高考复数知识点精华总结资料

复 数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i ；

（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环

小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩

3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；

（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；

③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).

（2）复数z=a+bi 的模

|Z|=且2

||z z z ⋅==a 2+b 2.

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为

a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+.

7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解

1．复数的概念

例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

（4）对应的点Z 在第三象限？

解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；

（3）当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z 是纯虚数；

（4）当1010m m +<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。

例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.

解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，得x=25, y=4.

例4．当m 为何实数时，复数z ＝22232

25m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；

（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即

223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。

（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即

223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，

解得m=－21, ∴当m=－21

时，z 为纯虚数．

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

例5．计算：i ＋i2＋i3+ (i2005)

解：此题主要考查in 的周期性．

i ＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)+……+(i －1－i+1)+i

＝0＋0＋……＋0+i ＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，

∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m=3.

当m ＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，

解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．

解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为

2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，

∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.

2．复数的四则运算

例1．计算：

（1）22(1)(1)(1)n

n i i -+-，n ∈N+；

（2）若ω=－21+23i ，ω3=1

，计算66)()22i i +；

（3

；

（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)

解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2

212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅-- =221,22,i n k k N i n k k N +

+⎧=-∈⎨-=∈⎩.