浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()()16f f <B ．函数()y f x =的最大值为()5f C ．1是函数()y f x =的极小值点所以函数e2x=-图象与直线y x故选：B20．(1)21,3nn na nb =+=(2)13n n +×【分析】（1）根据题意，列出方程组求出公差、公比即可得解；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）设数列{}na 的公差为d ，数列{}nb 的公比为q ，则()11102221143912129933333(33)3a d b q a b d q a d b qa b d q +-=×-=-=ìììÞÞííí+=×=+=×îîî，消元得2603q q q --=Þ=或2q =-（舍去），故2d =，故()132121,3·33n n n na n nb -=+-=+==.（2）由()213n n n nc a b n =×=+×，则()()()()123211322132313213n nS n =+´+´+´+´+´+´++´L ①()()()()231321132213213213n n n S n n +=+´+´+´++-´++´´L ②①-②得：()()()()23121233233321332333213n n n n nS n n ++-=´++++-+×=++++-+×L L所以(6)620BD BG k k k k k -=--+-=，故BD BG k k =，故DG 过定点(1,0)B .【点睛】关键点点睛：本题求定点问题，方法与一般方法有差异，先求,BD BG 的斜率，再利用根与系数的关系，证明0BD BG k k -=是问题的关键点与难点，据此得出BD BG k k =，再由此得出定点为B.答案第161页，共22页。
浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若方程221259x y m m +=−+表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()9,25−B ．()()9,88,25−C ．()8,25D ．()8,+∞2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my −++=与直线2l ：()220mx m y ++−=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在长方体1111ABCD A B C D −中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D ．24．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（ ）A ．10x −=B ．10x y ±−=C ．220x y ±−=D ．210x y ±−=6．双曲线22221,(0,0)x y a b a b−=>>右焦点为F ，离心率为e ，,(1)PO k FO k =>，以P 为圆心，||PF 长为半径的圆与双曲线有公共点，则8k e −最小值为（ ） A ．9−B ．7−C ．5−D ．3−7．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（ ）A B ．15C D ．138．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12二、多选题9．已知抛物线2:4E y x =上的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 关于直线4x ky =+对称，直线AB 与x 轴交于点()0,0C x ，下列说法正确的是（ ） A ．E 的焦点坐标为()1,0 B ．12x x +是定值 C ．12x x 是定值D ．()02,2x ∈−10．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC −的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 11．设M 为双曲线C ：2213x y −=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()0,8N ，则MN 最小值为7B ．若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C ．若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2+D ．过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ===，,,M N G 分别为,,PA PC PB 的中点，则（ ）A ．四面体N BCD −是鳖臑B ．CG 与MNC ．点G 到平面PACD ．过点,,M N B 的平面截四棱锥P ABCD −的截面面积为3三、填空题13．已知点P 是圆C ：22(2)64x y −+=上动点，(2,0)A −.若线段PA 的中垂线交CP 于点N ，则点N 的轨迹方程为 .14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．15．已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是 .16．已知点P 在y x ⎡=∈−⎣上运动，点Q 在圆223:()(0)4C x y a a +−=>上运动，且PQ a 的值为 .四、解答题17．已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程． 18．已知圆22:(1)(2)25C x y −+−=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++−−=∈． (1)证明：不论m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．19．如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B −−的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．20．已知双曲线2222:1x y C a b −=经过点()2,3−，两条渐近线的夹角为60，直线l 交双曲线于,A B 两点. (1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.21．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM −．(1)求四棱锥P ABCM −的体积的最大值； (2)若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；(3)设P AM D −−的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．22．设双曲线2222:1x y C a b −=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.。
浙江省宁波鄞州高级中学高二数学第一学期期中考试试卷(理无答案)
鄞州高级中学 高二数学(理)期中试卷命题人 王蓉 审核人 何高飞 一．选择题（每小题5分，共10小题，50分）1．=⨯-⨯⨯⨯n n )1(654 （ ）（A ）4n C （B ）！n ！3- （C ）3-n n A （D ）3-n n C2．从装有两个红球两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） （A ）“至少有一个黑球”与“都是黑球” （B ）“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” （C ）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” （D ）“至少有一个黑球”与“都是红球” 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中的系数是 ( )（A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）284．设随机变量ξ的概率分布列为)1,0()1()(1=-==-k p p k P k k ξ，则ξE 和ξD 的值分别是 （ ）（A ）0和1 （B ）p 和2p （C ）p 和p -1 （D ）p 和)1(p p -5． 将4名教师分配到3所中学任教，则不同的分配方案共有 （ ）（A ）64种 (B)81种 (C) 36种 (D) 48种 6． 0=s0=T 1=i DOi T T += T s s += 1+=i iLOOP UNTIL 6>i PRINT s END上述程序的运行结果是 （ ） （A ）56 （B ）35 （C ）21 （D ）157．右图是根据《浙江统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我 29 1158 省城镇居民百户人家人口数的茎叶图。
图中左边的数字从左到右分别表示城 30 26 镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百 31 0247 户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （ ）（A ）304.6 （B ）303.6 （C ）302.6 （D ）301.68．某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为 （ ）（A ）70 （B ）20 （C ）48 （D ）29．从编号为1,2,3,…,10,11的11个球中,取出5个球,使这5个球的编号之和为奇数,其取法总数为2008学年第一学期（ ）（A ）236 （B ）328 （C ）462 （D ） 264010．在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为 （ ）二．填空（每小题4分，共7小题，28分）11．设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C12．3=a5=b 8=c b a = c b = a c =PRINT a,b,c END上程序的运行结果是__________ 13．6个人坐到9个座位的一排位置上，则恰有3个空位且3个空位互不相邻的坐法有____ 种(用数值表示) 14．设随机变量X ～),2(p B ，Y ～),4(p B ，若95)1(=≥X P ，则=≥)1(Y P __________ 15．20件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取5件进行检查。
浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知()1,0,1a =r ，(),1,2b x =-，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（）A.56π B.6π C.3πD.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出向量a 与b 的夹角的余弦值，即可求出a 与b的夹角.【详解】()1,0,1a =r (),1,2b x =- ，3a b ⋅=所以·23a b x =+=，∴1x =，∴()1,1,2b =-，∴cos 2||||a ba b a b ⋅==⨯，=，又∵]0[a b π∈，，，∴a 与b的夹角为6π.故选：B.2.双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A.33y x =±B.y =C.3y x=± D.13y x=±【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.【详解】在双曲线2213y x -=中，1a =，b =，因此，该双曲线的渐近线方程为y =.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.3.在坐标平面内，与点()1,2A 距离为3，且与点()3,8B 距离为1的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D 【解析】【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解.【详解】到点()1,2A 距离为3的点的轨迹为以()1,2A 为圆心，半径为3的圆，到点()3,8B 距离为1的点的轨迹为以()3,8B 为圆心，半径为1的圆，则所求直线即为两圆的公切线，因为==AB ，且13AB >+，可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.故选：D.4.圆221x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断，【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆228690x y x y +-++=可化为()()224316x y -++=，圆心为()4,3-，半径为4，而两圆心的距离为14=+，故两圆外切，故选：D5.若(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，求ABC 的面积为（）A.28B.14C.56D.20【答案】A 【解析】【分析】根据坐标求解出三角形边长和高，然后根据面积公式求解即可；【详解】根据两点间的距离解得：5,AB ==AB 所在直线方程为：43520,x y +-=则8125256,55h --==所以156528.25ABC S ==故选：A6.