人教版数学高二版必修5课时检测(十) 等 比 数 列

课时达标检测（十） 等 比 数 列

一、选择题

1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4

的值为( ) A.14

B.12

C.18 D ．1

解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14

. 2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312

是此数列的第( ) A ．2项

B ．4项

C ．6项

D ．8项

解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，

可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，

解得x ＝－1或－4.

又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，

∴该数列是首项为－4，公比为32

的等比数列， 其通项a n ＝－4⎝⎛⎭⎫32n －1，

由－4⎝⎛⎭⎫32n －1＝－1312

，得n ＝4. 3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．－3

D ．－4

解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，

a ＋3

b ＋

c ＝10，

解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.

4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )

A ．必有两个不等实根

B ．必有两个相等实根

C ．必无实根

D ．以上三种情况均有可能

解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列，

∴b 2＝ac ＞0.

又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0，

∴方程无实数根．

5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )

A ．(－2)n －1

B ．－(－2n －

1) C ．(－2)n D ．－(－2)n 解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，

又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，

又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，

从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.

二、填空题

6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.

解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2

＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；

当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .

答案：(－2)n 或－2n

7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384，

所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6.

答案：6

8．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，

∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1

＝－1(n ≥2)．

故{a n }是公比为－1的等比数列．

令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －

1

三、解答题

9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，若b 2＝5，求b n .

解：∵{a n }是等差数列，

∴a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，

a 13＝a 1＋12d ，

又a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，

∴a 28＝a 5a 13，即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )·(a 1＋12d )， 解得d ＝2a 1.

设等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，

则q ＝a 8a 5＝53

， 又b 2＝b 1q ＝5，即53

b 1＝5，解得b 1＝3， ∴b n ＝3·⎝⎛⎭

⎫53n －1. 10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a n ＋13

(n ＝1,2,3，…)． (1)当a n ≠23时，求证⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n －23是等比数列； (2)当a 1＝76

时，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13

， 改写成a n ＋1－23＝12⎝

⎛⎭⎫a n －23. 故当a n ≠23时数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (2)当a 1＝76时，a 1－23＝12

. 故数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n －23是首项为a 1－23＝12，公比为12的等比数列．

∴a n ＝23＋⎝⎛⎭⎫12n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝⎛⎭

⎫12n .

11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13

(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；

(2)求证：数列{a n }是等比数列．

解：(1)由S 1＝13

(a 1－1)， 得a 1＝13

(a 1－1)， ∴a 1＝－12

. 又S 2＝13

(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14

. (2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13

(a n －1－1)， 得a n

a n －1＝－12，又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12

的等比数列． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n .

(1)求证：数列{b n }是等比数列；

(2)求数列{b n }的通项公式．

解：(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，① 得S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，②

由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)． 又b n ＝a n ＋1－2a n ＝4a n －4a n －1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)＝2b n －1(n ≥2)，

∴数列{b n }是公比为2的等比数列．