人教版数学高二版必修5课时检测(十) 等比数列

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人教新课标版数学高二A必修5学案等比数列的前n项和(一)

明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．探究点一等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？答转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

高中数学第二章等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式达标检测含解析新人教A版必修5

新人教A 版高中数学必修5：等比数列的概念与通项公式A 级基础巩固一、选择题1．下列数列为等比数列的是( ) A ．0，0，0，0，… B ．22，42，62，82，…C ．q －1，(q －1)2，(q －1)3，(q －1)4，… D ．1a ，1a 2，1a 3，1a4，…解析：A 选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B 选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C 选项中，当q ＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D 选项中的数列是首项为1a ，公比为1a的等比数列，故选D.答案：D2．(多选)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝－2，则( ) A ．数列{2a n ＋a n ＋1}是等比数列 B ．数列{a n ＋1－a n }是等比数列 C ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 D ．数列{log 2|a n |}是递减数列解析：因为{a n }是等比数列，所以a n ＋1＝－2a n ，2a n ＋a n ＋1＝0，故A 项错．a n ＝a 1·q n －1＝(－1)n －1·2n －1，a n ＋1＝(－1)n ·2n ，于是a n ＋1－a n ＝(－1)n·2n－(－1)n －1·2n －1＝3(－2)n －1，故{a n ＋1－a n }是等比数列，故B 项正确．a n a n ＋1＝(－1)n －1·2n －1·(－1)n ·2n ＝(－2)2n －1，故C 项正确．log 2|a n |＝log 22n －1＝n －1，是递增数列，故D 项错．答案：BC3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D.1解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14.答案：A5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：因为log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，所以a n ＋1＝3a n ，又a n ≠0.所以数列{a n }是以3为公比的等比数列．所以a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.所以a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3·(1＋q 2＋q 4)＝35. 所以log 1335＝－5.答案：A 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝4，则数列{lg a n }的通项公式为____________．解析：因为a 5＝a 4q ，所以q ＝2，所以a 1＝a 4q 3＝14，所以a n ＝14·2n －1＝2n －3，所以lg a n ＝(n －3)lg 2.答案：lg a n ＝(n －3)lg 27．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.答案：48．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为________．解析：因为－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，因为－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，所以b 22＝(－1)×(－4)＝4，所以b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，所以b 2＜0，所以b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 答案：12三、解答题9．在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解：(1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项． (2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明：因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94.又因为a 1<0，所以a 1＝－32.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)．(2)解：令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．B 级能力提升1．(多选)已知数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则以下一定是等比数列的是( )A ．{2a n }B ．{a 2n } C ．{a n ＋1·a n }D ．{a n ＋1＋a n }解析：因为数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则a n ＋1a n＝q ，对于A 项，2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，因为a n ＋1－a n 不是常数，故A 项错误．对于B 项，a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2，因为q 2为常数，故B 项正确．对于C 项，a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝q 2，因为q 2为常数，故C 项正确．对于D 项，若a n ＋1＋a n ＝0，即q ＝－1时，该数列不是等比数列，故D 项错误．答案：BC2．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝ 10a n ＋1，则公比q ＝________．解析：因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2<0，所以0<q <1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n ，可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13.而0<q <1，所以q ＝13.答案：133．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最大值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n，αβ＝1an.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，….由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业 .2 等比数列的性质

一、选择题1．等比数列中，a 5a 14＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝( )A ．10B ．25C ．50D ．75【解析】 a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 5·a 14，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝(a 5·a 14)2＝25.【答案】 B2．(2013·威海高二检测)公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】设这三项为a 2，a 2＋d ，a 2＋4d ，因为构成等比数列，故(a 2＋d )2＝a 2·(a 2＋4d )，即d (d －2a 2)＝0，∴d ＝2a 2，∴a 2＋d ＝3a 2，∴q ＝a 2＋d a 2＝3a 2a 2＝3. 【答案】 C3．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】设数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a 3n a 3n －1＝(a n a n －1)3＝q 3，∴数列{a 3n }是等比数列；pa n pa n －1＝a n a n －1＝q ， ∴数列{pa n }也是等比数列；a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴数列{a n ·a n ＋1}也是等比数列；a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝a n －1q ＋a n q a n －1＋a n＝q ， ∴数列{a n ＋a n ＋1}也是等比数列．【答案】 D4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9＝9，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }前10项和为( )A ．10B ．12C ．8D ．2＋log 35【解析】 b 1＋b 2＋…＋b 10＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 2a 9)5＝5log 39＝10.【答案】 A5．(2013·营口高二检测)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2…a 30＝230，则a 3a 6…a 30等于( )A ．2B ．210C ．20D ．220【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ＝2.∴a 1a 2…a 30＝a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q 29＝a 301q15×29＝230. ∴a 101q5×29＝210. ∴a 3a 6a 9…a 30＝a 1q 2·a 1q 5·…·a 1q 29＝a 101q 5×31＝a 101q5×29·q 10＝220. 【答案】 D二、填空题6．在等比数列{a n }中，若a n <0且a 3a 5＋2a 4a 9＋a 7a 11＝100，则a 4＋a 9等于________．【解析】 ∵a 3·a 5＝a 24，a 7a 11＝a 29，∴a 3a 5＋2a 4a 9＋a 7a 11＝a 24＋2a 4a 9＋a 29＝(a 4＋a 9)2＝100，∴a 4＋a 9＝－10.【答案】－107．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．【解析】设a1＝2，a5＝8，∴a3＝a1a5＝4，∴a2·a3·a4＝a23·a3＝a33＝43＝64.【答案】648．(2013·沈阳高二检测)已知数列{a n}是等比数列，则在下列数列：①{1a n}；②{C－a n}，C为常数；③{a2n}；④{a2n}；⑤{lg a n}中，一定成等比数列的个数是________．【解析】对于①，因为1a n＋11a n＝a na n＋1＝1q(常数)，所以{1a n}是等比数列．对于②，当a n＝1且C＝1时，{C－a n}不是等比数列．对于③，a2n＋1a2n＝(a n＋1a n)2＝q2(常数)，∴{a2n}是等比数列．对于④，a2(n＋1)a2n＝a2n q2a2n＝q2(常数)，∴{a2n}是等比数列．对于⑤，当a n<0时，lg a n无意义，∴{lg a n}不是等比数列．当a n>0时，{lg a n}是等差数列．故一定是等比数列的有3个．【答案】 3三、解答题9．已知数列{a n}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．【解】∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×(14)2＝1. 10．3个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这3个数．【解】由题意，这3个数成等差数列，可设这3个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6.∴a ＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时3个数为－4,2,8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时3个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )，解得d ＝0(舍去)．综上可知，这3个数是－4,2,8.11．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．【解】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2，故{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.(2)设{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根．由{a n}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝13.。

