归类解析排列组合分组分配问题

归类解析分组、分配问题
四川省仪陇中学新政校区 魏登昆
高中数学排列组合中元素的分组、分配问题在高考中常出现，有一定的难度。

学生在学习中对这类问题的处理主要错误表现在审题不清、归类不明，现笔者就这类问题归类解析： Ⅰ、 不同元素分组问题
1、非平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意12,m
n n n 件无记号的m 堆且这m 堆的个数互不等，其分法数为N=121
n
n
m n n p p n m C C C -∙∙∙
2、平均分组无归属问题, 即将相异的P(P= m n ∙)个物件分成无记号的m 堆，其分法数为N=
2n
n
n
n
p p n n n
m
m
C C C C A -∙∙
3、部分平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意
12,m n n n 件无记号的m 堆，且12,m n n n 这m 个数中分别有a,b,c 个相等，其分法数为N=2n
n
n
n
p p n n n
a
b
c
a b c C C C C A A A -∙∙∙∙
例1:现有12件不同礼品①平均分成三堆;②分成件数为2,4,6三堆;③分成件数为2,2,2,3,3五堆，其方法数分别为多少?
(答: 4
4
4
1284
133
C C C N A =
; 246212106
N C C C = ; 22233
1210863
33
2
32
C C C C C N A A =
)
Ⅱ、 不同元素分配问题
1、无限定分配有归属问题
即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给m 个人,物件分完,分别得12,m n n n 件求其分法数.它的处理方法是:第一步将这p 件物件按Ⅰ类中相应类别分成m 堆,第二步将这m 堆对应m 个人进行全排列.
例2: :现有12件不同礼品①平均分给三个人;②分给三个人其中一人得2件, 一人得4件, 一人得6件;③分给五个人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法数分别为多少?
(答: 3
113M N A =∙ : 3
223M N A =∙ ; 5
335M N A =∙ 其中123,,N N N 为例1的结果 ) 例3:(09重庆) 将4名大学生分配到3个乡镇当村官,每个乡镇至少一人,有不同的分配方法有多少种?
分析:先把4人按1,1,2分三组再对应三个岗位进行全排列即有:
1
1
2
3
432
322
C C C A A ∙=36种方法.
例4: 集合}{{}1,2,3,4,5,,,,:A B a b c f A B ==→且B 中每一个元素都有原像,这样的映射有多少个?
分析:先把A 中元素分成个数为1,1,3和1,2,2的三堆有
1
1
3
122
543
542
22
2
2
C C C C C C A A +
=25种,再用这三
堆和B 中三个进行全排列,所以最后为25*3
3A =150个这样的映射.
2 、限定分配有归属问题
即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给甲,乙，丙….等m 个人,物件分完,其中甲得1n 件,乙得2n 件, 丙得3n 件 求其分法数是多少?. 它的处理方法是：无论1,2,m n n n 中的m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N=121
n
n
m n n p p n m C C C -
例5: :现有12件不同礼品①分给甲,乙,丙三个人每人4件;②分给三个人其中甲得2件, 乙得4件, 丙得6件;③分给五个人其中甲,乙,丙三人各得2件,其余二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 4
4
4
2
4
6
2
2
2
3
3
1128421210631210863,,N C C C N C C C N C C C C C ===)
Ⅲ 、相同元素分组问题
这类问题的模型即把n 个相同的小球装入m 个相同的盒子，不允许空盒（允许空盒），有多少装法,只须将n 分解成m 个正整数（自然数）的和且不考察顺序的分解个数一一枚举出来即可.如：6个相同的小球装入3个相同的盒子,每盒子不空,有多少装法?因为6只有1+1+4,1+2+3,2+2+2这三种求和分解式,所以只有三种装法.
Ⅳ 、相同元素分配问题(隔板法)
即把n 个相同的元素(如名额、指标)分配给m 个不同的单位.这种类型可建立如下模型，即把n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子有多少装法?①不允许出现空盒,现假设这n 个小球排成一条线用隔板把它们隔成m 段,每一种隔法就对应一种装法,只须在中间n-1个空隙插入m-1个隔板即1
1m n C --种隔法;②允许出现空盒, 它的处理方法是(借马分马),即借m 个这样的小球先每个盒子装一个,这样就转化成了m+n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子(每盒不空)有多少装法?所以应有1
1m m n C -+-种装法.
例6:将12个学生干部的培训指标分配给9个不同的班级,每个班级至少分得1个名额,共有多少分配方法?(答:共有8
11C =165种分配方法)
例7:①不定方程*
12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的正整数解有1
1m n C --个
②不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的自然数解有1
1m m n C -+-个
③不定方程*
12(,)m X X X n m n N +++=∈ 满足条件()
*
,1,2i X k k N i m ≥∈= 的正整数解有1
1m n m k m C --+-
总之,这类问题一定要认真审题分清是相同元素还是不同元素, 是分组还是分配,然后就可以归入以上类别,迎刃而解了. 巩固提高训练 1、①7个相同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？②7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ③7个不同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ④7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？⑤7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ ⑥7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ 2、（09湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法数为：（ ）A 、18 B 、24 C 、30 D 、36 3、10个相同的小球放入4个不同的盒子，要求一个盒子有1个球，一个盒子有2个球，一个盒子有3个球，一个盒子有4个球，不同的放法数有（ ）A24 B10 C30 D12600 4、（06天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的盒子里，使得放入每个盒子的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 B20 C36 D52 参考答案：1：3、20、350、8400、120、16384 ， 2：C ， 3：A ， 4：A 。