高中数学第七章

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新教材高中数学第七章随机变量及其分布 7.4.1 二项分布课件新人教A版选择性必修第三册

设该事件为 D，
则 P(D)＝C14
1 2
4
×12
＝18
.
所以做了 5 次试验就停止的概率为18 .
方法归纳
在与二项分布有关的应用问题中，经常利用核心素养中的数学建模，通过已知的情景以及数据，找出该问题符合的数学模型——n 次独立重复试验，利用该模型解决问题．
微点 2 可转化为与二项分布有关的应用题例 2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每
4.已知 X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则 n＝___1_0____，p＝____0_._8__．
解析：因为随机变量 X～B(n，p)，所以 E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1 －p)＝1.6，解得 p＝0.8，n＝10.
题型一二项分布——自主完成
1.已知 X～B5，13 ，则 P32≤X≤72 ＝(
状元随笔判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于
它是否同时满足以下两个条件： ①在一次试验中只有两种试验结果，而且事件 A 发生的概率为
p，事件－A 发生的概率为 1－p. ②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件 A
发生的概率都是同一常数 p，事件－A 发生的概率都是 1－p.
[基础自测]
方法归纳
对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．
跟踪训练 2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率
是13 . (1）求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差． (2）若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 η 的

新教材2023年高中数学第七章随机变量及其分布列7

[规律方法] 应用乘法公式的关注点 1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率． 2 ．推广：设 A ， B ， C 为三个事件，且 P(AB) ＞ 0 ，则有 P(ABC) ＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
[解析] (1)令事件 A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色 E 型玻璃球}．
解法一：∵P(A)＝1116，P(A∩B)＝146＝14，
1 ∴P(B|A)＝PPA∩AB＝141＝141.
16
解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，
∴P(B|A)＝nnA∩AB＝141.
题型二
概率的乘法公式
典例2 (1)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝ ___0_._7_5__；
及格的概率是
( A)
A．51
B．130
C．12
D．31
[解析] 设 A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”， P(B|A)＝PPAAB＝00..0135＝15，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为15.
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一
次失败、第二次成功的概率是
(2)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率为80%，则买到一个甲厂的合格灯泡的概率为___0_.6_6_5___.
[解析] (1)∵P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6， ∴ P (AB)＝ P (B) ·P (A|B) ＝0.5×0.6＝0.3. ∴P(B|A)＝PPAAB＝00..34＝0.75. (2)记事件 A 为“买到甲厂产品”，事件 B 为“买到合格产品”，则 P(A)＝70%，P(B|A)＝95%，所以 P(AB)＝P(A) ·P(B|A)＝70%×95%＝0.665.

高中数学第七章三角函数7

7。

3.4 正切函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1。

y=tan x (x ≠kπ+π2,k ∈Z)的单调性为（）A .在整个定义域上为增函数B .在整个定义域上为减函数C 。

在(-π2+kπ,π2+kπ)(k ∈Z ）上为增函数D .在(-π2+kπ,π2+kπ)（k ∈Z ）上为减函数,C 选项正确.2.函数y=1tanx(-π4<x <π4)的值域为( ）A .（-1,1)B .（—∞，-1)∪（1，+∞)C 。

(-∞，1）D .(-1，+∞）-π4〈x 〈π4，∴-1〈tan x<1，故选B .3。

函数f （x )=tan2x tanx的定义域为( )A 。

{x |x ∈R ,且x ≠kπ4,k ∈Z}B 。

{x |x ∈R ,且x ≠kπ+π2,k ∈Z}C .{x |x ∈R ,且x ≠kπ+π4,k ∈Z}D .{x |x ∈R ,且x ≠kπ-π4,k ∈Z}2x ≠kπ+π2,x ≠kπ+π2,x ≠kπ,k ∈Z ,∴x ≠kπ4,k ∈Z .∴f (x ）的定义域为{x |x ≠kπ4,k ∈Z}.4。

要得到y=tan 2x 的图像,只需将y=tan (2x +π6)的图像（)A.向左平移π6个单位B 。

向左平移π12个单位C.向右平移π6个单位D.向右平移π12个单位5.（多选）若直线y=m (m 为常数)与函数f （x )=tan ωx （ω〉0）的图像的相邻两支相交于A ,B 两点,且|AB ｜=π4,则( )A .函数f (x )的最小正周期为π2B 。

ω=4C .函数f （x )图像的对称中心的坐标为(kπ8,0)(k ∈Z )D .函数|f (x ）|图像的对称轴方程均可表示为x=kπ2(k ∈Z ） |AB ｜=π4,则T=π4,∴ω=4。

故A 错,B 正确;令4x=12k π，k ∈Z ，∴x=18k π，k ∈Z 。

∴y=tan 4x 的图像的对称中心为(kπ8,0)（k ∈Z ）。

全国通用2023高中数学必修二第七章复数必考知识点归纳

全国通用2023高中数学必修二第七章复数必考知识点归纳单选题1、已知a ∈R ，(1+ai )i =3+i ，(i 为虚数单位)，则a =（）A ．−1B ．1C ．−3D ．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.(1+ai )i =i +ai 2=i −a =−a +i =3+i ，利用复数相等的充分必要条件可得：−a =3,∴a =−3.故选：C.2、已知i 为虚数单位，则1+3i 1−2i =（）. A ．−2−3i B ．−1−iC ．−1+iD ．3+2i答案：C分析：利用复数的除法化简可得结果.1+3i 1−2i =(1+3i )⋅(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=−5+5i 5=−1+i ，故选：C.3、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（）A ．−23B ．23C ．−32D ．32 答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.4、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是（）.A．x2−2x+2=0B．x2−2x+4=0C．3x2−2x+1D．x2+2x+4=0答案：B分析：设方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，根据韦达定理分别将b,c用a表示，即可得出答案. 解：设方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，则x1+x2=−ba=2，所以b=−2a，x1x2=ca=4，所以c=4a，则方程为a(x2−2x+4)=0(a≠0)，故只有B选项符合题意.故选：B.5、在复平面内，复数z=1+i1−i +1−i2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z=(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i2=2i2+1−i2=12+12i，则z在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A.6、设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1答案：A分析：根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.7、1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x (10−x )=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+√−15和5−√−15，数系扩充后这两个根分别记为5+√15i 和5−√15i ．若z(5+√15i )=5−√15i ，则复数z =（）A ．1−√15iB ．1+√15iC ．1−√15i 4D ．1+√15i 4 答案：C分析：利用复数除法运算求得z .由z(5+√15i )=5−√15i ，得z =√15i 5+√15i =√15i 2(5+√15i )(5−√15i )=25−15−10√15i 25−15i 2=1−√15i4．故选：C ．8、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（） A ．−√2i B ．−√2C ．−√22i D ．−√22 答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z =√22−√22i ，再根据虚部的定义，即得解由(1+i )z =|1+i |=√2，得z =√21+i =√2(1−i )(1+i )(1−i )=√22−√22i ， ∴z 的虚部为−√22. 故选：D9、复数i 2+i 3+i 2022=（）A ．iB ．−2−iC ．−2+iD ．−1答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i 2+i 3+i 2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i ．故选：B ． 10、设z 1=−1+√3i ，z 2=(12z 1)2，则argz 2=（）A ．56πB ．43πC ．116πD ．53π分析：首先求z 2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z 2=14z 12=14(−1+√3i )2=−12−√32i ，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=b a =√3，所以argz 2=4π3.故选：B填空题11、如果z ＝√21−i ，那么z 100＋z 50＋1＝________.答案：i分析：先求出复数z =√22(1+i )，计算出z 2后可求z 100+z 50+1的值. 因为z =√21−i ，故z =√22(1+i )，所以z 2=12(1+i )2=i ，故z 100=(i 2)25=−1,z 50=(i 2)12⋅i =i ，故z 100+z 50+1=i ，所以答案是：i .小提示：知识点睛：对任意的n ∈N ∗，若n =4k +1,k ∈N ，则i 4k+1=i ，若n =4k +2,k ∈N ，则i 4k+2=−1，若n =4k +3,k ∈N ，则i 4k+3=−i ，若n =4k +4,k ∈N ，则i 4k+4=1.12、若复数z 满足：z ⋅z +(z +z )i =3−i2+i ，则z =______.答案：−12±√32i 分析：设z =a +b i (a,b ∈R)，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得{a 2+b 2=12a =−1求a 、b ，写出复数z . 设z =a +b i (a,b ∈R)，原式化为a 2+b 2+2a i =1−i ，则{a 2+b 2=1,2a =−1,解得{a =−12,b =±√32, ∴z =−12±√32i . 所以答案是：−12±√32i 13、若复数z 满足方程z 2+4=0，则z =______.解析：首先设z =a +bi ，再计算z 2，根据实部和虚部的数值，列式求复数.. 设z =a +bi ，则z 2=a 2−b 2+2abi =−4，则{a 2−b 2=−4ab =0，解得：{a =0b =±2 ，所以z =±2i 所以答案是：±2i解答题14、已知z ＝cos θ－sin θ＋√2＋i(cos θ＋sin θ).(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；(2)若θ∈(π，2π)，求arg z (用θ表示).答案：(1)当θ=2kπ−π4(k ∈Z )时，|z | 取最大值为2√2 ， (2)argz ={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π) .分析：（1）按照复数模的定义求解即可；（2）按照复数的辐角主值的定义求解即可.(1)由复数模的定义可得：|z |=√(cosθ−sinθ+√2)2+(cosθ+sinθ)2=√4+2√2(cosθ−sinθ) =2√1+cos (θ+π4) ，显然当cos (θ+π4)=1 时最大，即θ=2kπ−π4(k ∈Z ) ，最大值为2√2 ； (2)设argz =α ，z =cosθ−sinθ+√2+i (cosθ+sinθ)=√2[1+cos (θ+π4)+isin (θ+π4)] ，实部为1+cos (θ+π4)＞0 (5π4≤θ+π4≤9π2) ，虚部为sin (θ+π4)， tanα=sin(θ+π4)1+cos(θ+π4)=tan (θ2+π8) ，∴当θ∈(π,7π4) 即θ+π4∈(5π4,2π) 时， sin (θ+π4)＜0，此时复数z 对应的点在第四象限， θ2+π8∈(5π8,π)，α=θ2+π8+π=θ2+9π8 ，当θ∈[7π4,2π) 即θ+π4∈[2π,9π4)，sin (θ+π4)＞0，此时复数z 对应的点在第一象限（或x 轴的非负半轴上）， θ2+π8∈[π,9π8)，∴α=θ2+π8−π=θ2−7π8 ，∴argz ={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π) ；综上，当θ=2kπ−π4(k ∈Z )时，|z | 最大，最大值为2√2，argz ={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π) . 15、已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位．(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求z 1+i 的虚部．答案：(1)m =±3(2)8分析：（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i ，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3．(2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5， ∴z =16i ，故z 1+i =16i 1+i =16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z 1+i 的虚部为8．。