人教版高二数学必修5等比数列同步训练(带答案)-文档资料

人教版高二数学必修5等比数列同步训练（带答案）为了帮助大家进行课后复习，查字典数学网整理了数学必修5等比数列同步训练，希望大家好好练习。

一、选择题1.数列{an}为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q为常数)B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q为常数)D.an+1=anan+2解析：各项都为0的常数数列不是等比数列，A、C、D选项都有可能是0的常数列，故选B.答案：B2.已知等比数列{an}的公比q=-13，则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3解析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q= -3，故选B.答案：B3.若a，b，c成等比数列，其中0A.等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂解析：∵a，b，c成等比数列，且0答案：C4.(2019江西文)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5a2，则an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n分析：本题主要考查等比数列的基本知识.解析：a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8，q=-2.又a5a2，即a2a2，q3=-8.可得a20，a10.a1=1，q=-2，an=(-2)n-1.故选A.答案：A5.在等比数列{an}中，已知a6a7=6，a3+a10=5，则a28a21=()A.23B.32C.23或32D.732解析：由已知及等比数列性质知a3+a10=5，a3a10=a6a7=6.解得a3=2，a10=3或a3=3，a10=2.q7=a10a3=23或32，a28a21=q7=23或32.故选C.答案：C6.在等比数列{an}中，a5a11=3，a3+a13=4，则a15a5=()A.3B.13C.3或13D.-3或-13解析：在等比数列{an}中，∵a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，a15a5=a13a3=3或13.故选C. 答案：C7.(2019重庆卷)在等比数列{an}中，a2019=8a2019，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8分析：本题主要考查等比数列的通项公式.解析：由a2019=8a2019，可得a2019q3=8a2019，q3=8，q=2，故选A.答案：A8.数列{an}中， a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5() A.成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D.每项的倒数成等比数列解析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，①a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，则a5a1+a3a5=a3a5+a23，即a23=a1a5，a1，a3，a5成等比数列，故选A.答案：A9.x是a、b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，则a与b的关系是()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b或a=3b解析：由已知得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故①2-②2得a2-2ab-3b2=0，a=-b或a=3b.答案：D10.(2009广东卷)已知等比数列{an}满足an0，n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，则当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+ 3++(2n-1)=1+2n-12n=n2，故选C.答案：C二、填空题11.已知等比数列{an}中，a3=6，a10=768，则该数列的通项an=________.解析：由已知得q7=a10a3=128=27，故q=2.an=a3qn-3=32n-2. 答案：32n-212.在1和100之间插入n个正数，使这(n+2)个数成等比数列，则插入的这n的数的积为________.解析：利用性质aman=apaq(其中m+n=p+q).设插入的n个数为a1，a2，，an，G=a1a2an，则G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n，G=10n，故填10n.答案：10n13.已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)=________.解析：∵-9，a1，a2，-1成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，则b22=-9(-1)=9，b2=3.当b2=3时，由于-9与3异号，此时b1不存在，b2=-3，b2(a2-a1)=-8.答案：-814.若a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0 解析：a，b，a+b成等差数列有b=2a，a，b，ab成等比数列有b=a2，则有a=2，所以ab=8,0答案：{n|n8}三、解答题15.(2019全国卷Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn.设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn.解析：设数列{an}的公差为d.依题设有2a1a3+1=a22，a1+a2+a3=12，a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4. 解得a1=1，d=3，或a1=8，d=-4.因此Sn=12n(3n-1)，或Sn=2n(5-n).16.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d1，且a1=b1，a4=b4，a10=b10.(1)求a1及d的值;(2)b16是不是{an}中的项?解析：(1)由a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d，a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去)，d2=3-2=-32.所以d=-32，a1=-d=32，b1=32.(2)因为b16=b1d15=-32a1，如果b16是{an}中的项，则有-32a1=a1+(k-1)d.所以(k-1)d=-33a1=33d.所以k=34，即b16是{an}中的第34项.17.已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数.解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3.则a4q6=1，①aq1+q=-32 ②由①得a2q3=1，即a2q2=由②得a2q2(1+q)2=94，③把a2q2=1q代入③得q2-14q+1=0，此方程无解.把a2q2=-1q代入③得q2+174q+1=0，解得q=-4或q=-14.当q=-4时，a=-18或a=18(舍);当q=-14时，a=8或a=-8(舍).这四个数分别是8，-2，12，-18或-18，12，-2,8.18.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.(2)试问-1681是否为该数列的项?若是，是第几项;若不是，请说明理由.解析：(1)∵2an=3an+1，an+1an=23，故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2a5=827，则a1qa1q4=827，即a21(23)5=(23)3，由于数列各项均为负数，则a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2，即(23)4=(23)n-2.根据指数的性质有4=n-2，n=6.因此-1681是这个数列的第6项.以上是数学必修5等比数列同步训练及答案的所有内容，请同学们好好利用，提高自己。

人教课标版高中数学必修五《等比数列(第1课时)》教案(1)-新版

2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾（1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示．数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一初步运用基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________．【知识点:等比数列通项公式】答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二能力提升通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】答案:D 3．课堂总结【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______．答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ．答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ．答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ．答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18．三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即（1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ．二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________．答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ．答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ．答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式．答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值．答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22；（2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立；当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。

