【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(六十六)离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 新人教A版
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》理 新人教B版
[第64讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1设Y ＝2X ＋A.73B ．4C ．－1D ．12．[2013·潍坊模拟] 设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.802433．[2013·蚌埠质检] 若ξ～N (－2，σ2)，且P (－4<ξ<－2)＝0.3，则P (ξ>0)的值为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．[2013·郑州检测的概率分布列如下表：3请小牛同学计算ξ糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E ξ＝________．能力提升 5．[2013·西安远东一中月考] 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4006．某个数学兴趣小组有女同学3名，男同学2名，现从这个数学兴趣小组中任选3名同学参加数学竞赛，记X 为参加数学竞赛的男同学与女同学的人数之差，则X 的数学期望为( )A ．－35 B.25C.35 D ．－25 7．[2013·临沂二模] 某校在模块考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600 8．[2013·赣州质检] 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.169．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.610．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为________分．11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X ，则X 的方差D (X )＝________．12．[2013·宁波一模] 已知某随机变量ξ的概率分布列如下表，其中x >0，y >0，随机变量ξ的方差D ξ＝12，则x ＋y ＝________.1若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．14．(10分)[2013·武汉武昌区调研] 某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全(2)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二(1)班的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．15．(13分)[2013·北京海淀区二模] 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择．(i)投资A且X1的数学期望E(X1)＝(ii)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0<p<1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)<E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．难点突破16．(12分)[2013·江苏卷] 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望Eξ.课时作业(六十四)【基础热身】1．A [解析] E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73，故选A.2．D [解析] ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴E (X )＝n 3＝2，即n ＝6， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243，故选D. 3．A [解析] 由随机变量ξ～N (－2，σ2)，则其正态密度曲线关于直线x ＝－2对称． ∵P (－4<ξ<－2)＝0.3，∴P (－2<ξ<0)＝P (－4<ξ<－2)＝0.3，∴P (ξ>0)＝12[1－P (－2<ξ<0)－P (－4<ξ<－2)]＝0.2，故选A.4．2 [解析] 设“？”处数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E ξ＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2.【能力提升】5．B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)， 所以E ξ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ， 则E (X )＝E (2ξ)＝2E ξ＝200，故选B.6．A [解析] X 的可能取值为－3，－1，1，P (X ＝－3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝－1)＝C 23C 12C 35＝610，P (X ＝1)＝C 13C 35＝310，所以E (X )＝(－3)×110＋(－1)×610＋1×310＝－35，故选A.7．A [解析] 由数学考试成绩ξ～N (90，a 2)，则其正态曲线关于直线x ＝90对称．又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，∴由对称性知，成绩在110分以上的人数约为总人数的121－35＝15，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有1 000×15＝200(人)，故选A.8．D [解析] 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，故选D.9．A [解析] X 的取值为6，9，12，相应的概率P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.10．15 [解析] 设面试时得分为随机变量ξ，由题意，ξ的取值可以是－15，0，15，30，则P (ξ＝－15)＝1－233＝127，P (ξ＝0)＝C 131－232·23＝29，P (ξ＝15)＝C 231－23·232＝49，P (ξ＝30)＝233＝827，∴E ξ＝－15×127＋0×29＋15×49＋30×827＝15.11．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看作8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，故D (X )＝8×12×12＝2. 12.34[解析] 由分布列性质，得2x ＋y ＝1，E ξ＝4x ＋2y ＝2. 又D ξ＝12，即D ξ＝(－1)2x ＋12·x ＝12，解得x ＝14，∴y ＝1－12＝12，故x ＋y ＝34.13．(0.1＋p )a [解析] 设要求投保人交x 元，公司的收益额ξ作为随机变量，则 P (ξ＝x )＝1－p ，P (ξ＝x －a )＝p ， ∴E ξ＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ， 即x －ap ＝0.1a ，解得x ＝(0.1＋p )a .14．解：(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29. (2)X 的所有可能取值为0，1，2.∵P (X ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (X ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (X ＝2)＝C 24C 218＝6153，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×153＋1×153＋2×153＝9.15．解：(1)由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0.4＋b ＝1，11a ＋12×0.4＋17b ＝12， 解得a ＝0.5，b ＝0.1，(2)X 2的可能取值为4.12，11.76，20.40.P (X 2＝4.12)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (X 2＝11.76)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (X 2＝20.40)＝p (1－p )． 所以X 2的分布列为(3)由(2)E (X 2)＝4.12p (1－p )＋11.76[p 2＋(1－p )2]＋20.40p (1－p )＝－p 2＋p ＋11.76. 因为E (X 1)<E (X 2)，所以12<－p 2＋p ＋11.76，解得0.4<p <0.6.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)． 【难点突破】16．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E ξ。
(名师伴你行)2014高考数学一轮复习课件 第十二章 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
5．正态分布 (1)正态分布的定义及表示： 若对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b) 21 ________________，则称X的分布为正态分布，记作 ＝ □ 22 ______________. □
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： 23 ______________； ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝□ 24 ____________； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝□ 25 ____________. ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝□
1 1 1 1 29 解析：由于Eξ＝1×4＋2×3＋3×6＋4×4＝12，所以Dξ
29 2 1 29 2 1 29 2 1 29 2 1 ＝ 1－12 × 4 ＋ 2－12 × 3 ＋ 3－12 × 6 ＋ 4－12 × 4 ＝
4．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义：
函数f(x)＝
13 □
____________________，x∈(－∞，＋
∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称f(x)的图像(如图)为 正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： 14 ______，与x轴不相交； ①曲线位于x轴□ 15 ________对称； ②曲线是单峰的，它关于直线□
179 144.
答案：C
2．已知X的分布列为 X P －1 1 2 0 1 3 ) 1 1 6
，设Y＝2X＋3，则EY的值为( 7 A.3 B．4 C．－1 D．1
1 1 1 解析：EX＝－2＋6＝－3， 2 7 EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－3＋3＝3.
