机械信号分析 谷立臣 ppt第7 章离散时间信号分析
第7章 离散时间系统的时域分析1PPT课件
N 1 n
与 u n 的R N 关 ( n ) u ( n ) 系 u ( n N )：
18
4．斜变序列
x(n)nu (n)
x(n)
1 1 O 1 2 3 4 n
19
5．单边指数序列 x n an u n
anun
a 1
1 1 O 1 2 3 4 n
a nun
a 1
1 1 O
x(n) x(n)
xn
x n
x 1
x0 x1
x3
x0 x1 x 1 x3
2
1 o 1 3 n
1 o 1 n
x2
x2
x(n) x(n1)
xn 1 x0
x 1 x1 x3
3 1 o 1 2 4 n
x2
10
例：已知序列
f (k) 6
f(n) n(n1)
则
2
3
…1
…
3 1 1 3 k
f (n) n(n1) 2
两个序列同序号的数值逐项对应相乘。
例：已知序列
0 n1 f1(n)2n5 n1
2n n0 f2(n)n2 n0
求 f 1 ( n ) f 2 ( n ) 和 f 1 ( n )f 2 ( n )
8
0 n1 f1(n)2n5 n1
2n n0 f2(n)n2 n0
0 n1 解 ： f1(n) 7 n1
f(n1)(n1)n 2
f(k2)(k2)k (3) 2
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk) 6
f (k1) 6
f (k 2) 6
3 …1
3 ……
1
……
3 …
1
3 1 1 3 k 3 1 1 3 k
离散时间信号-
1
5
2 0
10
，所以它是一个周期序列，
0
n
最小周期为N=10，
2019/8/15
信息学科立体化教材
X
2.1.2 序列的周期性
23
（2）当 2 /0 为有理数时，设
2 N
0 k
其中，k，N为互素的整数，则
2 0
k
N k
k
此时正弦序列为周期序列，其周期将大于
N为最小正整数， 2 N 。
1
第2章 离散时间信号与离散时间系统
2.1 离散时间信号 2.2 离散时间系统 2.3 离散时间信号和系统的频域描述 2.4 连续信号的抽样 2.5 离散时间信号的抽样 2.6 序列的抽取与插值
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信息学科立体化教材
2.1 离散时间信号
2
2.1.1 几种常用序列 2.1.2 序列的周期性 2.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列 2.1.4 序列的运算 2.1.5 序列的能量
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信息学科立体化教材
X
2.1 离散时间信号
3
离散时间信号(序列)
离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上 不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列n来 表示，n的取值范围为整数，n取其他值没有意义。
离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如 对模拟信号进行等间隔采样，
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信息学科立体化教材
X
2.1.1 几种常用序列
17
单位脉冲序列 1
单位阶跃序列 1
x(n)
x(n)
0.5
0.5
0
-5
0
n
章离散时间信号与系统的时域分析-90页PPT精品文档
7 /79
2.单位阶跃序列 u ( n )
u(n)
1, n0 u(n)0, n0
1
01
23 n
(n)u(n)u(n)u(n1)
u(n)(nm)(n)(n1)(n2) m0
第1章离散时间信号与系统的时域分析
8 /79
3.矩形序列 RN (n)
分解过程如下：
第1章离散时间信号与系统的时域分析
例 一序列的抽取和插值的过程。
x(n)
x(n)
30 /79
y1(n) x(2n)
n
n
y2 (n) x(n / 2)
n
n
x1(n) y1(n / 2)
x2 (n) y2 (2n)
n
n
作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作插
值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。
m
m
卷积和计算分四步：
