2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟数学(理)试题(解析版)资料

2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟数学（理）试题一、选择题 1．已知复数1iz i=-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．34D ．12【答案】D【解析】试题分析：因i i i z 2121)1(21+-=+=,故i 2121--=，所以21)21()21(22=--=⋅i z z ,故应选D.【考点】复数的运算． 2．设非空集合P Q 、满足PQ P =，则（ ）A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉ 【答案】B【解析】试题分析：由于Q P P =,因此不属于集合Q 的元素一定不属于集合P ,故答案B 是正确的，应选B.【考点】集合的运算．3．已知随机变量X 服从正态分布()()22,,040.8N P X σ<<=，则()4P X >=（ ）A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.05 【答案】C【解析】试题分析：由于2是对称轴,因此1.0)8.01(21)4()0(=-=>=<X P X P ，故应选C.【考点】服从正态分布的随机变量的概率．4．某学校高一、高二、高三年级分别有720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（ ）A ．001，041，……761B ．031，071，……791C ．027，067，……787D ．055，095，……795 【答案】D【解析】试题分析：由系统抽样得到的数据特征应成等差数列,经计算答案中的数据740055795=-不是40的整数倍,因此这组数据不合系统抽样得到的,故应选D. 【考点】系统抽样的特征．5．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）A ．20i <=B ．20i <C ．20i >=D ．20i > 【答案】A【解析】试题分析：从所给算法流程的伪代码语言可以看出:当20≤i 时,运算程序仍在继续,当20>i 时,运算程序就结束了,所以应选A. 【考点】算法流程的伪代码语言及理解． 6．已知22cos ,sin,,33a OA a b OB a b ππ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，若OAB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB ∆的面积等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．32【答案】B【解析】试题分析：因OAB ∆是等腰三角形,故||||OB OA =,又AOB ∠是直角,故0OA OB ⋅=，即022=-,也即1||||==,所以O A B ∆的面积为211121=⨯⨯=S ,应选B. 【考点】向量及运算． 【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清三角形OAB ∆的形状,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息是向量a 的模为1.7．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（ ）年（精确到0.1，已知lg 20.3010,lg30.4771==）． A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3【答案】B【解析】试题分析：设半衰期为n ,则由题设可得219.0=n ,两边取对数得:2lg 9.0lg -=n ,则6.63lg 212lg ≈-=n ,应选B.【考点】指数对数的运算性质及运用．8．已知函数()sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：因20π≤≤x ,故65626πππ≤-≤-x ,由于函数)62sin(π-=x y 在]2,6[ππ-上单调递增；在]65,2[ππ上单调递减,且21)65()6(==ππf f ,故当121<≤m 时,函数)(x f y =的图象与直线m y =有两个交点,应选B.【考点】三角函数的图象与性质．9．几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）A ．2 C ．3 【答案】D【解析】试题分析：因边长为的正三角形的面积为32432=⨯=S ,底面三角形的中心到边的距离为31331=⨯,从三视图的正视图中可以看出:最低的顶点到底面的距离为1,故线面角的正切为3tan =θ,则面积最大的面的面积为333=⨯=S ,应选D.【考点】三视图的识读和几何体的体积的计算．10．已知变量,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．-144B ．-120C ．-80D ．-60 【答案】B【解析】试题分析：因为5121323)(21)(232=⨯+⨯≤-++=+y x y x y x （当且仅当1,2==y x 时取等号）,所以5=a .在二项式5)21(-+xx 中,不妨设0>x ,则105)1()21(x x x x -=-+,记rr r r r r r xC xx C T --+-=-=51010101)1()1()(,令25=-r 得3=r ,则2x 的系数为120)1(3103-=-C ,应选B.【考点】线性规划和二项式定理． 【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是二项式展开式中的项的系数的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出参数a 的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的巧妙地运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出2z x y =+的最大值,从而确定了参数a 的值.11．接正方体6个面的中心形成15条直线，从这15条直线中任取两条，则它们异面的概率为（ ） A ．235 B ．835 C ．1235 D ．