直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,2,1P -到l 的距离为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 的方向向量为()1,0,1m =- ，取直线l 的一个单位方向向量为m mμ=，计算PA代入空间中点到直线的距离公式d =.【详解】依题意，因为直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，所以取直线l 的一个单位方向向量为m m μ=22,0,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由()1,1,1A ，()1,2,1P -可得()2,1,0PA =-，所以PA ==()2,1,022PA μ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以d ==.故选：B.7.已知点P 是椭圆2212516x y +=上一动点，Q 是圆22(3)1x y ++=上一动点，点(6,4)M ，则PQ PM -的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】易知圆22(3)1x y ++=的圆心是()13,0F -为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，然后由211PQ PM PF PM -≤--求解.【详解】如图所示：由2212516x y +=，得2225,16a b ==，则3c ==，则圆22(3)1x y ++=的圆心是()13,0F -为椭圆的左焦点，则右焦点为()23,0F ，由椭圆的定义得12210PF PF a +==，所以122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，又25MF ==，所以211PQ PM PF PM -≤--，()2211111156PF PM MF =-+≤-=-=，故选：C8.如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折成1A DE △.在翻折过程中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A.1024- B.66C.514- D.5【答案】A 【解析】【分析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为21cos sin 4cos 6αθα-=+，换元后利用基本不等式可得答案.【详解】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n=(0,0.1)，由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1AC 与平面ABCD 所成角为θ，则2111cos sin 4cos 64cos 6||CA nCA n αθαα⋅-===++⋅设3153535102cos ,,sin 2224164444t t t αθ⎡⎤⎛⎫=+∈=-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为1024-，故选：A.【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列直线中为两圆公切线的是（）A.20x y +=B.430x y -=C.20x y -+=D.20x y -=【答案】BCD 【解析】【分析】利用圆心到直线距离求圆的公切线，然后逐一判断即可.【详解】由题知圆M ，圆心为()2,1M ，半径为11r =，圆N ，圆心为()2,1N --，半径为21r =，由两圆圆心和半径大小知，两圆公切线的斜率存在，设公切线方程为l ：y kx b =+，则()2,1M 到l的距离11d ==()2,1N --到l的距离21d ==得21212121k b k b k b k b =+-⇒=+-=-++=-++，()21214210k b k b b k +-=-++⇒-=，解得0b =或12k =，当0b =2121k b k =+-⇒=-，解得00b k =⎧⎨=⎩或043b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即0y =或430x y -=，当12k =212k b b b =+-⇒=⇒=±，解得212b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或212b k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即20x y -=或20x y -=，故选：BCD10.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若C 为椭圆，则13t <<，且2t ≠B.若C 为双曲线，则3t >或1t <C.若2t =，则曲线C 表示圆D.若C 为双曲线，则焦距为定值【答案】ABC 【解析】【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.【详解】A ：C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得13t <<，且2t ≠，正确；B ：C 为双曲线，则(3)(1)0t t --<，可得3t >或1t <，正确；C ：2t =时，方程为221x y +=，即曲线C 表示圆，正确；D ：若C 为双曲线，则242,13124,3t t c t t t t -<⎧=-+-=⎨->⎩，显然焦距不为定值，错误.故选：ABC11.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，π2ABC ∠=，122AB PA CD ===，4BC =，M 为PD 的中点，则（）A.BM PC⊥B.异面直线BM 与AD所成角的余弦值为10C.直线BM 与平面PBC所成角的正弦值为7D.点M 到直线BC【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标，利用空间向量的方法逐项分析即可求解.【详解】过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则2DE =，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)B ，(4,2,0)C ，(4,2,0)D -，(0,0,2)P ，(2,1,1)M -．则(2,3,1)BM =- ，(4,2,2)PC =- ，(4,0,0)BC = ，(0,2,2)BP =- ，(4,2,0)AD =-．因为24(3)21(2)0P BM C =⨯+-⨯+⨯-=，故选项A 正确；因为cos ,10BM AD BM AD BM AD<>==，所以直线BM 与AD 所成角的余弦值为7010，故选项B 错误；设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则·40·220m BC x m BP y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1y =，得(0,1,1)m = ．设直线BM 与平面PBC 所成角为α，则sin cos 7BM m BM m BM mα=<>==，，所以直线BM 与平面PBC所成角的正弦值为7，故选项C 正确；设点M 到直线BC 的距离为d，则d ==，即点M 到直线BC，故选项D 正确，故选：A CD .12.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.若曲线上某点处的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B.若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为cC.椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点处的曲率半径的最大值为2b aD.若椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为221164x y +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲率半径可判断A ；把22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入R ，根据0x 的范围可得R 的最小值，令其等于c 化简求出e 可判断B ；由选项B 可知3222221⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a R a b b b 可判断C ；根据332222222211⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b R a b a b ，得出221,8==b a a b求出,a b 可判断D.【详解】对于A ，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A 正确；对于B ，因为2200221x y a b +=，所以2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以3222033222222222222220000444442211⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫-⎝⎭ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭x b a x y x c R a b a b a b x ab a b a bb ，因为0a x a -≤≤，所以220x a ≤≤，22024222111-≤+≤c x a a b b b，若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c ，可得322221⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c a ，解得12e =，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，22024222111-≤+≤c x a a b b b ，所以3222221⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a R ab b b ，所以椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点处的曲率半径的最大值为2a b ，故C 错误；对于D ，若椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，由选项B可得33222222222211b a a b R a b a a b b ⎛⎫⎛⎫=≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2218b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24b a =⎧⎨=⎩，则椭圆方程为221164x y +=，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13.已知空间向量()2,1,2a =- 和()2,2,1b = ，则a 在b上的投影向量为________(用坐标表示).【答案】884,,999⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得a 在b上的投影向量的坐标.【详解】已知空间向量()2,1,2a =-和()2,2,1b = ，则a 在b 上的投影向量为()2422cos ,2,2,1441b a b b a b a a b a b b a b b b⋅⋅-+⋅⋅=⋅⋅=⋅=++⋅ 884,,999⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：884,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭.14.已知直线l 过点()3,4，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为_________．【答案】43y x =或2110x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()3,4求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()3,4求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()3,4，所以43k =，所以直线l 的方程为43y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在y 轴上的截距为b ，则在x 轴上的截距为2b ，则直线l 的方程为12x y b b+=，又因为直线l 过点()3,4，所以3412b b +=，解得：112b =，所以直线l 的方程为111112x y +=，即2110x y +-=，综上所述：直线l 的方程为43y x =或2110x y +-=，故答案为：43y x =或2110x y +-=．15.如图，在三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，M 、N 分别是AD BC 、的中点、则AN CM →→⋅=_____．