艺复 兴时期 的思想 者如何 在旧的 社会结 构和思 想体系 日趋瓦 解之际 ，致力 于探讨 并树立 新的信 念、规 范和道 德。
r
A E
1.圆上各点到定点（圆心O）的距 离都等于定长（半径r）
2.到定点（圆心O）的距离都等于定
D
长（半径r）的点都在同一个圆上。
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点的距 离等于定长r的点的集合。
我国古人ห้องสมุดไป่ตู้早对圆就有这样的认识了，战国时的 《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的 意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．
心，线段OA叫做半径.
圆的确定
O●
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和__半__径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙ O”.
A ·r O
九年级总复习之圆的有关性质PPT课件
C
角对着n°的弧。
D 圆心角的度
n°圆心角 数和它所对
O
A 1°弧 的弧的度数
1°圆心角 B
相等。
9
在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、两条弦、
两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分
别相等
A
C
O
B
C' A'
B'
10
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦的 垂线段，这是一条非 常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、 半径、弦长构成直角 三角形，便将问题转 化为直角三角形的问 题。
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离24.
一、圆的切线：
∵直线l是⊙O的切线
∴圆心O到直线l 的距
O ●
离等于半径
┐l
A
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
2、性质：圆的切线垂直于 经过切点的半径。
C
·O
E
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧．
6
Ｃ
Ｅ
垂径定理：
Ｏ
Ａ
M Ｂ由 ① CD是直径
可推得
③AM=BM,
⌒⌒
Ｄ
② CD⊥AB
④AC=BC,
⌒⌒
⑤AD=BD.
垂径定理推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
14
点与圆的位置关系
人教版数学9年级上24.1圆的有关性质(共31张PPT)
垂径定理及其推论的推导
垂径定理及逆定理
① CD是直径
,④A⌒C=B⌒C,
②⑤AC⌒DD=⊥B⌒DA.B, ③ AM=BM,
C
A M└
B
●O
D
垂径定理及其推论的推导
条件 结论
命
题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
针对训练
2.判断：平分弦的直径垂直于弦（× ） 3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，只要 再添加一个条件Ａ__Ｂ_⊥__Ｃ__Ｄ_就可以得到E是CD的中点。
垂径定理的应用
例1.你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳也智慧的结晶。 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
【思考】：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析 已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么 辅助线？它有何作用？
垂径定理的应用
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需作“垂直
于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作一条
与弦垂直的线段即可，这样，把垂径定理和勾股定理结合起
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。21.8.418:03:3018:03Aug-214-Aug-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。18:03:3018:03:3018:03Wednesday, August 04, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。21.8.421.8.418:03:3018:03:30August 4, 2021
人教版数学中考复习：圆的有关性质(共17张PPT)
(C ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°
2、（2019 聊城）如图，四边形 ABCD 内接于
︵
︵︵
⊙O，F 是CD上一点，且DF＝BC，连结
CF 并延长，交 AD 的延长线于点 E，连
结 AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则
∠E 的度数为
(B)
A. 45°
B. 50°
2、P是⊙O外一点,PA、PB分别交⊙O于C. D两点,已知弧AB、
弧CD的度数别为88∘、32∘,则∠P的度数为( B)
A. 26∘ B. 28∘ C. 30∘ D. 32∘
考点二 垂径定理
1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称 轴．圆的对称轴有无数条．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的弧．
变式： C
考点三 圆周角定理及其推论
1．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫作圆周角． 2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
度数的一半． 3．圆周角定理的推论：
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径．
(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等．
考点五 圆内接四边形
1．如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外 接圆．
2．圆内接四边形的对角互补．
要判定一个四边形是否为圆的内接四边形，关键是看 这个四边形的对角是否互补．
特别关注 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角.
