高考复数知识点精华总结资料
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复 数
1.复数的概念:
(1)虚数单位i ;
(2)复数的代数形式z=a+bi ,(a, b ∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2.复数集
整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环
小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩
3.复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成,实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部,1与i 分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi 就是实数,当b ≠0时,a+bi 是虚数,其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
4.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i ,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i ;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i ;
(4)除法:11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
① n i (n 为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i ;
③ 若ω=-21+23i ,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi ,则z a bi =-,z z +为实数,z z -为纯虚数(b ≠0).
(2)复数z=a+bi 的模
|Z|=且2
||z z z ⋅==a 2+b 2.
6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d ∈R ,两个复数a+bi 和c+di 相等规定为
a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
4.复数a+bi 的共轭复数是a -bi ,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a 与实数a 共轭,表示点落在实轴上。
5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i 2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a -bi)= a 2+b 2
6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+.
7.复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。
(二)典型例题讲解
1.复数的概念
例1.实数m 取什么数值时,复数z=m+1+(m -1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
(4)对应的点Z 在第三象限?
解:复数z=m+1+(m -1)i 中,因为m ∈R ,所以m+1,m -1都是实数,它们分别是z 的实部和虚部,
∴ (1)m=1时,z 是实数; (2)m ≠1时,z 是虚数;
(3)当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时,即m=-1时,z 是纯虚数;
(4)当1010m m +<⎧⎨-<⎩时,即m<-1时,z 对应的点Z 在第三象限。
例2.已知(2x -1)+i=y -(3-y)i ,其中x, y ∈R ,求x, y.
解:根据复数相等的意义,得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩,得x=25, y=4.
例4.当m 为何实数时,复数z =22232
25m m m ---+(m2+3m -10)i ;(1)是实数;(2)是虚数;
(3)是纯虚数.
解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.
(1)z 为实数,则虚部m2+3m -10=0,即
223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩, 解得m=2,∴ m=2时,z 为实数。
(2)z 为虚数,则虚部m2+3m -10≠0,即
223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩, 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时,z 为虚数.22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩,
解得m=-21, ∴当m=-21
时,z 为纯虚数.
诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.
例5.计算:i +i2+i3+ (i2005)
解:此题主要考查in 的周期性.
i +i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005 =(i -1-i+1)+ (i -1-i+1)+……+(i -1-i+1)+i
=0+0+……+0+i =i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住in 的周期及合理分组.
例8.使不等式m2-(m2-3m)i <(m2-4m +3)i +10成立的实数m = . 解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.
∵ m2-(m2-3m)i <(m2-4m +3)i +10, 且虚数不能比较大小,
∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩,解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩,∴ m=3.
当m =3时,原不等式成立.
诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
例9.已知z=x +yi(x ,y ∈R),且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-,求z .
解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.
∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-,∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩,∴32x y xy +=⎧⎨=⎩,
解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z =2+i 或z =1+2i .
诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)
例10.已知x 为纯虚数,y 是实数,且2x -1+i =y -(3-y)i ,求x 、y 的值.
解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i 的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法. 设x =ti (t ∈R ,且t ≠0),则2x -1+i =y -(3-y)i 可化为
2ti -1+i =y -(3-y)i ,即(2t +1)i -1=y -(3-y)i ,
∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=-1, t=-25, ∴ x=-25i.
2.复数的四则运算
例1.计算:
(1)22(1)(1)(1)n
n i i -+-,n ∈N+;
(2)若ω=-21+23i ,ω3=1
,计算66)()22i i +;
(3
;
(4)S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)
解:(1)22(1)(1)(1)n n i i -+-=2
212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅-- =221,22,i n k k N i n k k N +
+⎧=-∈⎨-=∈⎩.