人教版数学高二B版必修5学案2.3等比数列习题课等比数列习题课

数学人教B 必修5第二章2.3 等比数列习题课——等比数列习题课1．了解分期付款的含义，理解复利的实质．2．掌握有关分期付款的还贷问题．3．掌握数列求和的常用方法——错位相减法．题型一错位相减法【例1】求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．分析：数列中含字母参数，应注意分类讨论，利用错位相减法．反思：对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯．题型二分期付款问题【例2】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4)分析：解答本题可以陈老师的欠款为主线计算．也可假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款．反思：解题关键点是掌握分期付款问题的两种常用处理办法：(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n 项，并由此归纳迭代出数列的通项的一般表达式；(2)以贷款和存款及增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式)．题型三转化为等比数列问题【例3】设数列{a n }的前n 项和S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N ＋，求数列{a n }的通项公式．分析：解答本题可充分利用S n 与a n 的关系式，将问题转化为等比数列问题来求解．反思：(1)将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解，这是求解有关数列通项公式与前n 项和公式的基本思想．(2)已知数列{a n }的首项a 1，且a n ＋1＝ma n ＋k (m ，k 为常数)．①当m ≠1时，可得a n ＋1－c ＝m (a n －c )，则有a n ＋1－ma n ＝c (1－m )，c ＝k 1－m，转化为等比数列求解．②当m ＝1时，a n ＋1－a n ＝k ，利用等差数列求解．1设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )． A ．－11 B ．－8C ．5D ．112已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n ) 3已知在等比数列{a m }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )． A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋r ，则r 的值是________．5已知x ≠0，x ≠1，y ≠1，则(x ＋1y )＋(x 2＋1y 2)＋…＋(x n ＋1y n )的值为________． 6已知数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .答案：典型例题·领悟【例1】解：当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2. 当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，∴(1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a. ∵1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2. 【例2】解：解法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，……a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1. 又因为lg(1.01)6＝6 lg 1.01＝0.025 8，所以1.016＝1.061，所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 800. 答：每月应支付1 800元．解法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102. 由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1. 以下解法同解法一，得a ≈1 800.答：每月应支付1 800元．【例3】解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，∴a 1＝2. 当n ≥2时，由S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，① 得S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.② 由①－②，得a n ＝43(a n －a n －1)－13(2n ＋1－2n )．整理得：a n ＋2n ＝4(a n －1＋2n －1)，∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．∴a n ＋2n ＝4×4n －1，∴a n ＝4n －2n .随堂练习·巩固1．A 由8a 2＋a 5＝0，得a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，∴q ＝－2. ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 2．C 3．C4．－15．x (1－x n )1－x ＋y n －1y n ＋1－y n 当x ≠0，x ≠1，y ≠1时， (x ＋1y )＋(x 2＋1y 2)＋…＋(x n ＋1y n ) ＝(x ＋x 2＋…＋x n )＋(1y ＋1y 2＋…＋1y n )＝x (1－x n)1－x ＋1y (1－1y n )1－1y＝x (1－x n )1－x ＋y n －1y n ＋1－y n . 6．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)＝6a 2，∴a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由已知得T n ＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1，∴2T n ＝1·2＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，解得T n ＝(n －1)·2n ＋1.。

人教新课标版数学高二B版必修5 等比数列第二课时训练

1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于()A．4B．2C．－2 D．－4解析：选D.由互不相等的实数a，b，c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b ＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4.2．等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项解析：选B.设该数列为{a n}，由题意得a1a2a3＝2，a n·a n－1·a n－2＝4，∴(a1a n)3＝8，∴a1a n＝2，(a1a2…a n)2＝642＝(a1a n)n＝2n，∴n＝12.3．在等比数列{a n}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于()A．－1 B．1C．±1 D．以上都不正确解析：选B.设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由a n＝a1q n－1，知数列{a n}奇数项＞0，a5·a9＝1，得a7＝1，选B.和偶数项的符号分别相同．这样由a5＋a9＝1874．已知{a n}是等比数列，(1)若a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________；(2)若a n＞0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a100＝________.解析：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又a n＞0，∴a3＋a5＝5.(2)∵a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100，∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a100＝lg(a1·a2…a99·a100)＝lg(a1·a100)50＝50 lg100＝100.答案：51005．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000.求此四个数．解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.再设后三个数分别为b q ，b ，bq ，则有b q ·b ·bq ＝b 3＝8000，即b ＝20.∴四个数分别为m,16,20，n .∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25，即四个数分别为12,16,20,25.1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选B.设公比为q .由a 3a 9＝2a 25得a 26＝2a 25.∴|a 6|＝2|a 5|，|a 6a 5|＝2，即|q |＝2，又∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝22. 2.设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，对应的函数图象如图，且a 1＝b 1，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，则( )A ．a n ＋1＝b n ＋1B ．a n ＋1>b n ＋1C ．a n ＋1<b n ＋1D ．a n ＋1≥b n ＋1解析：选B.由题图可得，选B.3．已知a ，b ，c 成等比数列，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或1个解析：选A.由题意知b 2＝ac .∵Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2＜0，∴图象与x 轴无交点．4．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为，令{x }＝x －，则{5＋12}，5＋125＋125＋12(n －1)*11＋2＋3＋…＋(n －1)－3(n －1)∴a n ＝12(n 2－7n ＋18)(n ∈N ＋)． ∵{b n －2}是等比数列，∴b n －2＝(b 1－2)q n －1，b 1－2＝4，b 2－2＝2，q ＝12， ∴b n －2＝4⎝⎛⎭⎫12n －1.∴b n ＝4⎝⎛⎭⎫12n －1＋2.(2)不存在，a 1－b 1＝0，a 2－b 2＝0，a 3－b 3＝0，n ≥4时，a n ＝12(n 2－7n ＋18)是递增数列，a n ≥3. n ≥4时，b n ＝4⎝⎛⎭⎫12n －1＋2是递减数列， b n ≤212， ∴a n －b n ≥12，即a k －b k ∉⎝⎛⎭⎫0，12.。