答案：A
3．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图 1 －x－810 像，且f(x)＝ e ，则这个正态总体的平均数与标准 8π 差分别是( A．10与8 C．8与10 ) B．10与2 D．2与10
【创新设计】高考数学一轮复习 限时集训(六十六)离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 新人教A
限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2013·衡水模拟)若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－83．(2013·东营模拟)若P 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则E (ξ)的最大值为( A ．1 B.32 C.23D ．24．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35B.815C.1415D ．15．已知X 的分布列为，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，s 2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知随机变量x ～N (2，s 2)，若P (x <a )＝0.32，则P (a ≤x <4－a )＝________.8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.9．2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升．并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，s 2)．已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量，某游客计划在游园期间种植n 棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p (0<p <1)，用X 表示他所种植的树中成活的棵数，X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )．(1)若n ＝1，求D (X )的最大值； (2)已知E (X )＝3，标准差DX ＝32，试求n 与p 的值并写出X 的分布列． 11.(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．12．(2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位： mm)对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．答 案限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．B 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7．0.36 8.2 9.18010．解：(1)当n ＝1时，随机变量满足两点分布，D (X )＝p (1－p )＝－⎝⎛⎭⎪⎫p －122＋14即当p ＝12时，D (X )有最大值14，(2)∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 即np ＝3，np－p ＝32， 解得，n ＝4，p ＝34.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫34k·⎝ ⎛⎭⎪⎫144－k (k ＝0,1,2,3，4)，即X 的分布列为：11．解：(1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13， 故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－9102＝1100， P (ξ＝2)＝C 12×910×⎝⎛⎭⎪⎫1－910＝18100， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝81100. 所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×100＋4×100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (η＝3)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49， P (η＝6)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝29， P (η＝9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以η的分布列为：∴E (η)＝0×827＋3×9＋6×9＋9×27＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975. 12．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝1－0.3＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P X ＜900|X ≥300)＝P x ＜P X＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.。
2014高考数学一轮复习学案(八)离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础梳理离散型随机变量的均值与方差1.一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称 =ξE +11p x +22p x …n n p x +为ξ的均值或数学期望，简称期望．称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差DX 表示X 对EX 的平均偏离程度，DX 越大，表示平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示平均偏离程度越小，说明X 的取值越集中稳定。
正态分布：1．正态分布密度函数：2()2()x f x μσ--=，（σ＞0，-∞＜x ＜∞）其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E ξ，σ=D ξ。
正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。
（2）曲线关于直线x =μ对称。
（3）曲线在x =μ时位于最高点。
（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）,其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题5.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 6.对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分2N μσ（，）的随机变量X 只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称之为3σ原则。
2014高考数学全程特训11.6离散型随机变量的均值与方差
2014高考数学全程特训：第十一章 计数原理、随机变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差(理科专用)1. 已知随机变量X 的分布列如下表，那么a ＝________，E(X)＝________．答案：0.3 2.2解析：由0.1＋0.6＋a ＝1，得a ＝0.3，E(X)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.2. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后尚余子弹的数目X 的期望值为________．答案：2.376解析：X 的取值有33. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的期望E(ξ)＝________．答案：310解析：P(ξ＝0)＝A 19A 112＝34，P(ξ＝1)＝A 13A 19A 212＝944，P(ξ＝2)＝A 23A 19A 312＝9220，P(ξ＝3)＝A 33A 19A 412＝1220.∴ E(ξ)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310. 4. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．答案：2解析：根据离散型随机变量ξ的分布列知m ＝14.∴ E(ξ)＝－2×14＋0×12＋2×14＝0，V(ξ)＝(－2－0)2×14＋(0－0)2×12＋(2－0)2×14＝2. 5. 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望是________．答案：509解析：抛掷两个骰子至少有一个4点或5点的概率为P ＝1－4×46×6＝59(或用列举法求概率)，根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，∴ E(X)＝10×59＝509. 6. (改编)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则E(ξ)＝________．答案：43解析：随机变量ξ可能取的值为1、2.事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则P(ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝23.则ξ的分布列为E(ξ)＝1×23＋2×13＝43.7. 如果随机变量ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，且V(ξ)＝2，则p ＝________．答案：12解析：∵ ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，∴ np ＝4.∵ V(ξ)＝2，∴ np(1－p)＝2，∴ p ＝12. 8. 两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数Y 的数学期望E(Y)＝________．答案：23解析：当Y ＝0时，P(Y ＝0)＝2×23×3＝49；当Y ＝1时，P(Y ＝1)＝C 12C 1232＝49；当Y ＝2时，P(Y ＝2)＝132＝19，∴ E(Y)＝0×49＋1×49＋2×19＝23. 9. 甲、乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次．(1) 求甲至少击中1个气球的概率；(2) 求甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率；(3) 求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．解：(1) 甲至少击中1个气球的概率P 1＝1－(1－0.7)2＝0.91.(2) 设甲击中1个气球且乙击中2个气球为事件A ，事件A 1为甲在2次射击中恰好击中1个气球，事件A 2为乙在2次射击中恰好击中2个气球．则P(A)＝P(A 1·A 2)＝P(A 1)·P(A 2)＝(C 12·0.31×0.71)·(C 22·0.42)＝0.067 2.(3) 甲、乙两人击中气球个数相等为事件B ，事件B 1为甲、乙两人都击中2个气球，事件B 2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，事件B 3为甲、乙两人都未击中气球．则P(B)＝P(B 1＋B 2＋B 3)＝P(B 1)＋P(B 2)＋P(B 3)＝(C 22·0.72·C 22·0.42)＋(C 12·0.7×0.3)(C 12·0.4×0.6)＋(C 02·0.32·C 02·0.62)＝0.312 4.答：甲至少击中1个气球的概率是0.91；甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率是0.067 2，甲、乙两人击中气球个数相等的概率是0.312 4.10. 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13. (1) 如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？(2) 求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．解：(1) (解法1)设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，910，故E(X)＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故E(Y)＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵ 3.6＞3，∴ 选手甲应该选择A 区投篮．(解法2)设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、2、4，P(ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9102＝1100； P(ξ＝2)＝C 12·910·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－910＝18100； P(ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝81100. ∴ ξ的分布列为∴ E(ξ)＝3.6.