4_UPU并联机器人机构及其运动学

4-U PU 并联机器人机构及其运动学

赵铁石　陈　江　王家春　黄　真

燕山大学,秦皇岛,066004

摘要:提出了一种能实现空间三维移动和绕Z 轴转动的机构模型———空间4-U PU 并联

机器人机构模型。采用螺旋理论分析了4-U PU 并联机器人机构实现空间三移一转运动的机构学原理,计算了其自由度,讨论了输入的合理性;给出了其位置反解的方法,导出了位置正解的封闭方程,进行了数值验证,并分析了该机构的工作空间和奇异位形。该机构是一种过约束机构,具有结构对称且相对简单、刚度大等优点,可用于开发新型工作台、并联机床、四维力传感器以及微操作机器人等。

关键词:并联机构;运动学;奇异位形;工作空间中图分类号:T H112 文章编号:1004—132Ⅹ(2005)22—2034—054-UPU P arallel Manipulator Mechanism and Kinematics

Zhao Tieshi Chen Jiang Wang Jiachun Huang Zhen

Yanshan University ,Qinhuangdao ,066004

Abstract :A novel 4-U PU parallel manip ulator mechanism t hat can perform t hree -dimensional t ranslations and rotatio n about Z axis was p resented.The principles t hat t he mechanism can perform t he above motions were analyzed based on screw t heory ,t he mobility of mechanism was calculated ,and t he rationality of chosen inp ut joint s was discussed.The forward and inverse position kinematics solutions of t he mechanism and correspo nding numerical examples were given ,t he workspace and t he singularity of t he parallel mechanism were discussed.The mechanism having t he advantages of simple symmet ric st ruct ure and large stiff ness can be applied to t he develop ment s of NC parallel platforms ,parallel machine tools ,four -dimensional force sensors and micro -positional parallel manip ulators.

K ey w ords :parallel manip ulator ;kinematics ;singularity co nfiguration ;workspace

收稿日期:2005—01—31

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50375134);河北省博士基金资助项目(B2003221)

0　引言

自上个世纪80年代以来,并联机器人由于具有刚度质量比大、输入误差不累积和承载能力高等特点,而成为国际上机器人学研究热点领域之一[1,2]。近年来,少自由度并联机构成为机器人技术中研究的新热点。与六自由度并联机器人相比,少自由度并联机器人具有结构简单,造价低等特点,因此,在工业生产及其他领域有着广阔的应用前景。文献[3～8]对少自由度并联机器人机构进行了研究。但是,由于大多数少自由度并联机构中存在过约束和自由度耦合等现象,所以这类并联机构的运动学分析较复杂,运动规律难以直观判别。

本文提出了一种能实现空间三维移动和绕Z 轴转动的并联机器人机构模型———空间4-U PU 并联机构模型。

1　4-U PU 并联机构结构特点

1.1　结构与约束特征

4-U PU 机构模型及其坐标系的建立如图1

所示,O -X Y Z 和P -xy z 分别是固连于下平台和上平台的坐标系,Z 轴和z 轴垂直向上。该机构有4个分支,每个分支由4个转动副和一个移动副组成。其中各分支从下平台算起的第一、第五转动副轴线互相平行,且平行于Z 轴;第二、第四转动副轴线相互平行且与Z 轴垂直;各分支第四转动副轴线位于同一平面内

。

图1　三转一移4-U PU 并联机构

设第四转动副和第五转动副的轴线交点为

b i (i =1,2,3,4),位于上平台上,且在同一平面内构成边长为2d 的正方形,第一转动副和第二转动

副的轴线交点为a i (i =1,2,3,4),位于下平台上,且在同一个平面内,构成边长为2R 1,宽为2R 2的矩形。坐标系O -X Y Z 的原点为矩形a 1a 2a 3a 4的中心。这样各分支运动副轴线在坐标系O -X Y Z 中可以用螺旋统一表示为

S i 1=(0,0,1;0,0,0)S i 2=(l i 2,m i 2,0;0,0,0)S i 3=(0,0,0;P i 3,Q i 3,R i 3)S i 4=(l i 4,m i 4,0;P i 4,Q i 4,R i 4)S i 5=(0,0,1;P i 5,Q i 5,0)

(1)

式中,下标i 表示机构的i 个分支,i =1,2,3,4;l i 2、m i 2、

l i 4、m i 4分别为第二、第四运动副轴线的方向余弦;P i 3,Q i 3,R i 3为第三运动副轴线的方向余弦;P i 4、Q i 4、R i 4、P i 5、Q i 5为由相应的位置决定的参数。