人教新课标版数学高二-高中数学(人教版B版必修5)本册综合素质检测

本册综合素质检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．2 014是等差数列4,7,10,13，…的第几项( ) A ．669 B ．670 C ．671 D ．672C等差数列的第n 项a n ＝3n ＋1，令3n ＋1＝2 014，∴n ＝671.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 B∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )C由f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}知，f (x )开口向下，对称轴在y 轴左侧，又y ＝f (－x )与y ＝f (x )图象关于y 轴对称．∴f (－x )图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，故选C ．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为(－12，13)，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D由题意，得⎩⎨⎧－12＋13＝－b a－12×13＝2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 5．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 012＝( )A ．12B ．2C ．－1D ．1B易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2 012＝670×3＋2，∴a 2 012＝a 2＝2.6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定A由等比知识得，Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9 而P ＝a 3＋a 92且a 3＞0，a 9＞0，a 3≠a 9∴a 3＋a 92＞a 3·a 9，即P ＞Q .7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． B由题意列不等式24 000×(20－52t )×t %≥9 000，即24100(20－52t )t ≥9 ，所以t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9 000万元．8．(2013～2014学年度吉林省舒兰市第一中学高二期末测试)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于( )A ．－53B ．－35C ．35D ．53A在等比数列{a n }中，a 2a 3＝－98，∴a 1a 4＝a 2a 3＝－98，∴a 1a 2a 3a 4＝8164.∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝a 2a 3a 4＋a 1a 3a 4＋a 1a 2a 4＋a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4＝－98a 4－98a 3－98a 2－98a 1a 1a 2a 3a 4＝－98(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 1a 2a 3a 4＝－98×158×6481＝－53.9．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x ≥0y ≥0所表示的平面区域与圆面x 2＋(y －2)2≤2相交的公共区域的面积为( )A ．π8B ．π4C ．π2D ．π B画出可行域如图△OAB ，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF ，∵∠OBA ＝π4，圆半径为2，∴扇形面积为S ＝12×π4×(2)2＝π4.10．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan B ＋tan C ＋3＝3tan B ·tan C ，则△ABC 的面积为( ) A ．34B ．3 3C ．334D ．34C∵tan B ＋tan C ＋3＝3tan B ·tan C ，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B ·tan C ，∴tan(B ＋C )＝－3，∴∠B ＋∠C ＝120°，∠A ＝60°. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而b ＋c ＝5， ∴b 2＋c 2＝25－2bc ，∴16＝25－2bc －2bc cos60°＝25－3bc ， ∴bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.11．设a 、b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 2 B ．－533C ．－3D ．－72C设a ＋b ＝t ，则a ＝t －b ，代入a 2＋2b 2＝6中得，(t －b )2＋2b 2＝6，整理得3b 2－2tb ＋t 2－6＝0， ∵b ∈R ，∴△＝4t 2－12(t 2－6)≥0， ∴－3≤t ≤3，即(a ＋b )min ＝－3.12．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件D设该商贩购买甲、乙两种商品的件数为x 件和y 件，此时该商贩赚的钱为z 元，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50x ，y ∈N*，z ＝x ＋1.8y.如图所示，经分析可知，要使z 最大，则只需通过点(2,6)，∴当x ＝2，y ＝6时，z max ＝2＋1.8×6＝12.8.故选择D ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．如图，在高出地面30m 的小山顶C 上建造一座电视塔，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，在此点测得CD 所张的角为45°，则电视塔的高度是____________．150m设∠BAC ＝α，则tan α＝BC AB ＝3060＝12，tan A ＝tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3，∴BD ＝AB tan A ＝60×3＝180.∴CD ＝BD －BC ＝150.14．等差数列{a n }的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n 为________．8由已知，得a 1＋a 2＋a 3＝20， a n ＋a n －1＋a n －2＝130， ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝150， ∴a 1＋a n ＝50.∴n (a 1＋a n )2＝25n ＝200，∴n ＝8.15．不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集是________． {x |－2≤x ≤2或x ＝6} 原不等式变形得(x ＋2)(x －2)(x －6)2≤0，∴－2≤x ≤2或x ＝6.16．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．1令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·D ．则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7. 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋C ． (1)当c ＝19时，解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a 、c 的值． (1)由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19>0，即a 2－6a －16<0，解得：－2<a <8. 所以不等式的解集为：(－2,8)．(2)由关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)可知：－1,3是关于x 的方程3x 2－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0－1＋3＝a (6－a )3－1×3＝－c3，解得：a ＝3±3，c ＝9.19．(本题满分12分)已知等比数列{a n }中，a 1＝64，公比q ≠1，a 2，a 3，a 4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项．(1)求a n ；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n . (1)依题意有a 2－a 4＝3(a 3－a 4)，即2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0， ∴2q 2－3q ＋1＝0.∵q ≠1，∴q ＝12，故a n ＝64×(12)n －1.(2)b n ＝log 2＝7－n .∴|b n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n (n ≤7)n －7 (n >7)，当n ≤7时，T n ＝n (13－n )2；当n >7时，T n ＝T 7＋(n －7)(n －6)2＝21＋(n －7)(n －6)2.故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (13－n )2 (n ≤7)(n －7)(n －6)2＋21 (n >7).20．(本题满分12分)台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只A 的正北方向100n mile 处有一大陆船只B 正以每小时20n mile 的速度沿北偏西60°的方向行驶，而台湾船只A 以每小时15n mile 的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？设x h 后，B 船至D 处，A 船至C 处，BD ＝20x ，BC ＝100－15x ，∵x >0,100－15x >0，∴0<x <203，由余弦定理，得DC 2＝(20x )2＋(100－15x )2－2·20x ·(100－15x )·cos120 ° ＝325x 2－1 000x ＋10 000＝325⎝⎛⎭⎫x －20132＋10 000－10 00013⎝⎛⎭⎫0<x <203. ∴x ＝2013h 后，两船最近，可鸣笛问好．21．(本题满分12分)设△ABC 的内角为A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝a －12C ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解法一：(1)∵b cos c ＝a －12c ，∴由余弦定理，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a －12c ，∴a 2＋b 2－c 2＝2a 2－ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴2ac cos B ＝ac ， ∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋c ＋1，由(1)知a 2＋c 2－1＝ac ， ∴(a ＋c )2－1＝3ac∴(a ＋c )2＝1＋3ac ≤1＋34(a ＋c )2，∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2.又∵a ＋c >1，∴l ∈(2,3sin A ＋sin(2π3－A )，故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3解析 (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．。

高中数学必修5教案等比数列第2课时

高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

人教新课标版数学高二人教A必修5试题 2.4等比数列(一)

§2.4 等比数列(一)课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍) ∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4·(32)n －1 解析由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32， ∴a n ＝4·(32)n －1. 8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18. 9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案－9解析由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9. 14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量．已知其中三个量可求得第四个．。