同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，P(η＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827； P(η＝3)＝C 1313⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49； P(η＝6)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝29； P(η＝9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. ∴ η的分布列为∴ E(η)(2) 设“选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分”为事件C 1，“甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分”为事件C 2，“甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分”为事件C 3，则C ＝C 1＋C 2＋C 3，其中C 1、C 2、C 3为互斥事件．则P(C)＝P(C 1＋C 2＋C 3)＝P(C 1)＋P(C 2)＋P(C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975.故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975. 11. 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：学校准备从中选出在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(1) 求理科组恰好记4分的概率？(2) 设文科男生被选出的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X)．解：(1) 记“理科组恰好记4分”的事件为A ，则A 为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”共有C 25·C 14·C 15＋C 24·C 25＝260种选法，基本事件数为C 39·C 15＋C 29·C 25＋C 19·C 35＝870，所以P(A)＝260870＝2687. (2) 由题意得X ＝0，1，2，3，∴ P(X ＝0)＝204870，P(X ＝1)＝495870，P(X ＝2)＝162870，P(X ＝3)＝9870，于是X 的分布列为∴ X 的数学期望为E(X)＝0×870＋1×870＋2×870＋3×870＝145.。
高考数学一轮复习离散型随机变量的均值与方差
第8节离散型随机变量的均值与方差最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念口归敦材，夯实:基础IS础诊断知识梳理i. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]p i+…+ X n P n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D (X)=£_(x i — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与i = 1其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 —p).(2)若X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 —p).[常用结论与微点提醒]1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.诊断自测1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”） （1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（）（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（）（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（）（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 （ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.答案（1）X （2）V2. （选修2-3P68T1改编）设丫二2X + 3,则E (丫)的值为( )A.3B.4C.-1D.111 1 解析 E (x )= — 2+ g =-3，（3）V（4）X4. (2017全国U 卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 D (X )= _____________ 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X 〜B (100，0.02)，所以 D (X )= np (1 — p )= 100X 0.02X 0.98=1.96.答案 1.96则a= _________ ，数学期望E (X )= _____________49 25 9 1 65E (X )=1X 84+ 2X 84+ 3X 84+ 4X 84=42. 答案25 65答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A 岗位的人数为随机变量X ,则随机变量X 的数 学期望E (X )= _____________ ，方差D (X )= _____________ .0 OA解析 由题意可得X 的可能取值有0，1, 2，P (X = 0)= 亍 =9 P (X = 1)3X 3 9C 2X 2 4 11^44 12 =3X 3 = 9,P (X= 2) = 3X 3=9，则数学期望 E (X )= 0X 9+ 1X9+ 2X 9= 3,已知随机变量X 的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)解析 由分布列的性质可得:49 9 1 84+ a + 84+ 84= 1,解得a = 2584.考克突破分类讲竦，以例求试考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X )224=0—3 X 9+21-3X 4+ 2-22 43 X9=9.【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a € N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E若 E (— 3,则 D (5 = ( )3 3 A.|B.3C.|D.2(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X ，则X 的 数学期望E (X )= ___________ .3a解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)=， P ( 5= 4)= ，则 E a + 3 a + 3 3 a (5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，a + 3a + 33 3 22••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3. c !c 3 3(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是p=-c£=2；若记试验次数为X ,则X = 3, 2, 3, 4,于是c l c 4 C 2C 3+ C 2 93P ( x =3)= C 9C 4—^1 二 84二 l8，P(X = 4) = C l C 4 C |=需,则 X 的数学期望 E(X ) = 3 X -32+ I X 84+ 3x 18+ 4X 84 65 =4I .答案(3) B (I ) 3 45P (X = 3)c 3c 3 + c i 7 —c —=32,P (X = 2)2629c 「c25一规律方法(3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲 班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a 表示分到丙班级 的人数，则E ( a = _____________ .1 1 1 解析 (1)由已知，得1+3+ p = 1,所以p =6, 且 E (X ) — 2X 1+ O X 1+ 1X 1一 6, ••• E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3 = 2X 1 + 1 + C 4 + C 4 + C 4 16 =81,所以甲班级至少有一位同学的概率为1-81=H •随机变量a 的可能取值为【例2】(1)已知随机变量X 服从二项分布B (n , p ),若E (X )= 30, D (X ) =20」p = (2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 _____________ 解析 (1)依题意可得 E (X )= np = 30,且 D (X )= np (1 — p )= 20,解得 p4- 3 --3+(2 )甲班级没有分到同学的概率为0, 1, 2, 3, 4,则 P (E=0)=話 P ( E= 1)=C 4 ( 1 + 1 + C 3+ C 3)32= P 81’ P(V 2)=C 2 (1 + 1+ 2)3 24 C 4X 2 8 21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)24 8 1 4 +2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3(2) 8? 4考点二与二项分布有关的均值、方差=扛81,于是E (a =0X 暮+1X 32值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算则 p = ________ ;若 Y = 2X + 3,贝U E (Y )= __________ .1=3.1 3(2)法一由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则1 1 1 3 3P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,29P(X= 1 2 = 4 =所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2次试验中成功次数X的均值为1 3 9 3E (X)二o x 16+ 1X8+2X—=^.3法二此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为3 3E (X)= np= 2X4 = 21 3答案(1) 3 (2) 3规律方法二项分布的期望与方差(1)如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np；D ( $ = np (1 —p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.1已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.假设每题答对与否相互独立，记E为该考生答对的题数，n为该考生的得分，则P (E= 9)= ________ , E ( n) = _________ .(2) (2018杭州学军中学模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖•每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是 __________ ;若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,贝U E (X)= ____________ .2解析(1) P ( 9)= C3x 1 x 1 —£= |.由题意可得：E 7，8，9，10，n= 4g 且(E—7)〜B$, 3 4j.3P ( &7)= C3x 1—3 二27，2P ( &8)= C1X3X 1—3 二9，22 Q 2 2P ( E9)= C3X 3 x3二9，31、 1P( 10)= c3x 3 = 27.••• E的分布列为：8 4 2 1E ( 0 = 7X27+ 8X9+ 9X9+ 10X27 = 8.E (n) = E (4 0 = 4E (0 = 32.2 3(2 )由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为5，5,在乙箱中抽中红球、3 7 2 1 13 1 3 13白球的概率分别为2 2.抽奖一次不获奖的概率为£x?=10，所以其(对立事件)获奖的概率为1-10二缶.因为每次获得一等奖的概率为2x 1 = 1, 3次抽奖相互独、” 1 3立，故 E (X)= np= 3x5= 5.2 7 3答案(1)9 32 (2)和 5I课乍业另层训练，提升能右基础巩固题组一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D (X) = ( )A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+ m+ 0.2= 1 得m= 0.3,二 E (X)= 1 x 0.5+ 3X 0.3+ 5X 0.2= 2.4,2 2 2••• D (X) = ( 1-2.4) X 0.5+( 3-2.4) X 0.3+( 5-2.4) X 0.2= 2.44.答案C2. (2018稽阳联谊学校联考)随机变量E的分布列如下，且满足E ( $ = 2,则E (a + b)的值为( )A.0B.1C.2D.无法确定，与a, b有关解析E ( $) = 2,贝U a + 2b+ 3c= 2,又a+ b+ c= 1,由两式可得a= c, 2a + b=1,二 E (a $+ b)= aE ( $ + b = 2a + b= 1.答案B2 13. (2018绍兴检测)设X是离散型随机变量，P (X= X1)=彳P (X= X2) = 3,4 2且X1V X2，若 E (X)= 3, D (X)= 9，则X1 + X2=( )2 1 43x1 + 3x2=3,由已知得12( 4、2 1( 4、2 23x1 3 + 3x2 3 _9,答案 D4•已知随机变量X + n= 8,若X 〜B (10, 0.6),则E ( n, D ( n 分别是( )A.6, 2.4 C.2, 5.6解析 由已知随机变量X + n= 8,所以有n= 8— X. 