【答案】7-【解析】【分析】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则由//ME AN 可知异面直线AN ，CM 所成角就是EMC ∠，利用余弦定理解三角形求得7cos 8EMC ∠=，设AN →与CM →的夹角为θ，由图可知θ与EMC ∠互补，从而得出7cos cos 8EMC θ=-∠=-，最后利用向量的数量积运算，即可求出AN CM →→⋅的结果．【详解】解：连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则//ME AN ，EMC ∴∠是异面直线AN ，CM 所成的角，3,2AB AC BD CD AD BC ====== ，AN BC ∴⊥，223122AN ∴=-=22ANME EN ∴===，同理得：22DN MC ==又EN NC ⊥ ，()2222213EC EN NC ∴=++，2227cos 282222EM MC EC EMC EM MC +-∴∠===⨯⨯⨯，设AN →与CM →的夹角为θ，由图可知θ与EMC ∠互补，则7cos cos 8EMC θ=-∠=-，7cos 222278AN CM AN CM θ→→→→⎛⎫∴⋅=⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：7-.16.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左右两支于点B 、C ，若2BC CF =，则双曲线的离心率为__________．523+【解析】【详解】根据题意，记12BF F θ∠=，则sin a cθ=，其中22c a b =+进而由双曲线的焦半径公式和双曲线的定义，可得1112CF BF CF a -=-，即22cos b a c a θ=+，也即22b a b c a c =⋅+，解得13b a=+，因此双曲线的离心率21523c b e a a ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭．523+非选择题部分四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设常数a R ∈，已知直线1l ：()210a x y +++=，2l ：()3430x ay a ++-=．（1）若12l l ⊥，求a 的值；（2）若12//l l ，求1l 与2l 之间的距离．【答案】（1）32a =-（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得()320a a ++=，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得a 的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．【小问1详解】根据题意，直线1l ：()210a x y +++=，2l ：()3430x ay a ++-=，若12l l ⊥，则()320a a ++=，解可得a 32=-【小问2详解】根据题意，若12//l l ，则有()23a a +=，解可得1a =或3-，当1a =时，直线1l ：310x y ++=，2l ：310x y ++=，两直线重合，不符合题意，当3a =-时，直线1l ：10x y -++=，2l ：33150x y --=，即50x y --=，两直线平行，此时1l 与2l 之间的距离d ==18.在三棱锥体P SEF -中，3,2FM ME MN NS ==，点H 为PF 的中点，设,,SP i SE j SF k === .（1）记a PN SH =+ ，试用向量,,i j k 表示向量a；（2）若ππ,,4,623ESF ESP PSF SE SF SP ∠∠∠======，求PN SH ⋅ 的值.【答案】（1）1172412i j k -++ ；（2）643-.【解析】【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得；（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.【小问1详解】由题可知3FM ME = ，,,SP i SE j SF k === ，所以()3SM SF SE SM -=- ，即31314444SM SE SF j k =+=+ ，又2MN NS =，所以1113412SN SM j k ==+ ，所以11412PN SN SP j k i -=+=- ，又点H 为PF 的中点，所以11112222S SP SF i k H =+=+ ，所以114122112i a PN H i k S j k =+++=-=+ 1172412i j k -++ ；【小问2详解】因为ππ,,4,623ESF ESP PSF SE SF SP ∠∠∠======，所以16412,02i j i k j k ⋅=⋅=⨯⨯=⋅= ，所以112211412PN SH j k i i k ⎛⎫⋅+-⎛⎫=+ ⋅ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭221111412411111112222222i i i k k k j i k j ⨯+⨯-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+⨯- 1111111121236161241212212222⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=643=-.19.已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=.（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=时，求直线l 的方程.【答案】（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=.【解析】【分析】（1）由题设可得圆心为()0,4C ，半径2r =，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程.【小问1详解】由圆C ：228120x y y +-+=，可得()2244x y +-=，其圆心为()0,4C ，半径2r =，若直线l 与圆C 相切，则圆心C 到直线l距离2d r ===，即43a =-，可得：34a =-.【小问2详解】由（1）知：圆心到直线的距离d =，因为222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22222d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：d =，所以d ==2870a a ++=，解得：1a =-或7a =-，则直线l 为20x y -+=或7140x y -+=.20.若双曲线E ：2221(0)x y a a-=>，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若AB =，点C 是双曲线上一点，且()OC m OA OB =+ ，求k ，m 的值．【答案】（1）(．（2）51,24k m ==±【解析】【分析】(1)联立直线与双曲线方程,根据直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点可求得韦达定理以及判别式满足的关系式即可.(2)联立直线与双曲线方程,根据弦长公式求解可得257k =或254k =.再根据()OC m OA OB =+ 可求得C 的坐标表达式,再代入双曲线方程进行求解即可.【详解】(1)由221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得2212a c ⎧=⎨=⎩故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ,B 两点,所以1212000x x x x +>⎧⎪⋅>⎨⎪∆>⎩.即()()22144120k k k >⎧⎪⎨∆=--⋅->⎪⎩,即1k <<,即k的取值范围是(．(2)由①得12122222,11k x x x x k k +==--,所以AB =.整理得422855250k k -+=,所以257k =或254k =,又1k <<,所以2k =,所以x 1＋x 2＝,y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3,y 3),由()OC m OA OB =+ 得(x 3,y 3)＝m (x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝(),8m ,因为点C 是双曲线上一点,所以80m 2－64m 2＝1,得14m =±,故1,24k m ==±.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,重点是联立方程求解,根据条件得出二次方程韦达定理满足的关系式,同时需要掌握弦长等公式方法等.属于难题.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，3BC =，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为10+.（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明详见解析（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）利用向量法求得直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.【小问1详解】依题意，()23210AC AC ++⨯=+=，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，根据直三棱柱的性质可知1BB ⊥平面ABC ，而,AB BC ⊂平面ABC ，所以11,BB AB BB BC ⊥⊥，由此以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()12,0,2,0,3,0A C ，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z = ，则122030n BA x z n BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可得()1,0,1n =- .平面11ABB A 的一个法向量是()0,1,0m = ，由于0m n ⋅= ，所以m n ⊥ ，所以平面1A BC ⊥平面11ABB A .【小问2详解】由（1）得平面1A BC 的法向量()1,0,1n =- ，()()()110,0,2,0,3,0,0,3,2B C B C =- ，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则11sin 13B C n B C nθ⋅===⋅ .22.已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，且焦距为2，动弦MN 平行于x 轴，且114F M F N +=．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线:4l x =上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得ACD BCD S S λ= 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）存在，3【解析】【分析】（1）由椭圆的对称性得12F M F N =，结合椭圆的定义可求出2a =，即可求出答案；（2）设()()0004,y y P ≠，设直线AP 的方程为：()026y y x =+，与椭圆的方程联立，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在3λ=，使得ACD BCD S S λ= 成立.【小问1详解】因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得12F M F N =．又因为114F M F N +=，所以214F N F N +=．则24a =，2a =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】设()()0004,y y P ≠，又()2,0A -，则06AP y k =，故直线AP 的方程为：()026y y x =+，代入方程2214x y +=并整理得：()222200944360y x y x y +++-=．由韦达定理：2020429A C C y x x x y +=-+=-+即20201829C y x y -=+，∴02069C y y y =+同理可解得：2020221D y x y -=+，02021D y y y -=+，∴02023C D CD C D y y y k x x y -==--故直线CD 的方程为()CD C C y k x x y =-+，即200022200021826399y y y y x y y y ⎛⎫-=-+ ⎪-++⎝⎭，化简可得：()()2003210y y y x -+-+=，直线CD 恒过定点()1,0E ．∴11sin sin 2211sin sin 22ACD AEC AED BCD BCE BED AE CE AEC AE DE AED S S S S S S EB CE BEC BE DE BED ⋅∠+⋅∠+==+⋅∠+⋅∠ ，因为sin sin AEC AED ∠=∠，sin sin BEC BED ∠=∠，所以ACD BCD S S = sin 33sin 1CD AE AEC AE CD EB BEC EB λ⋅⋅∠====⋅⋅∠【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；②利用0③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点.。
