初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

Rt△ACD 中利用∠D 的正弦可计算出 AC 的长． 【详解】
连结 CD，如图， ∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD＝90 ， ∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝ 1 ， 4
在 Rt△ACD 中，∵sinD＝ AC ＝ 1 ， AD 4
∴AC＝ 1 AD＝ 1 ×8＝2． 44
故选 A．
【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的 弦是直径．也考查了解直角三角形．
11．如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 （）
，堤高 BC=10m，则坡面 AB 的长度是
A．15m
B．
【答案】C
【解析】
【分析】
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【详解】
C．20m
D．
解:∵Rt△ABC 中，BC=10m，tanA=
，
∴AC= = =
m．
∴AB=
m．
故选 C． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股
∴y＝S△BMD−S△CNE＝ 1 （BM·DM−CN·EN）＝ 2
1 2
tan
x2
tan
a
x2
a
tan 2
2x
a
，
∵ a tan 为常数， 2
∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，
故选：A． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识
点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动
定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2 3 ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为
半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为( )
A． 5 3 42
B． 5 3 42
C． 2 3
D． 4 3 2
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN ， AN
∴tan30∘= x =3√3， 16 x
解得：x=8( 3 +1)，
D．16( 3 1) m
则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m；
故选 A. 点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长.
5．如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30°，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45°，则建筑物 MN 的高度等于( )
A． 8( 3 1) m
B．8( 3 1) m
C．16( 3 1) m
【答案】A 【解析】 设 MN=xm， 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘， ∴BN=MN=x，
6．如图，点 O 为△ABC 边 AC 的中点，连接 BO 并延长到点 D,连接 AD、CD，若 BD=12， AC=8，∠AOD＝120°，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．2 3
B．2 2
C． 10
D． 24 3
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，通过题意可求出 AM、CN 的长度，可计
连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，
则有 AD=2AH，∠AHO=90°，
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2 3 ，BC=2，tan∠A= BC 2 3 ， AB 2 3 3
∴∠A=30°，
∴OH= 1 OA= 3 ，AH=AO•cos∠A= 3 3 3 ，∠BOC=2∠A=60°，
x
x
∴S△BDO= 5 ，S△AOC= 1 ，
2
2
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴ S△BOD S△OAC
OB OA
2
51 22
5，
∴ OB 5 ， OA
∴tan∠BAO= OB 5 . OA
故选 B.
【点睛】 本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时 注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】
如图，连接 OC，
∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°= 1 . 2
故选 A.
∵∠A= 1 ∠BOC，∴∠A=∠BOD. 2
∴tanA=tan∠BOD= BD 4 . OD 3
故选 D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
4．为了方便行人推车过某天桥,市政府在 10m 高的天桥一侧修建了 40m 长的斜道(如图所 示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
B．20 5 m
C．30 2 m
D．15 6 m
【答案】D
【解析】
分析：过点 D 作 DH 垂直于 AC，垂足为 H，求出∠DAC 的度数，判断出△BCD 是等边三角
形，再利用三角函数求出 AB 的长，从而得到 AB+BC+CD 的长．
详解：过点 D 作 DH 垂直于 AC，垂足为 H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD 是
10．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经 A、B、C、D 四 地．如图，其中 A、B、C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C 地北偏西 45°方向．C 地在 A 地北偏东 75°方向．且 BD=BC=30m．从 A 地到 D 地的距离是（ ）
A．30 3 m
22
22
∴AD=2AH= 3 ，
2
∴S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD= 1 2 3 2 1 3 3 60 3
2
22
360
=5 3 ， 42
故选 A.
【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线， 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
13．已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 60πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为 θ，则 sinθ 的值为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A 【解析】
【分析】 先利用正弦的定义得到 sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】 解：因为 AC＝40，BC＝10，sin∠A＝ BC ，
AC 所以 sin∠A＝0.25. 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A． 点睛： 本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出， 已知三角函数值求角需要用第二功能键．
8．如图所示， RtAOB 中， AOB 90 ，顶点 A, B 分别在反比例函数 y 1 x 0
x
与 y 5 x 0 的图象器上，则 tanBAO的值为（ ）
x
A． 5 5
【答案】B
B． 5
C． 2 5 5
D． 10
【解析】
【分析】
过 A 作 AC⊥x 轴，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到 S△BDO= 5 ，S△AOC= 1 ，根据相似三角形的性质得到= OB
2
2
OA
定义即可得到结论．
5 ，根据三角函数的
【详解】
解：过 A 作 AC⊥x 轴，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点 A，B 分别在反比例函数 y 1 x 0 与 y 5 x 0 的图象上，
等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH= 3 ×30=15 3 ，∴ 2
AD= 2 DH=15 6 m．故从 A 地到 D 地的距离是 15 6 m．
故选 D．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直 角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
一、选择题
1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A＝30°，则 sin∠E 的值为（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D． 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接 OC，由 CE 是⊙O 切线，可证得 OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，
【详解】
解：连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD，
由 CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°， ∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧 AC，
∴∠B=∠D，即 sinB=sinD= 2 ， 5
∵半径 AO=5， ∴CD=10，
∴ sin D AC AC 2 ， CD 10 5
∴AC=4， 故选：C. 【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直 角是解题的关键.
7．如图，△ABC 的外接圆是⊙O，半径 AO=5，sinB= 2 ，则线段 AC 的长为（ ） 5
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD，由 CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由
⊙O 的半径是 5，sinB= 2 ，即可求得答案． 5
sin∠COD CN CN 3 ， CO 4 2
∴AM= 2 3 ，CN= 2 3 ，
∴ S△ABD
BD AM 2
12 2 2
3 12
3,
S△BCD
BD CN 2
12 2 2
3 12
3，
∴ S四边形ABCD =S△ABD S△BCD 12 3 12 3 24 3
故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
9．如图， O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，若 O 的半径是 4， sin B 1 ，则线段 AC 的长是（ ）．
4
A．2 【答案】A
B．4
C． 3 2
D．6
【解析】
【分析】
连结 CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90 ，∠D＝∠B，则 sinD＝sinB＝ 1 ，然后在 4
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，则有 AD=2AH，∠AHO=90°，在 Rt△ABC 中，利用
∠A 的正切值求出∠A=30°，继而可求得 OH、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，
然后根据 S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD 进行计算即可. 【详解】
2．如图，在 ABC 中， AB AC ， MN 是边 BC 上一条运动的线段（点 M 不与点 B 重 合，点 N 不与点 C 重合），且 MN 1 BC ， MD BC 交 AB 于点 D ， NE BC 交
2 AC 于点 E ，在 MN 从左至右的运动过程中，设 BM x ， BMD 的面积减去 CNE 的 面积为 y ，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
点的完整运动过程．
3．如图，△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则∠A 的正切值等 于（ ）
A． 3 5
B． 4 5
C． 3 4
D． 4 3
【答案】C
【解析】
试题分析：如答图，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得 BD=4.
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
【分析】
设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，求出 CN、DM、EN 的长度，利用 y＝S△BMD−S△CNE，即可求解． 2
【详解】
解：设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，则 MN＝a， 2
∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα，
算三角形 ABD 和三角形 CBD 的面积，相加即为四边形 ABCD 的面积.
【详解】
解：分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，
∵点 O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
∴ sin∠AOB AM AM 3 ， AO 4 2