高中数学第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式

第一节不等式的性质及一元二次不等式[考纲要求]1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．突破点一不等式的性质[基本知识]1．比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a 1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a 0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x b >0，m >0，则：①b a b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1) 若1a <1b <0，则1a+b <1ab . ( )(2)若a c >bc ，则a >b .( )(3)若a >b ，c >d ，则ac >bd .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．若a a >ab ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－∞，－1)[典例感悟]1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：选A 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒1a <1b ；③a >b >0，c >d >0⇒a d >bc ；④a >b >1，c <0⇒a c 0>b 时，②不正确．由于c >d >0，所以1d >1c >0，又a >b >0，所以a d >bc >0，③正确．由于a >b >1，当x <0时，a x <b x ，故a c <b c ，④正确．故选B. 3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜4．已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．解析：设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.答案：[]－132，132[方法技巧]1．比较两个数(式)大小的两种方法2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．突破点二一元二次不等式[基本知识]1．三个“二次”之间的关系有两个相等实根x ＝x ＝－(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为空集．( ) (3)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，则其判别式Δ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．不等式1x －1≥－1的解集是________________．解析：原不等式可化为xx －1≥0，即x (x －1)≥0，且x －1≠0，解得x >1或x ≤0. 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )()x －1a <0的解集是________________．答案：(－∞，a )∪()1a ，＋∞3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是()－12，13，则a ＋b 的值是________．答案：－144．若不等式ax 2－ax ＋1<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,4][全析考法]考法一一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x ＋3－x 2>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |x >3或x <－1} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |x >1或x <－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] (1)原不等式变形为x 2－2x －3<0，即(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.故选A.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，∴函数f (x )是奇函数，且在R 上单调递增， ∴f (2－a 2)>f (a )等价于2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1，∴实数a 的取值范围是(－2,1)，故选C. [答案] (1)A (2)C[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2. [解] ∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为{ x |x <a 3，或x >－a4}. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为{}x |x <a 3，或x >－a4. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．考法二由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一在实数集R 上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2]D ．(－2,2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0时，则有⎩⎨⎧a －2<0，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2，故选C. [答案] C考向二在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时f (x )取得最小值，为－3，∴m ≤－3，故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．[集训冲关]1.[考法一]如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.故选B. 2.[考法二·考向一]已知关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[－1,3]D ．[－3,1]解析：选D 关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则Δ＝(k －1)2＋4(k －1)≤0，解得－3≤k ≤1，故选D.3.[考法二·考向二]若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎨⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：()－22，0 [课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c bc 2，所以A 错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，满足a 2>b 2，不满足a >b ，所以B 错；选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 错；选项D 中，因为0≤a 1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件，故选A.3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 4．(2019·江淮十校联考)|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪()0，12 B ．()－∞，12C.()12，＋∞D ．()0，12解析：选A 原不等式等价于⎩⎨⎧1－2x >0，x ≠0，解不等式组可得实数x 的取值范围是(－∞，0)∪()0，12.5．(2019·遂宁诊断)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab解析：选A 不妨取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )不一定成立，因此a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A. [B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州模拟)已知p ：1a >14，q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >14得0<a <4.∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有⎩⎨⎧ a ＝0，1>0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.()13，12D ．()－∞，13∪()12，＋∞解析：选A ∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，∴a <0，方程ax 2－bx －1＝0的两个根为－12，－13，∴－－b a ＝－12－13，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5，又x 2－bx －a <0，∴x 2－5x ＋6<0，∴(x －2)(x －3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．3．(2019·深圳中学模拟)已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >bb －c解析：选D 因为c <0，a >b ，所以ac <bc ，故A 错；当c <0时，幂函数y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，所以a c 0，所以a a －c >bb －c成立，故D 正确．选D.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2019·包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，由二次函数的图象可知选C.6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( ) A ．300元 B ．400元 C ．500元D ．600元解析：选B 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B. 7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)解析：选A 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎨⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎨⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A.8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.9．(2019·西北工业大学附属中学模拟)已知a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b ＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解析：选B ∵a >b >1，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，∴①正确；∵a >b >1，c <0，∴不妨取a ＝3，b ＝2，c ＝－4，此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )不成立，∴②错误；易知函数y ＝x α(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a －c >b －c >0，c <0，∴(a －c )c <(b －c )c，∴③正确；令y ＝e x x (x ≠0)，则y ′＝(x －1)e x x 2，令y ′＝0，得x ＝1，令y ′>0，得x >1，故函数y ＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，∵a >b >1，∴e a a >e bb，即b e a >a e b ，∴④正确，故选B.10．(2019·启东中学调研)已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，∴ca的取值范围为(0,2)．答案：(0,2)11．(2019·青岛模拟)设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，由条件可得a >1，b >0，则a ＋b >1，又a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，所以a －b <1，故①正确．对于②，令a ＝2，b ＝23，则1b －1a ＝1，但a －b ＝43>1，故②错．对于③，令a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，故③错．对于④，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)|＝1，由条件可得，a ，b 中至少有一个大于等于1，则a 2＋ab ＋b 2>1，则|a －b |<1，故④正确．综上，真命题有①④.答案：①④12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以令f (x )＝0，有Δ<0或⎩⎨⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f (1)≥0，f (5)≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.答案：(1,5]13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________．解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ()x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于()x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]14．(2019·南昌模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－()12|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是___________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝()x ＋122－14∈[]－14，0；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－()12|x －1|∈[]－1，－12.所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×()－12，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)15．(2019·南昌摸底)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解：(1)由题意知a <0，且－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根，则⎩⎨⎧ b ＝2，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0，∴f (x )>0可化为()x －a －2a(x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，不等式的解集为{}x |x <－1或x >a －2a； ②当a －2a <－1，即0<a <1时，不等式的解集为{}x |x <a －2a或x >－1.16．(2018·正定中学二模)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R.(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若a <0，解不等式f (x )>1.解：(1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1(x ∈[－1,1])，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，得a >－12，所以a ∈∅；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)()x ＋a ＋1a<0，因为1－()－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{}x |1<x <－a ＋1a；当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为{}x |－a ＋1a<x <1.。

第七章第六节第1课时用空间向量研究夹角问题-新人教版高中数学

和简单夹角问题．体会学科素养：通过建立空间直角坐标系解决空
向量方法在研究立体间角及空间距离的探究性问题考查数学运
几何问题中的应用．算、数学建模、直观想象等核心素养．
知识分步落实
(3)平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是 n1 和 n2，则平面α
与平面β的夹角即为向量 n1 和 n2 的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||nn11|·|nn22|| ．
2．空间距离
(1)点 P 到直线 l 的距离
设A→P ＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向
第七章立体几何初步与空间向量
第六节空间向量的应用
第1课时用空间向量研究夹角问题
课程标准
考向预测
能用向量方法解决点考情分析：本节内容以几何体为载体，重点
到直线，点到平面、相考查有关空间的线线角、线面角的计算问题，这仍会是高考的热
行的平面的距离问题点，多出现在解答题的第(2)问．
考点分类突破
向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
利用空间向量求线面角的解题模型

高一数学第7章知识点归纳

高一数学第7章知识点归纳高中数学是中学数学的升级版，第七章是高一数学中的重要章节。

这一章主要涉及到的主题是函数和方程。

函数是数学中的一个基本概念，也是高中数学的核心内容之一。

在这一章里，我们学习了函数的定义、性质以及函数的图像表示等知识点。

1. 函数的定义和性质函数的定义是数学中最基本的概念之一。

我们把一个集合A中的元素x与另一个集合B中的唯一元素y之间的这种对应关系称为函数。

函数的定义可以抽象成 f: A -> B，其中A称为定义域，B称为值域。

函数有很多性质，其中最重要的性质是一一对应性质。

如果一个函数f中的每一个元素x对应到B中的唯一元素y，且不同的x对应到不同的y，那么我们称函数f是一个一一对应函数。

2. 函数的表示和图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。

在高中数学中，我们通常用函数的图像来描述函数的特点。

函数的图像是由函数的定义域中的每一个元素与对应的值域中的元素所组成的点集。

例如，如果函数f 的定义域是集合A={1, 2, 3}，函数的值域是集合B={2, 4, 6}，那么函数的图像就是坐标系中的三个点{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}。

3. 基本函数在高一数学的第七章中，我们学习了一些常见的基本函数，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