人教版数学高二B版必修5教材习题点拨2.3等比数列

教材习题点拨1．解：如果q ＝0，则a 2＝a 1q ＝0，a 3＝a 4＝…＝0，根据等比数列的定义，a 3a 2，a 4a 3，a 5a 4，…中0作了分母，没有意义；等比数列中的项不可能等于0.2．解：当q ＝1时，该等比数列为常数列；当a 1＞0,0＜q ＜1时，该数列为递减数列；当a 1＞0，q ＞1时，该数列为递增数列；当a 1＜0,0＜q ＜1时，该数列为递增数列；当a 1＜0，q ＞1时，该数列为递减数列．3．解：要确定一个等比数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．练习A1．解：(1)－32,64；(2)1627，3281；(3)0.297,0.089 1；(4)－3,3 3. 评注：等比数列通项公式的运用． 2．解：(1)±6；(2)±13；(3)±ab (a 2＋b 2)．评注：等比中项公式的运用． 3．解：(1)a 1＝2，q ＝±2；(2)a 15＝2. 练习B1．解：(1)是等比数列，首项为a m ＋1，公比为q ； (2)是等比数列，首项为a 1，公比为q 2； (3)是等比数列，首项为a 5，公比为q 5.评注：一个等比数列，其奇数项、偶数项仍构成一个等比数列；取出项的序号成等差的数列，也构成等比数列．2．解：没有．解：若将这个数列的前8项倒过来排，则构成一个首项为b 1＝a 8＝1，公式q 1＝1q ＝2的等比数列，故有S 8′＝b 1(1－q 81)1－q 1＝1×(1－28)1－2＝28－1＝255.练习A1．解：(1)189；(2)8.25；(3)15.5；(4)－9145.2．解：(1)设等比数列为{a n }，a 1＝14，q ＝－2，则从第6项到第10项的和为S 10－S 5＝14[1－(－2)10]1＋2－14[1－(－2)5]1＋2＝－112(25＋210)＝－88.(2)设等比数列为{a n }，a 1＝32，q ＝12，则从第3项到第7项的和为S 7－S 2＝93128.评注：求等比数列某一“段”的和，此“段”(超过3项)仍构成等比数列． 3．解：(1)原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )，当a ＝1时，原式＝n －(1＋2＋…＋n )＝－n (n －1)2；当a ≠1时，原式＝a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2.(2)原式＝(1－0.1)＋(1－0.01)＋(1－0.001)＋…＋10.0001n -位＝n －0.1×(1－0.1n )1－0.1＝n －110×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫110n 1－110＝n －19⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫110n . 练习B1．解：设等比数列为{a n }，公比为q .已知首项a 1＝－1，由题易知，q ≠1(若q ＝1，则S 10S 5＝－10－5＝21与已知矛盾)．∴S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝3132.∴q 5＝－132.∴q ＝－12. 故S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝－85128.2．解：是等比数列．证明如下：令{a n }的公比为q ，首项为a 1.设所求数列为{S kn －S (k －1)n }，且S 0＝0，k ∈N ＋，则此数列第k ＋1项与第k 项之比为：①当q ≠1，k ≥2时，S (k ＋1)n －S kn S kn －S (k －1)n ＝a 1[1－q (k ＋1)n ]1－q －a 1(1－q kn )1－q a 1(1－q kn )1－q －a 1[1－q (k ＋1)n ]1－q ＝q kn －q (k ＋1)n q (k －1)n －q kn ＝q kn (1－q n )q (k －1)n (1－q n )＝q n(常数)． ∴{S kn －S (k －1)n }为等比数列．②当q ＝1时，显然数列{S kn －S (k －1)n }＝{n }为常数列，也是等比数列．故所给数列为等比数列．习题2－3A1．解：(1)q ＝－4，S n ＝－3[1－(－4)n ]10.(2)∵S 3＝2(1－q 3)1－q＝26(∵q ≠1，若q ＝1，则与已知矛盾)，∴q 3－13q ＋12＝0，解得q ＝3或q ＝－4.当q ＝3时，a 3＝18；当q ＝－4时，a 3＝32.(3)∵S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116a 1＝318，∴a 1＝2，a 4＝a 1q 3＝14.(4)q ＝－32，S 5＝－559.2．解：1.5×1.24＝31.104(公顷)，故第5年造林31.104公顷． 3．解：设此三数为a q ，a ，aq ，则由题意，得aq ·a ·aq ＝64，∴a ＝4.又其和为14，即4q ＋4＋4q ＝14，化简得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.故此三数为2,4,8或8,4,2.评注：三数成等比数列的设法要注意技巧，有时会使计算过程得到简化． 4．证明：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . ∵lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n＝lg q (常数)，故数列{lg a n }为等差数列，其首项为lg a 1，公差为lg q . 5．解：(1)a 4＝a 1q 3，Sn ＝a 1(1－q n )1－q. (2)∵a n ＝a 1q n －1，∴a 1＝a n q n －1，∴S n ＝a nq n －1－a n q 1－q.(3)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴a 1＝(1－q )S n 1－q n ，a n ＝a 1q n －1＝(1－q )q n －1·S n1－q n . 评注：考查等比数列通项公式、前n 项和公式的灵活运用．6．解：(1)是；首项为a 1(1＋q ＋q 2)，公比为q ，(2)是；首项为1a 1，公比为1q .7．解：设此三数为a －d ，a ，a ＋d ，又其和为6，即(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝6，∴a ＝2，即此三数为2－d,2,2＋d ， ①若2－d,2,2＋d 成等比数列，则22＝(2－d )(2＋d )， ∴d ＝0，则此三数为2,2,2(不合题意，舍去)． ②若2,2－d,2＋d 成等比数列，则(2－d )2＝2(2＋d )， ∴d ＝0(舍去)或d ＝6，则此三数为－4,2,8.③若2－d,2＋d,2成等比数列，则(2＋d )2＝2(2－d )， ∴d ＝0(舍去)或d ＝－6，则此三数为8,2，－4. 评注：分类讨论思想的运用，要做到不重不漏．8．解：(1＋p )12－1.9．解：由题意知各轮被感染的计算机构成首项为80，公比为20的等比数列，则S 5＝80(1－205)1－20＝13 473 680(台)．10．解：由题意知每年的生产总值构成首项为2 000，公比为1110的等比数列，则S 10＝2 000⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1110101－1110≈31 874.85(亿元)．习题2－3B1．证明：∵a n ＝a 1q n －1，∴a 1a 2…a n ＝a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝a n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n 1qn (n －1)2. ∴原题得证．2．解：由a 1＝15，a n ＋a n ＋1＝65n ＋1，得a 1＋a 2＝652，a 2＝152；a 2＋a 3＝653，a 3＝153，…，因此数列{a n }为等比数列，公比为15，∴S n ＝15⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫15n 1－15＝14(1－15n )．3．解：设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则通项为a n ＝a ＋(n －1)d ，前n 项和S n ＝na ＋n (n －1)2d ，依题意有⎩⎨⎧13S 3·14S 4＝⎝⎛⎭⎫15S 52，13S 3＋14S 4＝2，其中S 5≠0.由此可得⎩⎨⎧13(3a ＋3d )·14(4a ＋6d )＝125(5a ＋10d )2，13(3a ＋3d )＋14(4a ＋6d )＝2.整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝－125， ∴a n ＝1或a n ＝4－125(n －1)＝325－125n ，经检验知a n ＝1时，S 5＝5；a n ＝325－125n 时，S 5＝－4均符合题意，故所求等差数列通项为a n ＝1或a n ＝325－125n .4．(1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2)＝4(a n －a n －1)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n－2a n －1)．∴a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2，即b n ＋1b n ＝2(常数)．故数列{b n }是等比数列，首项b 1＝3，公比q＝2.(2)证明：∵c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n 2n ＋1＝b 1·q n －12n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， ∴数列{c n }为等差数列．(3)解：∵{c n }为等差数列，且c 1＝d 12＝12，公差d ＝34，∴c n ＝a n 2n ＝12＋(n －1)·34.∴a n ＝2n －1＋3(n －1)·2n －2＝(3n －1)·2n －2.显然{a n }为一个等比数列，令S n 为其前n 项和，∴S n ＝2×2－1＋5×20＋8×21＋…＋(3n －4)·2n －3＋(3n －1)·2n －2，① 2S n ＝2×20＋5×21＋8×22＋…＋(3n －4)·2n －2＋(3n －1)·2n －1.② ①－②得－S n ＝1＋3(1＋2＋…＋2n －2)－(3n －1)·2n －1＝1＋3·1·(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n －1＝1＋3·(2n －1－1)－(3n －1)·2n －1＝－2＋(4－3n )·2n －1， ∴S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业 .1 等比数列