反褶(反转)、移位、相乘、相加。
第1章离散时间信号与系统的时域分析
计算步骤
1）变量置换
32 /79
把离散信号x(n) 和 hn 的变量 n ，都用m置换，
作出 x(m)和h(m)的波形。 2）反转
以m0 为对称轴，将 h(m) 反转，得到 h(m) 。
两序列的乘积指同序号 (n ) 的序列值逐项 对应相乘而构成一个新的序列，表示为
z(n)x(n)y(n)
第1章离散时间信号与系统的时域分析
x(n)
22 /79
例 已知序列
x(n)
1 2
(
1)n 2
,
n 1
0,
n 1
2n, n 0 0
k
机械测试信号处理_第7章
∫
T 2 T − 2
2 x ( t )dt = T
∫
T 2 0
(A −
2A A t ) dt = 2 T
an =
2 T
∫
2
T 2 T − 2
x ( t ) cos 2 π nf 0 tdt =
4A nπ = n 2π 2 2 0
4 T
∫
T 2 0
(A −
2A t ) cos 2 π nf 0 tdt T
∫
−∞
X ( f )e
+ j 2 π ft
在数学上称一个函数与另一个函数的一一对应关系为变换
X ( f ) 为 x(t ) 的 傅 里 叶 变 换
称 式 (7-12) x(t ) 为 X ( f ) 的 傅 里 叶 逆 变 换
FT IFT
x (t )
傅里叶变换 把 f = 即 代 入 式 (7-10)
2 傅里叶变换的物理意义及连续频谱 傅 里 叶 变 换 有 着 明 确 的 物 理 意 义 式 (7-12) 表 明 号 x(t ) 续到 + ∞ 是 由 频 率 f 的 谐 波 X ( f )e 而频率为 f 的谐波
dt ] e
j 2 π nf 0 t
频 率 间 隔 ∆f 成 为 df 就变成积分符号
+∞ +∞ −∞ −∞
离散 谱中相邻的谱线紧靠在一起 了 于是 得到傅里叶积分
− j 2 π ft
nf 0 就
符号
x (t ) = =
∫ df [ ∫ x ( t ) e π ∫ [ ∫ x (t )e
+∞ +∞ −∞ −∞
x( t )
信号与系统第七章 离散时间系统的时域分析PPT课件
5
2、单位阶跃序列 (k) 1 k 0
0 k0
(k )
1
0 12 3 k
(k 2)
1
0 1 2 345
k
6
单位(冲激)函数的主要性质
• 筛选特性： f(k)(kn)f(n) k
• 加权特性：f(k ) (k n ) f(n ) (k n )
因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数
的加权和，即
f(k ) f( 2 )(k 2 ) f( 1 )(k 1 ) f(0 )(k )
f( 1 )(k 1 ) f(2 )(k 2 )
f (n)(kn)
n
•
k
(k)与(k)的关系：(k) (n)
或(k)(ki)
n
i0
(k)(k) (k 1 )
7
3、单边指数序列
x(k)
x(k) ak(k)
4、正弦序列 x(k) sin k
0 1 23
k
x(k)
— —正弦序列的角频率
4 2 8
4 567
8
k
0 1 23
8
正弦序列的周期
• 周期序列的定义： f (k+N)=f (k)
式中：N为序列的周期，只能为任意整数。
• 周期 N 的计算方法：
– 与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数
注意：并非所有正弦波都是周期序列 9
离散时间序列 f(k)AsinkBcosk是_A___(A.周期信号；
5
3
B.非周期信号)。若是周期信号，则周期 N＝____3_0_。
如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N 的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期Ni的整倍数。 如有2个分量，即N=m1N1=m2N2, mi为正整数.
7.2 离散时间信号——序列2
2
对连续信号中的正弦波抽样，可得到正弦序列
f (t ) sin(0t )
x(n) f (nT ) sin(n0T )
1 T是抽样间隔时间， f s 是抽样频率。 f s T
x(n) sin(n0 )
0 0 0T fs
归一化
0离散域的频率 （正弦序列频率）
n
x ( n)
5
2
已知离散时间信号 (n), g (n)如图所示, f 求f (n 2) g (1 n)的图形.
f (n 2)
g (1 n)
6
已知离散时间信号 (n), g (n)如图所示, f 求f (n 2) g (1 n)的图形.