因此，求得 E ( n) = 8— E (X )= 8— 10X 0.6 = 2, D ( n) = (— 1) 2D (X )= 10X 0.6X 0.4= 2.4. 答案 B5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析 设没有发芽的种子有E 粒，则 〜B (1 000, 0.1)，且X = 2E, ••• E (X )= E (2$ = 2E ( 5 = 2X 1 000 X 0.1 = 200. 答案 B6. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取 出的球的最大号码，贝U X 的数学期望E (X )的值是( )A.4B.4.5C.4.75D.51 1 解析 由题意知，X 可以取3, 4, 5, P (X = 3) = & = 10,A ・| D.3解析 |xi = 1, 解得 1x2= 2 LX 1 = 或 X 2 = 5 3,2 3, x1 =1,因为X 1V X 2，所以所以X 1 + x 2= 1 + 2= 3. X 2二 2,B.2, 2.4 D.6, 5.6C s 3 C2 6 3 P (X= 4) = C3= 10，P (X= 5) = C5= 10=5，13 3所以 E (X )= 3X 10 + 4X 10+ 5X 5= 4.5. 答案 B7. (2017浙江卷)已知随机变量&满足P (E = 1)= P i , 1P (&= 0)= 1 — p i , i = 1, 2.若 0v p i <p 2V 2，则( )A. E ( gi)v E (切，D ( &)< D (切B. E ( &)< E ( £>) , D ( 8)> D ( ^2)C. E ( gi)> E (切，D ( &)< D (动D. E ( &)> E (切，D( 8)> D ( ®解析 由题设可知E ( gi)= p 1， E ( $)= p 2，从而 E (8)< E (色)，而 D ($)= p 1 (1 — p 1)，D (&) =p 2 ( 1 — P 2)，所以 D (&)— D (&)<0，即 D (@)< D (切.答案 A甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止•用X 表示取球终止时取球的 总次数，则X 的数学期望E (X ) = ( )A.9B.学C^6 2 3X 6 1 3X 2X 6 1 3X 2X 1 X 6="=9 = 3；P ( X =5 6 = 9X 8 = 4；P ( X = 7= 9^X7=X = 8= 9X 8X 7X 65 2 1 1 1 10 =84所以 E (X )= 1X 3+2X 4+3X 初+4X 84=〒. 答案 B 二、填空题9. (2018湖州调研)设X 为随机变量，X 〜Bn , 3，若随机变量X 的数学期望=(P 1 — P 2)( 1 — P 1 —)9个，从中任取2个都是白球的概率为寻.现 乙后取，然后甲再取，……，每次取出 8.袋中装有大小相同的黑球和白球共 ‘ 12 D.〒解析 易得袋中白球的个数为6•则由题意得, X 的可能取值为1, 2，3, 4.P (XE (X)= 2,则P (X = 2)= ____________ ; D (X)= ___________ .解析由X〜B n, 3 , E (X)= 2,得np=罗=2, •••n = 6,则P (X= 2)=43 二243, D（X）二np（—P）二6x卜3二4.10. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的4- 3概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________ 元.1 1 解析由题意知a+ 2a + 4a= 1, • a = 7, •获得一、二、三等奖的概率分别为7,2 4 1 2 47, 7，•所获奖金的期望是E（ X）二7X 7 000+ 7X 5 600+7X 4 200= 5 000 （元）答案 5 00011. （2018嘉兴测试）已知随机变量E的分布列如下.$ 012P b 2 a1a22则E （ $的最小值为___________ ，此时b= __________ .解析由题意得E （ $ = 0X b+ 1 X a2+ 2X号一2 = a2-a+ 1 = g —舟了+弓，所以E （$的最小值为4，此时a = 2，又因为b+ a2+1—1,所以b= —a2+1+舟=12.3 1答案3112. （2018杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为$则随机变量$的均值是________________________ ;方差是___________ .解析由题可得，$的所有可能取值分别为0, 1, 2.且P （ $= 0）= 2Q=5,2 1 1 2八C4C2 12 3 , / " c、C4C2 4 1 比「、十八升知斗P （$=1）=CCT=12=5, P （= 2）= "CT二20=1.所以其分布列为$ 0 1 2 P1 3 1 555”、「 1 3 1 2 1 2 3 所以 E ( o = O X 5+ 1X 5+ 2X 5 = 1； D ( $ = ( 0— 1) X 5+( 1- 1) X-5 +2 1 2(2-1) X厲2 答案1 2 513.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p M 0)，射击次数为 Y ,若Y 的数学期望E (Y ) #，则p 的取值范围是 ______________ . 解析 由已知得 P (丫= 1)= p ， P (丫= 2) = ( 1 — p ) p ， P (Y = 3) = ( 1 — p ) 2，227则 E (Y )= p + 2 (1 — p ) p + 3 (1 — p ) = p — 3p + 3>4又 E (X )= = 3,二 m = 2,m + 3答案 BA.5解析 由题X 〜B 5,3、m + 3 /i 3、则 X 〜B 5, 5，故 D (X )642-X3- 5X15. 袋中装有大小完全相同，标号分别为 1, 2, 3,…，9的九个球.现从袋中随机 取出3个球.设E 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3, 4, 3, 4和4, 5,此时9的值是2),则随机变量9的均值解析 依题意得，9的所有可能取值是0, 1, 2.口 C 7 5且 P (片 o )= &= 12, P (E = 1) c j 丄P (E 2)= C 9=12，… 5 1 1 2 因此 E ( 9 = o x 12+1 x 2+ 2x 12= 3. 答案 D16. (2018北京海淀区模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从 标有5, 6, 7, 8, 9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小 球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将 两个小球上数字之差的绝对值的 2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X 和Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E (X )— E (Y )=元.1解析 根据题意可得P (X = k )= 5 (k = 5, 6, 7, 8, 9), 1 一可得 E (X )= 5X (5+ 6+ 7 + 8+ 9)= 7 (兀).丫的取值可能为2, 4, 6, 8,其中23115,则有两组相邻的标号A.61- 2 --P (Y = 4)= P (Y = 6)= P (Y = 8)=310155丄10 - - -- 3&2& 注)P (Y = 2)所以E (丫)= 2x5+ 4X10 + 6X5 + 8X —= 4 (元) 故E (X)—E (Y)= 7—4= 3 (元)答案 317. (2018衢州质检)一个袋中装有质地均匀、大小相同的 2个黑球和3个白球, 从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为 ____________;从袋中一 次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望 E ( 0 = _____________ . 解析 由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C 2= 10种取法，其中满足恰有 一个白球的取法有c 2c 3=6种，所以恰有一个白球的概率为10=&.任意摸出3个C 2C 1 小球，设其中白球的个数为 0贝U 0的可能取值为1, 2, 3,且P ( 0= 1)=-(育 3 c 2c 2 3 c 3 1 十“3 3=10； P ( 0= 2)= c 3 = 5； P ( 0= 3)=况=10,所以 E ( 0 = 1 X 1o + 2X 5 +27E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3= — 3+ 3=?. 答案 A13X10 18. (2018金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3个小球，乙盒子 中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完 时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为 _____________ ;当取完一个盒子中的球时，另一 个盒子恰剩下0个球，则0的期望为 _________ . 解析 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下 2个球的概率P =1-221-1 52 = 32；由题意，知曲勺可能取值为1, 2, 3, 4, 5,因为7 7 P ( & 1)= C 6 2 + C 62 二 64, 1- 22^-1164--4526 -743 2lQ 3⑴」P (E= 4)= C 3 2 = 16，P (E 5)= 2 = 8,所以 E ( 0二 1X65 + 2X 64+ 3X 32 + 4X 老 + 5X 基器答案5 17532 643. _______ 设随机变量X的分布列为P (X= k)= 5 (k= 2, 4, 6, 8，10)，则D (X)等于 ____ .1解析••• E (X)= 5 (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6，••• D (X)= |[ (- 4) 2+(- 2 ) 2+ 02+ 22+ 42] = 8.答案85 1解得p>2或p<2，又p€ (0，1)，所以p€ 0, 2 .答案0, 1能力提升题组14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E (X)= 3,则D (X)=。
【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案课件 新人教A版
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高考数学一轮复习考点题型课下层级训练62离散型随机变量的均值和方差、正态分布(含解析)
高考数学一轮复习考点题型课下层级训练62离散型随机变量的均值和方差、正态分布（含解析）[A 级 基础强化训练]1．已知X 的分布列X －1 0 1 P121316则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C [由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．]2．(2018·山东临沂期末)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4． A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413D ．4 772【答案】C [由曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.341 3，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341 3×10 000＝3 413.]3．(2018· 全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4所以p ＝0.4或0.6．又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6.]4．(2019·福建厦门模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，假定甲厂的产品都符合相应的执行标准．已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，则a ．【答案】0．3 0.2 [因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.] 5．(2019·山东济南模拟)在某项测量中，测量结果ζ服从正态分布N (0，σ2)，若ζ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ζ在(0,1)内取值的概率为____________．【答案】0．4 [∵ζ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P (ζ＜－1)＝0.1，∴P (ζ＞1)＝0.1，∴ζ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4.]6．(2019·东北三校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是____________．【答案】45 [根据题意ξ＝0,1,2，而P (ξ＝0)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445，P (ξ＝2)＝C 24C 210＝645．