一、选择题1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b，…，b一定为等比数列；③等比数列{a n}中，若公比q＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；②错误，b＝0时，不是等比数列；③④正确．故答案选C.【答案】 C2．(2013·济南高二检测)2＋1与2－1，两数的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 D.1 2【解析】设两数的等比中项为G，则G2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴G＝±1.【答案】 C3．(2013·本溪高二检测)下列命题中正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则lg a，lg b，lg c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则lg a，lg b，lg c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则10a,10b,10c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则10a,10b,10c是等差数列【解析】若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，∴10a·10c＝10a＋c＝102b＝(10b)2，∴10a,10b,10c是等比数列．4．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个【解析】 ∵每20分钟分裂一次，∴经过3小时要分裂9次，即29＝512个．【答案】 B5．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( ) A.52 B.1－52 C.25 D.5－12 【解析】由已知得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a 1q n －1＝a 1q n ＋a 1q n ＋1，∴q 2＋q ＝1，解得q ＝－1±52. 又q >0，∴q ＝5－12.【答案】 D二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.【解析】由a n ＝a 1q n －1，得13＝98(23)n －1，即(23)n －1＝827.故n ＝4.【答案】 47．(2013·德州高二检测)在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．【解析】由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2.∴a 6＝6×25＝192.8．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.【解析】设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 1＋2a 2＝a 3，即a 1＋2a 1q ＝a 1q 2.则1＋2q ＝q 2，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中，各项都是正数，则q >0，则q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 【答案】 3＋2 2三、解答题9．已知一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3，求a 的值．【解】由等比数列的定义，得2a ＋2a ＝3a ＋32a ＋2，即(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)，∴a 2＋5a ＋4＝0，解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，2a ＋2＝3a ＋3＝0，舍去，所以a ＝－4.10．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：{a n －23}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝12a n ＋13，∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12(a n －23)．∴a n ＋1－23a n －23＝12.∴{a n －23}为首项为524，公比为12的等比数列．(2)∵a n －23＝524×(12)n －1，∴a n ＝524×(12)n －1＋23.11．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n (n ∈N *)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？【解】 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝(1－10%)＝0.9，∴a n ＝a 1·q n －1＝13.5×(0.9)n －1.∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n －1万元．(2)由(1)得a 4＝a 1·q 3＝13.5×0.93≈9.8(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元.。

人教版数学高二B版必修5课时作业数列

课时作业(五) 数列A 组(限时：10分钟)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列解析：数列中的项是有序的，故A 错；B 中通项为{n －1}；C 中数列为摆动数列，故选D.答案：D2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：由已知从第二项起，每一项与前一项的差是这一项的项数，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，以此规律得a 6－a 5＝6，∴a 7－a 6＝7.∴a 7＝7＋a 6＝7＋6＋a 5＝13＋15＝28. 答案：B3．0，－1,0,1,0，－1,0,1，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12B ．a n＝cos n π2 C ．a n ＝cos (n ＋1)π2 D ．a n ＝cos (n ＋2)π2解析：将n ＝1,2,3,4分别代入验证，可得B 正确．答案：B4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，令n ＝9，则a 9＝10－9＝10－3.答案：95．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；。

人教B版人教B版高中数学必修五：2.3.1《等比数列》测试(新).docx

必修5单元同步练习----等比数列[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。

1．定义：数列{a n }若满足nn a a 1+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。

q 为公比。

2．通项公式：a n =a 1q n-1(a 1≠0、q ≠0)。

3.前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）4.性质：（1）a n =a m q n-m。

（2）若m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。

5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。

[难点]等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。

一、选择题1．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（）（A ）第13项（B ）第14项（C ）第15项（D ）不在此数列中 2．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为（）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pqm+n-13.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（）（A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+1 4．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 20的值为（）（A ）89a b （B ）（a b ）9 （C ）910a b （D ）（ab ）105．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）（A ）n 3 （B ）n31（C ）13+n （D ）23+n6．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为（）（A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-47．已知数列{a n }是公比q 1≠的等比数列，给出下列六个数列：（1）{ka n }(k 0≠) (2){a 2n-1}(3){a n+1-a n } (4){a n a n+1} (5){na n } (6){a n 3},其中仍能构成等比数列的个数为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）3 8．a,b,c 成等比数列是b=ac 的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件9．已知数列{a n }的前n 项和为S n =b ×2n+a(a ≠0,b ≠0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为（）（A ）a-b=0 （B ）a-b ≠0 （C ）a+b=0 （D ）a+b ≠0 10.在正项等比数列{a n }中，若s 2=7,s 6=91,则s 4的值为（）（A ）28 （B ）32 （C ）35 （D ）4911．一个等比数列共有3n 项，其前n 项之积为A ，次n 项之积为B ，末n 项之积为C ，则一定有（）（A ）A+B=C （B ）A+C=2B （C ）AB=C （D ）AC=B212．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为（）（A ）21 （B ）1 （C ）43（D ）213．设{a n }为等比数列，S n =a 1+…a n ,则在数列{S n } 中（）（A ）任何一项均不为零（B ）必有一项为零（C ）至多有一项为零（D ）或有一项为零，或有无穷多项为零14．在由正数组成的等比数列{n a }中，若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9的值为（）（A ）34 （B ）43（C ）2 （D ）33415．某产品每年成本降低的百分数为m,若五年后的成本是a 元，则现在的成本是（）（A ）4)1(m a - （B ）4)1(m a+（C ）5)1(m a - （D ）5)1(m a+ 16．在正项等比数列{a n }中，a 21+a 22+……a 2n =314-n ,则a 1+a 2+…a n 的值为（）（A ）2n（B ）2n-1 （C ）2n+1 （D ）2n+1-217.数列{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2,a 1a 2a 3……a 20=a 50,，则a 2a 4a 6……a 20的值为（）（A ）230 （B ）283 （C ）2170 （D ）2102-218．在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为（）（A ）2100-2 （B ）2101-2 （C ）2101 （D ）21519．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）（A ）不增不减（B ）约增1.4% （C ）约减9.2% （D ）约减7.8% 20.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,前n 项的倒数之和为T n ,则nnT S 的值为（）（A ）a 1a n （B ）n a a 1 （C ）a 1n a nn （D ）(na a 1)n二、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。

