几何选讲4-1
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AB AC BC
D E
图15
B C
A
EF∥AB DE∥BC
BF AE BC AC
D
E
AD AE AB AC
AE DE AC BC
B F
C
AD AE DE AB AC BC
证明：过点E作EF∥AB，交BC于点F， ∵ DE∥BC，EF∥AB， AD AE BF AE A ∴ AB AC BC AC 且四边形DEFB为平行四边形． ∴ DE=BF D E AE DE ∴ AC BC ∴ AD AE DE
B F C
AB
AC
BC
小结: 复习:
推论1
平行线等分线 段定理 ．
推论2
平行线分线段 成比例定理
推论
3 8
D
E
3
∴
16 8 BF 8 3 3
B
F 图13
C
例4 :如图△ABC中， A DE∥BC，EF∥CD． 求证：AD是AB和 F D AF的比例中项．
B 图14
E
C
AC AE
DE∥BC EF∥CD
AB AD AD AF
A
F D E
AD 2 AB AF
B
C
证明：在△ABC中，∵ DE∥BC， AB AC ∴ AD AE （1） A 在△ADC中，∵ EF∥CD， AD AC F ∴ AF AE （2） 由（1）（2）式得 D
例2 如图6，D、E分 别是△ABC中AB边和AC 边的中点．求证：DE∥BC A 1 且DE= 2 BC．
D E
B
C
A
D
E
E
B
图6
F
C
证明：过D作D∥BC．根据推论1， 为AC的中点，而E是AC的中点， 故E与重合，即DE∥BC．同样， 过D作DF∥AC，交BC于F，则 A BF=FC． ∵ DE∥FC，DF∥EC， E D E ∴ 四边形DFCE是平 行四边形． B 1 F ∴ DE= 2 FC． 1 1 又∵ FC= 2 BC，∴ DE= 2 BC．
2 A3
l1 l2 l3
4 D
B3
平行线等分线段定理 :
如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相 等，那么在其他直线上截 得的线段也相等．
l l
A1 l1 B2 A2 A3 图4 B3 l3
l2
推论1: 经过三角形一边的
中点与另一边平行的直线必平 A 分第三边．
D E
B
C
l A1
l
B1 l1 B2
第1节
平行线等分线段定理
平行线分线段成比例定理
l
观察:
l A1
l
B1
A1 l1 A2
l
l
B1
l1 B2
A2
l
B2
l2
l2
A3
图1
B3
l3
A3
图2
B3
l3
猜想:
l 已知l1∥l2∥l3，直线l、与l1、 l2、l3分别交于A1、A2、A3和B1、 B2、B3，如果 A1A2=A2A3 那么 B1B2=B2B3．
例3 : △ABC中DE∥BC，
DF∥AC，AE=4，EC=2， A BC=8． 求BF和CF的长．
D
E
B
F
C 图13
A
4
D
B
E
2
F
8
C
图13
解：∵ DE∥BC， AD AE 4 2 （1）∵ DF∥AC， ∴ AB AC 6 3 ∴ AD CF （2） A
AB CB
由（1）（2）式得： 16 2 CF ，即 CF
AB AD AD AF
E
∴AD 2 AB AF ， B 即AD是AB和AF的比例中项．
C
例5 用平行于三角形一边且和其他两边
相交的直线截三角形，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例
已知：如图15，DE∥BC，DE分别交 AB、AC于点D、E． A AD 求证： AE DE
已知l1∥l2∥l3，直线l、与l1、l2、l3分别交于A1、A2、A3和 l B1、B2、B3，如果 A1A2=A2A3 那么 B1B2=B2B3．
l 证明(1)如图1，当l∥l 时． l A B ， ∵ l1∥l2∥l3，l∥ l ∴ 四边形A1B1B2A2是 A B 平行四边形． B A ∴ B1B2=A1A2． 同理可证B2B3=A2A3． 图1 ∵ A1A2=A2A3，∴ B1B2=B2B3．
A2
l2
A3
图2
B3
l3
推论2 : 经过梯形一腰的中
点，且与底边平行的直线平分 A D 另一腰
E F
B
C
例1 如图，要在一块钢板上的A、B 两个小孔间再钻三个小孔，使这些 小孔都在直线AB上，并且每两个相 邻的小孔中心的距离相等．如果只 有圆规和无刻 B 度直尺，应当 A 怎样确定小孔 的中心位置？
l
l l
l
A
l1
D E
E A
D
l1
l2 B
C B C
l2 l3
