江苏省扬州市2007~2008学年度第二次调研测试试题高三数学
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高三数学参考答案
第 一 部 分
一、填空题 1.{1,2,4} 2.1i + 3.2
2x x + 4.247
- 5.24
6.1
7.2sin(2)3
x π
+
8.
4
π
9.19 10.1
11.210x y -+=
12 13.4- 14.①②③⑤
二、解答题:
15.解:本题的基本事件共有27个(如图).----------------------------------------------------3分 (1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A,由图可知,事件A 的基本事件有1×3=3个,故31
()279
P A =
=.------------------------------------------------------------------------------6分 (2)记“相邻2个矩形颜色不同”为事件B,由图可知,事件B 的基本事件有3×2×2=12个,
故124
()279
P B =
=.-----------------------------------------------------------------------------12分 答:3个矩形颜色都相同的概率为19,相邻2个矩形颜色不同的概率为4
9
.------------14分
16.解:(1)AB AC BC =-
,
22222AB AC BC AC BC =+-⋅=
,
AB =.
(或由3
cos 4
ACB ∠=及余弦定理求得----------------------------------------7分 (2)∵ A C A B
B C >> ∴ B C A >>,即求B A -的某个三角函数值, --------------------------------------9分
222cos
2BA BC AC B BA BC +-==⋅⋅sin B =,
222cos
2AB AC BC A AB AC +-==
⋅⋅sin A = -------------------------------11分 sin()sin cos cos sin B A B A B A -=-,
(
8=
-=.------------------------------------------------14分
(或1
cos()8
B A -=
,tan()B A -= 17.证:(1)∵ //PQ AB 且1
2
PQ AB =,
AB 在平面PQRS 外,PQ ⊂平面PQRS ,
∴ AB//平面PQRS ,-----------------------------------------------------------------------------3分 又SR=平面PQRS 平面ABD ,
AB 在平面ABD 内, ∴ AB//SR .
∵ S 是AD 中点,∴ R 为BD 中点,-----------------------------------------------------5分 ∴ //AB SR 且1
2
SR AB =
, ∴PQ//SR 且PQ=SR ,
故四边形PQRS 是平行四边形. ------------------------------------------------------------7分
(2)AM =--------------------------------------------------------------------------------------9分
∵ CM ⊥AB ,DM ⊥AB ,CM DM=M ∴ AB ⊥平面MCD ,从而AB ⊥CD . 又∵ AB//PQ ,QR//CD ,
∴PQ⊥CM,PQ⊥CD,
由CM CD=C,
∴PQ⊥平面MCD,---------------------------------------------------------------------------12分又PQ 平面PQRS,
∴平面PQRS⊥平面MCD.-----------------------------------------------------------------15分
18.解:(1)2'()(3)x f x x x e =-,--------------------------------------------------------------2分
'(1)2f e =-,(1)f e =,---------------------------------------------------------------------4分
因此直线方程为2(1)y e e x -=--,即230ex y e +-=.---------------------------7分 (2)2'()[(2)(5)]x f x x a x a e =----,------------------------------------------------------9分
依题意2()(2)(5)g x x a x a =----在区间[0,)+∞上非负, ①
2
02
a -≥时,2(2)4(5)0a a ∆=-+-≤, 即⎧⎨⎩2
44
a a -≤≤≥解得24a ≤≤;-----------------------------------------------------------12分
②
2
02
a -<时,(0)(5)0g a =--≥,得2a <; 综上可得4a ≤.----------------------------------------------------------------------------------15分
另解:2()(2)(5)g x x a x a =----在区间[0,)+∞上非负,
225(1)x x a x ++≥+在区间[0,)+∞上恒成立;
225
1x x a x ++≥+在区间[0,)+∞恒成立;
4
(1)1
x a x ++
≥+在区间[0,)+∞恒成立; 综上可得4a ≤;
19.解:(1)圆C :2
2
(1)(1)1x y -+-=,当1b =时,点(0,1)M 在圆上,
故当且仅当直线l 过圆心C 时满足MP MQ ⊥, ∵ 圆心坐标为(1,1),
∴ 1k =.----------------------------------------------------------------------------------------6分