f (n 2)
1.判断线性
x1 (n) y1 (n) x1 (n) x1 (n 2) x2 (n) y2 (n) x2 (n) x2 (n 2)
x1 (n) x2 (n) y3 (n) [ x1 (n) x2 (n)][x1 (n 2) x2 (n 2)]
第7章 离散时间系统的时域分析1PPT课件
第七章 离散时间信号、 离散时间系统的时域分析
教学目的：
•离散时间信号描述及其运算 •离散时间系统的数学模型——差分方程 •离散时间系统的时域解法 •离散时间系统的单位样值响应h(n) •离散卷积
教学重点：
离散时间信号和离散时间系统的描述 离散时间系统的单位样值响应h(n) 离散卷积
混合系统：
混合系统
连续时间系统与离散时间系统联合应用。如自控
系统、数字通信系统。 需要A/D、D/A转换。
不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用
• 人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连
续时间信号，需经A/D、D/A转换。
• 当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些
困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。
§7.1 引言
离散时间信号：
时间变量是离散的，函
f tk
数只在某些规定的时刻有
确定的值，在其他时间没
有定义。
t2t1 o t1 t2 t3
tk
离散时间系统：
系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计
算机。
离散时间信号采样、量化
f t
4.2
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T
采样过程就是对模拟信号的时间 取离散的量化值过程——得到采 样信号。
t
fq t 4
3
2Hale Waihona Puke 幅值量化——对采样信号的幅值分 级量化，得到数字信号。
1
o T 2T 3T t
离散时间系统的优点
•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； •容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度 取决于位数； •可靠性好； •存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； •易消除噪声干扰； •数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大 改善了系统的灵活性和通用性； •易于处理速率很低的信号、易于处理多维信号。
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第6章离散时间信号的分析6.1 模拟信号的数字化过程对工程测试中获得的模拟信号使用数字信号处理系统进行处理时，需要先将模拟信号数字化，使之成为数字信号，然后用数字系统进行处理，得到一个处理后的数字信号，再经过数模转换的到所需要的模拟信号，其过程见图6-1。
图６－１模拟信号用数字方法处理的过程随着数字式电子计算机的迅速发展，特别是1965年以后快速傅立叶变换算法(FFT)的出现，极大地推动了信号分析理论的实际应用，形成了一整套的方法和技术，这就是数字信号处理的内容。
数字信号处理所研究的内容包括：用数的序列或符号表示信号和用数字系统对数字表示的信号进行处理（主要是数字滤波和谱估计）。
信号分析理论中所研究的样本函数大部分是连续的，且是无限长的，但是这些样本函数（模拟信号）是数字式计算机所不能接受的，同时样本函数也不可能是无限长的，这就产生了以下几个问题：（1）连续信号的离散化过程。
这一问题就构成了信号处理的采样规律问题；离散Fourier变换问题以及快速Fourier变换的计算方法问题。
（2）用有限长样本序列进行参数估计的问题。
其中包括截段样本引起的泄漏问题；栅栏效应问题；信号长度以及窗函数的选择问题；参数估计的误差问题等。
以上这些问题都是为了满足数字电子计算机的要求再进行模拟信号数字化的过程中提出来的。
由此可见，模拟信号分析和数字信号处理是在解决工程实际问题时两个不可分割的内容，但是从学科的发展上看，它们在理论体系上又有其相对的独立性。
本章讨论工程测试中模拟信号的数字化方法.它包括:数据采集、量化与预处理三方面的内容。