l3
A
D
E
B
图11
C
AD AB AD BD BD AB AD AE
AE = AC AE = EC EC = AC AB = AC
E
D
A
B
图12
C
Hale Waihona Puke Baidu
AD AB AD BD BD AB AD AE
AE = AC AE = EC EC = AC AB = AC
1 2 2 3 3
1
l1
l2 l3
l
l
B1
3 1 C
A1
l1
A2
2
B2
l2
A3
图2
4
B3
D
l3
，
证明：过B2作CD//A1A3，分别交l1、l3于C、 D．得到□A1A2B2C和□A2A3DB2． A ∴ A1 A2 CB2 ， 2 A3 B2 D ． ∵ A1 A2 A2 A3 ， ∴ CB2 B2 D ． l’ l 1 2 ， 3 4 ， 又∵ B1 C A1 3 ∴ △B1B2C≌△B3B2D． 1 A2 B2 ∴ B1B2=B2B3．
l A
l
D
Q1 E Q2 Q3 F l1 a1 l2 a2 a3 l3
P1
B P2 P3 C
图8
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条 直线，所得的对应线 段成比例．
l
l A E
l1
l2
D
B
图9
C
l3
l E
l
D A
l2 l1
B
图10
C
l3
推论 :平行于三角形一边的直 线截其他两边（或两边的延长 线）所得的对应线段成比例．
图5
B
R Q
P
A
D
E
F
G
C
做法： （1）连结AB，过点A作适当射线AC； （2）在射线AC上，以适当长r为半径，用 圆规顺次截取AD=DE=EF=FG=r； B R （3）连接GB； Q P （4）过点F、E、P A D E 分别作GB的平行线 F G C FR、EQ、DP，分别 交AB于点R、Q、P．则P、Q、R就是中间 三个小孔的中心位置．
C
观察:
l
l
D l1 l2
A
两条直线被一 E B 组平行线所截， 当平行线间的 C F 距离不相等时， 图7 所得的线段AB有BC、DE 与EF之间有什么关系？
l3
探
AB BC
究:
AB BC
DE EF
在图中， 与
2 3
相等吗？
l
l
A
取 = B 的特殊情 C 形进行探讨．
D E
l1 l2
F
l3
D E
图15
B C
A
EF∥AB DE∥BC
BF AE BC AC
D
E
AD AE AB AC
AE DE AC BC
B F
C
AD AE DE AB AC BC
证明：过点E作EF∥AB，交BC于点F， ∵ DE∥BC，EF∥AB， AD AE BF AE A ∴ AB AC BC AC 且四边形DEFB为平行四边形． ∴ DE=BF D E AE DE ∴ AC BC ∴ AD AE DE
B F C
AB
AC
BC
小结: 复习:
推论1
平行线等分线 段定理 ．
推论2
平行线分线段 成比例定理
推论
3 8
D
E
3
∴
16 8 BF 8 3 3
B
F 图13
C
例4 :如图△ABC中， A DE∥BC，EF∥CD． 求证：AD是AB和 F D AF的比例中项．
B 图14
E
C
AC AE
DE∥BC EF∥CD
AB AD AD AF
A
F D E
AD 2 AB AF
B
C
证明：在△ABC中，∵ DE∥BC， AB AC ∴ AD AE （1） A 在△ADC中，∵ EF∥CD， AD AC F ∴ AF AE （2） 由（1）（2）式得 D
例2 如图6，D、E分 别是△ABC中AB边和AC 边的中点．求证：DE∥BC A 1 且DE= 2 BC．
D E
B
C
A
D
E
E
B
图6
F
C
证明：过D作D∥BC．根据推论1， 为AC的中点，而E是AC的中点， 故E与重合，即DE∥BC．同样， 过D作DF∥AC，交BC于F，则 A BF=FC． ∵ DE∥FC，DF∥EC， E D E ∴ 四边形DFCE是平 行四边形． B 1 F ∴ DE= 2 FC． 1 1 又∵ FC= 2 BC，∴ DE= 2 BC．
2 A3
l1 l2 l3
4 D
B3
平行线等分线段定理 :
如果一组平行线在 一条直线上截得的线段相 等，那么在其他直线上截 得的线段也相等．
l l
A1 l1 B2 A2 A3 图4 B3 l3
l2
推论1: 经过三角形一边的
中点与另一边平行的直线必平 A 分第三边．
D E
B
C
l A1
l
B1 l1 B2
第1节
平行线等分线段定理
平行线分线段成比例定理
l
观察:
l A1
l
B1
A1 l1 A2
l
l
B1
l1 B2
