第四章 随机变量的数学期望

EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ



g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
P( X k ) C p q
k n k
n
nk
k 0,1,2,
令 Y＝g（X）＝ X(X－1)
k EX ( X 1) k (k 1)Cn p k q n k
n
n! k (k 1) p k q nk (n k )! k! k 0 n (n 2)! 2 n(n 1) p p k 2 q nk k 2 ( n k )! ( k 2)! n2 (n 2)! 2 n(n 1) p p i q n i 2 i 0 ( n i 2)!i! n(n 1) p 2 ( p q) n2 n(n 1) p 2



0
x e
dx


1
1

0
xe
x
d (x )
1

( 2)

（8）正态分布 N(μ,σ 2)
EX xf ( x) dx



1 2 1 2



( x )e ( x )e


( x )2 2 2
E ( X EX )(Y EY ) 0
但当 X 和 Y 不相互独立时，它们之间的关 系呢？
定义4.4：设 X、Y 是两个随机变量，称 E ( X EX )(Y EY ) 为随机变量 X、Y 的协方差，记为 cov(X , Y ) 即： cov(X , Y ) E ( X EX )(Y EY )


xf ( x ) dx为 X
的数学期望，也记为 EX。
注1、若

k 1
x k p k , 而 x k p k ，仍称X的
k 1

数学期望不存在。
2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在
有限区间上积分，则X的期望一定存在。
3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时
差。
定理：切比雪夫不等式
0, P(| X EX | ) DX

2
或者
P(| X EX | ) 1
DX
2
推广（马尔可夫不等式 ）： 0 , P(| X | ) E | X |k

k
(k 1, 2,)
§4.3 协方差与相关系数
4.3.1 协方差与相关系数的概念 我们在证明方差的性质时看到，当两个 随机变量X和Y相互独立时，有
dx

( x )2 2 2

dx

1 2


e

( x )2 2 2
dx
0 1
4.1.3
随机变量函数的数学期望
定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即
Y g (X ) （g 是连续函数），
（1）若X是离散型随机变量，其分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2, 而级数 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy


e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2



e
y2 2
y
xe
x2 2
dx

1

4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
（6）均匀分布U(a,b)
1 f ( x) b a 0

a xb 其它
b 1 EX xf ( x ) dx a xdx ba ab 2
e x （7）指数分布 f ( x ) 0
x0 x0
x
EX xf ( x ) dx
方差的性质
（1）D(C)＝0，(C为常数) （2）D(CX)＝C2DX ，(C为常数) （3）若X、Y是相互独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY （4）DX＝0 P( X EX ) 1
例1、已知 X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、
Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方
定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2
的数学期望存在，则称E(X－EX)2为X的方差，
记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2
离散型随机变量： DX ( xk EX ) 2 pk
k 1
连续型随机变量： ( x EX ) 2 f ( x)dx DX
例3、（X,Y）的联合密度函数为：
2 f ( x, y ) 0
求：EY
EY

0 x y 1 其它



yf ( x, y )dxdy 2 ydy
0
1
y
0
2 dx 3
例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分
1 x2 y2 } 布，其密度为 f ( x, y) exp{ 2 2
若级数
x
i 1
i 1

i
pi
收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且 称级数 xi p i
的和为 X 的数学期望，并记为EX，有时也称 EX 为 X 的均值。
对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下：
定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数
f(x)，积分 x f ( x ) dx 收敛，则称 X 的数学 期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X 的数学期望存在，称积分值
第四章 随机变量的数字特征
• • • • 数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵
§4.1 数学期望
4.1.1 概念
例1、盒子中有6个球（如图）， 1
3 3
2
2 3
从中任取一球再放回，重复了三次，问三次
抽到号码的平均值。
定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列是
P ( X x i ) p i ，i 1, 2,...
k 0
例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)
EX
4

x f ( x)dx
4
1 2
3 2



xe

x2 4 2
dx
3 x2 2 2
2
2 2
5 1 2 2


0
xe
x 4 2
2
2 2 2

0
x ( ) e 2
2
x2 d( ) 2
5 4 31 1 ( ) ( ) 3 2 22 2
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye

x2 y2 2
求Z
解： EZ

X 2 Y 2 的数学期望。



1 x2 y2 x2 y2 exp{ }dxdy 2 2
1 2

2
0
d

0
r e
r2 2
rdr
1 2 r 2 e 0 2
r2 2
dr

2
例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布 N（0，1），求 E（max｛X,Y｝）。
（3）泊松分布P(λ)
P( X k )
k 0

k
k!

e , k 0,1,2,


EX k P( X k ) k
k 1

k
k!
i 0
e
e

(k 1)! e
k 1

k 1

i
i!
（4）几何分布G(p)
0 n N, 0 M N
k n CM C N kM EX kP ( X k ) k n CN k 0 k 1 l l
M! k 1 ( k 1)!( M k )! nM N
l
n n l C N kM C N kM k 1 M CM1 N! N n 1 k 1 C N 1 n !( N n)! n
P( X k ) pq , k 1,2,3,
EX k P( X k ) p k q
k 0 k 1 k k 1
k 1
q 1 p ( q ) p ( ) q 1 q p k 1
（5）超几何分布H(N, M ,n)
k n CM C N kM P( X k ) k 1, 2,3, , l {n, M }, n CN
（3）泊松分布： DX
( EX , EX ( X 1) )
2
ab （4）均匀分布： EX 2

ab 2 1 b ab DX ( x ) f ( x)dx a ( x 2 ) dx 2 ba (b a ) 2 12
2
（5）指数分布： EX
X
i 1
n
i
)＝
EX
i 1
n
i
（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则 E(X· Y)＝EX· 。 EY
例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个 白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的
个数，求 EX。
nM EX N
§4.2 随机变量的方差
4.2.1 方差的定义
对随机变量的特征进行考察，除了数学 期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情 况，由于X－EX可正可负，因此用[X－EX]2 来考虑。
f(x)>0，则只需直接计算期望。
4.1.2
常见随机变量的数学期望
（1）（0－1）Leabharlann Baidu布
X P 0 1-p 1 p
E X 0 P ( X 0 ) 1 P ( X 1) p
（2）二项分布B(n,p)
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n n
nk
，k 0,1,, n
n! EX k P( X k ) k p k (1 p) n k k!(n k )! k 0 k 1 (n 1)! np p k 1 (1 p) n k k 1 ( k 1)! ( n k )!
n
np( p 1 p) n 1 np
k 1
EY Eg ( X ) g ( x k ) p k
k 1

（2）若 X 是连续型随机变量，其密
度函数为 f (x) ，若积分 g ( x) f ( x)dx

绝对收敛，则有
EY Eg ( X )

g ( x ) f ( x ) dx
定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的 函数，即Z＝g（X，Y），则 （1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有

方差的计算公式： DX EX 2 (EX ) 2 4.2.2 几种常见的随机变量的方差
（1）（0－1）分布
X P 0 1-p 1 p
EX p, EX 2 p
DX pq
（2）二项分布： DX np(1 p)
( EX np, EX 2 n(n 1) p 2 np)
EX
2
1

1
0
x e
2
x
dx
2


0
( x ) 2 e x d ( x )

1

2
(3)
2
2
2
DX EX ( EX )
2
1

2
（6）正态分布： EX
DX E ( X EX ) ( x ) 2 f ( x) dx
2 2
2 2
2


0
(x ) e


( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2

(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3