2011-2012学年惠阳高级中学高一上学期数学期末考试

惠阳高级中学2011-2012学年度高一上学期数学期末考试试题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B ⋂等于（ ）
A 、{}2-
B 、{}1
C 、{}1,2
D 、{}2,1,2- 2、函数ln(1)y x =-的定义域为（ ）
A 、(,0)-∞
B 、(,1)-∞
C 、(0,)+∞
D 、(1,)+∞
3、若25
sin 5
α=
，且α是第二象限角，则cos α的值等于（ ） A 、35-
B 、4
5
- C 、55- D 、55
4、cos300︒等于（ ）
A 、32-
B 、32
C 、12
- D 、1
2 5、已知tan()34π
α+
=-，则
2sin cos sin cos αα
αα
-+的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、5
6、为得到函数1sin()26y x π=+的图象，只需将函数1
sin 2
y x =的图象（ ）
A 、向右平移π6个长度单位
B 、向左平移π
6个长度单位
C 、向右平移π3个长度单位
D 、向左平移π
3
个长度单位
7、电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0A >，0ω>）的图象如图所示，
则当1
200
t =
时，电流强度是（ ） A 、10安 B 、53安 C 、5安 D 、5-安
8、方程250x
x +-=的解所在区间是（ ）
A 、(0,1)
B 、(1,2)
C 、(2,3)
D 、(3,4)
9、若函数()log (1)a f x x a =>在区间[2,4]上的最大值比最小值大2，则a =（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
10、已知函数3
()sin f x x x =+，(1,1)x ∈-，且()f x 在(1,1)-上是增函数，则不等式(1)()0f x f x -+≥的解集为（ ）
A 、11,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦ B 、10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦ C 、1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D 、1
,22
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、若扇形的圆心角为0
60，半径为6，则扇形的面积为____________
12、已知函数()1,
0,,0.x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于_________
13、已知1
sin cos 3
αα-=，则sin cos αα=____________
14、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 满足()()f x f x π+=，当[0,)2
π
时，()tan f x x =，
则5(
)3
f π
=___________
三：解答题（本大题共6小题，满分80分） 15、（满分12分）已知函数()2sin(2),6
f x x x R π
=-
∈；
（1）求(0)f 的值； （2）求函数()f x 的最大值，并求()f x 取最大值时x 取值的集合；（3）求函数()f x 的单调增区间。

16、（满分l2分）已知函数()sin cos ,f x x x x R =-∈；（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若(,)42ππ
α∈，且1
()5
f α=，求cos α的值。

17、（满分l4分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><）的图象如下图所示。

（1）求A ，ω及ϕ的值；（2）若,02πα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，且5
21213
f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan α的值.。

18、（满分l4分）已知函数2
()f x x bx c =++有唯一的零点1.
（1）求()f x 的表达式；（2）若()f x 在区间[]2,+a a 上具有单调性，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，求a 的值。

19、（满分14分）甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。

乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。

（1）求第3年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数； （2）哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.
20、(满分14分)已知函数()f x 对任意实数x 均有(5)()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()f x 是正比例函数，当[]1,4x ∈时，()f x 是二次函数，且在2x =时()f x 取最小值5-。

（1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求出()f x 在[]4,4-的表达式；并讨论()f x 在[]4,4-的单调性。