这些函数在数学中有着重要的地位，并且在实际生活中也有广泛的应用。

线性函数是最简单的一种函数，它的一般形式是 f(x) = ax + b。

其中a和b是常数，a表示线性函数的斜率，b表示线性函数的截距。

线性函数的图像是一条直线。

二次函数的一般形式是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像是一个开口向上或者向下的抛物线。

指数函数的一般形式是 f(x) = a^x，其中a是一个大于0且不等于1的常数。

指数函数的图像是一个经过点(0,1)并且呈指数递增或指数递减的曲线。

对数函数是指数函数的逆运算。

高中数学第七章第三节教案

高中数学第七章第三节教案
一、教学目标：
1. 理解和掌握一元一次方程和一元二次方程的基本概念和解题方法。

2. 能够独立解决一元一次方程和一元二次方程的问题。

3. 能够运用数学知识举一反三，解决实际问题。

二、教学重点与难点：
1. 一元一次方程的基本概念和解题方法。

2. 一元二次方程的基本概念和解题方法。

3. 实际问题的数学建模与解决。

三、教学准备：
1. 教材《高中数学》相关课文与习题。

2. 教学课件与多媒体设备。

3. 学生课前预习与课后作业。

四、教学步骤与内容：
1. 导入：通过一个生活中的实际例子引入一元一次方程和一元二次方程的概念。

2. 讲解：介绍一元一次方程和一元二次方程的定义、性质与解题方法。

3. 实例分析：通过几个实际问题的解答，引导学生掌握解题步骤与技巧。

4. 练习：布置一些相关习题，帮助学生巩固知识与提高解题能力。

5. 拓展：引导学生探究一元二次方程的图像与根的关系，拓展学生的思维。

6. 总结：对本节课的知识点进行总结，梳理解题方法与技巧。

五、课堂设计：
1. 采用互动式教学，让学生参与课堂讨论与解题。

2. 引导学生独立思考与解决问题，提高学生的自主学习能力。

3. 营造轻松的课堂氛围，激发学生学习兴趣。

六、课后作业：
1. 完成教材相关习题的课后作业。

2. 拓展阅读相关教辅书籍，巩固知识点。

3. 总结课堂所学知识，准备下一节课的学习。

高中数学高考42第七章不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明

跟踪训练 2 已知 a>0，证明： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
师生共研
题型三反证法的应用
例 3 设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2；
证明由 a＋b＝1a＋1b＝aa＋bb，a>0，b>0，得 ab＝1.
由基本不等式及ab＝1，
有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立.
7.如果 a a＋b b>a b＋b a成立，则 a，b 应满足的条件是_a_≥__0_，__b_≥__0_且__a_≠__b_. 解析 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b)2( a＋ b). ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0. ∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b.
(1)证明：数列T1n是等差数列；证明 ∵an＋1＝TTn＋n 1＝11－－aan＋n 1 ⇒ an＋1 ＝ 1 ⇒ 1 － 1 ＝1，
1－an＋1 1－an 1－an＋1 1－an
∴Tn1＋1－T1n＝1，
又∵T1＝1－a1＝a1， ∴a1＝12，∴T11＝1－1 a1＝2， ∴数列T1n是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列.
师生共研
题型一综合法的应用
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1) a＋ b＋ c≤ 3；证明 ∵( a＋ b＋ c)2＝(a＋b＋c)＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)
＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴ a＋ b＋ c≤ 3(当且仅当 a＝b＝c 时取等号).

人教版高中数学必修第二册7.1.1 数系的扩充和复数的概念

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第七章复数
22
1．复数 z＝12
－
3 2
i 的实部和虚部分别是(
)
A．－12
，－
3 2
√B．12
，－
3 2
C．12
，
3 2
D．－12
，
3 2
解析：复数 z＝12
－
3 2
i 的实部为12
，虚部为－
3 2
.故选 B.
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第七章复数
23
2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的
m2－9＝0， (2)因为 z<0，所以m＋1<0，解得 m＝－3. 【答案】 (1)AD (2)－3
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第七章复数
20
已知两个复数相等求参数的一般步骤 (1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式． (2)由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程(组). (3)解方程(组)，求出相应的参数． [注意] 只有两个复数为实数时，才能比较大小．
第七章复数
7．1 复数的概念 7．1.1 数系的扩充和复数的概念
数学
第七章复数
1
01
预习案自主学习
02
探究案讲练互动
03
自测案当堂达标
04
应用案巩固提升
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第七章复数
2
学习指导
核心素养
数学抽象：复数的相关概念及表 1.通过方程的解，认识复数．
示法． 2.理解复数的代数表示，理解两个复数
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高一数学第七章知识点总结

高一数学第七章知识点总结高中数学是中学阶段数学学科的重要组成部分，它为我们打下了坚实的数学基础。

在高一学年，我们将接触到许多数学知识点，其中第七章是其中的一个重要章节。

本文将对高一数学第七章的知识点进行总结。

1. 多项式函数多项式函数是高中数学中的重点内容之一。

多项式函数是由常数项、一次项、二次项等多个次数不同的项组成的函数。

在处理多项式函数时，我们需要掌握多项式的加减乘除运算、多项式的求值、多项式的因式分解等基础操作。

同时，掌握多项式函数的图像特征也是十分重要的。

2. 二次函数二次函数也是高中数学中的重要概念。

二次函数的函数表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，其开口方向和开口程度由系数a的正负确定。

我们需要掌握二次函数的图像特征，如顶点、对称轴、零点等，并且需要能够灵活应用二次函数解决实际问题。

3. 不等式与不等式组不等式与不等式组是高一数学中的另一重要内容。

不等式是比较关系的数学表达式，而不等式组则是多个不等式的集合。

在处理不等式与不等式组时，我们需要掌握不等式的性质和解法，如解一元一次不等式、解一元二次不等式等。

对于不等式组，我们需要了解如何找到其解集，并进行相关应用。

4. 集合与命题逻辑集合与命题逻辑是数学中的基础概念。

在高一数学中，我们将进一步学习集合的运算、集合的性质与判断、命题逻辑的基本概念等。

了解集合与命题逻辑的相关知识有助于我们解决复杂问题，提高思维的逻辑性。

5. 统计与概率统计与概率是高中数学中的实用内容。

统计学可以帮助我们理解和处理大量数据，包括数据的收集、整理、处理与分析等。

概率论则是用来研究随机现象的数学分支，我们需要掌握概率的基本概念、概率的计算方法以及概率在实际问题中的应用。

综上所述，高一数学第七章中的知识点包括多项式函数、二次函数、不等式与不等式组、集合与命题逻辑，以及统计与概率。

这些知识点是我们高中数学学习的基础，对于我们未来的学习和发展至关重要。

高中数学第七章-7.5-正态分布

§7.5正态分布学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一正态曲线与正态分布1．我们称f(x)＝1σ2π22()2exμσ--，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．思考1正态曲线f(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答案μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.思考2若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答案若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B 的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．知识点二正态曲线的特点1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X 的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图②.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7； P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．1．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( × )2．正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( × ) 3．正态曲线可以关于y 轴对称．( √ ) 4．若X ～N (μ，σ2)，则P (X <μ)＝12.( √ )一、正态曲线例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝，方差σ2＝ .(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是( )A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同答案(1)202(2)BCD解析(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝2，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2.(2)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．反思感悟利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此特点结合图象可求出σ.跟踪训练1(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有()A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点答案ABD解析只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．二、利用正态分布求概率例2设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．解∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)∵P (3≤ξ≤5)＝P (－3≤ξ≤－1)，∴P (3≤ξ≤5)＝12[P (－3≤ξ≤5)－P (－1≤ξ≤3)]＝12[P (1－4≤ξ≤1＋4)－P (1－2≤ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 延伸探究若本例条件不变，求P (ξ>5)．解 P (ξ>5)＝P (ξ<－3)＝12[1－P (－3≤ξ≤5)]＝12[1－P (1－4≤ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈12(1－0.954 5)＝0.022 75. 反思感悟利用正态分布的对称性求概率由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2， ∴P (0<ξ<4)＝0.6， ∴P (0<ξ<2)＝0.3.故选C. 三、正态分布的应用例3 有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解 (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.73%－95.45%2＝2.14%.∴尺寸在24～26 mm 间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．反思感悟求正态变量X 在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1求出最后结果．跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？解 ∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x 名同学，则x ×34.135%＝17，解得x ≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．根据对称性求正态曲线在某个区间内取值的概率典例已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.954 C ．0.628 D ．0.977 答案 B解析画出正态曲线如图所示，结合图象知，P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.[素养提升] 借助图象较直观的分析出P (ξ>2)与P (－2≤ξ≤2)概率的关系，提升了学生的直观想象素养．1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18π2(10)8e x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10答案 B解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．正态分布N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为( ) A ．P 1＝P 2 B ．P 1P 2 D ．不确定答案 A解析根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等．3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 答案 B解析 P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]≈12(95.45%－68.27%)＝13.59%.故选B.4．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝ . 答案 2解析 ∵ξ～N (2,9)，又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为．答案 0.8解析如图，易得P (0<X <1)＝P (1<X <2)，故P (0<X <2)＝2P (0<X <1)＝2×0.4＝0.8.1．知识清单：(1)正态曲线及其特点．(2)正态分布．(3)正态分布的应用，3σ原则．2．方法归纳：转化化归、数形结合．3．常见误区：概率区间转化不等价．1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件答案 D解析∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件．2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝1σ2π22()2eiixμσ--(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2B．μ1>μ2C．μ1＝μ2D．σ2<σ3答案AD解析由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84答案 A解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，∴μ＝2， ∵P (ξ<4)＝0.84，∴P (ξ≥4)＝1－0.84＝0.16， ∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.16.4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝⎛⎭⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2π D.2π答案 C解析由正态分布密度曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫10，12知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π.5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3答案 D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12π22e x -在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.6．已知随机变量X 服从正态分布N (a ,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为．答案 1解析 ∵X 服从正态分布N (a ,4)， ∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.7．已知随机变量X ～N (2，σ2)，如图所示，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X ≤4－a )＝ .答案 0.36解析 ∵随机变量X ～N (2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x ＝2对称，∴P (X >4－a )＝P (X <a )＝0.32，∴P (a ≤X ≤4－a )＝1－P (X <a )－P (X >4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.8．已知X ～N (4，σ2)，且P (2<X <6)≈0.682 7，则σ＝，P (|X －2|<4)＝ . 答案 2 0.84解析 ∵X ～N (4，σ2)，∴μ＝4. ∵P (2<X <6)≈0.682 7，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＋σ＝6，μ－σ＝2，∴σ＝2. ∴P (|X －2|<4)＝P (－2<X <6) ＝P (－2<X <2)＋P (2<X <6)＝12[P (－2<X <10)－P (2<X <6)]＋P (2<X <6) ＝12P (－2<X <10)＋12P (2<X <6)＝0.84. 9．已知随机变量X ～N (3，σ2)，且P (2≤X ≤4)＝0.68，求P (X >4)的值．解 ∵随机变量X ～N (3，σ2)， ∴正态曲线关于直线x ＝3对称，又P (2≤X ≤4)＝0.68，可得P (X >4)＝12×[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.68)＝0.16.10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？解对于第一个方案有X ～N (8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P (X >5)＝1－P (5<X ≤11)2＋P (5<X ≤11)＝1＋P (5<X ≤11)2≈0.841 35；对于第二个方案有X ～N (7,12)，其中μ＝7，σ＝1， P (X >5)＝1＋P (5<X ≤9)2≈0.977 25，显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A ．1 500名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名答案 A解析因为学生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X >108)＝12[1－P (88≤X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)]≈12×(1－0.682 7)＝0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500. 12．一批电阻的电阻值X (单位：Ω)服从正态分布N (1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( ) A ．甲、乙两箱电阻均可出厂 B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂答案 C解析 ∵X ～N (1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5， ∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985， μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.∵1 011∈(985,1 015)，982∉(985,1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X (单位：mm)服从正态分布X ～N (100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X ～N (μ，σ2)，有P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( ) A.4445 B.45 C.35 D.4145 答案 B解析 10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为C 79C 810＝45，故选B.14．已知随机变量X ～N (2,22)，且aX ＋b (a >0)服从标准正态分布N (0,1)，则a ＝，b ＝ .答案 12－1 解析 ∵随机变量X ～N (2,22)，∴E (X )＝2，D (X )＝22＝4.∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝2a ＋b ＝0，D (aX ＋b )＝a 2D (X )＝4a 2＝1，又a >0，∴a ＝12，b ＝－1.15．(多选)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X >t )>P (Y >t )答案 ABD解析由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)P (X ≤σ1)，故B 错；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )>P (Y ≤t )，而P (X ≤t )＝1－P (X >t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y >t )，∴P (X >t )t )，故C 正确，D 错．16．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x ，σ2近似为样本方差s 2，经计算得s 2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E (ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解 x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元．(2)由题意知X ～N (17.40,6.92)，①P (X >μ－σ)＝0.5＋0.682 72≈0.841 4，所以μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X >12.14)＝P (X >μ－2σ)＝0.5＋0.954 52≈0.977 3，每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.977 3，则ξ～B (1 000，p )，其中p ＝0.977 3，所以E (ξ)＝1 000×0.977 3＝977.3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

