有限元课件06

0 0 0
3 EI y 2a
3
0 0 0
3 EI y 2 a2
0
3 EI z 2 a3
sy.
0
2 EI y a
局部坐标系中的方程
0 0 0 35 0 0 0 0 0 70 0 0 78 0 0 0 22a 0 27 0 0 0 13a 78 0 22a 0 0 0 27 0 13a 0 2 2 70rx 0 0 0 0 0 35rx 0 0 8a 2 0 0 0 13a 0 6a 2 0 Aa 8a 2 0 13a 0 0 0 6a 2 me 70 0 0 0 0 0 105 78 0 0 0 22a 78 0 22a 0 sy. 70rx2 0 0 8a 2 0 8a 2
0 3 EI z 2 a 2 d 2 v1 EI z d 3 z1 a 0 32EI2z d5 v2 a 2 EI z d6 z 2 a
k beam e
sy.
局部坐标系中的方程
AE 2a truss ke 0 0 0 0 0 sy.
sy.
0 3 EI z 2 a2 EI z a 0 32EI2z a 2 EI z a

AE 2a ke
0
3 EI z 2a
3
0
3 EI z 2a 2 EI z a
2

AE 2a
0 32EI3z a 32EI2z a 0
AE 2a
0 0
AE 2a
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+
k beam e
0
0
3 EI z 2a
3
0
3 EI z 2a 2 EI z a
2
0
0
0 32EI3z a 0 32EI2z a 0 0
3 EI z 2 a3
Y j Yi
le ( X j X i )2 (Y j Yi )2
(单元长度)
空间刚架有限元方程
最终得到
K e T k eT
T
Me T meT
T
Fe T f e
T
l x l y 0 T 0 0 0
mx my 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 mx my 0
0 lx 0 ly 0 0
0 0 0 0 0 1
空间刚架有限元方程

考虑任一空间刚架单元
v2
v1 节点1的位移分量 y1 1 节点2的位移分量
d1 u1 d v 2 1 d3 w1 d 4 x1 d5 y1 d 6 z 1 de d 7 u2 d8 v2 d9 w2 d 10 x 2 d11 y 2 d 12 z 2
le
v1 global node 整体节点 i i local node 局部节点 1 1 D3i 0 D3i-1 u1
global node 整体节点 j j local node 局部节点 22 D2j D3i -2 2a
z1

l y cos( y, X ) cos(90 ) sin my cos( y, Y ) cos X j Xi le

平面刚架的有限元方程

考虑任一平面刚架单元
d1 u1 d v 2 1 d d e 3 z1 d 4 u2 d5 v2 d 6 z 2 diplacement components at node 1 节点1的位移分量 diplacement components at node 2 节点2的位移分量 Y, V
d1 u1 d v 2 1 d d e 3 z1 d 4 u2 d5 v2 d 6 z 2
桁架 梁
由桁架单元，
d1 u1 AE 2a 0 0 0 0 sy. d 4 u2 0 AE 2a 0 0

力向量也作同样处理，
f x a f sx1 f a f sy1 y f y a2 m s1 fe 3 f x a f sx 2 f y a f sy 2 f y a2 3 ms 2
整体坐标系中的方程
第6章 刚架的有限元法
内容




引言 平面刚架的有限元方程 – 局部坐标系中的方程 – 整体坐标系中的方程 空间刚架有限元方程 – 局部坐标系中的方程 – 整体坐标系中的方程 实例研究 评述
引言


刚架构件承受轴向和横向载荷。
可承受轴向力、横向力和力矩。 刚架单元用于分析平面（2D刚架）和 空间（3D刚架）骨架类系统。 在大多数商业软件中一般被称为梁单元 或一般梁单元。
T3 0 , T0 0
0 T3 0 0
0 0 T3 0
0 0 0 T3
l x T3 l y l z
mx my mz
nx ny nz
整体坐标系中的方程
T3中的方向余弦
l x l T3 y l z
mx my mz
nx ny nz
lx cos( x, X ), mx cos( x, Y ), nx cos( x, Z ) l y cos( y, X ), my cos( y, Y ), n y cos( y, Z ) lz cos( z , X ), mz cos( z , Y ), nz cos( z , Z )
l=2a
d 2 (v1 ) d3 ( z1 ) d5 (v2 ) d 6 ( z 2 ) 0 0
3 EI z 2 a3
0
3 EI z 2 a2 2 EI z a
0 0 0 32EI3z a 0 32EI2z a 0 0
3 EI z 2 a3
0 0 0 0 0 1
整体坐标系中的方程
Y y x v2 D3j - 1 u2 D3j -2 x
z2
X D3j
T中的方向余弦:
lx cos( x, X ) cos mx cos( x, Y ) sin

o

X j Xi le Y j Yi le
3 EI z 2 a3
0 0
AE 2a
sy.
0 3 EI z 2a2 EI z a 0 32EI2z a 2 EI z a
局部坐标系中的方程

对质量矩阵作类似处理
0 35 0 0 70 0 78 22a 0 27 13a 2 2 8a 0 13a 6a Aa me 70 0 0 105 sy. 78 22a 8a 2
v1 global node i 局部节点 1 local node 1
整体节点 i
D3i-1
u1
z1
D3i -2
D2j 2a
D3i 0
l x l y 0 T , 0 0 0
mx my 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 mx my 0
0 lx 0 ly 0 0
Z
整体坐标系中的方程

坐标变换
d e TD e
式中
D6 i 5 D 6i 4 D6 i 3 D6 i 2 D6i 1 D6 i De D6 j 5 D6 j 4 D6 j 3 D6 j 2 D6 j 1 D 6j
Ix 其中 r A
2 x
整体坐标系中的方程
D6j-4 D6j-1 d8 d11 d7 y D6i-4 D6i-1 d2 d5 d1 d4 1 d6 D6i X D6i-3 z d3 D6i-2 D6i-5 z 3 x D6j D6j-3 Y 2 d12 d10 d9 D6j-2 D6j-5
y x
0 0
3 EI y 2 a2
u2
AE 2a
v2 0
3 EI z 2 a3
w2 0 0
3 EI y 2 a3
x2
0 0 0
GJ 2a
y2
0 0
3 EI y 2 a2
z2
0 3 EI z 2 a2 0 0 0 EI z a 0 3 EI z 2 a2 0 0 0 2 EI z a

坐标变换 与桁架类似
Y y x
v2
D3j - 1
u2 D3j -2
x
z2
X D3j
o

d e TD e
其中
D3i 2 D 3i 1 D3i De D3 j 2 D3 j 1 D3 j
整体节点 j global node j local node 2 局部节点 2
y2
2
u2
x2
w2
z2
w1
u1
y x