浙江省宁波市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省宁波市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·延边期中) 已知命题：，，则命题的否定为（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分） (2016高二上·莆田期中) 命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于（）A . 22B . 33C . 44D . 554. （2分） (2016高二上·茂名期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A . 1，﹣1B . 2，﹣2C . 1，﹣2D . 2，﹣15. （2分） (2017高一下·瓦房店期末) 古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是（）A . 该金锤中间一尺重3斤B . 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C . 该金锤的重量为15斤D . 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤6. （2分） (2019高二下·九江期中) 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知，，则m，n之间的大小关系是（）A . m>nB . m≥nD . m≤n8. （2分）不等式的解集为R，则a的取值范围是（）A .B .C .D . a<09. （2分） (2017高一下·晋中期末) 已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3a5=45，S7=49，则数列的前n项和为（）A .B .C .D .10. （2分）等差数列中，，则该数列前13项的和是（）A . 13B . 26C . 52D . 15611. （2分）(2016·安徽模拟) 数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1 ， a3 ， a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（）A .C . 2D .12. （2分） (2017高二下·邢台期末) 已知f（x）= ，设f1（x）=f（x），fn（x）=fn﹣1[fn﹣1（x）]（n＞1，n∈N*），若fm（x）= （m∈N*），则m等于（）A . 9B . 10C . 11D . 126二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·洛阳月考) 各项均为实数的等比数列的前项和为 ,已知成等差数列,则数列的公比为________.14. （1分）(2020·江苏模拟) 已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________．15. （1分） (2020高三上·平阳月考) 数列满足：对任意非负整数，均有.若，则该数列中小于2019的最大的一项等于________.16. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知数列满足，若，则数列的首项的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2015高二上·蚌埠期末) 设命题p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：∀x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．18. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，﹣1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R，且 + + =m，求证：a2+b2+c2≥36．19. （10分）在△ 中，角的对边分别为、、，完成下列问题：（1）若，求证：；（2）若，求的最大值．20. （15分） (2016高一上·普宁期中) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21. （10分） (2017高二上·湖南月考) 函数．（1）求函数的最大值；（2）对于任意，且，是否存在实数，使恒成立，若存在求出的范围，若不存在，说明理由；（3）若正项数列满足，且数列的前项和为，试判断与的大小，并加以证明．22. （10分） (2016高二下·阳高开学考) 已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N+ ，n≥2）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、第11 页共13 页第12 页共13 页22-1、第13 页共13 页。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试题
浙江省宁波市高二上学期期中数学试题姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设集合 A={1,2}，则满足的集合 B 的个数为（ ）A.1B.3C.4D.82. （2 分） “ab=4” 是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行” 的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） (2016 高三上·新津期中) 在等差数列{an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=240，则 a9﹣ 为（ ）a11 的值A . 30B . 31C . 32D . 334. （2 分） (2016 高一下·南安期中) 若，且A . 30° B . 60°第 1 页 共 13 页，则向量 与 的夹角为（ ）C . 120° D . 150° 5. （2 分） 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等 腰梯形，则该几何体的侧面积是（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） “非空集合 的元素都是集合 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴ 的元素都不是 P 的元 素；⑵ 中有不属于 元素；⑶ 中有 的元素；⑷ 的元素不都是 的元素，其中真命题的个数有（ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个7. （2 分） (2017 高二下·汪清期末) 设椭圆为 .若=2，则该椭圆的方程为（ ）的左、右焦点分别为，上顶点A.B.C.第 2 页 共 13 页D.8. （2 分） (2018 高一下·河南月考) 对于具有线性相关关系的变量，有以下一组数据：1234523.45.26.48根据上表，用最小二乘法求得回归直线方程为，则当时， 的预测值为（ ）A . 11B . 10C . 9.5D . 12.59. （2 分） (2016 高三上·新津期中) 设 D 是函数 y=f（x）定义域内的一个区间，若存在 x0∈D，使 f（x0） =﹣x0 ， 则称 x0 是 f（x）的一个“次不动点”，也称 f（x）在区间 D 上存在次不动点．若函数 f（x）=ax2﹣3x ﹣a+ 在区间[1，4]上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ）A . （﹣∞，0）B . （0， ）C . [ ，+∞）D . （﹣∞， ]10. （2 分） (2017 高一下·兰州期中) 当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时，它与定点 Q（3，0）相连，线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是（ ）A . （x﹣3）2+y2=1B . （2x﹣3）2+4y2=1C . （x+3）2+y2=4D . （2x+3）2+4y2=4第 3 页 共 13 页11. （2 分） (2018 高一下·攀枝花期末) 已知中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若，且，则的取值范围是（ ）A.B. C. D. 12.（2 分）(2016 高二下·衡水期中) 已知双曲线与椭圆 则双曲线的渐近线方程为（ ）的焦点重合，它们的离心率之和为 ，A. B. C. D . y=二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2015 高二下·福州期中) 函数 f（x）= 积为________．的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面14. （1 分） (2016 高一下·邯郸期中) 已知 tanα，tanβ 是方程 x2+6x+7=0 的两个根，且 α，β∈（- ， ），则 α+β=________．15. （1 分） (2018 高三下·滨海模拟) 已知正实数 ________.满足且,则的最小值为16. （1 分） 已知， 在函数与的图像的交点中。
浙江省宁波市-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
浙江省效实中学-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． 请在答题卷内按要求作答第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、已知随机变量X 的分布列如图，则p 的值为 A.14 B. 12 C. 34D.1 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C 与11A C 所成角为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒3、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}n a ：1(1(n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球）第次摸取白球），如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得71S =-的概率为 A.52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 34372133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D. 34371233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、如果21()2n x x-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的含3x 项的系数为A.52B.52- C.20 D.20- 5、若把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 A.18种 B.19种 C.10种 D.9种6、某5所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的5位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知书。
若每位学生都等可能地选择任意一所大学就读，则恰有两名学生选择同一所大学（其他三人在其他学校中各选一所不同大学）的概率为 A.15 B.24125 C.96125 D.481257、已知等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，,AC BC 的中点分别是,D E ，将CDE ∆沿DE 折起，使得C DE A --为直二面角，此时斜边AC 被折成折线ADC ，则ADC ∠等于 A.150︒ B.135︒ C.120︒ D.90︒8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123P =，乙的命中率为212P =，两人的所有射击都是相互的。