1、 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O.若四 边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为
A．40°
2、（2019 聊城）如图，四边形 ABCD 内接于
︵
︵︵
⊙O，F 是CD上一点，且DF＝BC，连结
CF 并延长，交 AD 的延长线于点 E，连
结 AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则
∠E 的度数为
(B)
A. 45°
B. 50°
2、P是⊙O外一点,PA、PB分别交⊙O于C. D两点,已知弧AB、
弧CD的度数别为88∘、32∘,则∠P的度数为( B)
A. 26∘ B. 28∘ C. 30∘ D. 32∘
考点二 垂径定理
1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称 轴．圆的对称轴有无数条．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的弧．
变式： C
考点三 圆周角定理及其推论
1．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫作圆周角． 2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
度数的一半． 3．圆周角定理的推论：
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径．
(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等．
考点五 圆内接四边形
1．如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外 接圆．
2．圆内接四边形的对角互补．
要判定一个四边形是否为圆的内接四边形，关键是看 这个四边形的对角是否互补．
特别关注 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角.
1、 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O.若四 边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为
A．40°
人教版九年级数学上册《圆的有关性质》PPT课件PPT
弦
与圆有关的概念
（1）连接圆上任意两点的线段（如图
线段AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
直径是圆中最长的弦。
人 教 版 九 年 级数学 上册 2 4.1《 圆的有 关性质 》(第1 课时)P PT课件
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人 教 版 九 年 级数学 上册 2 4.1《 圆的有 关性质 》(第1 课时)P PT课件
1．阅读材料 引入新知
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约 在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮 子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木 架上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给 出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心， 圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几 里得给圆下的定义要早很多年．
O●
A⌒BC
A⌒CB
B⌒CAC
A
它们一样么？
C
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
优弧有： A⌒CB B⌒AC B⌒CA
B
O
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（必须用三个字母表示，
⌒ 如图中的 ABC ）叫做优弧.
AB与ACB都是弦AB
与圆有关的概念
（1）连接圆上任意两点的线段（如图
线段AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
直径是圆中最长的弦。
人 教 版 九 年 级数学 上册 2 4.1《 圆的有 关性质 》(第1 课时)P PT课件
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1．阅读材料 引入新知
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约 在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮 子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木 架上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给 出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心， 圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几 里得给圆下的定义要早很多年．
O●
A⌒BC
A⌒CB
B⌒CAC
A
它们一样么？
C
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
优弧有： A⌒CB B⌒AC B⌒CA
B
O
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（必须用三个字母表示，
⌒ 如图中的 ABC ）叫做优弧.
AB与ACB都是弦AB
初三数学最新课件-圆的有关性质 精品
圆的定义（集合观点）
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？
你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
•你还能列举出有着相 类似正反两方面关系 的其它数学知识吗？ •由此，你体会到数学 为什么叫做思维的体 操了吧！
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
三角形叫做圆的内接三角形。
A AA
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
B
OOO C
B B
问在题三角2：形三内角吗形？的外心一定▲▲AABAB∠CCC是是＝钝锐9角0角°三三O角角形形
B
判断题
1、经过三个点一定可以作圆。
2、任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个 外接圆。
Exercises about Circle
证明四点共圆
求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心 的同一个圆上。
求证：菱形各边的中点在同一个圆上。
判断点与圆的位置关系
已知☉O的半径r＝5cm，A为线段OP的中点， 当OP＝6cm时，点A在内☉O ；当OP＝10cm 时，点A上在☉O ；当OP＝14cm时，点A外在 ☉O 。
弦和直径
与园有关的概念
什么是弦？什么是直径？
直径是弦吗？弦是直径吗？
弧与半圆
什么是圆弧（弧）？怎样表示？
弧分成哪几类？
半圆是弧吗？弧是半圆吗？
弓形是什么？
同心圆、同圆、等圆和等弧
怎样的两个圆叫同心圆？
怎样的两个圆叫等圆？
同圆和等圆有什么性质？
什么叫等弧？
最新人教版初中数学九年级上册《24.1.1 圆》精品教学课件
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知
(
(
( (
( ( (( ((
素养考点 1 圆的有关概念的识别 例1 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD, AC, AE.
D
B
优弧：AFE,AFC, ADE, ADC.
F
O
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两 三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形.
探究新知
知识点 2 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
探究新知
素养考点 2 圆的有关概念的应用
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 4 5 .
A
D
Ⅱ
2x 10 ？
M
xB O
C
N
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知
(
(
( (
( ( (( ((
素养考点 1 圆的有关概念的识别 例1 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD, AC, AE.
