函数图象变换和零点

函数图象变换和零点
一、函数图像
1、平移变换
Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移
||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h
右移→y =f (x -h)；
Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移
||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h
下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换
Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴
y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴
x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) x
y =→直线x =f (y )
Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )
a
x =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换
Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留
()y f x =在y 轴右边部分即可得到
4、伸缩变换
Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a
y ⨯→y =af (x )
Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩
（01a <<）为原来的1
a
倍得到。

f (x )y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )。

二、例题讲解
例1. 函数2sin(2)14
y x π
=-
-的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
三、课后作业
1. 下列图象中，能表示函数[]1,1,-∈-=x x y 的图象是 （ ）
A B C D 2、函数y ＝ax 2
＋a 与y ＝
x
a
（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
3、直角梯形OABC 中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线t x l =:
S ，
则函数S=)(t f 的图像大致为（ ）
A B C D
4
．函数2441(
)431
x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，
，
的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 5．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
Ａ．312y x =- (02)x ≤≤ Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．3
12
y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =--
(02)x ≤≤
6．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2
)(x x f =，则)(x f y =与x
y 5log =的图象的交点个数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 7．函数33y =的图象是
（ ）
8．曲线y=x －3x 关于x
（ ） A ．x=y 2－3y B ．y=x 2+3y C ．y=－x 2－3x D ．y=－x 2
+3x
9．将y=2x
的图象 （ ）
A ．先向左平移1个单位
B ．先向右平移1个单位
C ．先向上平移1个单位
D ．先向下平移1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x+1)的图象.
10．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x －1)与y=f(1－x)的图象关于 （ ）
A ．直线y=0对称
B ．直线x=0对称
C ．直线y=1对称
D ．直线x=1对称 答案：1.B 2 .D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.D 10.D
6．由)1()1(-=+x f x f 知函数)(x f y =的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log 5x=1;
第5题图
当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log 5x>1, )(x f y =与x y 5log =的图象不再有交点，故选C
四．函数与方程
1、函数的零点
（1）方程0)(=x f 的实数根又叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

（2）有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点；
（3）数()y f x =在区间(,)a b 上的图像是连续不断的，且有()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点。

2、二分法
（1）．如果函数()y f x =在区间],[n m 上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(<⋅n f m f ，通过不断地把函数
()y f x =的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

（3）．给定精度ε，用二分法求函数)(x f y =的零点近似值的步骤如下： （a ）确定区间],[n m ，验证0)()(<⋅n f m f ，给定精度ε； （b ）求区间],[n m 的中点1x ；
（c ）计算)(1x f ：①若0)(1=x f ，则1x 就是函数)(x f y =的零点；②若0)()(1<x f m f ，则令1x n =（此时零点
),(10x m x ∈）；③若0)()(1<n f x f ，则令1x m =（此时零点),(10
n x x ∈）
（d ）判断是否达到精度ε；即若
ε
<-n m ，则得到零点值m （或n ）；否则重复步骤（b ）-（d ）。

3、函数零点的理解
函数()y f x =的零点、方程0)(=x f 的根、函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(=x f 根的个数就是函数()y f x =的零点的个数，亦即函数()y f x =的图像与x 轴交点的个数。

用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根
（2）求曲线)(x f y =和)(x g y =的交点的横坐标，实际上就是求函数)()(x g x f y -=的零点，即求方程
0)()(=-x g x f 的根。

4、关于用二分法求函数)(x f y =的零点近似值的步骤须注意的问题：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②)()(b f a f 、的值比较容易计算且0)()(<⋅b f a f ；
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。

对于求方程)()(x g x f =的根，可以构造函数)()()(x g x f x F -=，函数)(x F 的零点即方程)()(x g x f =的根。

五、热点考点题型探析
题型1：确定函数零点的个数.
例1.设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

例2．已知函数2x f x x =+()，ln g x x x =+()
，1h x x =()的零点分别为123x x x ，，，则123x x x ，，的大小关系是 A ．123x x x << B ．213x x x << C ．132x x x <<
D ．321x x x <<
例3、已知函数21ln ()2
()12 1 ()2
x x x f x x x a x ⎧
->⎪⎪=⎨⎪++-≤⎪⎩
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()f x 的零点。

题型二：二次函数与函数零点：
例4 (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222
,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a
的取值范围。

例5．（10年广州二模）已知函数()32
(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程2
0ax x b ++= 的
两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的 (1) 求n 的值和b 的取值范围；
(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．
六、新题导训
1．（09年浙江五校联考）函数
()221
f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．
(],1-∞；B ．(]{},01-∞ ；C ．()(],00,1-∞ ；D ．(),1-∞
2．（中山市09届统测）方程22
3x
x -+=的实数解的个数为 _______
[名师指引]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f（r ）＜0.
②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.
0)(,
2,042r f a r a b ac b Δ
③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧>⋅>⋅<-
<>-=⇔.
0)(,0)(,2,
042p f a q f a q a b p ac b Δ
④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f（q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f
（q ）=0，另一根在（p ，q ）内.
⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）
⎩⎨
⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a
3．若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围.
4.(2007·韶关)若关于x 的方程4x +2x
a+a+1=0有实数根，求实数a 的取值范围.
七、课后作业
1.（深圳九校09届联考）下图是函数()f x 的图像， 它与x 轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数()f x 在区间（ ）上 的零点
A ．--[ 2.1,1]；
B ．[1.9,2.3]
C ．[4.1,5]；
D ．[5,6.1]
2．（华侨中学09届月考）设函数3y x =与22x
y -=的图象的交点为0
0()x y ，，则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，
；B ．(12)，；C ．(23)，；D ．(34)， 3．方程2x
=2－x 的解的个数为___________.
4．（湛江市09年高三统考）方程2
2x
x +=的解所在区间是（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
5．（金山中学09届月考）用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]上的近似解，取区间中点0
2.5x =，那么下一个有解区间为 。