惠阳高级中学2011-2012学年度高一上学期数学期末考试试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1—5: C 、B 、C 、D 、A ； 6—10:D 、B 、B 、A 、C ；
二、填空题（每小题5分，共20分）
11、6π 12、2 13、
4
9
14、3 三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 15、（满分12分） （1）(0)2sin()16
f π
=-=-……………………………………………3分
（2）当sin(2)16
x π
-
=时，max ()2f x =…………………………………………5分
此时22,6
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，得,3
x k k Z π
π=+
∈……………………………7分
∴()f x 取最大值时x 取值的集合为{|,}3
x x k k Z π
π=+∈………………………8分
（3）由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
π-
≤-
≤+
∈……………………………………………9分
得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈…………………………………………………………11分
∴()f x 的单调增区间为[,],63
k k k Z π
π
ππ-+∈……………………………………12分
16、（满分l2分） （1）()sin cos f x x x =-
22
2(
sin cos )22
x x =-………………………………2分 2(sin cos
cos sin )44
x x π
π
=-………………………………3分
2sin()4x π
=-……………………………………………4分 ∴()f x 的最小正周期221
T π
π==……………………………………6分
（2）法一：∵1
()2sin()45
f παα=-= ∴2sin()410πα-=
……………………………7分 ∵(
,)42ππα∈，∴(0,)44
ππ
α-∈……………………………8分
∴22272
cos()1sin ()1()441010
π
παα-
=--=-=……………………………10分 cos cos[()]44ππαα=-+cos()cos sin()sin 4444
ππππαα=---72
22231021025=⨯-⨯=……12分
法二：依题意有221sin cos 5sin cos 1αααα⎧
-=⎪
⎨⎪+=⎩
…………………………………………………………9分
又(
,)42ππ
α∈，解得43
sin ,cos 55
αα==…………………………………………………………12分
17、（满分l4分）
（1）1A =…………………………………………………1分
∵1741234
T πππ
=
-=
∴T π=………………………………………3分 ∴2ππω
=
∴2ω=…………………………………………………4分
∴()sin(2)f x x ϕ=+ 法一：2()sin(
)03
3
f π
π
ϕ=+=， 得
2,3k k Z πϕπ+=∈∴2,3
k k Z πϕπ=-∈………………………………… 又||2
π
ϕ<
，
∴1k =时，3
π
ϕ=…………………………………………………8分
法二：∵点(
,0)3
π
是五点作图的第三个点…………………………………………………5分
∴2,3
π
ϕπ⨯
+=
∴3
π
ϕ=
…………………………………………………8分
（2）∵5sin 2sin cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
…………………11分 又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
∴2
2512sin 1cos 1()1313
αα=--=--=-………………………………………13分
∴sin 12
tan cos 5
ααα==-…………………………………………………14分
18．（满分l4分）
（1）法一：依题意有 240
(1)10b c f b c ⎧-=⎨=++=⎩
…………………………………2分
解得21
b c =-⎧⎨=⎩………………4分 ∴2
()21f x x x =-+……………………5分
法二：依题意有1
2(1)10b f b c ⎧-=⎪⎨⎪=++=⎩……………………2分
解得21b c =-⎧⎨=⎩……………………4分
∴2
()21f x x x =-+……………………5分
（2）()f x 的对称轴为1x =………………………………………6分 ∵()f x 在区间[]2,+a a 上具有单调性，
∴1a ≥或21a +≤ ……………………………………………8分
解得1a ≥或1a ≤- …………………………………………………9分 （3）当
(2)
12
a a ++≥，即0a ≥时，2max ()(2)214f x f a a a =+=++=， 解得1a =或3a =-（舍去）………………………………………11分 当(2)12
a a ++<，即0a <时，2max ()()214f x f a a a ==-+=，
解得1a =-或3a =（舍去）……………………………………………13分 综上：1a =±……………………………………………14分
19、（满分14分）
解：由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,
从而求得其解析式为10.20.8()y x x N +=+∈ ………2分 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,
从而求得其解析式为2432()y x x N +=-+∈ ………………4分 （1）当3x =时，10.230.8 1.4y =⨯+=,2433220y =-⨯+= ……6分
∴12 1.42028y y ⋅=⨯=
∴第3年鱼池有20个,全县出产的鳗鱼总数为28万只. ………………7分
(2)设第x 年时的规模总产量为y ,则:
212(0.20.8)(434)0.8 3.627.2()y y y x x x x x N +=⋅=+-+=-++∈ ………10分
对称轴 9
4
x =
，开口向下， 又 x N +∈
∴ 当2x =时，y 有最大值max 0.84 3.6227.231.2y =-⨯+⨯+=…………13分 答：第2年时鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. …………………14分
20、(满分14分)。

（1）∵当[]1,1x ∈-时，()f x 是正比例函数， ∴设()(0)f x kx k =≠ ∴()()f x kx f x -=-=-
∴()f x 为奇函数…………………………………………………………2分 ∵(5)()f x f x +=
∴()f x 的周期5T =……………………………………………3分
∴(1)(4)(1)(1)(1)(1)0f f f f f f +=+-=-=………………………………5分
（2）当[]1,4x ∈时，依题意可设2
()(2)5f x a x =--
由（1）有(1)(4)0f f += ∴5450a a -+-=，得2a =
∴2
()2(2)5f x x =--…………………………………………7分 当[]1,1x ∈-时，()(0)f x kx k =≠ ∴(1)3f k ==-
∴()3f x x =-…………………………………………8分 当[]4,1x ∈--时，[]51,4x +∈，
∴2
()(5)2(3)5f x f x x =+=+-………………………9分
综上：()f x 在[]4,4-的表达式为()f x =222(3)5(41)3(11)2(2)5(14)x x x x x x ⎧+--≤≤-⎪
--≤≤⎨⎪--≤≤⎩
…………10分
作出()f x 的图象（略）…………………………………………………………………12分
由图象可知()f x 在[]4,3--和[]1,2-上是减函数，在[]3,1--和[]2,4上是增函数。

…………14分。