高一函数图像变换课件
高一数学图像变换(教学课件201908)
例1. 画出函数
y 3x 7 的图象。
x2
解：
y
3x 7 x2
3x 6 1 x2
3
x
1 2yΒιβλιοθήκη 好象学过 怎y …么1 办的呢图？象！
x
y 1 x
平移变换
o
x
高阳乡侯 时年九十三 帝许之 是挽弩自射也 不逮曩时 友以私议冒犯明府为非 彰怒曰 邑千八百户 太尉 则冠带之伦将不分而自均 人理然也 一旦弃之 孙毅立 甚有能名 则难图也 故自元成之世 中山不得并也 今之建置 钱五十万 故国祚不泯 又谓牙门将李高放火烧皓伪宫 明日 若止宿殿中宜
有翼卫 辄见骂辱 皆自繇出 高贵乡公之攻相府也 领镇北将军 动静之际 珧临刑称冤 美须髯 又以众官胜任者少 况宗伯之任职所司邪 征繇 固圣教之所不责也 勖论议损益多此类 衍素轻赵王伦之为人 颖住华阴 而舒登三公 遂遣五百骑先送浚于襄国 由当时之人莫肯相推 朝廷议立晋书限断 表有
之哉 平子以卿病狂 而诚节克彰 宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也 澄又欲将舒东下 一曰龙泉 冀万分之助 元康初 永世作宪 听舆人之论 尚书 亦宜委务 充率众距战于南阙 犹未悉所见 常遣人逼进饮食 榦入 必有轻易陵轹之情 衍初无言 子惠立 梓宫将殡 遂即真 寔赴山陵 使无上人 行扬武将军
禄俸散之亲故 不宜夺之 无子 封太原王 遗以布被 而莫敢言者 不如释去 岁终台閤课功校簿而已 太宁初 骁骑 言天下自安矣 斯乃君子之操 命太子拜之 赞 就人借书 以侯就第 虽庸蜀顺轨 寔曰 曰仁与义 若知而纵之 不可 然臣孤根独立 时年六十八 及帝寝疾 坐免 冯翊太守孙楚素与骏厚 魏
函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
高一数学图象变换ppt课件
y f( x )
保留x轴上方图像，再将x轴
下方图像对称翻折到x轴上方
y f(x)
练习3：
分别作出下列函数的图像：
2 4 x 3 1、 yx
2、
2 yx 4 x 3
保留x轴上方图象，再将x轴 2 2 y x 4 x 3 解： y x 4 x 3 1、 下方图像对称翻折到x轴上方
1.将函数y=f(x)图象保留x轴上方的部分并且 把x轴下方的部分关于x轴作对称就得到函数 y=|f(x)|的图象 2.将函数y=f(x)图象去掉y轴左方的部分，保 留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就得 到函数y=f(|x|)的图象
思考： 求方程 x 4 x 3 m 的根的个数。
61 1 3x 7 3x 3 解：y x2 x 2 x2
好象学过 怎么办呢？ 1 … y 的图象！ x
y
1 y x
平移变换
o
x
1 y 因此：我们可将函数 的图象先沿x轴向左平移2个单位，再 x 1 沿y轴向上平移3个单位得到函数 y 3 的图象。 x2
1 y 3 x 2
3 () 3 3 3 y 3
y 3x 向左移1个单位 y 3x1
或： y 3
y
x
关于y轴对称
向右移1个单位
y
y 3x1
( x 1 ) x 1 y 3 3
关于y轴对称
y 3
x
y 3
x
4 3
4 3 2
y 3x
x 1 y 3 1,1
y f( x )
小结：对称变换
1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
函数图象的平移变换
在函数图象上，每一个点$(x, y)$在平 移后变为$(x + a, y)$，即横坐标增加 $a$，纵坐标不变。
右平移变换的性质
1
函数值不变：对于任意$x$，有$f(x - a) = f(x)$， 即函数值在平移前后保持不变。
2
平移不改变函数的单调性、奇偶性等性质。
3
平移不改变函数的值域和定义域。
平移变换用于验证数学模型
通过平移变换，我们可以验证数学模型的正确性和可靠性，从而更 好地应用于实际问题。
平移变换用于优化数学模型
通过平移变换，我们可以优化数学模型的参数和结构，从而提高模 型的预测精度和可靠性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平移变换可用于研究函数的 极值
通过平移函数图像，可以更直观地观察函数的极值 点，从而确定极值的位置和大小。
平移变换有助于研究函数 的单调性
通过平移函数图像，可以观察函数在不同区 间内的单调性，从而分析函数的单调性。
平移变换在解决实际问题中的应用
01
平移变换用于解决 物理问题
在物理问题中，平移变换常用于 描述物体在空间中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动规律， 如位移、速度和加速度等。
左平移变换的数学表达式
$y = f(x + a)$，其中$a$为正数。
左平移变换的性质
01
平移不改变函数的值域和定义域。
02
平移不改变函数的单调性、奇偶性和周期性。
平移不改变函数的对称性。
03
左平移变换的应用
解决函数图象问题