人教高中数学第七章复数必考知识点归纳

(名师选题)人教高中数学第七章复数必考知识点归纳单选题1、已知复数z满足z⋅z+4iz=5+ai，则实数a的取值范围为（）A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]答案：D分析：设z=x+yi,x,y∈R，由复数相等，得出x,y,a的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.设z=x+yi,x,y∈R，则x2+y2+4i(x−yi)=5+ai，整理得：x2+y2+4y+4xi=5+ai,所以{x 2+y2+4y=54x=a，消去x得y2+4y−5+a216=0,因为方程有解，所以Δ=16−4(a216−5)≥0，解得：−12≤a≤12.故选：D.2、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.故选：D.3、已知复数z=(1−i)−m(1+i)是纯虚数，则实数m=（）A．-2B．-1C．0D．1答案：D解析：利用纯虚数的性质可得m的值.z=(1−i)−m(1+i)=1−m−(m+1)i，因为z为纯虚数且m为实数，故{1−m =01+m ≠0，故m =1，故选：D4、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25，所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C5、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.6、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ，则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .7、复数z =4−3i 2+i （其中i 为虚数单位）的虚部为（）A ．−2B ．−1C ．1D ．2答案：A分析：根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.解：因为复数z =4−3i 2+i =(4−3i )(2−i )(2+i )(2−i )=5−10i22+12=1−2i ，所以复数z 的虚部为−2，故选：A.8、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e 2i 在复平面内对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e 2i =cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e 2i 对应点所在象限.由题意知：e 2i =cos2+isin2，而π2<2<π， ∴cos2<0,sin2>0，故e 2i 对应点在第二象限.故选：B9、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D10、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（）A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n 的值，进而得出复数z .由题意知（n 2＋mn ）＋2n i ＝－2－2i ，即{n 2+mn +2=02n +2=0，解得{m =3,n =−1，∴z =3−i 故选：B填空题11、已知复数z =(m +4)+(m −2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是______．答案：(−∞,−4)分析：由实部、虚部都小于0可得．由题意{m +4<0m −2<0，解得m <−4．所以答案是：(−∞,−4)．12、已知|z |=1，则|z −1+√3i| 的最小值是_________．答案：1解析：由|z |=1，得z 在复平面内所对应的点Z 在以原点O 为圆心，半径为r =1的圆上．|z −1+√3i |=|z −(1−√3i)|，表示Z 到点1−√3i 所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP |后减去半径可得最小值．解：因为|z |=1，所以z 在复平面内所对应的点Z 在以原点O 为圆心，半径为r =1的圆上．|z −1+√3i |=|z −(1−√3i)|，表示Z 到点1−√3i 所对应的点P(1，−√3)的距离，∵|OP |=√1+3=2，所以|PZ|min =|OP |−r =1．故答案为1．小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z |表示复平面上z 对应的点Z 到原点的距离，|z −z 0|表示z 在复平面上z 对应的点Z 与z 0对应的点Z 0间的距离．因此有|z −z 0|=r 表示z 0对应的点为圆心，r 为半径的圆．13、复平面内向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，A 点对应的复数为−1，现将AB⃗⃗⃗⃗⃗ 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点C 对应的复数为_________. 答案：−2i分析：利用复数乘法的几何意义求得C 对应的复数.由于向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，而A (−1,0)，现将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以C 对应的复数为(2+i )⋅(−i )−1=−2i .所以答案是：−2i小提示：本小题主要考查复数旋转有关概念，属于基础题.14、在复平面内，设点A ､P 所对应的复数分别为πi ､cos(2t ﹣π3)+i sin(2t ﹣π3)(i 为虚数单位)，则当t 由π12连续变到π4时，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是___________. 答案：π6 分析：当t =π12时，求得点P 的坐标为P 1(√32,−12)，当t =π4时，点P 的坐标为P 2(√32,12)，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是△AP 1P 2的面积与弓形的面积之和，即向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积，从而求得向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积.由题意可得，点P 在单位圆上，点A 的坐标为(0，π)，如图：当t =π12时，点P 的坐标为P 1(√32,−12)，当t =π4时，点P 的坐标为P 2(√32,12)，向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是△AP 1P 2的面积与弓形的面积之和. 由于P 1，P 2关于实轴对称，所以△AP 1P 2的面积等于△OP 1P 2的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积. 因为∠P 1OP 2=2×π6=π3，所以扇形P 1OP 2的面积为等于12×π3×12=π6.所以答案是：π6.小提示：关键点点睛：本题的关键点是：由“△AP 1P 2的面积等于△OP 1P 2的面积”得到“向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 所扫过的图形区域的面积是扇形P 1OP 2的面积”.15、若实数x,y 满足x +yi =−1+(x −y)i ，则xy =_____________．答案：12#0.5分析：根据复数相等充要条件，列出方程组，求得x,y 的值，即可求解.因为x +yi =−1+(x −y)，可得{x =−1y =x −y，解得x =−1,y =−12，所以xy =12. 所以答案是：12 解答题16、已知复数z =(a 2−2a −3)+(a 2−5a +6)i （a ∈R ）．（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．答案：（1）a =−1；（2）(−1,2)．分析：（1）由实部为0且虚部不为0列式求解a 的值；（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．解：（1）由题意，{a 2−2a −3=0,a 2−5a +6≠0,解得a =−1．（2）∵复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∴{a 2−2a −3<0a 2−5a +6>0，解得：−1<a <2．∴实效a 的取值范围是(−1,2)．小提示：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．17、已知复数z =1−2i （i 为虚数单位）.（1）若z ⋅z 0=2z +z 0，求复数z 0的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0一个虚根，求实数m 的值.答案：（1）2−i ；（2）2．分析：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1，求出z 0，即可得到z 0的共轭复数；（2）将z =1−2i 代入方程x 2−mx +5=0，根据复数相等可求求实数m 的值.详解：（1）因为z ⋅z 0=2z +z 0，所以z 0=2z z−1=2(1−2i )−2i =2+i ，所以复数z 0的共轭复数为2−i .（2）因为z 是关于x 的方程x 2−mx +5=0的一个虚根，所以(1−2i )2−m (1−2i )+5=0，即(2−m )+(2m −4)i =0.又因为m 是实数，所以m =2.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．18、ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1+3i ，2i ，2+i ，z ，（1）求复数z ；（2）z 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值.答案：（1）z =3+2i ；（2）p =12,q =26.分析：（1）根据A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ 求解；（2）根据3+5i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.（1）复平面内A 、B 、C 对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D 的坐标（x ，y ），由于AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x ﹣1，y ﹣3）＝（2，﹣1），∴x ﹣1＝2，y ﹣3＝﹣1，解得x ＝3，y ＝2，故D （3，2），则点D 对应的复数z ＝3+2i ；（2）∵3+2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的一个根，∴3﹣2i 是关于x 的方程2x 2﹣px +q ＝0的另一个根，则3+2i +3﹣2i ＝p 2，（3+2i ）（3﹣2i ）＝q 2，即p ＝12，q ＝26.。