浙江省宁波市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省宁波市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是（）A .B . -C . 2D . -22. （2分） (2018高二上·万州期中) 已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（）A .B .C .D .3. （2分）圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a-b的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）若直线和互相垂直，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 设点B为点A（3，﹣4，5）关于xOz面的对称点，则|AB|=（）A . 6B . 8C . 10D . 56. （2分） (2018高二上·定远期中) 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（）．A . 或B . 或C . 或D . 或7. （2分）已知m和n是两条不同的直线，和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A . ⊥β且B . ⊥β且C . 且n⊥βD . m⊥n且8. （2分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P 的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）(2018·衡水模拟) 已知三棱锥外接球的表面积为32 ，，三棱锥的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）A . 4B .C . 8D .10. （2分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（）A . 双曲线的一支B . 椭圆C . 抛物线D . 射线二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高一下·蠡县期末) 已知直线，若，则________．12. （1分）(2018·吉林模拟) 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB = 6，BC = ，则棱锥的体积为________.13. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分） (2019高一下·朝阳期末) 已知直线与圆交于两点，若，则 ________.三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分） (2019高二上·伊春期末) 在直角坐标系中，以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆的圆心的坐标为半径为 ,直线的参数方程为为参数) （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;（Ⅱ）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.17. （15分） (2017高二上·汕头月考) 如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向形作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离.18. （5分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．19. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知圆 .（1）已知直线经过点，若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若圆与圆相切，求的值.20. （10分） (2016高二上·余姚期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点（1）求证：平面PDE⊥平面ABCD；（2）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）(2018·河北模拟) 已知是等差数列，是其数列的前项和，且，，则 ________．2. （1分） (2019高二上·集宁期中) 等比数列前n项和为，且，，则其公比为________.3. （1分） (2019高二下·邗江月考) “ ”是“ ”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要之一）.4. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知等差数列{an}中，a1+a3+a8= ，那么cos（a3+a5）=________5. （1分） (2016高一上·徐州期末) 已知向量，满足| |=2，| |= ，与的夹角为，则| |=________．6. （1分）(2017·南海模拟) 数列{an}中，a1=1，当n≥2时，，则an=________．7. （1分）(2017·巢湖模拟) 已知，若向量与共线，则在方向上的投影为________．8. （1分） (2016高二下·新洲期末) 用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n=________时，命题亦真．9. （1分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）=|lnx|，g（x）= ，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为________．10. （1分） (2016高二下·珠海期中) 的值为________．11. （1分） (2016高一下·安徽期中) 正项数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=an2+an（n∈N*），设cn=（﹣1）n ，则数列{cn}的前2017项的和为________．12. （1分） (2016高二下·邯郸期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r= ；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq，（n∈N• ， p，q为常数），且x1 ， x4 ， x5成等差数列，则p之值为（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣214. （2分） (2016高三上·临沂期中) 已知等差数列{an}中，a5+a7= sinxdx，则a4+2a6+a8的值为（）A . 8B . 6C . 4D . 215. （2分） (2019高二上·延边月考) 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+ （ - ）等于（）A .B .C .D .16. （2分） (2016高一下·抚州期中) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A . 12B . 18C . 22D . 44三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分）(2018·绵阳模拟) 已知正项数列的前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .18. （10分） (2017高一上·保定期末) 已知，且与为不共线的平面向量．（1）若，求k的值；（2）若∥ ，求k的值．19. （10分）(2017·揭阳模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S4=4S2 ， a2n=2an+1﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=3﹣，求{bn}的前n项和Tn．20. （5分）(2018·北京) 设是等差数列，且， +a3=5 .（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求 + +…+ .21. （5分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3= 9 a4= 8.5 …b1=2b2= 3 b3= 4.5 b4= 6.75 …（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、。
2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．122．点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点是（ ） A ．（﹣a ﹣1，﹣b ﹣1） B ．（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1） C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ）3．如图，下列正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为正方体的顶点，P 为所在棱的中点，则满足直线MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．95．若直线x ﹣y +3＝0与圆x 2+y 2﹣2x +2﹣a ＝0相切，则a ＝（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．在棱长为2的正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点．点P 为线段EF 上的动点．则下面结论中错误的是（ ）A ．P A 1＝PB 1 B ．A 1B 1∥平面D 1APC ．D 1P ⊥B 1CD ．∠B 1PC 是锐角7．已知点F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点F 1关于∠F 1MF 2平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若cos ∠F 1MF 2=78，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．√33B ．√39C ．√105D ．√10258．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，N 为棱A 1B 1上的中点，M 为棱CC 1上的动点，过N 作平面ABM 的垂线段，垂足为点O ，当点M 从点C 运动到点C 1时，点O 的轨迹长度为（ ）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2√3π3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A ＝“取出的两球同色”，事件B ＝“第一次取出的是白球”，事件C ＝“第二次取出的是白球”，事件D ＝“取出的两球不同色”，则（ ） A ．P(B)=12B ．B 与C 互斥 C ．A 与B 相互独立D ．A 与D 互为对立10．已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2﹣2x ﹣2y ＝0（a ∈R ），则（ ） A ．曲线C 可能是直线B ．当a ＝1时，直线3x +y ＝0与曲线C 相切C ．曲线C 经过定点D ．当a ＝1时，直线x +2y ＝0与曲线C 相交11．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2CB ＝4，E ，F ，G 分别为侧棱BB 1，DD 1，AA 1上一点，BE ＝DF ＝A 1G ＝2，则（ ）A ．BD ⊥GFB ．∠GEC 1=π2C ．∠EGF 的最大值为 π6D ．当 AA 1=83时，GE //C 1F 12．已知P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2＝﹣2，则下列说法正确的是（ ）A ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为6+2√5B ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为3−√5C ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最大值为2√5+2√105D ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最小值为10−2√2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为 ．14．已知直线l ：x ﹣y +1＝0，若P 为l 上的动点．过点P 作⊙C ：（x ﹣5）2+y 2＝9的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为 ．15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1和CC 1的中点，则四面体O ﹣MNB 1的体积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg ）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数a ，b 的值；（2）若从重量范围在[2.60，2.80）的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率．18．（12分）已知直线l 过点M （1，1），并且与直线2x +4y +9＝0平行． （1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且PE =13PD ，CF =13BC ． （1）证明：CE ∥平面P AF ；（2）若AD ＝AP ，求直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值．20．（12分）设x ，y ∈R ，向量i →，j →分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a →=（x −√3i →+y j →），b →=（x −√3）i →+y j →，且|a →|+|b →|＝4． （Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：x 216+y 24=1，曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．