D
B
优弧：AFE,AFC, ADE, ADC.
F
O
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两 三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 解：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,
∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形.
探究新知
知识点 2 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
探究新知
素养考点 2 圆的有关概念的应用
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D
在半圆上，顶点B、C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 4 5 .
A
D
Ⅱ
2x 10 ？
M
xB O
C
N
图4
连OA,OD即可，
同圆的半径相等.
解：（1）连接OA，OD， 证明Rt∆ABO≌Rt∆DCO.
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
初三数学上册《圆的有关性质》PPT课件
2. 学高为师，身正为范。不但要有崇高的师德，还要有深厚而扎实的专业知识。要 做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研 学习，加强对教材的驾御能力才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高 的威信。因此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他人之长 来补己之短，才能使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才能以己为范，引导学生保 持对知识的惊异与敏锐。
从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的 距离等于定长r 的点的集合．
圆的两种定义
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
5 5m 5
4m
【解析】
A
5m
B C
4m
2.如图,半径有:__O_A__、__O_B__、__O_C_.
A
若∠AOB=90°，
则△AOB是_等__腰__直角 三角形.
O●
B
3.如图,弦有:_A__B_、__B_C__、A__C.
C
(2、3题图)
归纳：在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦.
4.如图,弧有:___A__B___B__C__, _A_C
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
圆的世界
一石激起千层浪
乐在其中
二、 先学环节 教师释疑
一、圆的概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做 圆心
r
线段OA叫做半径
从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的 距离等于定长r 的点的集合．
圆的两种定义
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
5 5m 5
4m
【解析】
A
5m
B C
4m
2.如图,半径有:__O_A__、__O_B__、__O_C_.
A
若∠AOB=90°，
则△AOB是_等__腰__直角 三角形.
O●
B
3.如图,弦有:_A__B_、__B_C__、A__C.
C
(2、3题图)
归纳：在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦.
4.如图,弧有:___A__B___B__C__, _A_C
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
圆的世界
一石激起千层浪
乐在其中
二、 先学环节 教师释疑
一、圆的概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做 圆心
r
线段OA叫做半径
圆的有关性质ppt课件
7.1.4 圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. （2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对 的弦是直径.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
【例1】如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，
位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
（3）正多边形的有关计算：
①边长：an=2Rn·sin180°/n
②周长：Pn=n·an
③边心距：rn=Rn·cos180°/n
④面积：Sn=
1 2
an·rn·n
⑤内角：n 2180
n
⑥外角：360
n
⑦中心角： 36n0（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）
7.3.2 圆的周长与弧长公式
人教版九年级数学上册第24章圆课件 (共31张PPT)
∴CF= 12．在Rt△COF中，OF= OC2 CF2 ，
24 12 5 ∴EF=EO+OF= ，∴ CE EF2 CF2 . 5 5
9 5
5
【例4】如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一 点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延 长线于点E，则∠E等于( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
C
．
．
A．
点与圆的位置关 系
d与r的关系
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角， 叫做圆周角.
性质: 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半。
D E
O A
1 ADB=∠ ACB = ∠ AEB= AOB 2 在同圆或等圆中，相等的圆周角 C 所对的弧相等 推论： 半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 B 对的弦是直径
【分析】如图所示，连接OC, ∵∠BOC与∠CDB是弧BC 所对的圆心角与圆周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°， 又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°, 则 ∠E=90°﹣40°=50°
中考数学复习20：圆的有关性质(共27张PPT)
12．（2013广东佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则 圆心到这条弦的距离是（ C ） A．3 B．4 C． 5 D． 7 13 ．（ 2013 湖北黄冈）如图， M 是 CD 的中点， EM ⊥ CD ，若 CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为_____________．
14 ．（ 2013 山东济南）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点 ，AB＝10，AC＝6，垂足为D，则BD的长为（ C ） A．2 B．3 C．4 D．6 15．（2013四川乐山）如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的 ⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P(0，－7)的直线l与⊙B相 交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有（ C ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
7．（2013安徽）如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中， 不正确的是（ C ） A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
8．（2013福建莆田）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，则 ∠OBC的度数为（ A ） A．40° B． 50° C．80° D． 100° 9．（2013山东莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则 ∠C的度数为（ D ） A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D．
【思维模式】求过圆内一点最短弦长的方法是先过该点作圆的 直径，然后过该点作垂直于直径的弦，构造出垂径定理模型．
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不在同一直线的三个点确定一个圆
垂直平分线 的交点，即三角形外 三角形三边______________
接圆的圆心. 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形
位置 的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部.