所以E (ξ)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.]7．从某校的一次学科知识竞赛成绩(百分制)中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：(1)求这50名同学竞赛成绩的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)根据频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为抽取的50名同学竞赛成绩的平均数x －．①利用该正态分布，求P (Z >74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求X 的数学期望．【答案】解 (1)这50名同学竞赛成绩的平均数x －＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60．(2)①由(1)可知，Z ～N (60,142)，故P (Z >74)＝1－P 60－14<Z <60＋142＝0.158 7．②由①知，某位同学参加此次学科知识竞赛的成绩超过74分的概率为0.158 7，依题意可知，X ～B (20,0.158 7)，所以数学期望E (X )＝20×0.158 7＝3.174．8．(2019·山东青岛模拟)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4；蓝球3个，编号分别为2,4,6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】解 (1)设A ＝“取出的3个球中含有编号为2的球”， 则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57． (2)由题意得，ξ可能取的值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435所以E (ξ)＝0×135＋1×35＋2×35＋3×35＝7．[B 级 能力提升训练]9．为了确保“两会”期间的安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A ，B 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.对阵队员A 队队员胜A 队队员负A 1对B 1 23 13 A 2对B 22535(1)求A (2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【答案】解 (1)设“A 队最后所得总分为1”为事件A 0， ∴P (A 0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41105．(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P (ξ＝3)＝23×25×37＝12105＝435， P (ξ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝40105＝821，P (ξ＝1)＝41105， P (ξ＝0)＝13×35×47＝12105＝435， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×435＋1×105＋2×21＋3×35＝105． ∵ξ＋η＝3，∴E (η)＝－E (ξ)＋3＝158105．由于E (η)＞E (ξ)，故B 队的实力较强．10．(2019·广东湛江模拟)为了提高城市空气质量，有效地防治大气污染，企业纷纷向“低碳型”经济项目投资．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ζ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ζ的概率分布列及数学期望E (ζ)；(2)a 的取值在什么范围之内，才能保证这100万元投资“低碳型”经济项目的投资收益期望值不低于投资“传统型”经济项目的投资收益期望值？【答案】解 (1)根据题意知，随机变量ζ的可能取值为20,0，－10，则ζ的分布列为数学期望为E (ζ)＝20×35＋0×5＋(－10)×5＝10．(2)设η表示把100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为数学期望为E (η)＝30a －20b ＝50a －20，依题意，得50a －20≥10，解得35≤a ≤1.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，1． 11．(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3． P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7．②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67．所以事件A 发生的概率为67．。
《创新设计高考总复习》配套学案：离散型随机变量的均值与方差
第6讲 离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．(2)方差：称D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差1．离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7，方差是0.21.(√)2．均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)(4)已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为73.(√)(5)(2013·上海卷改编)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X 等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)[感悟·提升]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．2．方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度，如(5).考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】(2013·浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数．若E (Y )＝53，D (Y )＝59，求a ∶b ∶c .审题路线 (1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量X 的取值，计算相应的概率，再列出分布列．(2)用a ，b ，c 表示出Y 取值的概率，列出随机变量Y 的分布列，求出均值和方差，转化为关于a ，b ，c 的方程求解． 解 (1)由题意得X ＝2,3,4,5,6. 故P (X ＝2)＝3×36×6＝14， P (X ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (X ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (X ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (X ＝6)＝1×16×6＝136. 所以X 的分布列为(2)由题意知Y所以E (Y )＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (Y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎨⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝3c ，b ＝2c .故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.学生用书第196页规律方法求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．【训练1】(2014·南昌质检)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．解(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C13C34＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝1220＝35.(2)V的所有可能取值为0，16，13，23，43，又P(V＝16)＝120，P(V＝13)＝C13C36＝320，P(V＝23)＝C23C36＝320，P(V＝43)＝120，因此V的分布列为由V的分布列可得E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.考点二与二项分布有关的均值、方差【例2】(2013·福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？审题路线(1)易知X＝0,2,3,5，则“X≤3”与“X＝5”为对立事件，根据相互独立事件与对立事件公式计算．(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数服从二项分布，运用均值的性质求解．解(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝11 15，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45， 因此E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y 1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y 2，则Y 1，Y 2的分布列为：∴E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83， E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125， 因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大．规律方法 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解． 【训练2】 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差． 解 (1)随机变量X 的分布列为因为X服从两点分布，故p)＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.学生用书第197页【例3】某投资公司在2014年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解(1)若按“项目一”投资，设获利为X1万元．则X1的分布列为∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)． D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000. 所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． (2)假设n 年后总资产可以翻一番，依题意， 1 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2001 000n ＝2 000，即1.2n ＝2，两边取对数得：n ＝lg 22lg 2＋lg 3－1＝0.301 02×0.301 0＋0.477 1－1≈3.805 3. 所以大约4年后，即在2017年年底总资产可以翻一番．规律方法 (1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列．(2)随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．【训练3】 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝ 2．86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)． 因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．学生用书第198页易错辨析12——不能正确理解题目条件致误【典例】(2014·石家庄调研)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．[错解](1)由条件和概率的加法有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm条件下，工期不超过6天的概率为P＝P(Y＝2)＋P(Y＝6)＝0.4＋0.2＝0.6.[错因]第(2)问中，在降水量X至少是300 mm的条件下，这一条件说明是在延误工期的条件下，求工期延误不超过6天的概率，错解中没有在这条件下求概率．[正解](1)同上述解法．(2)由概率加法，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝P(300≤X<900)P(X≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.[防范措施](1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式，本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．(2)解决均值和方差问题时，认真计算，正确利用均值和方差公式，避免失误．【自主体验】(2013·北京卷)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2 13.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413. P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413.P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13.