由于各分支的5个运动螺旋是线性无关的,可以求出各个分支的反螺旋为

S r i 1=(0,0,0;l r i 2,m r i 2,0)(2)

l i 2l r i 2+m i 2m r i 2=0。

式(2)表示的是一个反螺旋力偶矢,约束上平台绕平行于(l r i 2,m r i 2,0)方向的转动。这样,4个分支作用在上平台上的约束,可以用4个反螺旋S r 11、S r 21、S r 31、S r 41表示。很明显,这4个反螺旋力偶矢是线性相关的,它们可由两个反螺旋力偶矢线性组合得到:

S r 1=(0,0,0;1,0,0)S r 2=(0,0,0;0,1,0)

(3)

式中,S r 1、S r 2

分别为绕X 轴转动和绕Y 轴转动的约束力偶

矢,表示上平台失去了绕X 轴和Y 轴转动的自由度。

这说明4个反螺旋S r 11

、S r 21

、S r 31

、S r 41

共同约束了上平台绕X 轴和Y 轴的转动,所以此并联机构是一个能实现三维移动和绕Z 轴转动的四自由度的空间机构,且机构内存在两个虚约束,是一个过约束机构(overconst raint mechanism )。

这里采用Kutzbach -Grubler 公式来计算4-U PU 并联机构的自由度:

M =d (n -g -1)+

∑g

i =1

f

i

+ζ(4)

式中,M 为机构自由度数;d 为机构的阶数,d =6-λ;λ为机构的公共约束数;n 为机构的构件数;g 为运动副数;f i 为第i 运动副的相对自由度数;ζ为Kutzbach -Grubler 公式的修正项。

ζ是由于机构内部存在局部自由度、消极自

由度,以及冗余的虚约束等给出的相应修正数值。上面应用螺旋理论判别出4-U PU 并联机构存在两个冗余的虚约束,即消极封闭约束,因此,在应用Kutzbach -Grubler 公式计算机构的自由度时应加2。机构中不存在局部自由度和消极自由度,所以ζ=2,机构的自由度M =4。

1.2　输入的合理性判别

空间并联机构通常每个分支有一个输入,那么在各分支上选取的一组输入是否能使上平台产

生确定的输出就是并联机构输入合理性的判别问题。由上节可知,4-U PU 并联机构是一个具有过约束的空间多闭环机构。对于这类机构,四分支任选一组输入是否会产生新的虚约束很难直观判别。因此,本文应用文献[9]给出的基于螺旋系线性相关性的空间并联机构输入选取合理性判别方法来判别4-U PU 机构输入的合理性。由文献[9]可知,当以各分支的移动副作为输入时,即刚化移动副后,各分支的运动副螺旋系可表示为

S i 1=(0,0,1;0,0,0)S i 2=(l i 2,m i 2,0;0,0,0)S i 4=(l i 4,m i 4,0;P i 4,Q i 4,R i 4)S i 5=(0,0,1;P i 5,Q i 5,0)

相应地,各分支作用在上平台上的约束反螺旋为

S r i 1=(0,0,0;l r i 2,m r i 2,0)S r i 2=(p i ,q i ,r i ;u i ,v i ,w i )

(5)

式中,(p i ,q i ,r i )为a i 点到b i 点的直线l iab 的方向矢量;

(u i ,v i ,w i )为直线l iab 相对坐标系O -X Y Z 的线距,即l iab

×l Oai ,其中l Oai 表示坐标原点O 到a i 点的直线。

由式(5)可见,当以移动副作为输入时,各分

支对上平台增加了一个以反螺旋S r i 2表示的约束。

S r

i 2表示一个方向沿直线l iab 且过a i 点的一个约束

力线矢。这样,刚化4个移动副后,上平台又受到了4个约束力的作用。这4个约束力只要不空间交于一点,就不线性相关,且不与式(3)的两个约束力偶线性相关,即式(5)给出的8个约束反螺旋的秩为6,上平台受到6个线性无关的反螺旋约束,失去了所有的自由度,因此,这组输入的选择是合理的。

2　4-U PU 并联机构的位置解

2.1　位置反解

图1中,a 1a 2a 3a 4为一个长为2R 1,宽为2R 2

的矩形,b 1b 2b 3b 4为一个边长为2d 的正方形。图2所示为机构初始位置时的俯视图。

设(X P ,Y P ,Z P ,α,β,γ

)为上平台坐标原点P 相对于坐标系O -X Y Z 的位移和坐标系P -xy z 绕X 、Y 、Z 三轴的角位移。其中,由于上平台只能做三维移动和绕Z 轴的转动,故有α=β=0。另外,b i 点在坐标系O -X Y Z 、P -xy z 中的坐标分别为{X bi ,Y bi ,Z bi }和{x bi ,y bi ,z bi };a i 点在坐标系O -X Y Z 中的坐标{X a 1,Y a 2,Z a 1}。由此,可以根据坐标转换建立如下方程:

{X bi ,Y bi ,Z bi ,1}T =T OP {x bi ,y bi ,z bi ,1}T

(6)