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圆的有关性质
考点3
圆的基 垂径 定理
垂径定理及其推论
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 直角 三角形. 这个三角形是________
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圆的有关性质
考点6
圆内接四边形
概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
对角互补 ，并且一个外角等于它的 圆内接四边形的 ____________ 内对角 ____________.
本题没有明确谁是直角边和斜边， 因此要分类讨论， 容易出 现漏解的情况．
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圆的有关性质
探究二 垂径定理及其推论
命题角度： 1．垂径定理的应用； 2．垂径定理的推论的应用．
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圆的有关性质
例 2 [2013· 广安] 如图 23－1， 已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直， 垂足为点 C， 若 AB＝8 cm， CD＝3 cm，则圆 O 的半径为( A ) 25 A. cm B．5 cm 6 19 C．4 cm D. cm 图 26－3 6 1 连接 OA， 由垂径定理， 得 AC＝ AB＝4 cm ， 解 析 2 设 OA＝x cm，则 OC＝(x－3)cm ，在直角三角形 OAC 中， 25 2 2 2 由勾股定理，得(x－3) ＋4 ＝x ，解得 x＝ ，故选 A. 6
命题角度： 1．确定圆的圆心、半径； 2．三角形的外接圆圆心的性质．
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圆的有关性质
例 1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为 16 和 12， 则此三角形的外接圆半径是__________ 10或8 ．
解 析 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么 半径为斜边的一半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接 圆半径为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12 时，则直角三角形的
在同圆或等圆 中，如果两个圆心角﹑两条弧或两 ．．．．． 推论 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量也分别相等.
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圆的有关性质
考点5 圆周角
圆上 ，并且两边____________ 都和圆相交 的角叫 顶点在________
定义 定理 推论 1 推论 2 推论 3
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圆的有关性质
垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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圆的有关性质
变式题 [2013· 潍坊] 如图 23－2，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的 长为( D )
做圆周角. 在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的________. 一半 在 同圆或 等圆中 ，同 弧或等 弧所对 的圆 周角
相等 ，相等的圆周角所对的弧________. 相等 ________
直角 ；90°的 半圆(或直径)所对的圆周角是________
直径 圆周角所对的弦是________.
斜边长＝ 162＋122＝20，因此，这个三角形的外接圆半径 为 10. 综上所述，这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10. 故答案为 10 或 8.
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圆的有关性质
1．过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段 的垂直平分线确定圆心即可， 没有必要作出第三条线段的垂直平 分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点． 2．直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
推论
一条弧． 对于①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径的弦)；④平分弦 所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他 的结论也成立
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圆的有关性质
考点4 圆心角、弧、弦之间的关系
弧 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的________ ．．．．． 定理 弦 相等. 相等，所对的________
直径是圆中最长的弦． 圆上任意两点间的部分叫做弧．
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圆的有关性质
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条 半圆 弧都叫半圆． 1. 大于半圆的弧叫做优弧； 2. 小于半圆的弧叫做劣弧.
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圆的有关性质
考点2
确定圆的条件及相关概念
确定圆的条件 定义 三角形 的外心
中心 对称图形， 圆既是一个轴对称图形又是一个________ 圆还具有旋转
本性质 不变性.
平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径________
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另
性质
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圆的有关性质
考点7 反证法
(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相 反的假设； 步骤 (2)从假设的结论出发，推出矛盾； (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命 题的结论正确.
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圆的有关性质
皖 考 探 究
探究一 确定圆的条件
圆的有关性质
考 点 聚 焦
考点1
圆 的 定 义 定义 2 弦 直径 弧
圆的有关概念
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋
定义 1 转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的 端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
线段 叫做弦. 连接圆上任意两点的_______ 圆心 的弦叫做直径. 经过________