1835【答案】C【解析】试题分析：从15条直线中任取两条的所有可能种数为10521415215=⨯=C 种,其中是异面直线的所有种数为36821444=⨯+⨯+⨯种.由古典概型的计算公式可得它们异面的概率是351210536==P ,应选C. 【考点】排列组合及古典概型的计算．12．椭圆()22211y x b b+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：设)0,(),0)(0,(),,0(c F t t B b A ->,外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++000222F tD t F cD c F bE b ,解之得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=b ct b E c t D 2,所以b tc b n c t m 2,22-=-=,由题设可得:0222>-+-btcb c t ,即02>-+-tc b bc bt ,也即0))((>+-b t c b ,因0>+b t ,故0>>c b ，即222c c a >-,也即c a 2>,故220<<e ,应选A. 【考点】椭圆的标准方程和圆的标准方程．【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题.解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中.解答本题的另一个问题是如何建立关于c a ,的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为0>>c b 的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将b 表示为c a ,的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点.二、填空题13．函数()2cos f x x =在点1,42π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为__________． 【答案】1024x y π+--= 【解析】试题分析：因x x x x f 2sin )sin (cos 2)(/-=-=,而142sin )4(/-=⨯-=ππf ,即切线的斜率1-=k ,故切线方程为)4(121π--=-x y ,即1024x y π+--=. 【考点】导数的几何意义．14．有两个等差数列2，6，10，…，190，及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为___________． 【答案】1472【解析】试题分析：因数列190,,10,6,2⋅⋅⋅的首项为2公差为4,故通项为)1(42-+=n a n ;因数列200,,14,8,2⋅⋅⋅的首项为2公差为6,故)1(62-+=m b n ,由题设可得312+=n m ,故31,,5,3,1⋅⋅⋅=m ,即数列200,,14,8,2⋅⋅⋅中的奇数项构成新的数列,首项为2公差为12,等差数列,其和为14721221516162=⨯⨯+⨯=S . 【考点】等差数列的定义和通项公式．【易错点晴】数列的本质是将数按一定的顺序进行排列,本题考查的是将两个数列中的相同项进行从新组合而得一个新的数列,求的问题是这个新数列的各项之和.求解时是探求两个数列的项数m n ,之间的关系.探求出其关系是312+=n m 后,再对正整数m n ,进行取值,从而探究求出新数列中的新数的特征是第二个数列中的所有奇数项所组成的.于是运用等差数列的求和公式求出这个数列的各项之和.15．如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角ABC ∆的内接正方形面积的最大值为____________． 【答案】1【解析】试题分析：设三角形的一条边长为a ,这条边上的高为b ,内接正方形的边长为x ,则由题设4=ab ,由相似三角形的对应边的关系可得:axb x b =-,即4)(=+b a x ,故b a x +=4,又因为42=≥+ab b a ,所以14≤+=ba x ,因此该三角形的内接正方形的面积为1)(1622≤+==b a x S ,即该三角形的内接正方形的面积的最大值为1. 【考点】相似三角形的性质和基本不等式的运用．16．平面直角坐标系中，若函数()y f x =的图象将一个区域D 分成面积相等的两部分，则称()f x 等分D ，若(){},|1D x y x y =+≤，则下列函数等分区域D 的有__________（将满足要求的函数的序号写在横线上）．①sin cos y x x =⋅，②312016y x x =+，③1x y e =-，④34y x =-，⑤29528y x =-+ 【答案】①②⑤【解析】试题分析：由题设可知区域是在坐标轴上的截距都是的正方形内部及边界,是关于坐标原点O 成中心对称的中心对称图形和关于y 轴对称的轴对称图形.由于函数x x x y 2sin 21cos sin ==和函数312016y x x =+都是奇函数,其图象关于坐标原点O 成中心对称,所以它的图象等分这个区域；函数29528y x =-+是偶函数,其图象关于y轴对称,所也等分这个区域,故应填①②⑤.【考点】函数对称性和不等式表示的区域．【易错点晴】本题通过定义了一个新的概念为背景和前提,考查的是对函数的图象的性质的理解和运用.解答时充分利用题设条件,将平面区域(){},|1D x y x y =+≤的形状搞清楚,也就是说平面区域表示的是一个正方形区域及边界.解答时充分运用函数等分这个新概念和新信息,抓住所个函数的表达形式和图形的几何特征,逐一分析判断,最终选出作为正确答案,从而使本题获解.三、解答题17．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图象经过三点151100081212ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，且在区间5111212ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内有唯一的最值，且为最小值． （1）求出函数()()sin f x A x ωϕ=+的解析式； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A B C 、、的对边，若124A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,3bc b c =+=，求a 的值．