所以X的分布列为故X的数学期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．对应学生用书P375基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题 1．(2013·广东卷)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( A.32 B ．2 C.52 D ．3解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32. 答案 A2．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( ).A.5 B ．6 C ．7 D ．8解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7. 答案 C3．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B4．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为则E (X )的最大值为( )A ．1 B.32 C.23 D ．2解析 由p ≥0，12－p ≥0，则0≤p ≤12，E (X )＝p ＋1≤32. 答案 B5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 X 的可能取值为1,2,3， ∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ， P (X ＝3)＝(1－p )2，∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，得p <12或p >52(舍)．∴0<p <12. 答案 C 二、填空题6．(2014·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X 为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案 9167．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：请小牛同学计算X 字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.解析 设P (X ＝1)＝x ，则P (X ＝3)＝x ， 由分布列性质，∴P (X ＝2)＝1－2x ， 因此E (X )＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2. 答案 28．(2014·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元． 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1 ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47. 因此获得资金X 的分布列为∴E (X )＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元) 答案 500 三、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种，∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729. 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729. (3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.10．(2014·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、数学期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求． 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为()．A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案 C2．(2014·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100 B．200 C．300 D．400解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案 B二、填空题3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析由题意知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12.随机变量X的分布列为：E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案5 3三、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为E(XX的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.步骤规范练——概率、随机变量及其分布(对应学生用书P377)(建议用时：90分钟)一、选择题1．某射手射击所得环数X的分布列为A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51解析P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案 C2．(2014·西安调研)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X<0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84解析∵P(X≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(X<0)＝P(X>4)＝1－0.84＝0.16.答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．已知X的分布列为().则在下列式子中：①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13.正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 答案 C5．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170”，根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为( )． A ．21 B ．35 C ．42 D ．70解析 设参加面试的人数为n ，依题意有C 22C 1n －2C 3n ＝6(n －2)n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)＝170，即n 2－n －420＝(n ＋20)(n －21)＝0，解得n ＝21或n ＝－20(舍去)． 答案 A6．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )． A ．5 B ．5.25 C ．5.8 D ．4.6 解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 B7．盒子中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，共取2次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是( )．A.310B.35C.12D.25解析 设“第二次取得一等品”为事件A ，“第一次取得二等品”为事件B ，则P (AB )＝C 12C 14C 16C 15＝415，P (A )＝C 14C 13＋C 12C 14C 16C 15＝23，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝41523＝25.答案 D8．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )． A.125 B.2425 C.85 D.265解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴D (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案 B9．如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576解析 法一 由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，∵K ，A 1，A 2相互独立，∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二 A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A 1A 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.答案 B10．(2014·惠州调研)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：若进这种鲜花500A．706元B．690元C．754元D．720元解析依题意，若进这种鲜花500束，利润应为Y＝(5－2.5)X－(2.5－1.5)×(500－X)＝3.5X－500.则E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．所以E(Y)＝E(3.5X－500)＝3.5E(X)－500＝3.5×340－500＝690元．答案 B二、填空题11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.解析从n个数中任取两个不同的数，有C2n种取法，其中取出的两数之和等于5共有2种情况，∴P＝2C2n＝114，∴n＝8.答案812．设随机变量X服从正态分布N(－1，σ2)，P(X>0)＝0.1，则P(－1<X<0)等于________．解析正态分布密度曲线的对称轴为X＝－1，且P(X>0)＝P(X<－2)＝0.1，∴P(－1＜X＜0)＝P(－2<X<－1)＝1－P(X>0)－P(X<－2)2＝1－0.1－0.12＝0.4.答案 0.413．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 答案 192714．(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案 38 三、解答题15．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解 X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X 的分布列为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.16．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束． (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37.(2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则P (X ＝1)＝C 12C 16＋C 22C 28＝1328， P (X ＝2)＝C 26C 28·C 14C 12＋C 22C 26＝928，P (X ＝3)＝C 26C 28·C 24C 26·C 12C 12＋C 22C 24＝528， P (X ＝4)＝C 26C 28·C 24C 26·C 22C 24＝128.X 的分布列为E (X )＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514.17．为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3；乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5. (1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为X ，求X 的分布列及均值E (X )、方差D (X )． 解 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x 甲＝x 乙＝8.5，又s 2甲＝0.27，s 2乙＝0.405，得s 2甲<s 2乙，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，X 的可能取值为0,1,2,3.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123－k ＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为∴E (X )＝np ＝3×12＝32，D (X )＝np (1－p )＝3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝34.18．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2学生用书第199页好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。
离散型随机变量的均值与方差习题课及高考题
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)=6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽 取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7
4
【解析】(1)设查得次品数为随机变量ξ，由题意得ξ～ B(150， )，所以E(ξ)=150× 1 =10.