全国通用2023高中数学必修二第七章复数重难点归纳

全国通用2023高中数学必修二第七章复数重难点归纳单选题1、若z =1+i ．则|i z +3z̅|=（）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．因为z =1+i ，所以i z +3z̅=i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以|i z +3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2、复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1，其中i 为虚数单位，θ∈[0,2π]，则这样的θ一共有（）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数答案：C分析：先根据复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1及复数模的运算公式，求得cos 22θ+sin 23θ=1即cos 22θ=cos 23θ，接下来分cos 2θ=cos3θ与cos 2θ=−cos3θ两种情况进行求解，结合θ∈[0,2π]，求出θ的个数. |(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)|=|cos 2θ+isin 3θ|⋅|cos θ+isin θ|=1，其中|cos θ+isin θ|=1，所以|cos 2θ+isin 3θ|=1，即cos 22θ+sin 23θ=1，cos 22θ=1−sin 23θ=cos 23θ，当cos 2θ=cos3θ时，①2θ=3θ+2k 1π，k 1∈Z ，所以θ=−2k 1π，k 1∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0或2π；②2θ=−3θ+2k 2π，k 2∈Z ，所以θ=2k 2π5，k 2∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos 2θ=−cos3θ时，①2θ=3θ+(2k 3+1)π，k 3∈Z ，即θ=−(2k 3+1)π，k 3∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π，②2θ=−3θ+(2k 4+1)π，k 4∈Z ，即θ=(2k 4+1)5π，k 4∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π5，3π5，π，7π5，9π5，综上：θ=m 5π，m =0,1,⋯10，一共有11个.故选：C3、设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．(x +1)2+y 2=1B ．(x −1)2+y 2=1C ．x 2+(y −1)2=1D ．x 2+(y +1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．z =x +yi,z −i =x +(y −1)i, |z −i |=√x 2+(y −1)2=1,则x 2+(y −1)2=1．故选C ．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．4、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（）A．0B．−1C．1D．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案.∵复数(1+i)(a+i)=(a−1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1=0，即a=−1．故选：B5、z=(2+i)2−4在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z=(2+i)2−4=−1+4i，则z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.6、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i(1−i)(1+2i)=1−3i3+i=(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i10=−i.故选：B.7、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B8、已知复数z满足|z−2|=1，则|z|的最大值为（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：本题可根据|z−2|=1得出点Z的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果. 因为|z−2|=1，所以复数z在复平面内所对应的点Z到点(2,0)的距离为1，则点Z的轨迹为以(2,0)为圆心、以1为半径的圆，故|z|的取值范围为[1,3]，|z|的最大值为3，故选：C.9、i为虚数单位，已知复数a2−1+(a−1)i是纯虚数，则a等于（）A．±1B．1C．−1D．0答案：C解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.复数a2−1+(a−1)i是纯虚数，所以{a 2−1=0a−1≠0，得a=−1.故选：C.10、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z̅=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.填空题11、设复数z满足条件|z|＝1，那么|z+√3+i|取最大值时的复数z为__．答案：√32+12i分析：复数的模转化为距离，|z|＝1是单位圆上的点，|z+√3+i|是单位圆上点与(−√3，−1)的距离的最大值，可求解答案．解：复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z+√3+i|表示单位圆上的点到(−√3，−1)的距离，要使此距离取最大值的复数z，就是(−√3，−1)和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．∵点(−√3，−1)到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是(√32，12)．所以答案是：√32+12i小提示：关键点睛：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．12、已知z1=(m2+m+1)+(m2+m−4)i(m∈R)，z2=3−2i，则“m=1”是“z1=z2”的________条件．答案：充分不必要分析：根据充分条件，必要条件的定义即得.当z1=z2时，必有m2+m+1=3且m2+m−4=−2，解得m=−2或m=1，显然“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件．所以答案是：充分不必要.13、若方程x2+(k+3i)x+k+4=0有实数根，则实数k的取值是____________．答案：−4解析：将方程整理为：x2+kx+k+4+3ix=0，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k的值. 因为x2+(k+3i)x+k+4=0有实数根，所以x2+kx+k+4+3ix=0有实根，所以x=0，所以k+4=0，所以k=−4，所以答案是：−4.解答题14、设复数z1=1−i，z2=cosθ+i sinθ，其中θ∈[0,π].(1)若复数z=z1⋅z2为纯虚数，求θ的值；(2)求|3z1+z2|的取值范围.答案：(1)θ=π4；(2)[3√2−1,5].分析：（1）利用共轭复数的意义结合复数乘法进行计算，再利用纯虚数的定义计算作答. （2）利用复数模的意义求出|3z1+z2|，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解作答.（1）复数z1=1−i，则z1=1+i，因此z=(1+i)(cosθ+i sinθ)=(cosθ−sinθ)+(sinθ+cosθ)i，而复数z=z1⋅z2为纯虚数，于是得cosθ−sinθ=0，且sinθ+cosθ≠0，解得tanθ=1，又θ∈[0,π]，所以θ=π4.（2）因z1=1−i，z2=cosθ+i sinθ，则3z1+z2=3−3i+cosθ+i sinθ=(3+cosθ)+(sinθ−3)i，因此|3z1+z2|=√(3+cosθ)2+(sinθ−3)2=√19+6(cosθ−sinθ)=√19+6√2cos(θ+π4)，又θ∈[0,π]，即π4≤θ+π4≤5π4，则有−1≤cos(θ+π4)≤√22，即−6√2≤6√2cos(θ+π4)≤6，所以|3z1+z2|的取值范围为[3√2−1,5].15、（1）化简：1+i+i2+i3+⋯+i2021；（2）方程x2−px+k=0(p∈R)有一个根为1+2i，求实数k的值．答案：（1）1+i；（2）5．分析：（1）根据i n+i n+1+i n+2+i n+3=0,n∈N∗求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解（1）因为i n+i n+1+i n+2+i n+3=0,n∈N∗，所以1+i+i2+i3+⋯+i2021，=1+i+i2+i3+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i10+i11)+⋯+(i2016+i2017+i2018+i2019)+i2020+i2021，=1+i.（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，故另一个根为1−2i，∴k=(1+2i)(1−2i)=5。

高一第七章数学知识点归纳

高一第七章数学知识点归纳在高中数学的学习过程中，数学知识点的归纳是非常重要的。

通过将相关知识整理和归纳，可以加深对知识的理解，帮助学生更好地应对考试和解决数学问题。

本文将对高一数学第七章的知识点进行归纳总结，希望能对同学们的学习有所帮助。

一、直线与平面1. 什么是向量及其表示方法在直线与平面的学习中，向量是一个重要的概念。

向量有大小和方向之分，可以用有向线段表示。

向量的表示方法有初位置法、终位置法和坐标法。

2. 直线的方程直线的方程有不同的形式，如一般式、点斜式、两点式等。

掌握不同的求解方法和使用场景，对于解决直线相关问题至关重要。

3. 平面的方程平面的方程也有不同的表示形式，如点法式、一般式等。

熟练掌握平面方程的表示和转换，能够更好地解决与平面相关的几何问题。

二、向量运算1. 向量的加法与减法向量的加法和减法可以帮助我们确定方向和大小，从而解决与向量相关的问题。

要掌握向量加法和减法的运算规则，熟练进行计算。

2. 数与向量的乘法数与向量的乘法有数量积和向量积两种形式。

数量积用于计算两个向量之间的夹角和相互垂直的判断，向量积则可求解三角形的面积等问题。

三、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用坐标表示，通过坐标系和坐标点之间的差得出向量的大小和方向。