【答案】（1）)62sin(41)(π+=x x f ；（2）a = 【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用余弦定理求解. 试题解析:（1）由题意可得函数的周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2ω=，又由题意当512x π=时，0y =， ∴5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 结合02πϕ<<可解得6πϕ=，再由题意当0x =时，18y =，∴1sin 68πA =，∴14A =，∴()1sin 246f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）∵124A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴3A π=． ∵1,3bc b c =+=，∴由余弦定理得：()2222222cos 3936a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=，则a =【考点】三角函数的图象和性质及余弦定理等有关知识的运用．18．某位同学为了研究气温对饮料销售的影响，经过对某小卖部的统计，得到一个卖出的某种饮料杯数与当天气温的对比表．他分别记录了3月21日至3月25日的白天平均气温x （0C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若先从这五组数据中任取2组，求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月26日的白天平均气温7（0C ），请预测该小卖部这种饮料的销量．（参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑） 【答案】（1）52；（2） 2.25 2.25y x =+；（3）18. 【解析】试题分析：（1）运用古典概型公式求解；（2）借助题设条件,将平均数代入公式求出相关系数即可；（3）利用线性回归方程进行推断求解. 试题解析:（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ， 所以()25425P A C ==． （2）由数据，求得810141112212535262811,2755x y ++++++++====由公式，求得ˆˆˆ2.25, 2.25ba yb x ==-⋅=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 2.25 2.25y x =+． （3）当7x =时， 2.257 2.2518y =⨯+=，所以该小卖部这种饮料的销量大约为18杯．【考点】概率线性回归方程等有关知识的运用．19．AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在的平面，,D E 分别是,VA VC 的中点．（1）试判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由 ；（2）若已知2,01AB VC BC ==<<，求二面角C VB A --的余弦值的范围．【答案】（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝. 【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的判定进行推证；（2）借助题设条件建立空间直角坐标系,运用空间向量的数量积求解. 试题解析:（1）证明：∵,VC AC AC BC ⊥⊥， ∴AC ⊥面VBC ，∵E D 、分别为VA VC 、中点， ∴//DE AC ， ∴DE ⊥面VBC ．（说明：若只说明DE 与面VBC 相交给2分）（2）以点C 为原点，CB CV CA 、、分别为x y 、、z 轴，建立如图所示坐标系，设,BC b CA a ==，则224a b +=，01b <<．则点()()()(),0,0,0,,0,0,0,0,0,,2A a B b C V b -，由（1）知面VBC 的法向量()11,0,0n =，设面VCA 的法向量为()2,,n x y z =，则220,0n BA n BV ⋅=⋅=， 令1y =，则2,1,2b b n a ⎛⎫=⎪⎝⎭． 设二面角C VB A --大小为θ，则cos b θ=∵224a b +=，∴cos θ===又因为01b <<，所以0cos θ<<∴二面角C VB A --余弦值的范围为：⎛ ⎝． 【考点】线面垂直的判定定理和空间向量的数量积等有关知识的运用． 【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线DE 与AC 平行,再推证DE 与平面VBC 垂直即可.关于第二问中的二面角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用空间向量的数量积公式建立了二面角的余弦关于变量b 的目标函数,最后通过求函数的值域求出二面角的余弦的取值范围.20．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点()1,2A 为抛物线C 上一点． （1）求C 的方程；（2）若点()1,2B -在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若2B P B Q k k =-，求证：直线PQ 过定点．【答案】（1） 24y x =或212x y =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）运用待定系数法建立方程求解；（2）借助题设条件和直线与抛物线的位置关系进行推证求解.试题解析:（1）当焦点在x 轴时，设C 的方程为22y px =，代入点()A 1,2得24p =，即24y x =．当焦点在y 轴时，设C 的方程为22x py =，代入点()1,2A 得122p =，即212x y =， 综上可知：C 的方程为：24y x =或212x y =． （2）因为点()1,2B -在C 上，所以曲线C 的方程为：24y x =． 设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB ：x my b =+，显然m 存在， 联立方程有：2440y my b --=，()216m b ∆=+． ∴12124,4y y m y y b +=⋅=-． ∵2BP BQ k k ⋅=-，所以121222211y y x x ++⋅=---， ∴1244222y y ⋅=---，即()12122120y y y y -++=． ∴48120b m --+=即32b m =-．