模拟信号分析是我们的理论基础，目前，数字信号处理是实现前者的方法，本章所讨论的内容是沟通理论研究与实用方法的桥梁。
用数字方法处理模拟信号首先要将模拟信号转换成数字信号，这种转换称为模数（A/D）转换（或称数字化转换），然后送入计算机或专用设备进行处理（运算）得出数字结果，最后将数字结果进行数模转换（D/A）得出模拟输出。
这个过程的方块图如图6-1所示。
A/D转换包括了采样、量化、编码三个步骤，其中工作原理如图6-2所示。
图6-2 A/D转换过程（1）采样——或称为抽样，是利用采样脉冲序列р(t)将一致的模拟信号χ(t)每个一定时间抽出一个样本数据。
这种抽样称为等间隔抽样，Ts 称为采样间隔（周期），称为采样频率。
脉冲序列р(t)对模拟信号χ(t)采样的结果是从χ(t)中抽取一系列离散样值χ(nTs)，这种采样过程可用数学方法表示成：（6-1）（2）量化——又称为幅值量化。
量化是一种用有限长的数字量逼近模拟量的过程，例如抽样信号的准确值为1.7523，而我们只有1.6、1.７、1.８、1.9前后相差0.1的数字序列，我们把抽样信号的数字近似为1.8（采用四舍五入的办法），或者说把采样信号ｘ(nTs)经过舍入的方法变为只有1.6、1.7、1.8、1.9前后相差0.1的数字序列，我们把采用四舍五入的方法变为有限位数字的数的过程称为量化。
s T 1∑∞∞=-=∙==n ss s nT t t x t x t p nT x t x )()()()()()(δ若信号χ(t)可能出现的最大值为A ，令其分为D 个间隔，则每个间隔长度为R=A/D ，R 称为量化增量或量化步长。
当采样信号χ(nTs)落在某一个小间隔内，经过舍入方法而变为有限值时，则产生量化误差。
量化误差呈等概率均匀分布，其概率密度函数p(r)=1/R 。
如果量化增量为R ，则最大量化误差应是±0.5R ，其方差将代入，则有：（6-2）dr r p r r r )()(22⎰+∞∞--=μσdr r p r R R r )()(25.05.0⎰--=μ0,1)(==r R r p μ12/22R r =σ显然，量化增量R 愈大，则量化误差愈大，量化增量大小一般决定于A/D 转换器的位数和模拟信号的最大幅值。
例如，8位二进制为28=256，即为所测信号最大电压幅值Ａ的，12位二进制为212=4096。
因此，对8位A/D 转换器，R 为所测模拟信号最大电压幅值的，即。
（3）编码——将已经量化的数字变为二进制数码，即式中，取0或1。
信号χ(t)经过上述变换以后，即成为时间上离散、幅值上量化的数字信号。
数字处理器是将输入的数字信号经过预定的运算过程得出数字输出序列，关于数字信号处理器在以后章节重将作近较详细的讨论。
25612561256AR =∑-===m n i ii aR RD A 2数字信号经过数字处理器分析运算以后，有时需恢复为连续时间信号，以便于控制或观察记录。
这是采用D/A 转换器，把数字信号转换为模拟信号。
D/A 转换过程又包括了译码和波形复原，如图6-3所示。
译码是把数字信号RD 恢复为有限幅值A 的过程，即（6-4）波形复原则是把离散幅值恢复为连续波形的过程，一般由保持电路实现，例如，零阶保持与一阶多角保持等。
零阶保持是在两个采样值之间，令输出保持上一个采样的值；一阶多角保持又称线性插值，是在两个采样值之间，令输出为两个采样值的线性插值。
由于经过保持变换构成的信号存在着不连续点，所以还须用模拟低通滤波器消除这些不连续点。
A a R RD m n i i i ==∑-=2图６－３Ｄ／Ａ转换过程6.2 采样定理设连续信号χ(t)具有图6-4（a）所示的频谱，χ(t)不包含任何大于ωm的频率分量。
若Ts为采样时间间隔，则它的倒数为采样频率ωs=2π/Ts。
如果采样频率选得过高，采样间隔小，则在一定时间内采样点数过多，造成对计算机的存贮量需要过大和计算时间太长；如果频率太低，则频域内会产生频混现象，形成频谱失真，也就无法从这个失真的频谱中恢复出原信号来。
图６－４采样信号的频混现象6.2.1 频混现象频混现象又称为频谱混叠（或混迭）效应。
它是由于采样以后采样信号频谱发生变化，出现高、低频成分发生混淆的一种现象。
在图6-4中，信号χ(t)的Fourier变换为X(ω)，其频率范围为-ωm～ωm，图（a ）所示；图（b）所示：采样信号χs(t)的Fourier变换是一个周期性谱图，其周期为ωs，并且ωs=2π/Ts，ωs＞2ωm时，周期谱图相互分离；图（c）所示：ωs＜2ωm时，周期谱图相互重叠，即谱图之间高频与低频部分发生重叠，这将使信号复原时产生频混现象。