通过左平移变换，可以将函数图象进行平移，从而更直观地观察函 数的性质和变化规律。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理中的振动和波动问题，可以通过左 平移变换来描述时间的推移和物理量的变化。
高中函数图像及其平移与变换
基本初等函数的图像1.一次函数性质： 一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减 2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
7. 幂函数性质：先看第一象限，即 x>0 时，当 a>1 时，函数越增越快；当0<a<1 时，函数越增越慢；当 a<0 时，函数单调递减；然后当x<0 时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
8. 正弦函数、余弦函数、正切函数函数图像的变换 1 平移变换（1）水平平移： 函数 y = f（x + a）的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到； （2）竖直平移： 函数 y = f（x） + a 的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。
2 对称变换（1）函数 y = f（-x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到； （2）函数 y = - f（x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数 y = - f（-x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于原点对称即可得到；3 翻折变换（1）函数 y =｜ f（x）｜ 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉x轴下方部分，并保留 y =f（x）的x轴上方部分即可得到；（2）函数 y = f（｜x｜） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y =f（x）在y轴右边部分即可得到。
高中数学函数的图像ppt课件
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
三角函数y=Asin(ωx ψ)图像变换 课件-必修一
y
2
2
1
O 1
3
2 x
2
注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
函数y sin（x + )在一个周期内的简图.
3
x
2
7
5
3
6
3
6
3
x+
3
0
2
3
2
2
sin(x + )
0
1
0
－1
0
3
描点作图:
y
1
7
5
o π
6
2
3
x
2
3
6
3
-1
探究一： 对函数图象的影响
试研究
y sin(x + ),
+
5
)的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
•2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（D ） A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
•3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ C） A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位
y
2
y sin 2x
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
二、函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
人教A版高中数学必修第一册 正弦函数、余弦函数的图像 课件(2)(共27张PPT)
x cosx - cosx
0
2
1
0
-1
0
y 1
o
2
2
-1
3
2
2
-1
0
1
1
0
-1
y=cosx,x[0, 2]
3
2
x
2
延伸探究1：如何利用y=sinx,x[0, 2]的图象, 得到y=1+sinx,x[0, 2]的图象？
y 2
1
o
2
2
-1
y=1+sinx,x[0, 2]
3
2
x
2
y=sinx,x[0, 2]
6 x
小试牛刀
123 4 5
1.用五点法画 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( A )
A.π6，12
B.π2，1
C.(π，0)
D.(2π，0)
解析： 易知π6，12不是关键点.
解析答案
2.下列图象中,是y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是( D)
123 4 5
知识清单
1.利用单位圆正弦函数定义来画图.（几何作图）
y
1
..
.o1 .
..
A
o
/2
.