15 4 1 15
(2)由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝45 ，
∴p＝ 1 ，n＝60.
4
答案：(1)10
(2)60
1 4
离散型随机变量的均值与方差 【方法点睛】 求离散型随机变量ξ 的均值与方差的方法 (1)理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值； (2)求ξ 取每个值的概率； (3)写出ξ 的分布列；
4 1 ∴X～B(3， )，D(X)＝ 3 1 (1 1 ) 9 . － ＝ 4 4 16 4 故D(Y)＝D(2X)＝4D(X)＝ 4 9 ＝9 . 16 4 答案：(1)7 (2) 9 3 4
2 7 3 3
3.两点分布与二项分布的均值、方差 均值 随机变量X服 从 两点分布 方差
p E（X）=____
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等 级系数X2的数学期望.
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个
工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ；
2014一轮复习课件 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差
活页作业
【考向探寻】
1．根据分布列求离散型随机变量的期望与方差
2．求二项分布的期望与方差
【典例剖析】
(2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期
间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误 天数Y
0
2
6
10
新课标高考总复习·数学（RJA版）
基础知识回扣
热点考向聚焦
活页作业
考纲要求
考情分析
1.理解取有限个 值的离散型随机 变量均值、方差 的概念． 2.能计算简单离 散型随机变量的 均值、方差，并 能解决一些实际 问题
1.从考查内容看，本节是高考每年 的必考内容，主要考查随机变量的 均值、方差及其应用，且常与排列 组合、互斥事件的概率、独立事件 的概率、n次独立重复试验结合在一 起命题，另外，在近几年的高考 中，还出现了均值、方差与函数、 不等式结合的题目． 2.从考查形式看，主要以解答题为 主，属中等题.
新课标高考总复习·
活页作业
3．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分
的概率为 b，不得分的概率为 c，a、b、c∈(0,1)，且无其他
得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为 1，则 ab 的最
大值为( )
1
1
A.48
B.24
1
1
C.12
D.6
新课标高考总复习·数学（RJA版）
基础知识回扣
热点考向聚焦
活页作业
二、两点分布与二项分布的均值、方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝ p ，D(X)＝ p(1－p) ． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ． 三、均值与方差的性质
高考数学一轮复习 离散型随机变量的均值和方导学案
江苏省建陵高级中学2014届高考数学一轮复习 离散型随机变量的均值和方导学案 一：学习目标1、 了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义2、 会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
二：课前预习1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n(1)均值：称E (X )＝________________为随机变量X 的均值或______，它反映了离散型随机变量取值的______．(2)方差：称D (X )＝________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E (X )的______，其算术平方根D X 为随机变量X 的____．2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝______；(2)D (aX ＋b )＝______(a ，b 为实数)．3．两点分布和二项分布的均值和方差若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝____.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝____，D (X )＝______.4．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是______．5．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则n ＝___，p ＝___．6．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝__________. 7．随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 P a b c其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是__________． 三：课堂研讨【例1】已知随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求E (X )；(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )．【例2】袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n 号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．【例3】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差Dξ为62.(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【例4】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．、四：课后反思课堂检测——离散型随机变量的均值和方差的概率分布列如下，粒，对于没有发芽的的数学期望为课外作业——离散型随机变量的均值和方差_______．．质地均匀的正四面体玩具的。
高考数学(理)一轮规范练【63】离散型随机变量的均值与方差、正态分布(含答案)
课时规范练63离散型随机变量的均值与方差、正态分布课时规范练第97页一、选择题1.随机变量X的分布列为X124P 0.40.30.3则E(5X+4)等于( )A.15B.11C.2.2D.2.3答案:A解析:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为( )A. B. C.3 D.答案:C解析:由题意,得x1+x2=,①D(X)=.②由①②得x1=1,x2=2,∴x1+x2=3.3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<5)=0.8,则P(1<ξ<5)=( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案:C解析:根据题意,随机变量ξ的正态分布密度曲线关于x=1对称,故P(1<ξ<5)=P(-3<ξ<1)=P(ξ<5)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3.4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,若随机变量ξ=|a-b|的取值,则ξ的数学期望E(ξ)=( )A. B. C. D.答案:A解析:对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2=126条,ξ的可能取值有0,1,2.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,E(ξ)=.5.已知分布列为ξ-101P a且设η=2ξ+3,则η的均值是( )A. B.4 C.-1 D.1答案:A解析:由+a=1得a=,E(ξ)=(-1)×+0×+1×a=-=-,E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=2×+3=.6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则的最小值为( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意得投篮一次得分X的分布列为X023P c b aE(X)=0×c+2b+3a=2,即3a+2b=2,所以=3+≥+2+2=.二、填空题7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则E(ξ)=.答案:解析:次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.分布列为ξ0123PE(ξ)=0×+1×+2×+3×.8.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.答案:解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(AB+AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=.9.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=(x∈R),则E(2X-1)=.答案:-5解析:σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5.三、解答题10.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,求p的取值范围.解:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈.11.如图,单位到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:时间/分10~2020~3030~4040~5050~60钟L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.解:(1)A i表示事件“甲选择路径L i时,40分钟内赶到火车站”,B i表示事件“乙选择路径L i时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B独立,∴P(X=0)=P()=P()P()=0.4×0.1=0.04,P(X=1)=P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.∴X的分布列为X012P 0.040.420.54∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.12.(2013湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解:(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=P(700<X≤900)=0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.由(1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
【创新设计】(浙江专用)2014届高考数学总复习 第12篇 第3讲 离散型随机变量的均值与方差限时训练 理
第3讲 离散型随机变量的均值与方差分层A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( )． A.65B.65C. 2D ．2解析 由题意，知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案 D2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为 ( )． A ．5 B ．5.25 C ．5.8D ．4.6解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 B3．若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 P12－p p12则E (ξ)的最大值为 )． A ．1 B.32 C.23D ．2解析 由p ≥0，12－p ≥0，则0≤p ≤12，E (ξ)＝p ＋1≤32.答案 B4．(2013·广州一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是 ( )． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)＝ 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 0.46.(2013·温州调研)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.答案512 14三、解答题(共25分)7．(12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427；(2)∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729；(3)由于ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为43.8．(13分)(2013·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．分层B 级 创新能力提升1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )．A.323B.283C.143D.163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.答案 D2．已知X 的分布列为则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 答案 C3．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是________．解析 根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得：a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59.答案 594．(2013·滨州一模)设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析 当l 的斜率k 为±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时坐标原点到l 的距离d ＝13；当k 为±3时，d ＝12；当k 为±52时，d ＝23；当k 为0时，d ＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：所以E (ξ)＝13×27＋12×27＋3×7＋1×7＝7.答案 475．(2013·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a (0<a <1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. (1)求ξ的分布列及数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3)中，若P (ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围． 解 (1)P (ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12(1－a )2＝12(1－a )2，P (ξ＝1)＝12(1－a )2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12a (1－a )＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12(1－a )a＝12(1－a 2)，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 2＋12(1－a )a ＋12a (1－a )＝12(2a －a 2)，P (ξ＝3)＝a 22.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P12(1－a )2 12(1－a 2) 12(2a －a 2) a 22ξ E (ξ)＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a )2＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(2)P (ξ＝1)－P (ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )，P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a2， P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a22.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a ≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0及0<a <1，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 6．(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．解 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25， P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02. 故ξ的分布列为(2)1(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .由E (ξ)≥4.73，得4.76－x ≥4.73，解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 探究提高 (1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E (X )，D (X )即可.。