学习平面向量坐标表示的方法能够更加直观地了解向量的性质。

2. 向量的共线与线性运算共线是指多个向量在同一条直线上，求解共线的条件和线性运算可以帮助我们解决多个向量之间的关系，如线性组合、线性相关等。

四、立体几何1. 空间直线与平面空间直线与平面的研究是立体几何的重要内容，学习空间直线与平面的交点、相关性质和方程等知识，可以帮助我们解决与立体几何相关的问题。

2. 空间几何体的计算熟练掌握立体几何体的表面积和体积计算方法，对于解决与空间几何体相关的实际问题非常重要。

这包括了圆柱、圆锥、球等常见几何体的计算公式。

以上内容是对高一第七章数学知识点的归纳和总结。

【高中数学选修第三册】第七章条件概率

§7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．思考 P (A |B )，P (B )，P (AB )间存在怎样的等量关系？答案 P (A |B )＝P (AB )P (B )，其中P (B )>0.知识点二概率乘法公式对任意两个事件A 与B ，若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )P (B |A )为概率的乘法公式．知识点三条件概率的性质设P (A )>0，则 (1)P (Ω|A )＝1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． (3)设B 和B 互为对立事件，则P (B |A )＝1－P (B |A )．1．在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作P (A |B )．( × ) 2．对事件A ，B ，有P (B |A )＝P (A |B )．( × ) 3．若P (B |A )＝P (B )，则事件A ，B 相互独立．( √ )4．P (B |A )相当于事件A 发生的条件下，事件AB 发生的概率．( √ )一、条件概率的定义及计算命题角度1 利用定义求条件概率例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n (Ω)＝A 26＝30.根据分步乘法计数原理，有n (A )＝A 14A 15＝20，所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35. 方法二因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.反思感悟利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )．(2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B同时发生．跟踪训练1 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解设A ＝“抽到的两张都是假钞”，B ＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P (A |B )．∵P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217. 命题角度2 缩小样本空间求条件概率例2 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.延伸探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16.反思感悟利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A ，原来的事件B 缩小为AB . (2)数：数出A 中事件AB 所包含的基本事件． (3)算：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求得结果．跟踪训练2 抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．解 n (A )＝6×2＝12.由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n (B )＝10，其中n (AB )＝6.所以(1)P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12.(2)P (A |B )＝n (AB )n (B )＝610＝35.二、概率的乘法公式例3 一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则A＝“第一次取得黑球”，由题意得：(1)P(A)＝610＝0.6.(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝610×59＝13.(3)P(A B)＝P(A)P(B|A)＝410×69＝415.反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟踪训练3已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．解设A i＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.三、条件概率的性质及应用例4在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12 180C620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P(A)P(D)＋P(B)P(D)＝C610C62012 180C620＋C510C110C62012 180C620＝1358.故获得优秀成绩的概率为1358.反思感悟条件概率的性质及应用(1)利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练4 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．答案 67解析设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C 且B 与C 互斥．又P (A )＝C 12C 13＋C 22C 25＝710，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15， P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P (AB )P (A )＋P (AC )P (A )＝67.1．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )等于( )A.12B.29C.19D.49 答案 A解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12.2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A ．0.665 B ．0.564 C ．0.245 D ．0.285 答案 A解析记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95，∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 答案 A解析根据条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A )，得所求概率为0.60.75＝0.8.4．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为________．答案 25解析设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，则P (A )＝3036＝56，P (AB )＝13，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25.5．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设事件A为该地区下雨，事件B 为该地区刮四级以上的风，则P (B |A )＝________. 答案 38解析由题意知P (A )＝415，P (AB )＝110，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.1．知识清单：(1)条件概率：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A ).(2)概率乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (B )·P (A |B )． (3)条件概率的性质．2．方法归纳：转化化归、对立统一．3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115 答案 C解析 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C.2．(多选)设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13，则( )A ．P (AB )＝16B ．P (AB )＝56C ．P (B )＝13D ．P (B )＝112答案 AC解析 P (AB )＝P (A )P (B |A )＝13×12＝16，由P (A |B )＝P (AB )P (B )，得P (B )＝P (AB )P (A |B )＝16×2＝13.3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A.110B.210C.810D.910 答案 A解析记事件A 为第一次失败，事件B 为第二次成功，则P (A )＝910，P (B |A )＝19，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝110. 4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.6 答案 A解析记“数学不及格”为事件A ，“语文不及格”为事件B ，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝“两个点数互不相同”，B ＝“出现一个5点”，则P (B |A )等于( ) A.13 B.518 C.16 D.14 答案 A解析出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P (B |A )＝1030＝13. 6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．答案 12 310解析第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率P ＝24＝12，两次都取到白球的概率P ＝3×25×4＝310.7．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．答案 0.5解析设该动物活到20岁为事件A ，活到25岁为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，又P (AB )＝P (B )，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．答案 0.72解析 “种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，并成活才成长为幼苗)，则P (A )＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝0.9×0.8＝0.72.9．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，得P (A )＝1040＝14.(2)方法一要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415.方法二 P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝415.10．设b 和c 分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数． (1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解 (1)方程有实根，Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，又b ，c ∈{1,2,3,4,5,6}， ∴当b ＝2时，c ＝1，当b ＝3时，c ＝1,2，当b ＝4时，c ＝1,2,3,4，当b ＝5时，c ＝1,2,3,4,5,6，当b ＝6时，c ＝1,2,3,4,5,6，共19种情况．故所求的概率为196×6＝1936.(2)把“出现5点”记为事件A ，“方程有实根”记为事件B ，满足b 2≥4c 的有序数对记为(b ，c )，则事件A 包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，事件AB 包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，故所求的概率为711.11．7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案 C解析记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在最右端”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55，所以P (B |A )＝A 55A 66＝16.12．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125% 答案 C解析记“任选一件产品是合格品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－4%＝96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件B ，由于一级品必是合格品，所以事件A 包含事件B ，故P (AB )＝P (B )．由合格品中75%为一级品知P (B |A )＝75%，故P (B )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96%×75%＝72%.13．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.79 答案 C解析记“第i (i ＝1,2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1,2)．由题意可知，要求的概率为P (A 2|A 1)．因为P (A 1)＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13，所以P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1335＝59.14．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．答案 0.4解析记“射中第一个目标”为事件A ，“射中第二个目标”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.5，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.15．从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．答案3350解析设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 是“取出的数是3的倍数”，则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P (AC )P (C )＋P (BC )P (C )－P (ABC )P (C )＝2×⎝⎛⎭⎫25100＋16100－8100＝3350. 16．如图，三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．解设事件A ＝“任取的三个数中有a 22”，事件B ＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”，则B ＝“三个数互不同行且不同列”，依题意得n (A )＝C 28＝28，n (A B )＝2，故P (B |A )＝n (A B )n (A )＝228＝114，则P (B |A )＝1－P (B |A )＝1－114＝1314. 即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.。

通用版高中数学必修二第七章复数知识点汇总

(名师选题)通用版高中数学必修二第七章复数知识点汇总单选题1、如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，动点M 从顶点B 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F ，若FD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值和最小值分别是m ，n ，则m +n =（）A ．9B ．10C ．11D ．12 答案：D分析：连接AC ，根据正六边形的特征可得FD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，从而可得FD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩，再根据当M 在BC 上运动时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩均逐渐减小，即可求得m ，n ，从而得出答案.解：连接AC ，在正六边形ABCDEF 中，FD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴FD⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩， ∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴|AC⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√3，因为当M 在BC 上运动时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |与cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩均逐渐减小，所以当M 在CD 上运动时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩取得最大值，为2√3，当M 移动到点F 时，|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos⟨AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩取得最小值，为0． ∴m =2√3×2√3=12，n =2√3×0=0，∴m +n =12．故选：D.小提示：2、已知向量a⃗=(1,2)，b⃑⃗=(3,0)，若(λa−b⃑⃗)⊥a，则实数λ=（）A．0B．35C．1D．3答案：B分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值.因为向量a⃗=(1,2)，b⃑⃗=(3,0)，且(λa−b⃑⃗)⊥a，所以(λa−b⃑⃗)⋅a=0，即λa2−a⋅b⃑=0，所以有5λ−3=0，解得λ=35，故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.3、设λ为实数，已知向量m⃑⃑⃗=(-1，2)，n⃑⃗=(1，λ).若m⃑⃑ ⊥n⃑，则向量m→+2n⃑⃗与m→之间的夹角为（）A．π4B．π3C．2π3D．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m⃑⃑⃗=(−1,2),n⃑⃗=(1,λ)，若m⃑⃑ ⊥n⃑，则m⃑⃑⃗⋅n⃑⃗=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m⃑⃑⃗+2n⃑⃗=(1,3)，所以(m⃑⃑⃗+2n⃑⃗)⋅m⃑⃑⃗=1×(−1)+3×2=5，|m⃑⃑⃗+2n⃑⃗|=√12+32=√10，|m⃑⃑⃗|=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃑⃑ +2n ⃑⃗与m ⃑⃑ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m ⃑⃑⃑⃗+2n ⃑⃗)⋅m ⃑⃑⃑⃗|m⃑⃑⃑⃗+2n ⃑⃗|×|m ⃑⃑⃑⃗|=√10×√5=√22，所以向量m ⃑⃑ +2n ⃑⃗与m ⃑⃑ 之间的夹角为π4.故选：A.4、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km ，即向东北走3√2km . 故选：B.5、已知平面向量a ＝(1，2)，b ⃑ ＝(－2，m )，且a ∥b ⃑ ，则2a ＋3b ⃑ ＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ∥b ⃑ ，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑ ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ⃑ ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.6、在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =m ⃑⃑⃗，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =n ⃑⃗，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3m ⃑⃑⃗−2n ⃑⃗B ．−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗C ．3m ⃑⃑⃗+2n ⃑⃗D ．2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗ 答案：B分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −CD⃑⃑⃑⃑⃑ )，所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑ = 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3n ⃑ −2m ⃑⃑ =−2m ⃑⃑⃗+3n ⃑⃗．故选：B ．7、已知向量a =(1,−√7)，|b ⃑ |=3，a ⋅b ⃑ =3√6，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3 答案：A分析：先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将a ⋅b ⃑ =3√6展开，即可求得答案. 因为a =(1,−√7)，所以|a |=√12+(−√7)2=2√2，又因为a ⋅b ⃑ =3√6，设a 与b ⃑ 的夹角为θ ，θ∈[0,π] ，所以|a ||b ⃑ |cosθ=3√6 ，即2√2×3×cosθ=3√6 ，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.8、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.9、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D ．10、在△ABC 中，sin 2A =sinBsinC ，若∠A =π3，则∠B 的大小是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3 答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC 的形状，即可判断选项. 因为sin 2A =sinBsinC ，所以a 2=bc ，由余弦定理可知a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc =bc ，即(b −c)2=0，得b =c ，所以△ABC 是等边三角形，∠B =π3.故选：C11、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ , BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ．其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2 C ．3D ．4 答案：A分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确．对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形ABCD 为平行四边形，则AB =DC ，且方向相同，BC =DA 但方向相反，所以BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 与DA ⃑⃑⃑⃑⃑ 不相等，故（5）不正确；所以正确的有一个，故选：A.12、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案. 解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →. 故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题13、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2，于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积，又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2．则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．14、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（） A ．a B ．1C ．-1D ．−a 答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b⃑ |cosθ⋅a⃑ |a⃑ |=(a⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a⃑ |⋅a ⃑ |a⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A15、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.16、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗ 答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.17、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（） A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b ⃑⃗=−1，所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12.故选：B.18、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（） A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1. 所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B. 解答题19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b 2+c 2=a 2+bc . （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =2，求2b −c 的取值范围.答案：（Ⅰ）A=π3；（Ⅱ）(−2,4).解析：（Ⅰ）由余弦定理先求cosA，从而可得角A；（Ⅱ）用正弦定理将2b−c化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得2b−c的取值范围.（Ⅰ）cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)∴A=π3（Ⅱ）∵A=π3，a=2，由正弦定理，bsinB =csinC=asinA=√3，∴b=√3，c=√3，∴2b−c=√32sinB−sinC)=√32sin(A+C)−sinC)，=√32sinAcosC+2cosAsinC−sinC)=4cosC；又B+C=2π3，故0<C<2π3，∴−12<cosC<1，∴2b−c∈(−2,4).20、设作用于同一点的三个力F1⃑⃑⃑ ，F2⃑⃑⃑⃑ ，F3⃑⃑⃑⃑ 处于平衡状态，若|F1⃑⃑⃑ |=1，|F2⃑⃑⃑⃑ |=2，且F1⃑⃑⃑ 与F2⃑⃑⃑⃑ 的夹角为23π，如图所示．（1）求F3⃑⃑⃑⃑ 的大小；（2）求F2⃑⃑⃑⃑ 与F3⃑⃑⃑⃑ 的夹角．答案：（1）|F3⃑⃑⃑⃑ |=√3；（2）5π6．解析：（1）由题意|F3⃑⃑⃑⃑ |=|F1⃑⃑⃑ +F2⃑⃑⃑⃑ |，利用平方，再开方的方法，即可求F3⃑⃑⃑⃑ 的大小；（2）由F3⃑⃑⃑⃑ =−(F1⃑⃑⃑ +F2⃑⃑⃑⃑ )，可得F3⃑⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ =−F1⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ −F2⃑⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ ，从而可求<F3⃑⃑⃑⃑ ，F2⃑⃑⃑⃑ >的大小．解：（1）由题意|F3⃑⃑⃑⃑ |=|F1⃑⃑⃑ +F2⃑⃑⃑⃑ |∵|F1⃑⃑⃑ |=1，|F2⃑⃑⃑⃑ |=2，且F1⃑⃑⃑ 与F2⃑⃑⃑⃑ 的夹角为23π，∴|F3⃑⃑⃑⃑ |=|F1⃑⃑⃑ +F2⃑⃑⃑⃑ |=√1+4+2·1·2·(−12)=√3（2）∵F3⃑⃑⃑⃑ =−(F1⃑⃑⃑ +F2⃑⃑⃑⃑ )，∴F3⃑⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ =−F1⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ −F2⃑⃑⃑⃑ F2⃑⃑⃑⃑ ，∴√3·2·cos<F3⃑⃑⃑⃑ ，F2⃑⃑⃑⃑ >=−1·2·(−12)−4∴cos<F3⃑⃑⃑⃑ ，F2⃑⃑⃑⃑ >=−√32∴<F3⃑⃑⃑⃑ ，F2⃑⃑⃑⃑ >=5π6．小提示：本题考查向量知识的运用，考查向量的模、夹角的计算，属于中档题．。