A2
l
B2
l2
l2
A3
图1
B3
l3
A3
图2
B3
l3
猜想:
l 已知l1∥l2∥l3，直线l、与l1、 l2、l3分别交于A1、A2、A3和B1、 B2、B3，如果 A1A2=A2A3 那么 B1B2=B2B3．
例3 : △ABC中DE∥BC，
DF∥AC，AE=4，EC=2， A BC=8． 求BF和CF的长．
D
E
B
F
C 图13
A
4
D
B
E
2
F
8
C
图13
解：∵ DE∥BC， AD AE 4 2 （1）∵ DF∥AC， ∴ AB AC 6 3 ∴ AD CF （2） A
AB CB
由（1）（2）式得： 16 2 CF ，即 CF
AB AD AD AF
E
∴AD 2 AB AF ， B 即AD是AB和AF的比例中项．
C
例5 用平行于三角形一边且和其他两边
相交的直线截三角形，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例
已知：如图15，DE∥BC，DE分别交 AB、AC于点D、E． A AD 求证： AE DE
已知l1∥l2∥l3，直线l、与l1、l2、l3分别交于A1、A2、A3和 l B1、B2、B3，如果 A1A2=A2A3 那么 B1B2=B2B3．
l 证明(1)如图1，当l∥l 时． l A B ， ∵ l1∥l2∥l3，l∥ l ∴ 四边形A1B1B2A2是 A B 平行四边形． B A ∴ B1B2=A1A2． 同理可证B2B3=A2A3． 图1 ∵ A1A2=A2A3，∴ B1B2=B2B3．
A2
l2
A3
图2
B3
l3
推论2 : 经过梯形一腰的中
点，且与底边平行的直线平分 A D 另一腰
E F
B
C
例1 如图，要在一块钢板上的A、B 两个小孔间再钻三个小孔，使这些 小孔都在直线AB上，并且每两个相 邻的小孔中心的距离相等．如果只 有圆规和无刻 B 度直尺，应当 A 怎样确定小孔 的中心位置？
l
l l
l
A
l1
D E
E A
D
l1
l2 B
C B C
l2 l3
l3
A
D
E
B
图11
C
AD AB AD BD BD AB AD AE
AE = AC AE = EC EC = AC AB = AC
E
D
A
B
图12
C
Hale Waihona Puke Baidu
AD AB AD BD BD AB AD AE
AE = AC AE = EC EC = AC AB = AC
1 2 2 3 3
1
l1
l2 l3
l
l
B1
3 1 C
A1
l1
A2
2
B2
l2
A3
图2
4
B3
D
l3
，
证明：过B2作CD//A1A3，分别交l1、l3于C、 D．得到□A1A2B2C和□A2A3DB2． A ∴ A1 A2 CB2 ， 2 A3 B2 D ． ∵ A1 A2 A2 A3 ， ∴ CB2 B2 D ． l’ l 1 2 ， 3 4 ， 又∵ B1 C A1 3 ∴ △B1B2C≌△B3B2D． 1 A2 B2 ∴ B1B2=B2B3．
l A
l
D
Q1 E Q2 Q3 F l1 a1 l2 a2 a3 l3
P1
B P2 P3 C
图8
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条 直线，所得的对应线 段成比例．
l
l A E
l1
l2
D
B
图9
C
l3
l E
l
D A
l2 l1
B
图10
C
l3
推论 :平行于三角形一边的直 线截其他两边（或两边的延长 线）所得的对应线段成比例．
图5
B
R Q
P
A
D
E
F
G
C
做法： （1）连结AB，过点A作适当射线AC； （2）在射线AC上，以适当长r为半径，用 圆规顺次截取AD=DE=EF=FG=r； B R （3）连接GB； Q P （4）过点F、E、P A D E 分别作GB的平行线 F G C FR、EQ、DP，分别 交AB于点R、Q、P．则P、Q、R就是中间 三个小孔的中心位置．
C
观察:
l
l
D l1 l2
A
两条直线被一 E B 组平行线所截， 当平行线间的 C F 距离不相等时， 图7 所得的线段AB有BC、DE 与EF之间有什么关系？
l3
探
AB BC
究:
AB BC
DE EF
在图中， 与
2 3
相等吗？
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l
A
取 = B 的特殊情 C 形进行探讨．
D E
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