第四章 截面的几何性质

1 2 I zc I zc I zc
a1 ZC a2 ZC2 C （0；400）
Z
200 1 1000 1003 105 ( 850 573)2 12 1 200 8003 16 104 ( 573 400 )2 12 4 7.79 109 13.32 109 21.1 109 m m
9
10
y
负面积
[例4] 图形分割及坐标如图c所示。 C1（0，0） C2（5，5） z
120
C1 C2 C1 c(-20.3;-20.3) 80 （c）
zc
zA
i
i
A

z1 A1 z 2 A2 A1 A2

10
5 ( 70 110 ) 20.3mm 120 80 70 110
(2)计算截面对y轴的惯性矩Iy，同理有： b 3 b h 2 2 2 b I y x dA b hx dx A 12 2 2 bh3 hb3 （3）极惯性矩IP: I P dA I X I Y 12 12 h
（4）惯性积：
I XY xydxdy bybdy 0
yd A zd A
A A
3
2.量纲：[长度]3。单位：m3,cm3,mm3。 3.静面矩是对轴而言。 4.静面矩的值可以是正值、负值或零。 5.静面矩的几个规律：
ah
S z ydA
A
a
y ybdy b 2
2 b
2 ah
a
h bh(a ) Ayc 2
b bdy h hdz a
A A A A A
17
第三节
平行移轴公式 y b yc zc dA c y
2
S zc y c dA 0 S zc对形心轴ZC 的静矩为零。
2 2 A A
z
o
A 2 c
yc
a zc z
2
I z y dA ( yc a ) dA y dA a dA 2a ycdA I zc a A
IYZ=yzdA1- yzdA2=0
15
[例5] 试计算下图所示矩形截面对其形心轴x、y的惯性矩Ix和 Iy 、 IP、 I xy 。
解 (1)计算截面对x轴的惯性矩Ix
微面积dA，则有:A=bdy
I x y dA
2 A h 2 h 2
Y
bh3 by dy 12
2
h
bdy hdx X
zdA
A1
A2
( zdA) 0
dA
y
dA A1 z
Sy=Sy右+Sy左=0 二、简单图形的形心 1.由静面矩的规律(1)可知形心坐标：
-z z
A2
Sz yc A

A
ydA A
zc

Sy A
zdA
A
A
5
2.形心确定的规律： （1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。 三、组合图形的静面矩
4
S y zdA
A
A
b
0
z zhdz h 2
h 2 h 2
0
y b bh Azc 2
h 2 2 h 2
S zc ydA
y ybdy b 2
zc
0
z
(1) Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。
(2) 图形对过形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面 矩为零，则此轴一定过图形的形心。 (3) 图形对对称轴的静面矩一定为零。 zdA+(-zdA)=0
Sz Szi Ai yci
S y S yi Ai zci
S A
四、组合图形的形心
yc
zi i
zc
S A
yi i
6
[例1] 如图所示，求绿色图形对 Z、Y轴的静面矩及图形的形心。 Y 解 (1) S Z S1 S 2 A1Yc1 A2Yc2 16 16 1400 860 700 16 ( 1400 16 50 ) ( 860 16 16 ) 717 C2（0；717） 1400 50.52106 mm3 C1（0；700） c SY 0 50 Z （图形对对称轴的静面矩为零）
I z y dA I y z dA
2 2 A A
2.量纲：［长度］4。单位：m4,cm4,mm4。
11
3.惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
4.惯性矩的取值恒为正值。
二、极惯性矩 （对点而言）
y
z ρ
dA y
Ip

A
p 2 dA
o
z
轴惯性矩与极惯性矩的关系：
I p p 2 dA ( y 2 z 2 )dA y 2 dA z 2 dA I z I y A
19
1000
100 800
（YC） Y [例6] 如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。 ZC1 C1（0；850） 解 (1)取参考坐标轴 Z，Y（对称轴）； ZC 确定形心坐标。 ZC2 yi Ai y1 A1 y2 A2 C2（0；400） yc A A1 A2 Z 850105 40016104 573mm 5 4 200 10 1610
18
I z I zc a 2 A I y I yc b 2 A I zy I zcyc abA
注意：ZC、YC 必须是形心坐标。
a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，有正负之分。
二、组合图形的惯性矩、惯性积
I z I zi I y I yi I zy I ziyi
Sz 50.52106 yc A 12.04105 11.05105 510.3mm
860 (2) （Y轴为对称轴）
ZC 0
7
[例2] 试确定下图的形心。 解 图形分割及坐标如图a所示。 y 10
zc
C2(5;60) c(19.5;39.7) C1(45;5) 80
（a） z
i i
yc
yA A
y1 A1 y2 A2 A1 A2
5 ( 70110) 20.3mm 120 80 70110
10
第二节
惯性矩和极惯性矩
一、简单图形的惯性矩 1.定义： y dA z y
o
z
y2dA——dA对z轴的微惯性距;
z2dA——dA对y轴的微惯性距。
21
2 2 ( I zc1 A1a1 ) ( I zc2 A2a2 )
[例7] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的惯性矩。
（b=1.5d) Y（对称轴）
解
(1)建立坐标系如图。 (2)求形心位置。
d
yc 2d O
zi Ai 0 z 0 c z1 A A Z（矩形的对称轴） 2 d π d ( ) y A i i 4 y 2 0.177d c 2 zc πd A 2 3 d 4
A A A
图形对任一相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图 形对该两轴交点的极惯性矩。
12
三、简单图形惯性矩的计算 (1)圆形截面：
1 4 I I D y 实心（直径D）—— z 64
yc c
zc
空心（外径D，内径d）—— I z I y (2) 矩形截面：
1 (D4 d 4 ) 64
h 2
2
16
第三节 一、平移轴公式 已知：A、Izc、Iyc、 a、b、 zc平行z；yc平行y。 求：Iz、Iy。 解：
平行移轴公式 y b yc zc dA c y
z
o
yc
a zc z
y yc a z zc b
I z y 2dA ( yc a )2 dA yc2dA a 2dA 2a ycdA I zc a 2 A
zA
i
i
A

z 1 A1 z 2 A2 A1 A2
45 700 5 1200 19.5mm 700 1200
yc yA
i i
A
y1 A1 y2 A2 A1 A2
5 700 601200 39.7mm 700 1200
8
[例3] 试确定下图的形心。 解 图形分割及坐标如图b所示。 zi Ai z 1 A1 z 2 A2 zc A A1 A2
1
第四章 平面图形的几何性质 第一节 静矩和形心
第二节 惯性矩和极惯性矩
第三节 平行移轴公式 第四节 转轴公式 第五节 形心主惯性轴和形心主惯性矩 小 结
2
第一节 静矩和形心
一、简单图形的静矩
1.定义： y z o dA y z
ydA——dA对z轴的微静矩。 zdA——dA对y轴的微静矩。
Sz Sy
2 z
Iz A
I y Ai i y
2 y
Iy A
五、简单图形的惯性积 1.定义： y o z dA y z
I zy zydA
A
2.量纲：［长度］4。单位：m4,cm4,mm4。 3.惯性积是对轴而言。
4.惯性积的取值为正值、负值、零。
14
规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含 此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。 dA -z z A2 dA A1 z
A
24
因为
1 ( 1 cos2α ) 2 1 sin 2 α ( 1 cos2α ) 2 cos2 α