高中数学第七章复数知识点梳理(带答案)

高中数学第七章复数知识点梳理单选题1、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z =(m +2i )(1+i )为纯虚数时m 的值，与m =2比较，判断出结果z =(m +2i )(1+i )=m −2+(m +2)i ，复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数，则m −2=0，解得：m =2，所以则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的充要条件故选：C2、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25，所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C3、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．4、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D5、设i为虚数单位，若zi=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+bi，zi=ai−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D6、已知复数z1﹑z2满足|z1−z2|=r(r>0)，复数ωi(1≤i≤n,n∈N∗)满足|ωi−z1|=r或者|ωi−z2|=r，且|ωi−ωj|≥r对任意1≤i<j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7、复数1−cosθ−isinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A ．2sin θ2(cos θ+π2+isin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cosθ−π2+isin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) 答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−isinθ=2sin 2θ2−2isin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2−icos θ2)=2sin θ2(cos π−θ2−isin π−θ2) =2sin θ2[cos π−θ2+isin (−π−θ2)] =2sin θ2(cos θ−π2+isin θ−π2)，故选：C.8、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C多选题9、下列说法正确的是（）A ．若|z |=2，则z ⋅z =4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1z 2=0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数”的必要不充分条件答案：AD解析：由|z |求得z ⋅z 判断A ；设出z 1，z 2，证明在满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|时，不一定有z 1z 2=0判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.若|z |=2，则z ⋅z =|z |2=4，故A 正确；设z 1=a 1+b 1i (a 1,b 1∈R )，z 2=a 2+b 2i (a 2,b 2∈R )由|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，可得|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2 则a 1a 2+b 1b 2=0，而z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+a 1b 2i +b 1a 2i =2a 1a 2+a 1b 2i +b 1a 2i 不一定为0，故B错误；当z=1−i时z2=−2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数，则a2−1≠0，即a≠±1所以“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确；故选：AD小提示：本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.10、给出下列命题，其中是真命题的是（）A．纯虚数z的共轭复数是−z B．若z1−z2=0，则z1=z2C．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D．若z1−z2=0，则z1与z2互为共轭复数答案：AD解析：A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1−z2=0，则z1=z2，z1与z2关系分实数和虚数判断.C.若z1+z2∈R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z1−z2=0，得到z1=z2，再用共轭复数的定义判断.A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B．若z1−z2=0，则z1=z2，当z1,z2均为实数时，则有z1=z2，当z1，z2是虚数时，z1≠z2，所以B是假命题；C．若z1+z2∈R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D. 若z1−z2=0，则z1=z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11、已知复数z1=1−3i，z2=3+i，则（）A．|z1+z2|=6B．z1−z2=−2+2iC．z1z2=6−8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限答案：BC分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.由题可知，|z1+z2|=√42+(−2)2=2√5，A不正确；z1−z2=−2+2i，B正确；z1z2=(1−3i)(3+i)=3+i−9i−3i2=6−8i，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.12、已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a=0且b=0B．方程可能有两个实数根时，方程可能有纯虚数根C．ab<12D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2答案：AD分析：将方程进行等价变形为x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当a=0且b=0时，无纯虚根判断C.解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有(a−b)i+2ab=0，则有a=b，2ab=0，即a=0且b=0，故A正确；B选项：方程可变形为：x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，即x2+2x+2ab=0,(a−b+2x)=0，则x=b−a，只有一解，故B错误；2C选项：当a=0且b=0时，方程仅存在一解x=0，此时无纯虚根，故C错误；，代入方程可得：b2+a2+4b−4a+6ab=0，即(b−a)2+D选项：若方程存在实数根x0，则x0=b−a24(b−a)−8(−a)b=0，即(b−a)2+4(b−a)−2(b−a)2≤0，解得：(b−a)≤0或(b−a)≥4，即x0≤0或x0≥2，故D正确故选：AD13、下列命题中正确的有（）A．若复数z满足1∈R，则z∈R；B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；zC．若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；D．若复数z∈R，则z∈R．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A正确；取z=i，可判定B不正确；取z1=1+i,z2=2−2i，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.对于A中，设复数z=a+bi,(a,b∈R)，可得1z =a−bi(a+bi)(a−bi)=aa2+b2−ba2+b2i，因为1z∈R，可得b=0，所以z=a∈R，所以A正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD填空题14、设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则2x+√2y=+2=0＋z2的虚部为_____.答案：－1分析：由题意结合共轭复数的概念、复数的运算可得zz+z2=−i，再由虚部的概念即可得解.∵z＝1－i(i为虚数单位)，∴z=1+i，∴zz +z2=1+i1−i+(1−i)2=(1+i)2(1−i)(1+i)−2i=2i2−2i=−i，∴zz+z2的虚部为−1.所以答案是：−1.小提示：本题考查了共轭复数的求解、复数的运算、复数虚部的求解，牢记知识点、细心计算是解题关键，属于基础题.15、已知|z−1−i|=1，则|z+i|的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z+i|表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z+i|表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z+i|的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−a−bi|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z−a−bi|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.16、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________.答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题17、已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=0(2)（0，1）分析：（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.（1）若复数是纯虚数，则{m(m+2)=0m2+m−2≠0，解得m=0或m=−2且m≠1，m≠−2，所以m=0.（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则{m(m+2)>0m2+m−2<0，解得0<m<1，故m的取值范围为(0,1).18、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.。