6．（09年韶关市第一次调研考）已知函数x
x f x 2log )31
()(-=，若实数0x 是方程0)(=x f 的解，且
010x x <<，则)(1x f 的值（ ）
A ．恒为正值；
B ．等于零；C. 恒为负值； D.不大于零
7．（09年深圳宝安中学） 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是（ )
A ． 1; B. 2;C. 3; D. 4
8．已知关于x 的二次方程x 2
+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
9. 关于x 的方程11
()2
1lg x
a
=
-有正根，则实数a 的取值范围是 。

10.【07山东文11】．设函数3y x =与2
12x y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，
B ．(1
2)，
C ．(23)，
D ．(34)，
11. 已知定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的函数)(x f 是偶函数，并且在)0,(-∞上为增函数。

若0)3(=-f ，则0
)
(<x
x f 的解集是 ；
12. 函数a x y +=2log 2的对称轴方程为2=x ，则常数a = 。

13．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； 14．若函数1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是（ ） A.22-<>a a 或 B.22<<-a C.2±≠a D.31<<a
15．若(),()f x g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x g f 不可能是 （ ） A.512
-
+x x B.512++x x C.512-x D. 5
12
+x 16．设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤++=0,20
,)(2x x c bx x x f ，若),0()4(f f =-2)2(-=-f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为
（ ）
A ．1 B.2 C.3 D.4
17．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程0)(=x f 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 18．函数1)(2
3
+--=x x x x f 在[0，2]上（ ）
A.有三个零点
B.有两个零点
C.有一个零点
D.没有零点
19．（1）已知βα,是方程024)12(2
=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2，求m 的取值范围。

（2）已知关于x 的方程0532
=+-a x x 的一根分布在区间（-2，0）内，另一根分布在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围。

20．已知二次函数)0,,(1)(2
>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.
答案：1.[解析] B ；由于用二分法判断函数()f x 在区间),(n m 上有零点的必要条件是
0)()(<⋅n f m f ，而从图可以看出，()f x 在区间[1.9,2.3] 的两端的符号相同，故不能
用二分法求出函数()f x 在这个区间上的零点 2.[解析] B ；令x
x x f --=23
2)(，则42
0)0(0
23-=-=-f ，121)1(123-=-=-f ，722)2(223=-=-f ，可
见
0x 所在的区间是(12)，
3.[解析]1；方程2x=2－x 的解可看作函数y=2x 和y=2－x 的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象（如下图）.
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
4．[解析] A ；令22)(-+=x x f x ，则01202)0(0<-=-+=f ，01212)1(1>=-+=f ，所以方程22
x
x +=的解所在区间是（0，1）
5.[解析] [2,2.5]；令52)(3--=x x x f ，则
015222)2(3
<-=-⨯-=f 0)25.2(5.255.225.2)5.2(223>-⨯=-⨯-=f ，故下一个有解区间为[2,2.5]
6.[解析] A ．在同一坐标系中作出函数
x
y )31
(=和x y 2log =的图象，发现10>x ，并且当010x x <<时，0
log )31
()(1211>-=x x f x
7.[解析] B ；由图可知，][)(a a x f ，-∈，][)(a a x g ，-∈，由左图及f[g(x)]=0得
]2[)(1a a x x g --∈=，，]02[)(2，a x x g -∈=，2)(a
x g =
，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得)
2()(0a a
x x f ，∈=，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得
]2[)(1a a x x f --∈=，，]02[)(2，a x x f -∈=，2)(a
x f =
，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三
个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得)
2()(0a a
x x g ，∈=，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)
正确，所以应选择B
8.[解析](1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴21
6
5-
<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过)
9. 1、10<<a ;
10、B .【试题分析】令3
2()2
x
g x x -=-，可求得：(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。

易知函数()
g x 的零点所在区间为(1
2)，。

11、),3()0,3(+∞⋃-; 12、-4。

13． 解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间
]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项D 正确，见实例“1)(2
+=x x f 在区间]2,2[-上满
足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”。

14． 答案:A ，令0,0)(>∆=x f 即可； 15． 答案:B;
16．答案:C ，由)0()4(f f =-可得)(2
x f c bx x =++关于2-=x 对称，∴22
-=-
b
,∴,2)2(,4-=-=f b ∴2=c ，∴24)(2++=x x x f ，∵x x f =)(，∴212--=或或x 。

17、 答案:D, ∵为奇函数)(x f ,∴,0)2()2(),3(0)0(==-==f f f f ∴,0)4()1(==f f 0)2(=f , ∴0)5(=f
18． 答案:C ，先求出)('x f ，根据单调性求解；
19． 分析：从二次方程的根分布看二次函数图像特征，再根据图像特征列出对应的不等式（组）。

解析：（1）设m x x x x f -+-=4)12()(2，
由βα<<2，知,0)2(<f ∴024244<-+-+m m ，
∴3-<m
（2）令a x x x f +-=53)(2
,01225>-=∆a ∴12
25<a ， 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-0)3(0)1(0)0(0)2(f f f f ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<+-<>++0
1527053001012a a a a ，∴012<<-a ， 综上，012<<-a 。

评析：二次方程、二次函数、二次不等式三者密不可分。

20．解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。

（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩
⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ， 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12<a b ，所以，10->x ； （2）由a a b x x 4)1(
)(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。

又0121>=a
x x ，所以21,x x 同号。

∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1
)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1
)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1
)1(120)0(0)2(2b a g g
解之得 41<b 或47>b 。

点评：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。