人教新课标版数学高二B版必修5规范训练等比数列

双基达标 (限时20分钟)1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9 解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．答案 B2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )．A ．16B ．27C ．36D ．81解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.答案 B3．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．8 解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 2 010＝a 2 007·q 3＝8a 2 007，∴q 3＝8，∴q ＝2，故选A.答案 A4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝ .解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 答案 45．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是 .解析 a 8＝a 1q 7，即768＝6·q 7，∴q ＝2，∴a 6＝a 1·q 5＝6×25＝192.答案 1926．已知三个实数a 、b 、c 成等差数列且它们的和为12，又a ＋2、b ＋2、c ＋5成等比数列，求出这三个实数a 、b 、c .解由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，(b ＋2)2＝(a ＋2)(c ＋5)，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，a ＋c ＝8，36＝(a ＋2)(c ＋5)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4，c ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝4，c ＝－2..综合提高 (限时25分钟)7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )．A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 4a 5a 6a 1a 2a 3＝a 7a 8a 9a 4a 5a 6＝q 9， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50. 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2.故选A.答案 A8．在等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于 ( )． A.56B.65C.23D.32 解析由a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，a 6<a 4，∴a 6＝2，a 4＝3，a 5a 7＝a 4a 6＝32，故选D.答案 D9．在由正数组成的等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝ . 解析 {a n }是等比数列，公比为q ∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列 ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6) ∴a 5＋a 6＝16.答案 1610．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝ .解析 a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4且b 2与1,4同号，∴b 2＝2，a 1＋a 2b 2＝2.5. 答案 2.511．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝2S n ，∴a n ＝2S n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＝2a 1＝2，∴数列{a n }从第二项起是等比数列， ∴a n ＝a 2·3n －2＝2·3n －2(n ≥2，n ∈N *)．综上a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)2·3n －2 (n ≥2，n ∈N *) 12．(创新拓展)若数列{a n }满足关系a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列的通项公式．解 ∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．即a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝6为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋3＝(a 1＋3)2n －1，∴a n ＝6×2n －1－3＝3(2n －1)．。

人教版数学高二B版必修5自我小测等比数列

自我小测1．在等比数列{a n }中，已知a 9＝－2，则此数列的前17项之积等于( )A ．216B ．－216C ．217D ．－2172．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，公比q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4等于( ) A ．14 B ．12 C ．18D ．1 4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A ． 2B ．4C ．2D ．125．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( )A ．81B ．C ． 3D ．2436．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________． 7．设{a n }是正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3…a 30＝230，那么a 3a 6a 9…a 30＝________．8．已知数列{a n }为等比数列．若a n >0且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝__________．9．已知数列x ，2x ＋2，3x ＋3，…为等比数列，求这个数列的通项公式．10．在公差不为0的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3．(1)求数列{a n }的公差和数列{b n }的公比；(2)是否存在a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由．参考答案1．解析：∵a 1·a 17＝a 2·a 16＝…＝a 29，∴a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17＝(－2)17＝－217．答案：D2．解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，解得q ＝2或q ＝－3＜0(舍去)．∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝84．答案：C3．解析：根据等比数列的定义，得2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 22a 1q 2＋a 2q 2＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14．答案：A4．答案：C5．解析：因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81．答案：A6．解析：设插入的三个数为a ，aq ，aq 2，aq 是83和272的等比中项，且aq ＞0，∴(aq )2＝83×272＝36．∴aq ＝6．∴(aq )3＝216．∴插入的三个数的乘积为216．答案：2167．解析：因为数列{a n }中，公比q ＝2，设a 2a 5a 8…a 29＝x ，而a 1a 4a 7…a 28，a 2a 5a 8…a 29，a 3a 6a 9…a 30成等比数列，且公比为q 10＝210，又a 1a 2a 3…a 30＝230，即x 3＝230，解得x ＝a 2a 5a 8…a 29＝210，所以a 3a 6a 9…a 30＝220．答案：2208．解析：由已知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，得23a ＋2a 3a 5＋25a ＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5．答案：59．解：由已知，得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解这个方程得x ＝－1或x ＝－4．当x ＝－1时，a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝0，不能构成等比数列．当x ＝－4时，a 1＝－4，a 2＝－6，a 3＝－9，∴q ＝32．∴a n ＝－4·⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N +)．综上，数列的通项公式为a n ＝－4·⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N ＋)． 10．解：(1)设{a n }的公差为d (d ≠0)，{b n }的公比为q (q ≠0)，由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，得1＋d ＝q ．由a 8＝b 3，得1＋7d ＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝1，d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6，d ＝5，即数列{a n }的公差为5，数列{b n }的公比为6．(2)假设存在a ，b ，使得a n ＝log a b n ＋b 成立，即1＋(n －1)·5＝log a 6n －1＋b ，∴5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，∴(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0．要使上式对于一切自然数n 成立，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－log a 6＝0，4＋b －log a 6＝0.解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，存在a ，b ＝1使得结论成立．。

【测控设计】高二数学人教B版必修5同步训练：2.3.1 等比数列 Word版含解析[ 高考]

2.3等比数列2.3.1等比数列一、非标准1.对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析:因为在等比数列中a n,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.答案:D2.等比数列{a n}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于()A.216B.-216C.217D.-217解析:由等比数列的性质:序号和相等,则对应项的乘积相等.∵a 1·a17=a2·a16=…=,∴a1·a2·…·a17=(a9)17=(-2)17=-217.答案:D3.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析:由a1=3,a1+a2+a3=21得,q=2(q=-3<0舍去),a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=84.答案:C4.(2014河南适应性模拟)已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能的值是()A. B. C.2 D.解析:由题意可设三角形的三边分别为,a,aq,因为三角形两边之和大于第三边,所以有+a>aq,即q2-q-1<0(q>0),解得0<q<,但当q=时不合题意.所以q的一个可能值是,故选D.答案:D5.在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a+b+c的值为()A.1B.2C.D.4解析:根据题意填写表格,得1 2 3 4所以,a+b+c=.答案:C6.(2013吉林延边质检)已知等差数列{a n}的公差和等比数列{b n}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为()A. B.-C.-,-D.,-解析:由由两式得a1=,代入①式中,+3d=·d3,化简得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0,∵d≠1,∴由d6+d3-2=0,得d=-,a1=-d=.答案:D7.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是.解析:设两数依次为a,b,∴a2=2b,2b=a+30.∴a2-a-30=0.∴a=6.∴b=18.答案:6,188.设{a n}是正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6a9…a30=.解析:因为数列{a n}中,公比q=2,设a2a5a8…a29=x,而a1a4a7…a28,a2a5a8…a29,a3a6a9…a30成等比数列,且公比为q10=210,又a1a2a3…a30=230,即x3=230,解得x=a2a5a8…a29=210,所以,a3a6a9…a30=220.答案:2209.(2014安徽高考)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=.解析:由题意知数列{a n}是以首项a1=2,公比q=的等比数列,∴a7=a1·q6=2×.答案:10.已知数列x,2x+2,3x+3,…为等比数列,求这个数列的通项公式.解:由已知得(2x+2)2=x(3x+3),解这个方程得x=-1或x=-4.当x=-1时,a1=-1,a2=0,a3=0,不能构成等比数列.当x=-4时,a1=-4,a2=-6,a3=-9,∴q=.∴a n=-4·(n∈N+).11.在公差不为0的等差数列{a n}和等比数列{b n}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求数列{a n}的公差和数列{b n}的公比;(2)是否存在a,b使得对于一切自然数n都有a n=log a b n+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.解:(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,由已知:a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q,由a8=b3,得1+7d=q2,解得(舍去)或(2)若存在a,b,使得a n=log a b n+b成立,即1+(n-1)·5=log a6n-1+b,∴5n-4=(n-1)log a6+b,∴(5-log a6)n-(4+b-log a6)=0.要使上式对于一切自然数n成立,必须且只需解得因此,存在a=,b=1使得结论成立.12.如右图,△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0),(1,0),(0,2),设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n),a n=y n+y n+1+y n+2.(1)求a1,a2,a3及a n;(2)证明:y n+4=1-(n∈N+);(3)若记b n=y4n+4-y4n,n∈N+,证明:{b n}是等比数列.解: (1)因为y1=y2=y4=1,y3=,y5=,所以a1=a2=a3=2,又由题意可知,y n+3=.∴a n+1=y n+1+y n+2+y n+3=y n+1+y n+2+y n+y n+1+y n+2=a n.∴{a n}为常数列.∴a n=a1=2,n∈N+.(2)证明:将等式y n+y n+1+y n+2=2两边除以2,得y n+=1,又y n+4=,∴y n+4=1-.(3)证明:∵b n+1=y4n+8-y4n+4==-(y4n+4-y4n)=-b n,又b1=y8-y4=-≠0,∴{b n}是公比为-的等比数列.。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案等比数列(一)

