M10-2电路分析 第十章

所示电路中， 例10-4 图10-9所示电路中，已知 所示电路中 已知R=1Ω, C=2F, Ω iS(t)=2cos(3t+45°)A, 试用相量法求解电容电压uC(t) ° 试用相量法求解电容电压 的特解。 的特解。
图 10-9
解：写出电路的微分方程
du C 2 + u C = 2 cos(3t + 45o ) dt
U Cm =
I Sm
ω 2 C 2 + (1 / R) 2
ψ u = ψ i − arc tan(ωCR )
计算出电容电压的振幅和初相，得到稳态响应 计算出电容电压的振幅和初相，
u Cp (t ) = U Cm cos(ωt + ψ u )
用相量表示正弦电压电流后， 用相量表示正弦电压电流后，可将微分方程转换为复 系数代数方程，求解此方程得到特解的相量后， 系数代数方程，求解此方程得到特解的相量后，易于写出 正弦稳态响应的瞬时值表达式。 正弦稳态响应的瞬时值表达式。 对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路， 对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先 写出n阶常系数微分电路， 写出 阶常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦 阶常系数微分电路 电压电流，将微分方程转变为复系数代数方程， 电压电流，将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代 数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。 数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。
uC (t ) = [uC (0) − U Cm cosψ u ] ⋅ e + U Cm cos(ωt + ψ u ) (t ≥ 0) 14444 4444 2 3 1442443
暂态响应 正弦稳态响应
−
t RC
(10 − 11)
曲线1表示通解，是电路的自由响应， 曲线 表示通解，是电路的自由响应，当RC>0的条件 表示通解 的条件 将随着时间的增加而按指数规律衰减到零， 下，将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态 响应。 响应。 曲线2表示特解， 按照正弦规律变化， 曲线 表示特解，按照正弦规律变化， 其角频率与激 表示特解 励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后的响应， 励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后的响应，称为 正弦稳态响应。 正弦稳态响应。
du C 2 + u C = 2 cos(3t + 45o ) dt
将正弦电流用相量表示
e j3t ) & u Cp (t ) = U Cm cos(3t + ψ u ) = Re(U Cm e j3t )
o
iS (t ) = 2 cos(3t + 45 ) = Re(2e
j45o
代入微分方程中
& e j3t ] = Re(2e j45o e j3t ) Re[(j3 × 2 1)U Cm ＋
−
的形式与电流源相同， （3）微分方程特解 Cp(t)的形式与电流源相同，为同一频 ）微分方程特解u 的形式与电流源相同 率的正弦时间函数， 率的正弦时间函数，即
u Cp (t ) = U Cm cos(ωt + ψ u )
u Cp (t ) = U Cm cos(ωt + ψ u )
将上式代入微分方程中
§10－2 正弦稳态响应 － 一、正弦电流激励的RC电路分析 正弦电流激励的 电路分析
电路原来已经达到稳定状态， 时刻断开开关， 电路原来已经达到稳定状态，在t=0时刻断开开关， 时刻断开开关 作用于RC电路 正弦电流i 作用于 电路， 正弦电流 S(t)=ISmcos(ω t+ψi)作用于 电路，求电容电压 uC(t)的响应。 的响应。 的响应
du C 1 C + u C = I Sm cos(ωt + ψ i ) dt R t≥0 (10 − 7)
1 − ωCU Cm sin(ωt + ψ u ) + U Cm cos(ωt + ψ u ) = I Sm cos(ωt + ψ i ) R
求解得到
U Cm =
I Sm
ω 2C 2 + (1 / R) 2
Cp Cm u Cm
代入微分方程
d & e jωt )] + 1 Re(U e jωt ) = Re( I e jωt ) & & C [Re(U Cm Cm Sm dt R
取实部与微分运算的次序交换
& e jωt )] + 1 Re(U e jωt ) = Re( I e jωt ) & & Re[(jωCU Cm Cm Sm R 1 & & Re[(jωC＋ )U Cm e jωt ] = Re( I Sm e jωt ) R
图 10-9
电路的微分方程如下: （1）建立 电路的微分方程如下 ）建立t>0电路的微分方程如下
du C 1 C + u C = I Sm cos(ωt + ψ i ) dt R t≥0
t RC
(10 − 7)
（2）对应齐次微分方程的通解 Ch(t)为 ）对应齐次微分方程的通解u 为
uCh (t ) = Ke st = Ke
由于方程在任何时刻相等， 由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相 等，由此得到一个复系数的代数方程
1 & & (jωC + )U Cm = I Sm R
(10 − 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
& U Cm
& I Sm = = U Cm ∠ψ u jωC + 1 / R
电容电压的振幅和ห้องสมุดไป่ตู้相分别为
可以得到复系数代数方程
& (j6 + 1)U Cm = 2∠45o
& (j6 + 1)U Cm = 2∠45o
求解此代数方程得到电容电压相量
o & = 2∠45 = 2∠45 U Cm = 0.329∠ − 35.5 V o (1 + j6) 6.08∠80.54 o o
由此得到电容电压的瞬时值表达式
4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流 根据所得到的相量， 的瞬时值表达式。 的瞬时值表达式。
用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下： 用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下： 1. 画出电路的相量模型，用相量形式的 画出电路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和 ， 和 VCR直接列出电路的复系数代数方程。 直接列出电路的复系数代数方程。 直接列出电路的复系数代数方程 2. 求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电 流的相量表达式。 流的相量表达式。 3. 根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的 根据所得到的各个相量， 瞬时值表达式。 瞬时值表达式。
(10 − 8)
ψ u = ψ i − arctan(ωCR)
(10 − 9)
（4） ）
微分方程的完全解为
− t RC
uC (t ) = Ke
可以求得
+ UCm cos(ω t +ψ u )
(t ≥ 0) (10 −10)
K = u C (0) − U Cm cos ψ u
最后得到电容电压u 的全响应为 最后得到电容电压 C(t)的全响应为
uCp (t ) = 0.329cos(3t − 35.5 )V
o
相量法求微分方程特解的方法与步骤： 相量法求微分方程特解的方法与步骤： 1. 用KCL，KVL和VCR写出电路方程，以电压电流为 写出电路方程， ， 和 写出电路方程 变量，写出 阶微分方程 阶微分方程。 变量，写出n阶微分方程。 2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将n阶微 用相量表示同一频率的各正弦电压电流， 阶微 分方程转换为复系数代数方程。 分方程转换为复系数代数方程。 3. 求解复系数代数方程得到需求解的电压或电流相量 表达。 表达。
图 10-10
二、 用相量法求微分方程的特解
求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的 特解。 特解。 用相量来表示正弦电压电流。 用相量来表示正弦电压电流。
& iS (t ) = I Sm cos(ωt + ψ i ) = Re(I Sm e jωt ) & u (t ) = U cos(ωt + ψ ) = Re(U e jωt )