21．（12分）如图1，菱形ABCD 中∠ABC ＝120°，动点E ，F 在边AD ，AB 上（不含端点），且存在实数λ使EF →=λDB →，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示．（1）若BF ⊥PD ，设三棱锥P ﹣BCD 和四棱锥P ﹣BDEF 的体积分别为V 1，V 2，求V 1V 2；（2）当点E 的位置变化时，平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； 22．（12分）椭圆E ：x 28+y 24=1的上顶点为P ，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0）在椭圆E 内．（1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，切线P A 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求|ST |的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．2023-2024学年浙江省宁波市北仑中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现的结果为“一正两反”的概率为（ ） A ．18B ．14C ．38D ．12解：同时抛掷3枚质地均匀的的硬币，因为每枚硬币均有正反两种情况，故共有8种情况，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出现的结果为“一正两反”的情况有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”， 故出现的结果为“一正两反”的概率为38．故选：C ．2．点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点是（ ） A ．（﹣a ﹣1，﹣b ﹣1） B ．（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1） C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ）解：设点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点为（m ，n ），则由{n−bm−a =1m+a 2+n+b 2+1=0，求得 {m =−b −1n =−a −1， 故点（a ，b ）关于直线x +y +1＝0的对称点为（﹣b ﹣1，﹣a ﹣1）， 故选：B ．3．如图，下列正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为正方体的顶点，P 为所在棱的中点，则满足直线MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O （1，1，0）， 对于A ，M(2，0，2)，N(0，2，2)，P(0，2，1)，MN →=(−2，2，0)，OP →=(−1，1，1)，MN →⋅OP →=4≠0，MN 与OP 不垂直，A 不是；对于B ，M(0，0，2)，N(2，0，0)，P(2，0，1)，MN →=(2，0，−2)，OP →=(1，−1，1)，MN →⋅OP →=0，MN ⊥OP ，B 是；对于C ，M(2，2，2)，N(0，2，0)，P(2，0，1)，MN →=(−2，0，−2)，OP →=(1，−1，1)，MN →⋅OP →=−4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M(0，2，2)，N(0，0，0)，P(2，1，2)，MN →=(0，−2，−2)，OP →=(1，0，2)，MN →⋅OP →=−4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是．故选：B ．4．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如：6，5，9，7，4，7，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次成绩按照从小到的顺序排列为：4，5，5，6，7，7，7，9，9，10， 又因为10×70%＝7，所以这组数据第70百分位数为：7+92=8．故选：B ．5．若直线x ﹣y +3＝0与圆x 2+y 2﹣2x +2﹣a ＝0相切，则a ＝（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6解：圆（x ﹣1）2+y 2＝a ﹣1（a ＞1）的圆心（1，0），半径√a −1， 依题意，√12+(−1)2=√a −1，解得a ＝9，所以a ＝9． 故选：A ．6．在棱长为2的正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点．点P 为线段EF 上的动点．则下面结论中错误的是（ ）A ．P A 1＝PB 1 B ．A 1B 1∥平面D 1APC ．D 1P ⊥B 1CD ．∠B 1PC 是锐角解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取A 1B 1的中点G ，连接EG 、FG ，易得A 1B 1⊥平面EFG ，则有PG ⊥A 1B 1，P A 1=√PG 2+A 1G 2=√PG 2+1，同理PB 1=√PG 2+1，则有P A 1＝PB 1，A 正确；对于B ，点E ，F 分别为棱AB ，C 1D 1的中点，而P 在线段EF 上，则平面D 1AP 即平面AD 1C 1B ，由于A 1B 1∥平面AD 1C 1B ，必有A 1B 1∥平面D 1AP ，B 正确；对于C ，易得B 1C ⊥平面AD 1C 1B ，而B 1C ⊂平面平面AD 1C 1B ，必有D 1P ⊥B 1C ，C 正确；对于D ，当P 为EF 中点时，B 1P ＝PC =12B 1D =√3，而B 1C ＝2√2，cos ∠B 1PC =3+3−82×3=−13，此时∠B 1PC 为钝角，D 错误； 故选：D ．7．已知点F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点F 1关于∠F 1MF 2平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若cos ∠F 1MF 2=78，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．√33B ．√39C ．√105D ．√1025解：由题意可作图如下：由图可知：|MF 1|+|MF 2|＝|NF 1|+|NF 2＝2a ， 由MP 平分∠F 1MF 2，则∠F 1MP =12∠F 1MF 2， 所以sin ∠F 1MP =√1−cos∠F 1MF 22， 由cos ∠F 1MF 2=78，则解得sin ∠F 1MP =14，由N 是M 关于直线MP 的对称点，则N 、F 2、M 共线，|F 1P|=12|NF 1|，MP ⊥F 1N ，|MF 1|＝|MN |，所以MF 1|+|MN |+|NF 1|＝4a ，在Rt △MFP 中，|F 1P|−|MF 1|sin∠F 1MP =14|MF 1|， 可得|MF 1|−|MF 1|+2|F 1P|=2|MF 1|+12|MF 1|−4a ，解得|MF 1|−85a |MF 2=25a ． 在△F 1MF 2，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣2|MF 1||MF 2|cos2α． 代入可得：4c 2=6425a 2+425a 2−2×85a ×25a ×78， 化简可得：5c 2＝2a 2，所以其离心率e =ca =√105． 故选：C ．8．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，N 为棱A 1B 1上的中点，M 为棱CC 1上的动点，过N 作平面ABM 的垂线段，垂足为点O ，当点M 从点C 运动到点C 1时，点O 的轨迹长度为（ ）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2√3π3解：取AB 中点P ，连接PC ，C 1N ，如图，因为PC ⊥AB ，PN ⊥AB ，且PN ∩PC ＝P ，所以AB ⊥平面PCC 1N ，AB ⊂平面ABM ， 所以平面ABM ⊥平面PCC 1N ，平面ABM ∩平面PCC 1N ＝PM ， 过N 作NO ⊥PM ，NO ⊂平面PCC 1N ，所以NO ⊥平面ABM ，当点M 从点C 运动到点C 1时，O 点是以PN 为直径的圆Q （部分），如图，当M运动到点C1时，O点到最高点，此时PC=√3，CC1=3，∠CPC1=π3，所以∠OPQ=π6，从而∠OQP=2π3，所以弧长l=2π3⋅32=π，即点O的轨迹长度为π．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“第一次取出的是白球”，事件C＝“第二次取出的是白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，则（）A．P(B)=12B．B与C互斥C．A与B相互独立D．A与D互为对立解：设2个白球为a1，a2，2个黑球为b1，b2，则样本空间为：Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b2），（b2，a1），（b2，a2），（b2，b1）}，共12个基本事件．事件A＝{（a1，a2），（a2，a1），（b1，b2），（b2，b1）}，共4个基本事件；事件B＝{（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（a2，b2）}，共6个基本事件；事件C＝{（a1，a2），（a2，a1），（b1，a1），（b1，a2），（b2，a1），（b2，a2）}，共6个基本事件；事件D＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b2，a1），（b2，a2）}，共8个基本事件，对于A，由P(B)=612=12，故A正确；对于B，因为B∩C≠∅，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为P(A)=412=13，P(B)=612=12，P(AB)=212=16，则P（AB）＝P（A）•P（B），故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为A∩D＝∅，A∪D＝Ω，所以事件A与D互为对立，故D正确．故选：ACD．10．已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），则（）A．曲线C可能是直线B．当a＝1时，直线3x+y＝0与曲线C相切C．曲线C经过定点D．当a＝1时，直线x+2y＝0与曲线C相交解：当a＝0时，曲线为：﹣2x﹣2y＝0，是直线方程，所以A正确；当a＝1时，曲线C的方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆，圆的圆心（1，1），半径为√2，圆心到直线3x+y＝0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B不正确；圆心到直线x+2y＝0的距离：√5=3√55＜√2，直线x+2y＝0与曲线C相交，所以D正确；曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0恒过（0，0）点，所以C正确；故选：ACD．11．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝2AD＝2DC＝2CB＝4，E，F，G分别为侧棱BB1，DD1，AA1上一点，BE＝DF＝A1G＝2，则（）A．BD⊥GF B．∠GEC1=π2C．∠EGF的最大值为π6D．当AA1=83时，GE//C1F解：对于A：过D作DM⊥AB于M，因为ABCD为等腰梯形，且AB＝2CD＝4，AD＝2所以AM＝1，则DM=√22−12=√3，在Rt△DMB中，BD=√DM2+MB2=2√3，所以AB2＝AD2+BD2，所以BD⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，且BDC平面ABCD，所以DD1⊥BD，因为DD1∩AD＝D，所以BD⊥平面A1ADD1，又GF⊂平面A1ADD1，所以BD⊥GF，故A正确；对于B：过点G分别作GQ⊥CC1于Q，GN⊥BB1于N，连接AC，GC1，如图．由选项A的判断知AC=BD=2√3，所以GQ=AC=2√3，QC1＝A1G＝2，在RtΔGOC1中，GC1=√GQ2+C1Q2=4，设AG＝t，则CC1＝AA1＝2+t，B1E＝BN＝AG＝t，所以EC1=√B1C1+B1E2=√4+t2，同理GE=√GN2+NE2=√16+(2−t)2=√t2−4t+20，若∠GEC1=π2，则GC12=GE2+EC12，所以16＝2t2﹣4t+24，所以t2﹣2t+4＝0，因为Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，所以方程无解，所以∠GEC1=π2不可能，故B不正确；对于C：过G作GR⊥DD1于R，连接EF，由题意知FR＝2﹣t，则GF=√GR2+FR2=√4+(2−t)2=√t2−4t+8，由选项B的判断知GE=√t2−4t+20．，因为BE＝DF＝2，所以四边形BDFE为矩形，设∠EGF＝α，由选项A的判断及BD∥EF，得GF⊥EF，所以cosα=GFGE =√2√t −4t+20，令t 2﹣4t +8＝m 2（m ≥2）， cosα=m√m 2+12=1√1+12m2，因为m 2≥4， 所以0＜12m 2≤3，则 1＜√1+12m 2≤2，所以12≤cosα＜1， 因为0＜α＜π，所以∠EGF 的最大值为 π3，所以C 不正确；对于D ：由题知DM ，DC ，DD 1 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系，如图， 则F （0，0，2），G(√3，−1，23)， E(√3，3，2)，当AA 1=83时，C 1(0，2，83)，则GE →=(0，4，43)，FC 1→=(0，2，23)， 所以GE →=2FC 1→， 所以GE →∥FC 1→，所以GE ∥FC 1，故D 正确． 