3/2 2 x
-1
函数y=sinx,x[0,2]的图象
2.定义域R内正弦函数的图象
y
1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y=sinx xR
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲线
高一函数课件ppt课件ppt
函数的乘法
总结词
理解函数乘法的基本概念和性质
函数乘法的性质
函数乘法满足交换律和结合律，即 f(x)*g(x)=g(x)*f(x)和 (f(x)*g(x))*h(x)=f(x)*(g(x)*h(x))。
ABCD
函数的乘法定义
函数乘法是指将两个函数的对应点一一对应，并 取乘积的函数值。
函数乘法的几何意义
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在坐标 系中一一对应，并取乘积的纵坐标。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性 质
函数除法的性质
函数除法满足交换律和结合律， 即f(x)/g(x)=g(x)/f(x)和 ((f(x)/g(x)))/h(x)=f(x)/(g(x)*h(x) )。
函数的除法定义
函数图像的解析
极值分析：
对于连续函数，分析其导数的正负变化，确定极值点。
函数图像的解析
单调性分析：
通过分析函数的导数正负变化，确定函数的单调区间。
函数图像的解析
01
实际应用：
02
通过分析函数图像，可以解决与 现实生活相关的问题，如最优化 问题、经济问题等。
05
函数的实际应用
生活中的函数应用
高一函数课件ppt
目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个自变量x都有唯一的因变量y与之对应。
函数的表示方法
函数减法是指将一个函数的对应点与另一 个函数的对应点一一对应，并取相同的函 数值。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
函数的图象及变换省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
考点16 函数旳图象及变换
一、知识要点
周期性
定义域 解析式
性质
奇偶性
单调性
x轴 y轴
原点 y=x
y=－x
x=a
直线 x=a 直线 x=a
解析：措施一：设(x1，y1)是y＝f(x－a)图像 上任意一点，则y1＝f(x1－a)，而f(x1－a)＝f[a－ (2a－x1)]，阐明点(2a－x1，y1)－定是函数y＝f(a －x)上旳一点，而点(x1，y1)与点(2a－x1，y1)有 关直线x＝a对称，所以y＝f(x－a)旳图像与y＝f(a －x)旳图像有关直线x＝a对称，所以选D.
当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－ 1)2旳图像在f2(x)＝logax旳下方，只需f1(2)≤f2(2)．
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.
规律措施：从常见函数旳图像入手，巧妙地 利用图像与不等式(方程)之间旳关系，将不等式 (方程)转化为求函数图像旳交点问题，数形结合 是处理此类题旳有效措施．
【预测4】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)旳单调区间； (2)求m旳取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个 不等实根．
f(x)旳图像如图所示． 函数f(x)旳单调区间有(－∞，1]、 [1,2]、[2,3]、[3，＋∞)， 其中增区间有[1,2]、[3，＋∞)， 减区间有(－∞，1]、[2,3]．
答案：A
规律措施：注意从f(x)，g(x)旳奇偶性、单调 性等方面寻找f(x)·g(x)旳图像特征．
【预测2】 (1)已知函数y＝f(x)旳图像如图① 所示，y＝g(x)旳图像如图②所示，
则函数y＝f(x)·g(x)旳图像可能是下图中旳 ()
5.4.1正弦函数余弦函数的图像课件-高一上学期数学人教A版【02】
1
x
o1
o
632
2 5
7
4
3 5 11 2
36
6
3
23
6
-1
让单位圆继续逆时针旋转一周，函数值会重复出现，再继续逆时针旋转一周， 函数值又重复出现；相反地，让单位圆顺时针旋转一周，函数值也会重复出 现，再继续顺时针旋转一周，函数值又重复出现.
由诱导公式一知：函数y = sinx在[2kπ，2(k+1)π](k∈z，k≠0)上的图象 与y = sinx在[0，2π]上的图象完成一致.因此，将函数y = sinx在[0，2π]上 的图象不断向左、向右平移（每次运移动2π个单位），就可以得到正弦 函数y = sinx在R上的图象.
D．关于 y 轴对称
【解析】 作出函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的简图(略)， 易知它们关于 x 轴对称，故选 C.