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7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念新课程标准新学法解读1.通过方程的解，认识复数．2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义．1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性．2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.[思考发现]1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是()①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.A．1B．2C．3 D．0解析：选A易知①正确，②③错误，故选A.2．在2＋7，27i,8＋5i，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：选C由纯虚数的定义可知27i, (1－3)i是纯虚数．故选C.3．若a－2i＝b i＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.答案：54．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．解析：3i 2＋7i ＝－3＋7i ，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 75．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.解析：∵z <0，∴z 为实数且小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，解得m ＝－1. 答案：－1[系统归纳]1．数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． 2．复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是． 3．两个复数相等的条件(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．复数的有关概念[例1] 给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.[答案] B复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．[变式训练]1．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为______．解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，∴a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－32．下列命题正确的是________． ①复数－i ＋1的虚部为－1.②若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2. ③任意两个复数都不能比较大小．解析：①复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1，正确；②若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．答案：①复数的分类[例2] 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．[变式训练]1．[变设问]本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数．2．[变设问]本例中条件不变，当m 为何值时，z >0. 解：因为z >0，所以z 为实数，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5. 3．[变条件]已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围．解：∵z 是虚数，∴log 12(3－m )≠0，且1＋m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．复数相等及其应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[变式训练]1．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.故选A.2．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意，得(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－3a －1＝3，解得a ＝－1.A 级——学考合格性考试达标练1．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2 B ．－32C ．2－32D ．0解析：选C 由复数定义知C 正确．故选C.2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.故选D.3．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(∁SB )＝∅D ．(∁SA )∪(∁S B )＝C解析：选D 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁SA )∪(∁S B )＝C 正确．故选D. 4．已知复数z 1＝1＋3i 的实部与复数z 2＝－1－a i 的虚部相等，则实数a 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．1解析：选C 易知1＋3i 的实部为1，－1－a i 的虚部为－a ，则a ＝－1.故选C. 5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3 D ．9解析：选B 因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.6．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析：易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案：－47．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为______．解析：因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.答案：29．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值． (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0.解：(1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.(2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. 10．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时？ (1)z 是实数； (2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1或m ＝－2，故当m ＝－1或m ＝－2时，复数表示实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 是纯虚数． (3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2或m >3，故当m <－2或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．B 级——面向全国卷高考高分练1．复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：选C 因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a＝－1.故选C.2．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B ．2 C ．0D ．1解析：选D 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.故选D.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i.故选B. 4．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－7，916B.⎣⎡⎦⎤916，7 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－916，7 解析：选D 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则a 的取值范围是________．解析：若复数为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1. 故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)6．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹方程是__________．解析：由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x＋2y i－y1＝3x＋2y＋y i，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋y i.因为x，y为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝0，x＋3＝y，得x＝－1，y＝2.C级——拓展探索性题目应用练已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．解：设a为方程的一个实数根，则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋a＋3m＝0，2a＋1＝0，解得⎩⎨⎧m＝112，a＝－12.故实数m的值为112.7．1.2复数的几何意义新课程标准新学法解读1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念．2.理解复数的代数表示及其几何意义.从“数”和“形”两个角度认识理解复数，由于复平面的建立，使得复数和复平面内的点和以原点为起点的向量具有一一对应关系，为研究复数问题提供了更加有力的工具.[思考发现]1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0，－1)B．(－1,0)C．(0,0) D．(－1，－1)解析：选A复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A.2．若OZ ―→＝(0，－3)，则OZ ―→对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3解析：选C 由复数的几何意义可知OZ ―→对应的复数为－3i.故选C. 3．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：选C 由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.故选C.4．若复数a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.5．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 12＋22＝ 5.答案： 5[系统归纳]1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可用点Z (a ，b )表示．(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．2．复数几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．3．对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．(2)数的角度理解：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．(3)几何角度理解：表示复数的点Z 到原点的距离．|z 1－z 2|表示复数z 1, z 2对应的点之间的距离．复数与复平面内点的关系[例1] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．[变式训练]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值．解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值．解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上.复数的模[例2] 已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝|3＋i|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则点Z 的坐标为(x ，y )．由|z |＝|z 1|＝2得x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4.所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ ―→|＝2(O 为坐标原点)，所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．[变式训练]1．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________．解析：由|z |＝ 1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝ 62＋82＝10，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.复数与复平面内向量的关系[例3] (1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数； ②判定△ABC 的形状．[解析] (1)两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2，3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i.[答案] C(2)①由复数的几何意义知：OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，所以AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝22，|BC ―→|＝10，所以|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝|BC ―→|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[变式训练]1．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23i C.3－3iD ．3＋3i解析：选B 复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.故选B.2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 答案：5A 级——学考合格性考试达标练1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C. 2．向量a ＝(－2,1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i解析：选D 向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.故选D. 3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．故选B. 4．设O 为原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA ―→对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i解析：选D 因为由已知OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(－3，－2)，所以BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以BA ―→对应的复数为5＋5i.故选D.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点D ．两个圆解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A. 6．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5. 答案：58．i 是虚数单位，设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则xy ＝________，|x ＋y i|＝________. 解析：由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，∴x ＝y ＝1，∴xy ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2. 答案：129．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．解：由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，OZ 4―→.10．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．B 级——面向全国卷高考高分练1．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．故选A. 2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i.故选A.3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i解析：选D 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.故选D.4．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 由题意知，“ab >0”可推出⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0.当a >0，b >0时，a －b i 对应的点位于复平面上第四象限，当a <0，b <0时，a －b i 对应的点位于复平面上第二象限，反之成立．所以“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件．故选B.5．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析：由模的计算公式得 (x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝86．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：因为z 1＝2－3i 对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应点的坐标为(－2,3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i7．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB ―→对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解：(1)因为点A ，B 对应的复数分别是 z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，所以点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，所以AB ―→＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)，所以AB ―→对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，所以sin θ＝±12.又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝12，所以θ＝π6或5π6.C级——拓展探索性题目应用练设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为OZ―→.(1)若OZ―→的终点Z在虚轴上，求实数m的值及|OZ―→|；(2)若OZ―→的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．解：(1)因为OZ―→的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，则有log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.所以m＝4或m＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m2－3m－3>0，m－2>0，所以m＝4，此时z＝i，OZ―→＝(0,1)，|OZ―→|＝1，(2)因为OZ―→的终点Z在第二象限内，则有⎩⎪⎨⎪⎧log2(m2－3m－3)<0，log2(m－2)>0，m2－3m－3>0，m－2>0，所以m∈⎝⎛⎭⎪⎫3＋212，4.7．2复数的四则运算7．2.1复数的加、减运算及其几何意义新课程标准新学法解读1.掌握复数代数表示式的加、减运算．2.了解复数加、减运算的几何意义.1.类比实数的加、减运算来学习复数的加、减运算．2.结合物理学中有关力的合成与分解来理解向量加、减运算的几何意义.[思考发现]1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：选B z 1＋z 2＝3＋4i ＋3－4i ＝6. 2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1 B ．－i C ．5＋2iD ．1－i解析：选A (3＋i)－(2＋i)＝1.3．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( ) A ．0 B ．6i C ．6D ．6－6i 解析：选D ∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.4．在复平面内，向量OZ 1―→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2―→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1―→＋OZ 2―→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C OZ 1―→＋OZ 2―→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故OZ 1―→＋OZ 2―→对应的复数为0.5．已知向量OZ 1―→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2―→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2―→对应的复数为________．解析：Z 1Z 2―→＝OZ 2―→－OZ 1―→＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 答案：1－i[系统归纳]1．对复数的加法、减法运算应注意以下几点(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数． 2．复数加法、减法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．复数代数表示式的加、减法运算[例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z i ＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2) 2复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．[变式训练]1．－i －(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i －1)＝________.解析：－i －(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i －1)＝－i ＋1－5i －2－3i －i ＋1＝－10i. 答案：－10i2．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3. 答案：3复数加、减运算的几何意义[例2] 5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．[解] 如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB ―→对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．[变式训练]已知平行四边形ABCD 中，AB ―→与AC ―→对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于O 点．(1)求AD ―→对应的复数； (2)求DB ―→对应的复数．解：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，于是AD ―→＝AC ―→－AB ―→，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD ―→对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ―→＝AB ―→－AD ―→，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以DB ―→对应的复数是5.复数模的最值问题[例3] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值． [解析] (1)设复数－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2，|Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|＝1.所以|z ＋i ＋1|min ＝1. [答案] A(2)如图所示，|OM ―→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.两个复数差的模的几何意义(1)|z －z 0|表示复数z ，z 0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z －z 0|＝r 表示以z 0对应的点为圆心，r 为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．[变式训练]1．[变条件，变设问]若本例(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝22－1.2．[变条件]若本例(2)中条件不变，求|z －3|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝3，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向量P A ―→，PB ―→，再以P A ―→，PB ―→为邻边作平行四边形．P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2|P A ―→|2＋2|PB ―→|2＝|AB ―→|2＋(2|PO ―→′|)2＝7＋4|PO ―→′|2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，所以|z －3|2＋|z －2i|2＝12⎝⎛⎭⎫7＋4⎪⎪⎪⎪z －32－i 2.而⎪⎪⎪⎪z －32－i max ＝|O ′M |＋1＝1＋432， ⎪⎪⎪⎪z －32－i min＝|O ′M |－1＝432－1.所以|z －3|2＋|z －2i|2的最大值为27＋243，最小值为27－243.A 级——学考合格性考试达标练1．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4解析：选A 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.故选A.2．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )解析：选A 由图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.3．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于( )A ．1 B. 12 C ．2D ．2 2解析：选D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.故选D.4．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝( ) A ．12 B ．3 C ．317D ．9解析：选C 由题意知z ＝7－i －(2i －5)＝12－3i ， ∴|z |＝122＋(－3)2＝317.故选C.5．设向量OP ―→，PQ ―→，OQ ―→对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( ) A ．z 1＋z 2＋z 3＝0 B ．z 1－z 2－z 3＝0 C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵OP ―→＋PQ ―→＝OQ ―→，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.故选D. 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ 32＋42＝5.答案：57．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a＝－1.答案：－18．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|＝________.解析：由题意AB ―→＝OB ―→－OA ―→，∴AB ―→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB ―→|＝2.答案：29．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋1＋i ＝1＋2i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ， ∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8. ∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.B 级——面向全国卷高考高分练1．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且在复平面内z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵在复平面内z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.故选D.2．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限D ．在第二象限解析：选B 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －1|＝|z ＋1|得(x －1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2，化简得：x ＝0.故选B.3．若|z |＋z ＝3＋i ，则z 等于( ) A ．1－43iB ．1＋43iC.43＋i D ．－43＋i解析：选C 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z |＋z ＝3＋i 得x 2＋y 2＋x ＋y i ＝3＋i ，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝1.所以z ＝43＋i.故选C. 4．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．故选A.5．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．若z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.解析：z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y )＋(y －4x )i]－[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又z ＝13－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i ＝－8－7i. 答案：5－9i －8－7i6．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，a ，b ∈R ，则a －b ＝________.解析：因为OA ―→＋OC ―→＝OB ―→，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a2＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故a －b ＝－4. 答案：－47.复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z 1，z 2，z 3所对应的点分别为A ，B ，C ，设正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．因为AD ―→＝OD ―→－OA ―→，所以AD ―→对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→，所以BC ―→对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为AD ―→＝BC ―→，所以它们对应的复数相等，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.C 级——拓展探索性题目应用练已知复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解：(1)∵向量BA ―→对应的复数为1＋2i ，向量BC ―→对应的复数为3－i ， ∴向量AC ―→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD ―→＝BC ―→，∴向量AD ―→对应的复数为3－i ，即AD ―→＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→|cos B ， ∴cos B ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝3－25×10＝210.∵0<B <π，∴sin B ＝7210，∴S 四边形ABCD ＝|BA ―→||BC ―→|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.7．2.2复数的乘、除运算1.掌握复数代数表示式的乘、除运算．2.掌握复数代数表示式的四则运算.1.学习复数的乘法运算，应类比多项式的乘法运算，这里注意把i2写成－1.2.学习除法运算时注意分母“实数化”，即将分子分母同乘以分母的共轭复数.[思考发现]1．复数(3＋2i)i等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i解析：选B(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，故选B.2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5 B. 5C．3 D. 3解析：选A z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.3.3＋i1＋i＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i解析：选D3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i.故选D.4．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A．6－4i B．－6－4iC．6＋4i D．－6＋4i解析：选D(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故选D.[系统归纳]1．对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．(3)常用结论①(a±b i)2＝a2±2ab i－b2 (a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.2．对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．复数代数表示式的乘法运算[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2iD ．－3＋2i(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2i(3)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.故选D.(2)因为z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，所以z ＝－1－2i.故选D.(3)z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1，故选B.[答案] (1)D (2)D (3)B1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i 2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R );(3)(1±i)2＝±2i.[变式训练]1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( ) A ．2－13i B ．13＋2i C ．13－13iD ．－13－2i解析：选D (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i.故选D. 2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.复数代数表示式的除法运算[例2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i(2)(2019·全国卷Ⅰ)设z ＝3－i 1＋2i ，则|z |＝( )A ．2 B. 3 C. 2D ．1(3)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，则复数z 1z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。