江苏省扬州市2007～2008学年度第二次调研测试试题高三数学
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高三数学参考答案
第 一 部 分
一、填空题 1．{1,2,4} 2．1i + 3．2
2x x + 4．247
- 5．24
6．1
7．2sin(2)3
x π
+
8．
4
π
9．19 10．1
11．210x y -+=
12 13．4- 14．①②③⑤
二、解答题：
15．解：本题的基本事件共有27个（如图）．----------------------------------------------------3分 （1）记“３个矩形都涂同一颜色”为事件Ａ，由图可知，事件Ａ 的基本事件有１×３＝３个，故31
()279
P A =
=．------------------------------------------------------------------------------6分 （2）记“相邻2个矩形颜色不同”为事件Ｂ，由图可知，事件B 的基本事件有3×2×2＝12个，
故124
()279
P B =
=．-----------------------------------------------------------------------------12分 答：3个矩形颜色都相同的概率为19，相邻2个矩形颜色不同的概率为4
9
．------------14分
16．解：（1）AB AC BC =-
，
22222AB AC BC AC BC =+-⋅=
，
AB =．
（或由3
cos 4
ACB ∠=及余弦定理求得----------------------------------------7分 （2）∵ A C A B
B C >> ∴ B C A >>，即求B A -的某个三角函数值， --------------------------------------9分
222cos
2BA BC AC B BA BC +-==⋅⋅sin B =，
222cos
2AB AC BC A AB AC +-==
⋅⋅sin A = -------------------------------11分 sin()sin cos cos sin B A B A B A -=-，
(
8=
-=．------------------------------------------------14分
（或1
cos()8
B A -=
，tan()B A -= 17．证：（1）∵ //PQ AB 且1
2
PQ AB =，
AB 在平面PQRS 外，PQ ⊂平面PQRS ，
∴ AB//平面PQRS ，-----------------------------------------------------------------------------3分 又SR=平面PQRS 平面ABD ，
AB 在平面ABD 内， ∴ AB//SR ．
∵ S 是AD 中点，∴ R 为BD 中点，-----------------------------------------------------5分 ∴ //AB SR 且1
2
SR AB =
， ∴PQ//SR 且PQ=SR ，
故四边形PQRS 是平行四边形． ------------------------------------------------------------7分
（2）AM =--------------------------------------------------------------------------------------9分
∵ CM ⊥AB ，DM ⊥AB ，CM DM=M ∴ AB ⊥平面MCD ，从而AB ⊥CD ． 又∵ AB//PQ ，QR//CD ，
∴PQ⊥CM，PQ⊥CD，
由CM CD=C，
∴PQ⊥平面MCD，---------------------------------------------------------------------------12分又PQ 平面PQRS，
∴平面PQRS⊥平面MCD．-----------------------------------------------------------------15分
18．解：（1）2'()(3)x f x x x e =-，--------------------------------------------------------------2分
'(1)2f e =-，(1)f e =，---------------------------------------------------------------------4分
因此直线方程为2(1)y e e x -=--，即230ex y e +-=．---------------------------7分 （2）2'()[(2)(5)]x f x x a x a e =----，------------------------------------------------------9分
依题意2()(2)(5)g x x a x a =----在区间[0,)+∞上非负， ①
2
02
a -≥时，2(2)4(5)0a a ∆=-+-≤， 即⎧⎨⎩2
44
a a -≤≤≥解得24a ≤≤；-----------------------------------------------------------12分
②
2
02
a -<时，(0)(5)0g a =--≥，得2a <； 综上可得4a ≤．----------------------------------------------------------------------------------15分
另解：2()(2)(5)g x x a x a =----在区间[0,)+∞上非负，
225(1)x x a x ++≥+在区间[0,)+∞上恒成立；
225
1x x a x ++≥+在区间[0,)+∞恒成立；
4
(1)1
x a x ++
≥+在区间[0,)+∞恒成立； 综上可得4a ≤；
19．解：（1）圆C ：2
2
(1)(1)1x y -+-=，当1b =时，点(0,1)M 在圆上，
故当且仅当直线l 过圆心C 时满足MP MQ ⊥， ∵ 圆心坐标为(1,1)，
∴ 1k =．----------------------------------------------------------------------------------------6分