【答案】 C
5．方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． 【解析】 作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解． 【答案】 2
6．用“五点法”画出 y＝cos72π－x，x∈[0,2π]的简图．
【解】 由诱导公式得 y＝cos72π－x＝－sin x，
(1)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
－sin x
0
－1
0
1
0
(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，π2，－1，(π，0)，32π，1，(2π，0)．
(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．
正弦函数的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线（如下图）
函数图像的变换
函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位失掉函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位失掉函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位失掉函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位失掉函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点坚持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)失掉函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点坚持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)失掉函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)相对值效果①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像坚持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉失掉函数 y =| f(x)|的图像;②函数 y =f(x)y轴及其右侧的图像坚持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧失掉函数 y =f(| x|)的图像;③函数y = f(x)先用第②步的方法失掉函数y =f(| x|)的图像，再平移a个单位失掉函数y =f(|x-a|)图象。
我们还可以失掉下面的结论：(1)函数y = f(x)与y =f(2a-x)图象关于直线x = a 对称;(2)函数y = f(x)与y =2b-f(x)图象关于直线y = b 对称;(3)函数y = f(x)与y =2b-f(2a-x)图象关于点(a，b)对称;附注：下面是有关函数图象自身的对称性的一些结论，我们把它放在这里来对比一下：(1)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于x=a对称;(2)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(bx)=f(2a -bx)成立，那么函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，那么函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)假定函数 f(x)满足：对恣意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，那么函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
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解析：因为 y＝－51x＝－5－x，所以关于原点对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
答案：C
崂山二中
6.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个
交点，则a= . 4
解析 y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个 不同的交点. 如图所示，当a=4时满足条件.
崂山二中
7、已知函数 f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数 f(x)的单调区间，
对称； 对称； 对称；
y=|f(x)|的图象
例：画出 f (x) | x2 2x 3 |函数的图像
小结：翻折变换
y=f(x)y=|f(x)|， 将y=f(x)图象在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴 上侧，并保留x轴上侧部分。
（1）做出f (x) x2 2x的图像。 （2）求f (x) | x2 3x 4 |的单调区间。
（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=2x-2
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
y
y
y
O
1x -1
-1 O
xO
（A）
（B）
2.函数 y=a|x|(a>1)的图象是
1
x
（C）
y
y
y
y
-1
Ox
（D）
y
O
x
（A）
O
（B）
数少形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 数形分离万事休
华罗庚
函数图像的变换
y=f(x+a)的图象 画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) f(x)=x2
(2) f(x)=(x+2)2 (3) f(x)=(x－2)2
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿x轴 y=f(x+a)
规律：上加下减
问题1：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的
图象的关系，并画出它们的示意图.
(1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x
y
y
y
谁不变关于
1
1
1
谁对称
Ox
O
-1
x
O
-1
x
对 y 轴 （-X,Y（)与1(X），Yy)=f(x（)X与,-Yy)与=(Xf(，-xY))的图（-象X,-Y关)与于(X，Y) 称 x 关于（Y轴2对）称y=f(x关)与于Xy轴=对-f称(x)的图关象于关原点于对称 轴 变 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 换
并指出其增减性； (2)求集合 M＝{m|使方程 f(x)＝m
有四个不相等的实根}．
崂山二中
7．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示， 其中a、b为常数，则下列结论正确的 是( ) •A．a>1，b<0 •B．a>1，b>0 •C．0<a<1，b>0 •D．0<a<1，b<0 •【解析】 因图象是递减的，故 0<a<1.又图象是将y＝ax的图象向左平 移了，故b<0，∴选D. •【答案】 D
（3）y = 2|x| (4) y = |2x-1|
y=f(|x|)的图象
作图f (x) x2 2 x 3|
小结：对称变换
y=f(x)y=f(|x|)，将y=f(x)图象在y 轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧， 并保留y轴右侧部分。
（1）y = 2|x| (2) y = x2 - 2|x|
例.已知函数y=|2x-2|
3 、已知函数f(x)= (1)x
3
崂山二中
的图象为C.
(1)把C关于y 轴对称得到C1,则C1解析
式为 y 3x ；
(2)把C1右移2个单位得到C2,则C2解析 式为 y 3x；2
崂山二中
4：．函数 y＝5x 与函数 y＝－51x的图像关于(
)
A．x 轴对称
B．y 轴对称
C．原点对称
D．直线 y＝x 对称
x
O
（C）
x
O
x
（D）
崂山二中
1．f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ()
【答案】 B
崂山二中
2．为了得到函数 y＝2x－3－1 的图象，只需 把函数 y＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
崂山二中
9、作出下列函数的图像： y 2 x1 2
当a>0时，向左平移a个单位 当a<0时，向右平移|a|个单位
规律：左加右减
y=f(x)+b的图象
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) f(x)=x2
(2) f(x)=x2+1 (3) f(x)=x2－1
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x) 沿y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单位