周曙东教授计量经济学第六章

2 2
d 2
) ( k 1)
2
2
( k 1)
第五节 广义最小二乘法
1、当模型存在自相关和异方差时，OLS参数 估计值的优良性质将不存在。 2、通过模型转换（GLS法）消除自相关和异 方差 给定线性回归模型 Y = XB + U (6) 同方差及无自相关假定不成立 E (u) = 0
0 1 2 ... 0
2
...
... ... ...
~ B = ( X*’ X* ) -1 X*’ Y* = [( P X )’ P X ] ( P X )’ P Y = (X’ P’ P X ) -1 X’ P’ P Y = (X’ -1 X ) -1 X’ -1 Y
~ B 称为广义最小二乘估计量
~ 1、 当 = I 时， B = ( X’ X )
Xt Vt
(2)
(2)
7、反复迭代，直到 收敛，实际上人们只迭代两次 ，称为二步迭代法。Eviews 中有专门命令 AR(1) 一阶自回归 LS Y C X AR(1) 在回归结果中，可以直接读到 的迭代收敛值。
三、杜宾两步法
^ 这种方法是先估计 再作差分变换，然后用OLS法来 估计参数。步骤是： 1、将模型(3)的差分形式写为
et = et-1 + Vt
^ 用OLS方法求 的初次估计值1。
ρˆ1
et et 1 et 1
2
^ 4、利用1 对原模型进行广义差分变换作第一次迭代
Yt
(1 )
b o b1 X t
(1 )
Vt
(1 )
式中： Y t
(1 )
Y t ρˆ1Y t 1 X t ρˆ1 X t 1 t ρˆ1 t 1
1 2 0 E ( uu ' ) ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1
2I
如果 I ，有两种可能 1、距阵的主对角线元素不全为1，即 { }ii 1 因此随机项方差不全相同， i2 2 2、随机项存在自相关 距阵的非主对角线元素不全为 0，即 { }ij 0 ij 因此随机项协方差不等于 0，即 cov(ui,uj) 0
1、按时间顺序绘制残差et的图形
2、绘制残差et, et-1的图形
1、时间顺序图—将残差对时间描点
e e
a
t
b
t
• 如a图所示，扰动项为锯齿型，et随时间变化频繁 地改变符号，表明存在负自相关。 • 如b图所示，扰动项为循环型，et随时间变化不频 繁地改变符号，而是几个正之后跟着几个负的， 几个负之后跟着几个正的，表明存在正自相关。
u2 1 u 2 u1 E ( uu ' ) E ... u u n 1
u1u 2 u2
2
... ... ... ...
... unu2
u1u n u 2u n ... 2 un ... ... ... ... cov( u 1 u n ) cov( u 2 u n ) ... 2 n
2、模型变换 用距阵 P 左乘公式 (6)
P Y = P XB + P U 令 Y* = P Y X* = P X
U* = P U
得 Y* = X*B + U*
新的随机项的方差—协方差距阵 E(U* U*’ ) = E[PU (PU) ’ ] = E(P U U’ P’ ) = P E(U U’ ) P’ = P 2 P ’ = 2 P P’ = 2 I 变换后的新模型满足同方差和无自相关假定 参数估计向量
当 = 1 时，可得移动平均模型
Yt Yt 1 X t X t 1 b o b1 Vt 2 2
（5）
作变换
Yt Yt 1 * Yt 2 X t X t 1 * Xt 2
移动平均模型可写成 Yt* = b0 + b1 Xt * + Vt
Xt Vt
(1 )
(1 )
5、计算 的第二次估计值
ρˆ 2 ˆ ˆ et et 1 ˆ et 1
2
^ 6、利用2 对原模型进行广义差分变换作第二次迭代
Yt
(2)
b o b1 X t
(2)
Vt
(2)
式中： Y t
(2)
Y t ρˆ 2 Y t 1 X t ρˆ 2 X t 1 t ρˆ 2 t 1
第四节 自相关的修正方法
一、广义差分法
线性回归模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若随机项 ut 存在一阶自相关 ut = ut-1 +εt 式中若随机项 ut 满足基本假定： E(εt ) = 0
Var (εt ) = s2
εt 为白噪声 Cov(εt , εt+s ) = 0
Yt= bo + b1 Xt + ut （1） 如果自相关系数 为已知，将上式滞后一期 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1 两边乘以 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1 （2） (1) 式减 (2)式，变成广义差分模型 Yt Yt-1 = bo(1 ) + b1 (Xt Xt-1) + Vt （3） 作广义差分变换 Yt* = Yt Yt-1 Xt* = Xt Xt-1 Yt * = bo* + b1 Xt * + εt 对广义差分模型应用 OLS 法估计，求得参数估计 量的方法称为广义差分法
Cov ( u i , u j ) E ( u i u j ) 0 i j
自相关是对无自相关假定的违反。
第一节 自相关的来源和形式
一、自相关的来源 • • • • • • 经济惯性（滞后效应） 模型设定偏误：应含而未含变量的情形 蛛网现象(Cobweb phenomenon) 随机扰动项序列本身的自相关 数据处理造成自相关-平滑处理 自相关也可能出现在横截面数据中，但 主要出现在时间序列数据中。
2、绘制残差et, et-1的图形
et . . . . . . e t-1 . . et . . . . . . . . . a b e t-1
.
