河南省南阳市南召县2019-2020年九年级(上)期末数学试卷 解析版

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．如果＝2﹣a，那么（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥22．甲袋中装有形状、大小与质地都相同的红球3个，乙袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（）A．从甲袋中随机摸出1个球，是黄球B．从甲袋中随机摸出1个球，是红球C．从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球D．从乙袋中随机摸出1个球，是黄球3．抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．在△ABC中，若cos A＝，tan B＝，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60 B．100C．50D．208．在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞19．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）10．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD＝60°，PD交AC于点D，已知AB＝a，设CD＝y，BP＝x，则y与x函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为．12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．13．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y＝x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E 作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为．三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（1+x+），其中x＝tan60°﹣tan45°．17．文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以不选以上四类而写出一个自己最喜爱的其他文化栏目（这时记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了名学生；（2）最喜爱《朗读者》的学生有名；（3）扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为；（4）选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请直接写出：刚好选到一名男生和一名女生的概率为．18．已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．（1）求该二次函数解析式；（2）写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（3）画出函数的大致图象．19．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．20．小明想要测量一棵树DE的高度，他在A处测得树顶端E的仰角为30°，他走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°．已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求树DE的高度；21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的关系如下表．x（元/件）15 18 20 22 …y（件）250 220 200 180 …（1）直接写出：y与x之间的函数关系；（2）按照这样的销售规律，设每天销售利润为w（元）即（销售单价﹣成本价）x每天销售量；求出w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系；（3）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）直接写出：b的值为；c的值为；点A的坐标为；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果＝2﹣a，那么（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2【分析】利用二次根式的性质得出2﹣a≥0，进而得出答案．【解答】解：∵＝2﹣a，∴2﹣a≥0，解得：a≤2．故选：B．2．甲袋中装有形状、大小与质地都相同的红球3个，乙袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（）A．从甲袋中随机摸出1个球，是黄球B．从甲袋中随机摸出1个球，是红球C．从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球D．从乙袋中随机摸出1个球，是黄球【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、从甲袋中随机摸出1个球，是黄球是不可能事件；B、从甲袋中随机摸出1个球，是红球是必然事件；C、从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件；D、从乙袋中随机摸出1个球，是黄球是随机事件，故选：D．3．抛物线y＝﹣（x+2）2+5的顶点坐标是（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+2）2+5，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，5），故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4﹣4k＝0，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1．故选：A．5．在△ABC中，若cos A＝，tan B＝，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．【解答】解：∵cos A＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∴△ABC为锐角三角形．故选：A．6．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选：C．7．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60 B．100C．50D．20【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝20，tan A＝1：3；∴AC＝BC÷tan A＝60，∴AB＝＝20．故选：D．8．在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞1【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当x＞1时，y随x 的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选：B．9．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝6，∴AD＝BC＝2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．10．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD＝60°，PD交AC于点D，已知AB＝a，设CD＝y，BP＝x，则y与x函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B＝∠C＝60°，由等角的补角相等可得出∠BAP ＝∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y＝﹣x2+x，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝a，PC＝a﹣x．∵∠APD＝60°，∠B＝60°，∴∠BAP+∠APB＝120°，∠APB+∠CPD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x．故选：C．二．填空题（共5小题）11．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的解为x1＝4，x2＝﹣1 ．【分析】利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得（x﹣4）（x+1）＝0，则x﹣4＝0，或x+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1．故答案是：x1＝4，x2＝﹣1．12．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．13．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：列表如下：黄红红红（黄，红）（红，红）（红，红）红（黄，红）（红，红）（红，红）白（黄，白）（红，白）（红，白）由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为，故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y＝x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ＝．【分析】设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，根据三角形内角和定理求得∴∠OAB＝∠OPQ，根据一次函数图象上点的坐标特征求得tan∠OAB＝，进而就可求得．【解答】解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，∵∠AOB＝∠PQB＝90°，∠ABO＝∠PBQ，∴∠OAB＝∠OPQ，由直线的斜率可知：tan∠OAB＝，∴tan∠OPQ＝；故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E 作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为2或或．