6.2.2 采样频率上述两种情况表明，如果ωs≥2ωm，则不发生频混现象，因此对采样脉冲序列的间隔Ts须加以限制，即采样频率ωs（2π/Ts）或fs(1/Ts)必须大于或等于信号χ(t)中的最高频率ωm的两倍，即ωs≥2ωm或fs≥2fm,才不会产生频混现象，这就是著名的(Shannon)采样定理。
又由于时域采样间隔Tｓ决定于fｓ，所以称时域采样定理。
实际应用时，可以视精度要求，按下式选取采样频率fs=（4～10）fm （6-5）如果采样之前，让模拟信号χ(t)经低通滤波器，滤波器截至频率设置在fm，可按下式选取采样频率fs=（2～3）fm （6-6）在配置模拟低通滤波器的信号处理系统中，一般取fs=2.56fm （6-7）采样定理可作如下解释：一个频谱有限的信号χ(t)，如果频谱只占据-ωm～ωm 范围，则信号可以用等间隔采样值唯一地表示，而采样间隔必须不大于1/2ωm，或者说最低采样频率为2ωm。
也可以这样去理解：一个频带有限信号，其频率大小，反映在时域内，就是它的波形变化速率，即它的最高变化速率将受最高频率分量ωm的限制。
因此，为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期间隔内，至少采样两次，即必须满足ωs≥2ωm。
6.2.3 信号复原为了从采样信号频谱Xs(ω)中无失真地复原出X(ω)，采用频域矩形窗函数H(ω)与Xs(ω)相乘，即X(ω)= Xs(ω) H(ω) (6-8)实现这一过程的方法是将采样信号χ(t)通过理想低通滤波器，此滤波器的传递函数为H(ω)，这样在滤波器的输出端可以得到频谱为X(ω)的连续信号χ(t)，过程见图6-5。
图６－５信号复原已知理想滤波器的传递函数1 ｜ω｜≤ωcH(ω)= （6-9）0 ｜ω｜＞ωc根据傅立叶变换的时域、频域对称性，可有：（6-10）又根据时域卷积定理有[])(sin )()(1t c H F t h c c ωπωω==-)()()(t h t x t x s *=)(sin )()()(t c nT t nT x t x c c s n s ωπωδ*-=∑∞-∞=)]([sin )(s c n s c nT t c nT x -=∑∞-∞=ωπω(6-11)式（6-11）表明，连续信号可以展成正交采样函数（sin(t)型函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值，也可以说，若在采样信号χ(t)的每个采样值上画一个峰值为χ(nTs)的sinc(t)型函数波形，则合成的波形就是χ(t)，而sinc(t)波形就是理想滤波器的脉冲响应。
也可以这样理解，当χs(t)通过理想的低通滤波器时，每个采样值产生一个脉冲响应，这些响应进行叠加就得到χ(t)，从而达到由χs(t)恢复χ(t)的目的。
)]([sin )()(s m n s m nT t c nT x t x -=∑∞-∞=ωπω][sin )(πωπωn t c nT x m n s m -=∑∞-∞=若取ωs=2ωm ，而且ωc=ωm 则显然，量化增量R 愈大，则量化误差愈大，量化增量大小一般决定于A/D 转换器的位数和模拟信号的最大幅值。
例如，8位二进制为28=256，即为所测信号最大电压幅值Ａ的，12位二进制为212=4096。
因此，对8位A/D 转换器，R 为所测模拟信号最大电压幅值的，即。
（3）编码——将已经量化的数字变为二进制数码，即（6-3）式中，取0或1。
信号χ(t)经过上述变换以后，即成为时间上离散、幅值上量化的数字信号。
数字处理器是将输入的数字信号经过预定的运算过程得出数字输出序列，关于数字信号处理器在以后章节重将作近较详细的讨论。
25612561256AR =∑-===m n i i i a RRD A 2图６－４采样信号的频混现象如果信号χ(t)是时域有限信号，并集中在-tm ～tm 的时间范围内（图6-6），若在频域中以不大于1/2tm 的频率间隔对频谱χ(ω)进行采样，则采样后的频谱X1(ω)可以唯一的表示原信号。
类似于时域采样，有（6-12）（6-13）此式表明，在频域中对χ(ω)进行采样，等效于χ(t)在时域中重复，只要采样间隔不大于1/2tm ，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真的恢复原信号χ(t)，即满足关系式f0≤(1/2tm)，此称为频域采样定理。
须要指出，频域采样以后，只能获得采样的频率成分，其余的频率成分一概被舍去，这犹如通过栅栏观赏风景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的频率成分被漏掉，而丢掉了部分有用信息，此种现象称为栅栏效应。