.
. .
ä Á I et ±Á II et-1 ±¿ ä ¿
e2 e3 e4
..
e1 e2 e3
..
如a图所示，散点在 I,III 象限， 表明存在正自相关。 如b图所示，散点在II, IV象限， 表明存在负自相关。
第二节 自 相 关 的 后 果
1、参数的估计值仍然是线性无偏的 2、参数的估计值不具有最小方差性，因而 是无效的，不再具有最优性质 3、参数显著性t检验失效 ^ 2 低估了 ，也低估了bi的方差和标准差 夸大了T值，使t检验失去意义 4、降低预测精度
第三节 自 相 关 的 检 验
1、图示法 2、杜宾—瓦森检验(Durbin-Watson) 一、图示法
2、检验步骤
（1）提出假设
H0：=0，即不存在一阶自相关； H1：0，即存在一阶自相关。
（2）构造统计量DW （3）检验判断
对给定样本大小和给定解释变量个数找出 临界值dL和dU，按图中的决策准则得出结 论。
构造 D-W 统计量
d t2
( et et 1 ) et
n
2
n
当 = 1 时，可得一阶差分模型 Yt Yt-1= b1 (Xt Xt-1 ) + Vt （4） 作一阶差分变换 Yt = Yt Yt-1 Xt = Xt Xt-1 为不损失自由度， Yt 和Xt 的首项作如下变换
Y1 X 1
1 ρ 1 ρ
2
Y1
2
X1
一阶差分模型可写成 Yt = b1 Xt + Vt
n
2
n
2
ˆ • 定义 ρ
et et 1 et
2
为样本的一阶自相关系数，作为
的估计量。则有， d 2 (1 ) ˆ • 因为-1 1，所以，0 d 4
DW检验的判断准则
不能检出 不能检出
正自相关 0
无自相关
负自相关
dL
dU
2
4- dU
4- dL
4
依据显著水平、变量个数（k）和样本大小（n） 一般要求样本容量至少为 15。
Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + Vt
Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt + a2 Xt-1 + Vt
式中：
ao = bo (1 ) a1 = b1 a2 = b1
用OLS法来求得
^ 的估计值 。
^ 2、用 对原模型进行差分变换得：
-1
X’ Y ，广义最小二乘
估计量就是普通最小二乘估计量。 2、 当模型存在异方差时：
2 1 0 Ω ... 0 0
2 2
... ... ... ...
... 0
0 0 ... 2 n
1 2 1 1 0 Ω ... 0
en
en-1
二、杜宾—瓦森检验
DW检验是检验自相关的最著名、最常用的 方法。 1、适用条件 2、检验步骤
–（1）提出假设 –（2）构造统计量 –（3）检验判断
1、适用条件
（1）回归模型中含有截距项； （2）解释变量与随机扰动项不相关； （3）随机扰动项是一阶自相关； （4）回归模型解释变量中不包含滞后因变量； （5）样本容量比较大。