【分析】由勾股定理求出AB，设AE＝x，则EF＝x，BF＝10﹣2x；分三种情况讨论：①当BF＝BC时，列出方程，解方程即可；②当BF＝CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF＝BF，列出方程，解方程即可；③当CF＝BC时，作CG⊥AB于G，则BG＝FG＝BF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【解答】解：由翻折变换的性质得：AE＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，设AE＝EF＝x，则BF＝10﹣2x；分三种情况讨论：①当BF＝BC时，10﹣2x＝6，解得：x＝2，∴AE＝2；②当BF＝CF时，F在BC的垂直平分线上，∴F为AB的中点，∴AF＝BF，∴x+x＝10﹣2x，解得：x＝，∴AE＝；③当CF＝BC时，作CG⊥AB于G，如图所示：则BG＝FG＝BF，根据射影定理得：BC2＝BG•AB，∴BG＝＝＝，即（10﹣2x）＝，解得：x＝，∴AE＝；综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或或；故答案为：2或或．三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（1+x+），其中x＝tan60°﹣tan45°．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝tan60°﹣tan45°＝﹣1时，原式＝＝＝．17．文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以不选以上四类而写出一个自己最喜爱的其他文化栏目（这时记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了150 名学生；（2）最喜爱《朗读者》的学生有75 名；（3）扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为36°；（4）选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请直接写出：刚好选到一名男生和一名女生的概率为．【分析】（1）由A栏目人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以D栏目所占百分比求得其人数；（3）总人数减去其他栏目人数求得B的人数，再用360°乘以B栏目所占的百分比即可；（4）列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解．【解答】解：（1）共调查的总数是：30÷20%＝150（名）；故答案为：150；（2）最喜爱《朗读者》的学生有150×50%＝75（名）；故答案为：75；（3）扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为360°×＝36°；故答案为：36°；（4）记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4，列表如下：N1N2M1M2M3M4 N1（N1，N2）（N1，M1）（N1，M2）（N1，M3）（N1，M4）N2（N2，N1）（N2，M1）（N2，M2）（N2，M3）（N2，M4）M1（M1，N1）（M1，N2）（M1，M2）（M1，M3）（M1，M4）M2（M2，N1）（M2，N2）（M2，M1）（M2，M3）（M2，M4）M3（M3，N1）（M3，N2）（M3，M1）（M3，M2）（M3，M4）M4（M4，N1）（M4，N2）（M4，M1）（M4，M2）（M4，M3）∵共有30种等可能的结果，其中，刚好选到一名男生和一名女生的有16种情况，∴刚好选到一名男生和一名女生的概率为＝＝；故答案为：．18．已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．（1）求该二次函数解析式；（2）写出它的图象的开口方向向上、顶点坐标（3，﹣）、对称轴直线x ＝3 ；（3）画出函数的大致图象．【分析】（1）直接利用待定系数法即可得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质求解；（3）利用描点法画函数图象．【解答】解：（1）由题意得解得，∴抛物线解析式为：；（2）∵＝（x﹣3）2﹣，∴图象的开口方向向上，顶点为，对称轴为直线x＝3，故答案为向上，（3，﹣），直线x＝3；（3）如图．19．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；②当AD与BC满足条件BC＝AD时，四边形EFHI是菱形．【分析】（1）证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF＝BC，HI∥BC且PQ＝BC，进而可得EF∥HI且EF＝HI．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）①由三角形中位线定理得出FH∥AD，再证出EF⊥FH即可；②与三角形重心定理得出AG＝AD，证出AG＝BC，由三角形中位线定理和添加条件得出FH＝EF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AD与BC满足条件BC＝AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，∴AG＝AD，∵BC＝AD，∴AG＝BC，∵FH＝AG，EF＝BC，∴FH＝EF，又∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是菱形；故答案为：BC＝AD．20．小明想要测量一棵树DE的高度，他在A处测得树顶端E的仰角为30°，他走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°．已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求树DE的高度；【分析】先根据∠ACB＝30°求出AC＝4米，再求出∠EAC＝60°，根据得，依据∠DCE＝60°，得．【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2m，∴AC＝2AB＝4，又∵∠DCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∵AF∥BD，∴∠CAF＝∠ACB＝30°，∴∠EAC＝60°．在Rt△ACE中，∵，∴，在Rt△DCE中∵∠DCE＝60°，，∴，答：树DE的高度为6米．21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的关系如下表．x（元/件）15 18 20 22 …y（件）250 220 200 180 …（1）直接写出：y与x之间的函数关系y＝﹣10x+400 ；（2）按照这样的销售规律，设每天销售利润为w（元）即（销售单价﹣成本价）x每天销售量；求出w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系；（3）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可；（2）根据销量×每件利润＝总利润，即可得出所获利润W为二次函数；（3）将（2）中的二次函数确定最值即可．【解答】解：（1）由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y＝kx+b，则，解得：．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；故答案为：y＝﹣10x+400．（2）w与x的函数关系式为：w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000；（3）w＝﹣10x2+500x﹣4000＝﹣10（x﹣25）2+2250，因为﹣10＜0，所以当x＝25 时，w有最大值．w最大值为 2250，答：销售单价定为 25 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 2250 元．22．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长7或1 ．【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出＝，再通过平行线分线段成比例的性质可直接写出的值；（2）证△BCE∽△ACD，由相似三角形的性质可求出的值；（3）分两种情况讨论，一种是点E在线段BA的延长线上，一种是点E在线段BA上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，综上所述，BE的长为7或1，故答案为：7或1．23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）直接写出：b的值为﹣；c的值为﹣2 ；点A的坐标为（﹣1，0）；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 1 ．【分析】（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），即可求解；（2）①MD＝DH cos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），即可求解；②分∠CDM＝90、∠MDC＝90°、∠MCD＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①，点A（﹣1，0）；故答案为：﹣，﹣2，（﹣1，0）；（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（m，m2﹣m﹣2），点H（m，m﹣2），则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα，则cos；MD＝DH cos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），∵＜0，故DM有最大值；设点M、D的坐标分别为：（s，s﹣2），（m，n），n＝m2﹣m﹣2；②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图2左图，过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，则△MEC≌△DFM（AAS），∴ME＝FD，MF＝CE，即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，解得：s＝，故点M（，﹣）；（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，同理可得：s＝，故点M（，﹣）；（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝0或﹣1，故点D（﹣1，0），不在线段BC的下方，舍去；综上，点M坐标为：（，﹣）或（，﹣）．。