2.3等比数列2.3.1等比数列(一)1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．下列判断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＋)．答案(1)(3)(4)1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数q(q≠0)，那么这个数列叫做等比数列．2．等比中项如果三个数a、G、b组成等比数列，则G叫做a与b的等比中项．根据定义得G2＝ab，G ＝±ab，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．3．等比数列的通项公式等比数列{a n}的通项公式为a n＝a1q n－1，其中a1与q均不为0.要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1在等比数列{a n}中，(1)a4＝2，a7＝8，求a n；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求n；(3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8.①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝3522-n .(2)方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1∴32×(12)n －1＝1，即26－n ＝20，∴n ＝6.方法二 ∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程(组)，求出a 1和q . 跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n .解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98(23)n －1，即(23)n －1＝(23)3，得n ＝4. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－16·(12)n －1或a n ＝2n －1.要点二等比中项的应用例2 在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解由题意知b 2＝(－32)×(－24332)＝(32)6，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝(－32)2，解得a ＝23；bc ＝(－24332)2＝(－32)10，解得c ＝(32)7.同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－(32)7.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，(32)7或－23，－278，－(32)7.要点三等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式．解 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12， ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，∴q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－(12)n －＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝(12)n .规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)．又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 C解析由a 4＝a 1 q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 1q 2＝8×4＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．6 C ．5 D ．32 答案 B解析由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．45和80的等比中项为________．答案－60或60解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80， ∴G ＝±60.5．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18. ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零． (2)a n ＋1a n 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2．等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D. 32答案 C解析由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比为2，则a 2与a 8的等比中项为________．答案 ±16解析 ∵数列{a n }是等比数列，而且a 1＝1，q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝2，a 8＝a 1q 7＝27＝128，设a 2与a 8的等比中项为M ，则M ＝±a 2a 8＝±2×128＝±16.6．{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________. 答案 3×(53)n －1解析 {a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d . ∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )·(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1.设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53.∴b n ＝b 1q n －1＝3×(53)n －1.7．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2…a 10＝265，求通项a n 与a 6.解由题可知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝16，a 101q 45＝265，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.∴通项a n ＝4·2n －1＝2n ＋1， ∴a 6＝26＋1＝128. 二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.11．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. (1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2， b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.由b 1，b 2，b 3成等比数列，得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1，或a n ＝(2－2)n －1. (2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a >0，得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，即3a n ＝a n －a n －1，又a 1＝－12，则a n ≠0，a n a n －1＝－12所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝2，则a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 方法二 ∵a 1＋1＝2，∴a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N ＋)， ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。

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课时达标检测（十）等比数列
一、选择题
1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4
的值为( ) A.14
B.12
C.18 D ．1
解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14
. 2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312
是此数列的第( ) A ．2项
B ．4项
C ．6项
D ．8项
解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，
可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，
解得x ＝－1或－4.
又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为32
的等比数列，其通项a n ＝－4⎝⎛⎭⎫32n －1，
由－4⎝⎛⎭⎫32n －1＝－1312
，得n ＝4. 3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．－4
解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，
a ＋3
b ＋
c ＝10，
解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.
4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )
A ．必有两个不等实根
B ．必有两个相等实根
C ．必无实根
D ．以上三种情况均有可能
解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列，
∴b 2＝ac ＞0.
又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0，
∴方程无实数根．
5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )
A ．(－2)n －1
B ．－(－2n －
1) C ．(－2)n D ．－(－2)n 解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，
又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，
又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，
从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.
二、填空题
6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.
解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2
＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；
当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .
答案：(－2)n 或－2n
7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384，
所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6.
答案：6
8．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，
∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1
＝－1(n ≥2)．
故{a n }是公比为－1的等比数列．
令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －
1
三、解答题
9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，若b 2＝5，求b n .
解：∵{a n }是等差数列，
∴a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，
a 13＝a 1＋12d ，
又a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，
∴a 28＝a 5a 13，即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )·(a 1＋12d )，解得d ＝2a 1.
设等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，
则q ＝a 8a 5＝53
，又b 2＝b 1q ＝5，即53
b 1＝5，解得b 1＝3， ∴b n ＝3·⎝⎛⎭
⎫53n －1. 10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a n ＋13
(n ＝1,2,3，…)． (1)当a n ≠23时，求证⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －23是等比数列； (2)当a 1＝76
时，求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13
，改写成a n ＋1－23＝12⎝
⎛⎭⎫a n －23. 故当a n ≠23时数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (2)当a 1＝76时，a 1－23＝12
. 故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n －23是首项为a 1－23＝12，公比为12的等比数列．
∴a n ＝23＋⎝⎛⎭⎫12n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝⎛⎭
⎫12n .
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13
(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；
(2)求证：数列{a n }是等比数列．
解：(1)由S 1＝13
(a 1－1)，得a 1＝13
(a 1－1)， ∴a 1＝－12
. 又S 2＝13
(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14
. (2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13
(a n －1－1)，得a n
a n －1＝－12，又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12
的等比数列． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n .
(1)求证：数列{b n }是等比数列；
(2)求数列{b n }的通项公式．
解：(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，① 得S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，②
由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)．又b n ＝a n ＋1－2a n ＝4a n －4a n －1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)＝2b n －1(n ≥2)，
∴数列{b n }是公比为2的等比数列．
(2)又a1＝1，S2＝4a1＋2＝6，即a2＋a1＝6，
∴a2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
∴b n＝3×2n－1.。