故选：AD ．12．已知P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2＝﹣2，则下列说法正确的是（ ）A ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为6+2√5B ．|2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为3−√5C ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最大值为2√5+2√105D ．|x 1﹣3y 1+5|+|x 2﹣3y 2+5|的最小值为10−2√2 解：已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，则x 124+9y 124=1，x 224+9y 224，设x ＝m ，3y ＝n ，C （m 1，n 1），D （m 2，n 2），O 为坐标原点，则OC →=（m 1，n 1），OD →=（m 2，n 2），∴m 12+n 12=4，m 22+n 22=4且m 1n 1+m 2n 2＝﹣2，∴C 、D 两点均在圆m 2+n 2＝4的圆上，且∠COD ＝120°， ∴|CD |＝2√3，根据点到直线的距离公式，知√5×11√5+22√5=√5×11√5+22√5），为C 、D 两点到直线2x +y ﹣3＝0的距离d 1、d 2之和的√5倍． 设CD 的中点为E ，E 到直线2x +y ﹣3＝0的距离d 3， 则d 1+d 2＝2d 3≤2（|OE |3√5）＝26√5， |2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最大值为√5×（265）＝6+2√5， d 1+d 2＝2d 3≥2（﹣|OE |5）＝﹣25， |2x 1+3y 1﹣3|+|2x 2+3y 2﹣3|的最小值为√5×（﹣265）＝6﹣2√5，故A 正确，B 错误； 同理可得C 错误，D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为 3√55． 解：直线l 1：x +ay ﹣1＝0与l 2：2x +y +1＝0平行，则1×1﹣2a ＝0，解得a =12； 所以直线l 1可化为2x +y ﹣2＝0， 则l 1与l 2之间的距离为d =|−2−1|√2+1=3√55． 故答案为：3√55． 14．已知直线l ：x ﹣y +1＝0，若P 为l 上的动点．过点P 作⊙C ：（x ﹣5）2+y 2＝9的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为 x ﹣y ﹣2＝0 ．解：根据题意，⊙C ：x 2﹣10x +y 2+16＝0，其圆心C （5，0），半径r ＝3． ∵四边形P AMB 面积S =12|PC |•|AB |＝2S △P AC ＝|P A |•|AC |＝2|P A |＝2√PC 2−9，∴要使|PC |•|AB |最小，则需|PC |最小，此时PC 与直线l 垂直，则直线PC 的方程为y ＝﹣x +5， 联立{x −y +1=0y =−x +5，解得P （2，3），则以PC 为直径的圆的方程为（x −72）2+（y −32）2=92，联立两圆的方程，可得x ﹣y ﹣2＝0，即直线AB 的方程为x ﹣y ﹣2＝0； 故答案为：x ﹣y ﹣2＝0．15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为 0.236 ．解：赛三局，则这三局独孤队均获胜，其概率为0.4×0.5×0.6＝0.12； 赛四局，则第四局独孤队必胜，前三局中胜两局负一局，分三种情况： 第一局负，后两局胜，概率为0.6×0.3×0.4×0.5＝0.036； 第二局负，第一、三局胜，概率为0.4×0.5×0.4×0.5＝0.04； 第三局负，前两局胜，概率为0.4×0.5×0.4×0.5＝0.04， 所以赛四局，独孤队胜的概率为0.036+0.04+0.04＝0.116，综上，独孤队不超过四局获胜的概率为0.12+0.116＝0.236．故答案为：0.236．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1和CC1的中点，则四面体O﹣MNB1的体积为748．解：如图，取AD中点E，ED中点G，BC中点F，BF中点H，根据对称性易知MB1∥EB∥DF∥GH，且O点在GH上，∴易得GH∥平面MNB1，又O点在GH上，∴O到平面MNB1的距离等于H到MNB1的距离，∴V O−MNB1=V H−MNB1=V M−HNB1=13×S△HNB1×A1B1=13×(1×1−12×1×14−12×34×12−12×1×12)×1=13×716×1=748．故答案为：748．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg）数据如下表：（1）求出频率分布表中实数a，b的值；（2）若从重量范围在[2.60，2.80）的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率．解：（1）a＝100﹣（4+26+28+10+2）＝30；b=28100=0.28．（2）重量范围在[2.60，2.70）的工艺品有10件，重量范围在[2.70，2.80）的工艺品有2件， 所以从重量范围在[2.60，2.80）的12件工艺品中，随机抽选2件的方法数有C 122=12×112=66（种）， 所以被抽选2件工艺品重量均在范围[2.70，2.80）中的概率为p =166． 18．（12分）已知直线l 过点M （1，1），并且与直线2x +4y +9＝0平行． （1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 解：（1）∵直线2x +4y +9＝0的斜率k =−12， ∴所求直线斜率k ′=−12．故过点（1，1）且与已知直线平行的直线为y ﹣1=−12（x ﹣1）， 即x +2y ﹣3＝0．（2）设P 、Q 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 由OP ⊥OQ 可得：OP →⊥OQ →，即OP →•OQ →=0， 所以x 1•x 2+y 1•y 2＝0．由x +2y ﹣3＝0得x ＝3﹣2y 代入x 2+y 2+x ﹣6y +m ＝0 化简得：5y 2﹣20y +12+m ＝0， ∴y 1+y 2＝4，y 1•y 2=12+m5． ∴x 1•x 2+y 1•y 2＝（3﹣2y 1）•（3﹣2y 2）+y 1•y 2＝9﹣6（y 1+y 2）+5y 1•y 2 ＝9﹣6×4+5×12+m5=m ﹣3＝0 解得：m ＝3．19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且PE =13PD ，CF =13BC ． （1）证明：CE ∥平面P AF ；（2）若AD ＝AP ，求直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值．（1）证明：如图，在棱P A 上取点G ，使得PG =13PA ，连接EG ，FG ， 因为PEPD=PGPA =13，所以GE ∥AD 且GE =13AD ，由正方形ABCD ，CF =13BC ，得CF ∥AD 且CF =13AD ，所以GE ∥CF 且GE ＝CF ， 所以四边形FGEC 为平行四边形，所以CE ∥GF ， 又CE 在平面P AF ，GF ⊂平面P AF ，所以CE ∥平面P AF ． （2）解：若 AD ＝AP ，则可设 AD ＝AP ＝3，所以 AB ＝BC ＝3．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则点A （0，0，0），C （3，3，0），D （0，3，0），P （0，0，3），F （3，2，0），则CD →=(−3，0，0)，AP →=(0，0，3)；AF →=(3，2，0)， 设平面P AF 的法向量为 m ＝（x ，y ，z ）， 则由m →⋅AP →=3z ＝0，得z ＝0，令y ＝3，得平面P AF 的一个法向量为m →=（﹣2，3，0）， 设直线CD 与平面P AF 所成角的大小为θ， 则sin θ=|m →⋅CD →||m →|⋅|CD →|=613⋅3=2√1313，即直线CD 与平面P AF 所成角的正弦值为 2√1313．20．（12分）设x ，y ∈R ，向量i →，j →分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a →=（x −√3i →+y j →），b →=（x −√3）i →+y j →，且|a →|+|b →|＝4． （Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：x 216+y 24=1，曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．解：（1）因为a →=(x +√3)i →+y j →，b →=(x −√3)i →+y j →， 所以|a →|=√(x +√3)2+y 2，其表示点M （x ，y ）与点F 1(−√3，0)的距离|MF 1|． 而|b →|=√(x −√3)2+y 2，其表示点M （x ，y ）与点F 2(√3，0)的距离|MF 2|， 又|a →|+|b →|=4， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4，则点M （x ，y ）的轨迹C 是以F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝4，c =√3， 可得b =√a 2−c 2=1， 则点M （x ，y ）的轨迹C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：直线y ＝kx +m 为曲线C 的切线，联立{y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，此时Δ＝64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝0，即1+4k 2＝m 2，因为曲线C 的切线y ＝kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，联立{y =kx +mx 216+y 24=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣16＝0， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2，此时|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√16k 2−m 2+41+4k 2，因为1+4k 2＝m 2，所以|x 1−x 2|=4√3|m|1+4k 2， 易知y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，所以|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 24√3|m|1+4k 2， 又△OAB 中边AB 上的高h 即为点O 到直线y ＝kx +m 的距离，所以ℎ=√1+k ，因为1+4k 2＝m 2，此时S △OAB =12⋅ℎ⋅|AB |=2√3m 21+4k 2=2√3，故△OAB 的面积为定值，定值为2√3．21．（12分）如图1，菱形ABCD 中∠ABC ＝120°，动点E ，F 在边AD ，AB 上（不含端点），且存在实数λ使EF →=λDB →，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示．（1）若BF ⊥PD ，设三棱锥P ﹣BCD 和四棱锥P ﹣BDEF 的体积分别为V 1，V 2，求V 1V 2； （2）当点E 的位置变化时，平面EPF 与平面BPF 的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；解：（1）如图，取EF 中点O ，BD 中点M ，连接OP ，OM ，因为EF →=λDB →，即EF ∥BD ，所以PE ＝PF ，所以PO ⊥EF ，又因为平面PEF ⊥平面BCDEF ，平面PEF ∩平面BCDEF ＝EF ，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面BCDEF ，由题意可知OM ⊥EF ，以O 为原点，OF ，OM ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝4，OP =x ，0＜x ＜2√3，则OM =2√3−x ，所以B(2，2√3−x ，0)，F(x 30，0)，P （0，0，x ），D(−2，2√3−x ，0)， 所以PD →=(−2，2√3−x ，−x)，BF →=(x √32，x −2√3，0)， 因为直线BF ⊥PD ，所以PD →⋅BF →=−2(x √32)+(2√3−x)(x −2√3)=0， 即x 210√3+8=0，解得：x =6√3（舍）或x =4√3=4√33， 所以PO ＝2OM ，PE ＝2ED ，所以点E 在靠近点D 的三等分点处， 所以S BDEF S △BCD =S △ABD −S △AEF S △ABD =59， 所以V 1V 2=S BCD S BDEF =95； （2）设平面PEF 与平面PBF 的夹角为θ，平面PEF 的法向量n →=(0，1，0)，PF →=(x 30，−x)，BF →=(x 32，x −2√3，0)， 设平面PBF 的法向量m →=(a ，b ，c)，则{PF →⋅m →=x √3−xc =0BF →⋅m →=(x 3−2)a +(x −2√3)b =0，令a ＝1，得b =−√33，c =√33，得m →=(1，−√33，√33)，所以cos〈m →，n →〉=−√331×√1+13+13=−√55， 所以cosθ=√55，所以无论点E 的位置如何，平面PEF 与平面PBF 的夹角余弦值都为定值√55．