直线AB ：32x my b my m =+=+-即()32x m y -=-， ∴直线AB 过定点()3,2．【考点】直线与抛物线的有关知识及运用．21．已知函数()xnxf x e mx n-=++．（1）若0,1m n ==，求函数()f x 的最小值；（2）若0,0m n >>，()f x 在[)0,+∞上的最小值为1，求mn的最大值． 【答案】（1）1；（2）12. 【解析】试题分析：（1）运用导数知识进行求解；（2）借助题设条件运用导数和分类整合的数学思想求解. 试题解析:（1）0,1m n ==时，()x f x e x -=+，则()1x f x e -'=-+，()0f x '≥则0x ≥，∴()f x 在(],0-∞单调递减，[)0,+∞上单调递增，∴()()min 01f x f ==，即函数()f x 的最小值为1．（2）由题意：()1x xf x e m x n-=++，令0m t n =>则()(),011x x f x e f tx -=+=+， ∵()()()()2221111x x x e tx f x e tx e tx --+'=-+=++， ∴()()201x f x e tx '≥⇔≥+，令()()21x h x e tx =-+，则()00h =，()()()21,012x h x e t tx h t ''=-+=-．①当120t -<时，则()0120h t '=-<，因为x →+∞时()h x '→+∞，∴00x ∃>使得()00,x x ∈时()0h x '<，∴()h x 在()00,x 上单调递减，又因为()00h =，∴在()00,x 上()0h x <，即()0f x '<，则()f x 在()00,x 上单调递减，即()00,x x ∈时，()()01f x f <=，不合题意．②120t -≥时，即12t ≤，则()0120h t '=-≥， 又因为()022120x h x e t e t t ''=-≥-=-≥，∴()h x '在()00,x x ∈上单调递增，又()0120h t '=-≥，∴[)0,x ∈+∞时()0h x '≥，即()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，又因为()00h =， ∴[)0,x ∈+∞时()0h x ≥，即[)0,x ∈+∞时()0f x '≥，∴()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，又因为()01f =，所以()()min 01f x f ==，满足题意， 综上所述，m n 的最大值为12．【考点】导数在研究函数的最值中的运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先预见函数)(x f 在区间[)0,x ∈+∞上单调递增,再运用分析转化的思维方式进行推证,最后求出m n的最大值. 22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的外接圆为，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，使得22QC QA BA QC -=⋅．（1）求证：QA 为的切线；（2）若AC 恰好为BAP ∠的平分线，6,12AB AC ==，求QA 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】试题分析：（1）运用相似三角形和圆幂定理推证；（2）借助题设条件和圆幂定理求解.试题解析:（1）证明：∵22QC QA BC QC -=⋅，∴()2QC QC BC QA -=，即2QC QB QA ⋅=， 于是QC QA QA QB=， ∴QCA QAB ∆∆，∴QAB QCA ∠=∠，根据弦切角定理的逆定理可得QA 为的切线．（2）∵QA 为的切线， ∴PAC ABC ∠=∠，而AC 恰好为BAP ∠的平分线，∴BAC ABC ∠=∠，于是12AC BC ==，∴2212QC QA QC -=，①又由QCA QAB ∆∆得::12:6QC QA AC AB ==，②联合①②消掉QC ，得8QA =．【考点】圆中的有关定理及运用．23．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()0,1M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足2BM AM =，求直线l 的方程．【答案】（1）221169x y +=；（2）0x =. 【解析】试题分析：（1）运用同角的三角函数的关系消去参数即可；（2）借助题设条件和直线的参数方程求解.试题解析:（1）由题意：曲线C 的直角坐标方程为：221169x y +=． （2）设直线l 的参数方程为：cos 1sin x t y t =∂⎧⎨=+∂⎩（∂为参数）代入曲线C 的方程有： ()227sin 932sin 1280t t ∂++∂-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则212t t =-， 则21211212232sin 128,297sin 97sin t t t t t t ∂+=-=-⋅=-=-+∂+∂， ∴2sin 1∂=，∴直线l 的方程为：0x =【考点】直线与曲线的参数方程的运用．24．选修4-5：不等式选讲设函数()235f x x x =-+-．（1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或；（2）72a >. 【解析】试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.试题解析:（1）由题意：()38,532,52383,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩．① ∴()4f x ≥解得：5x ≥或43x ≤， 所以不等式的解集为：4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或． （2）由题意：()min a f x >，由（1）式可知：5x ≥时，()37,52f x x ≥<<时()72f x >，32x ≤时，()72f x ≥， ∴()min 72f x = ∴a 的范围为：72a >． 【考点】绝对值不等式及有关知识的运用．。