贵州省2014届高三复习理科数学(人教A)三管齐下：68离散型随机变量的均值与方差 含解析
68离散型随机变量的均值与方差导学目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念。
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．自主梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1）均值称E(X）＝____________________________________为随机变量X的均值或___________,它反映了离散型随机变量取值的____________．(2）方差称D（X)＝__________________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X)的______________，其________________________为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质（1)E（aX＋b）＝____________.（2）D（aX＋b）＝____________.（a，b为实数）3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E（X）＝____，D(X)＝_____________________________。
（2)若X～B(n，p），则E(X）＝______，D(X)＝____________。
自我检测1．若随机变量X的分布列如下表,则E（X)等于（)X012345P2x3x7x2x3x xA.错误!B。
错误! C.错误! D.错误!2．（2011·菏泽调研）已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2。
4，D(X)＝1。
44，则二项分布的参数n，p的值为( ) A．n＝4,p＝0。
6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0。
3 D．n＝24，p＝0。
13．（2010·全国）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（)A．100 B．200 C．300 D．4004．（2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为错误!，得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X＝0)＝112,则随机变量X的数学期望E（X)＝________. 5．（2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下：ξ－101P a b c其中a,b，c成等差数列．若E（ξ）＝13，则D(ξ)＝________。
(学习指导) 离散型随机变量的均值Word版含解析
2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1．通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2．应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X的分布列为X －101p 121613则E (X )＝( )A ．0B ．－1C ．－16D ．－12 C [E (X )＝∑i ＝13x i p i ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16.]2．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________.35[E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35.]3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________． 43[E (X )＝np ＝4×13＝43.]求离散型随机变量的均值有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和X 的均值．[解] X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X 1234P 0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X 123P 35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值公式及性质X －2－1012(1)求m 的值；(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )． [解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：(公式法)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：(直接法)由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下： 所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[跟进训练]2．已知随机变量X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2．－3[E(X)＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝53a＋3＝－2.解得a＝－3.]两点分布与二项分布的均值(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．[思路点拨](1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．[解](1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X 01P 0.40.6则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．[解]E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．[解]设投篮得分为变量η，则η＝3Y.所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．离散型随机变量均值的实际应用1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.2．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路点拨]根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值E(X)→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[跟进训练]3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解] (1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知得X 1～B 2，23，X 2～B 2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45.所以E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)－3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X 的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( )(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( )(4)随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x n n.( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知随机变量X 的分布列为则X 的均值是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化B [由0.2＋0.5＋m ＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B.]3．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________. 103[E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.]4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：(1)X的分布列；(2)X的均值．[解](1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.。
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限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
(限时：45分钟 满分：81分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A ．0.4
B ．1.2
C ．0.43
D ．0.6
2．(2013·衡水模拟)若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2
B ．3·2－10
C ．2－4
D ．2－8
3．(2013·东营模拟)若P 为非负实数，随机变量ξ的分布列为
则E (ξ)的最大值为( A ．1 B.32 C.23
D ．2
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )
A.35
B.815
C.1415
D ．1
5．已知X 的分布列为
，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝7
3，则a 为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，s 2
)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)
＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知随机变量x～N(2，s2)，若P(x<a)＝0.32，则P(a≤x<4－a)＝________.
8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
9．2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升．并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，s2)．已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量，某游客计划在游园期间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p(0<p<1)，用X表示他所种植的树中成活的棵数，X的数学期望为E(X)，方差为D(X)．
(1)若n＝1，求D(X)的最大值；
(2)已知E(X)＝3，标准差D X＝
3
2
，试求n与p的值并写出X的分布列．
11.(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进
球的概率分别为9
10
或
1
3
.
(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？
(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．
12．(2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位： mm)对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：
(1)工期延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
答 案
限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1．B 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7．0.36 8.2 9.180
10．解：(1)当n ＝1时，随机变量满足两点分布，
D (X )＝p (1－p )＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
p －12
2＋14
即当p ＝12时，D (X )有最大值1
4，
(2)∵X ～B (n ，p )，
∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 即np ＝3，np 1－p ＝
3
2
， 解得，n ＝4，p ＝3
4
.
∴P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫34k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫144－k (k ＝0,1,2,3，4)，
即X 的分布列为：
11．解：(1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，910，故E (X )
＝2×910＝95
，
则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×9
5＝3.6.
设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，
则Y ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，13， 故E (Y )＝3×1
3
＝1，
则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，
∴选手甲应该选择在A 区投篮．
法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，
P (ξ＝0)＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－910
2＝
1100， P (ξ＝2)＝C 12×910×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－910
＝18100
， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫910
2＝
81100
. 所以ξ的分布列为：
∴E (ξ)＝0×1100＋2×100＋4×100
＝3.6.
同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，
P (η＝0)＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－13
3＝827
， P (η＝3)＝C 13×13×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－13
2
＝49
， P (η＝6)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132
⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－13
＝29
， P (η＝9)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
3＝127
.
所以η的分布列为：
∴E (η)＝0×827＋3×9＋6×9＋9×27＝3.
∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．
(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．
则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝49
75，故
选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为
4975
. 12．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y 的分布列为：
于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝1－0.3＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P X ＜900|X ≥300)＝
P 300≤x ＜900P X ≥300＝0.60.7＝6
7
.
故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是6
7.。