22．（12分）椭圆E ：x 28+y 24=1的上顶点为P ，圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0）在椭圆E 内．（1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，切线P A 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．直线AB 与y 轴交于点S ，直线MN 与y 轴交于点T ．求|ST |的最大值，并计算出此时圆C 的半径r ．解：（1）不妨设椭圆上任意一点Q （x 0，y 0），此时半径r ＜|CQ |min ，可得CQ 2=(x 0−1)2+y 02=(x 0−1)2+4−x 022=x 022−2x 0+5≥3， 所以r ＜|CQ |min =√3，所以r 的取值范围为（0，√3）；（2）不妨设k P A ＝k 1，k PB ＝k 2，N （x 1，y 1），M （x 2，y 2），S （0，y 3），T （0，y 4），经过点P 的直线l 的方程为y ＝kx +2，因为直线l 与圆C 相切， 所以√1+k 2=r ，整理得（r 2﹣1）k 2﹣4k +r 2﹣4＝0，因为P A 与PB 均与圆C 相切，所以k 1，k 2为该方程的两个根，所以k 1+k 2=4r 2−1，k 1k 2=r 2−4r 2−1， 由切线方程得直线AB ：﹣（x ﹣1）+2y ＝r 2， 所以y 3=r 2−12， 联立{y =kx +2x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+8kx ＝0， 所以x 1=−8k 11+2k 12，x 2=−8k 21+2k 22，N(−8k 11+2k 12，2−4k 121+2k 12)，M(−8k 21+2k 22，2−4k 221+2k 22)，不妨设直线MN 的方程为y ＝tx +m ，因为M ，N 均在直线MN 上，所以{ 2−4k 121+2k 12=t −8k 1+2k 12+m 2−4k 221+2k 22=t −8k 21+2k 22+m ， 整理得{(2m +4)k 12−8tk 1+m −2=0(2m +4)k 22−8tk 2+m −2=0， 所以k 1，k 2为方程（2m +4）k 2﹣8kt +m ﹣2＝0的两个根， 则k 1k 2=m−22m+4，又k 1k 2=r 2−4r 2−1， 所以m−22m+4=r 2−4r 2+I ，解得m =6r 2−187−r 2， 此时|ST|=|y 3−y 4|=|r 2−12−m|=|r 2−12−6r 2−187−r 2=12|18−(7−r 2+487−r 2)| ≤12|18−2√48|=9−4√3，当7−r 2=487−r 2，即r ＝2−√3时，ST 取到最大值，最大值为9−4√3．。
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省宁波市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2018高三上·安徽月考) 命题“ ”的否定是________．2. （1分） (2018高三上·定州期末) 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为________．3. （1分） (2018高二上·鄂尔多斯月考) 抛物线的准线方程为 ________.4. （1分） (2016高二上·莆田期中) 命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是________．5. （1分）已知点F1（﹣， 0），F2（， 0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离为________6. （1分）(2017高一下·长春期末) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4 ，lna1+lna2+lna3+…+lna17=________．7. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知条件p：log2（1﹣x）＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．8. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．9. （1分）等比数列{an}的公比q=﹣， a6=1，则S6=________10. （1分） (2015高二上·安阳期末) 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=________．11. （1分）已知点P是双曲线C：（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+x2=1上的动点，且，若|PM|的最小值为，则双曲线C的离心率为________.12. （1分） (2017高一下·河北期末) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣2λ）•（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________13. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．14. （1分）(2017·西宁模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2﹣an+1（n∈N*），则Sn=________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2017高三上·襄阳期中) 已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x∈R，使不等式a＞e2x﹣ex成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16. （10分） (2018高一下·六安期末) 数列满足，，为其前项和.数列为等差数列，且满足， .（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明： .17. （10分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）若以F为圆心的圆与直线4x+3y+1=0相切，过点F任作直线l交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向圆F引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF，求证：sinα+sinβ是定值．18. （5分）数列{an}满足， n=1，2，3，…，{an}的前n项和记为Sn ．（Ⅰ）当a1=2时，a2等于多少（Ⅱ）数列{an}是否可能为等比数列？证明你的推断；19. （5分） (2016高二上·诸暨期中) 如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．20. （10分）函数的最大值为an ，最小值为bn ，且．（1）求函数{cn}的通项公式；（2）若数列{dn}的前n项和为Sn，且满足Sn+dn=1．设数列{cn•dn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜5．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省宁波市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高三上·承德期中) 命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）
A . 若a＞b，则a﹣1≤b﹣1
B . 若a≥b，则a﹣1＜b﹣1
C . 若a≤b，则a﹣1≤b﹣1
D . 若a＜b，则a﹣1＜b﹣1
2. （2分）己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.
A . 充分非必要条件．
B . 必要非充分条件．
C . 充要条件．
D . 既非充分又非必要条件．
3. （2分）命题p: ，则是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）给出下列四个命题：
①命题“若，则”的逆否命题为假命题；
②命题：任意,都有，则“非”：存在，使；
③“”是“函数为偶函数”的充要条件；
④命题：存在，使；
命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题．
其中正确的个数是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）“”是“函数在区间上单调递增”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M在AB上，且，点P在平面ABCD内，动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离的平方差等于1，则动点P的轨迹是（）
A . 圆
B . 抛物线
C . 双曲线
D . 直线
7. （2分）己知抛物线方程为，焦点为F，O是坐标原点，A是抛物线上的一点，与x 轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则p的值为（）
A . 2
C . 2或
D . 2或
8. （2分）(2019·淮南模拟) 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，=3，·=2，则⋅
的值是（）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 10
9. （2分）已知平面α的法向量为=(1,2,-2)，平面β的法向量为=(-2,-4,K)，若α⊥β，则k=（）
A . 4
B . -4
C . 5
D . -5
10. （2分）将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（）
A . ﹣1
B . 7
C . 9
D . 1
11. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 已知向量 =（cosθ，﹣sinθ）， =（3cosθ，sinθ），θ∈（0，π），若⊥ ，则θ=（）
B .
C . 或
D . 或
12. （2分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 6
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
14. （1分）向量 =（﹣1，2，﹣4）， =（2，﹣2，3）是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量 =（2，3，1），则l与α是否垂直？________（填“是”或“否”）．
15. （1分）已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是________ ．
16. （1分）下列结论中：
①若（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），则在映射f下，（3，1）的原象为（1，1）；
②若函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零点个数为m，则m的值不可能为1；
④函数f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣8，﹣6]．
其中正确结论的序号是________ （请将所有正确结论的序号都填上）
三、解答题 (共6题；共51分)
17. （10分） (2018高二上·定远期中) 已知,命题，命题
.
（1）若p为真命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数m的取值范围.
18. （10分） (2020高一上·乐清月考) 已知函数， .
（1）若不等式的解集为，且，求a的值；
（2）当时，求关于x的不等式的解集.
19. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．
20. （1分） (2019高二上·江西月考) 正四棱柱的底面边长为1，若与底面
所成角为，则和底面ABCD的距离是________.
21. （10分）(2017·广西模拟) 已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小．
22. （10分） (2020高二上·沛县月考)
（1）若点到直线的距离比它到点的距离小，求点的轨迹方程.
（2）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差绝对值等于，求曲线的标准方程.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共51分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、20-1、
21-1、
21-2、22-1、22-2、
第11 页共11 页。