勾股定理的探索与证明

b a b b b
1 1 2 2 c 4 ab c b 4 ab 2 2 c 2 a 2 b2
2
a
朱实
朱实 黄实 朱实
朱实
赵爽弦图
b
C a
a
演示
它们的面积和 : a b
2
2
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
奇妙的勾股树
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树． 也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？” 仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
老师寄语
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
收集有关勾股定理的证明 方法,下节课展示﹑交流.
4
9
9
25
13
34
图3 图2
C A B
图3 A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B A C
由此，我们猜想到什么结论?
命题1 如果直角三角形的两直角边长分 别为a, b, 斜边长为c, 那么a 2 b 2 c 2 .
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”， 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
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周髀算经
勾
弦
股
勾
股
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
a
弦
c
b
股
你能用拼图的方法来说明勾股定理吗？
试 一 试
b
c
a
a
b
演示
传说中的毕达哥拉斯的证法 将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正 方形，使中间留下边长c的一个正方形洞。画 出正方形．移动三角形至图2所示的位置中， 于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞， 则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以
a 2 b2 c 2
图1
图2
证明过程;
b a c c b a
证明:上面的大正方形的面积为：c 2 4
1 ab 2
b
c a
c b
a
1 下面大的正方形的面积为：a 2 b 2 4 ab 2
从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋b，所以面积相等，即
a
a a a b c b c
40 A 90
B C
160 40
3.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞 错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
I
令正方形ABCD为朱方，正方 形BEFG为青方．在BG间取一点H， 使AH=BG，裁下△ADH，移至 △CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
D E C F
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证．
A B H G
返回
青朱出入图
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
求下列直角三角形中未知边的长:
2 2
2
24m
9m
如图，大风将一根木质旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
?
1
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数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯
《勾股圆方图》
一路下来，我们结识了很多 新知识，你能谈谈自己的收 获吗？说一说，让大家一起 来分享。
A
B
这个图形有什么作用呢？．
数学家毕达哥拉斯的发现：
A B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
探究与猜 想 B
A C
是不是所有的直角三角形 的三边都满足这种关系呢?
A的面 积(单位 面积) 图2 B的面 积(单位 面积) C的面 积(单位 面积)
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
D b A a c C c b a D
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
1.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对 角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离
朱实 中黄实 b a
返回
(b-a) 2
ab 那么： c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
总统脸红了
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——毕达哥拉斯
与外星人交流
假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 “数”，另一个是“数形关系”（勾股定 理）。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。
天马行空
1.体验勾股定理的探索过程，学习古 今中外数学家的探索精神。
2.会运用勾股定理解决简单的实际问题。
数 学 家 毕 达 哥 拉 斯 的 故 事
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