解直角三角形的应用2

驶向胜利 的彼岸
勾股定理的证明.
′
读一读
1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理的证明.
′
历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知 多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开 拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光 辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无 限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身 素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大 贡献。
b (1) c
的对应边). ∴ △ABC是直角三角形(直角三 角形意义).
b (2)
驶向胜利 的彼岸
A′
回顾反思 1 勾股定理的逆定理
几何的三种语言 几何的三种语言
B a C c A
如果三角形两边的平方和等于 第三边平方, 那么这个三角形是 直角三角形. ′
b 在△ABC中 (1) 2+BC2=AB2(已知), ∵AC ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和 等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
九年级数学（ 证明(二 九年级数学（上）第一章 证明 二)
2.直角三角形（1） 勾股定理与它的逆定理的证明
开启
智慧
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、 ，斜边为c， 如果直角三角形两直角边分别为 、b，斜边为 ， 那么a 那么 2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于 即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 斜边的平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理（ 拉斯定理（pythagoras theorem）. ）
独立作业
2
习题1.4
B1 2.房梁的一部分如图所示,其中 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多 少？B1C1呢？ 300 A 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知), C1 C ∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等
这是判定直角三角形的根据之一.
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命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的 关系?与同伴交流. 再观察下面两组命题: 如如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如如果两个角相等,那么它们是对顶角如; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 上面每组中两个命题的条件和结论 之间也有类似的关系吗?与同伴进行 驶向胜利 交流. 的彼岸
●Baidu Nhomakorabea
A12 B
●
12 30
小结
拓展
回味无穷
• 勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、 ，斜边为c， 如果直角三角形两直角边分别为 、b，斜边为 ，那么 a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 （pythagoras theorem）. ） • 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三 角形是直角三角形. • 命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一 互逆命题,其 个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题 互逆命题 中一个命题称为另一个命题的逆命题 逆命题. 逆命题 • 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一 个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一 个定理的逆定理.
独立 作业
知识的升华
P9习题1.4 1,2,3题.
祝你成功！
独立作业
1
习题1.4 A
1.如图，在△ABC中，已知 AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线 AD=12cm. 求证:AB=AC. 证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知), B C ∴ BD=5cm(等式性质). D ∴ 在△ABD中, ∵ AD2+BD2=122+52＝144+25=169, AB2=132=169, ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方 和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, 驶向胜利 ∴AC2=AB2. 的彼岸 ∴AB=AC(等式性质).
于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),
B
又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余), ∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中, 如果有一个锐
角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质). ∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中, 如果有 一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
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读一读
1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理的证明.
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学习永远是件快乐而有趣的事！ 勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！
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试一试P14 2 试一试
梦想成真
1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘 蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则 在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多 少?
a b
c
勾
弦
驶向胜利 的彼岸
股
我能行
1
勾股定理的证明
方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算
这些证法你还能记得多少? 你最喜欢哪种证法?
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回顾反思 1
总统证法
′
这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积 公式。 图中三个三角形面积的和是 2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; c b c 比较可得:c2 = a2+b2 。 a a b 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。 ． 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！
∴ AC 1 = = 164 = 2 41 (勾股定理 ). AC 2 + CC 1 = 10 2 + 8 2
2
习题1.4 A
D1 B1 D
C1
1
C B C1
A B1
D B C
A 答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 2 41 cm.
老师提示:对于空间图形需要动手 操作,将其转化为平面图形来解决.
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我能行
2
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.
B a C c A
b (1)
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我能行
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逆定理的证明
c A
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. B 求证:△ABC是直角三角形. 证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ a =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则 C A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). ∵AC2+BC2=AB2(已知), B′ A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB2=A′B′2(等式性质). a ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). C′ 0(全等三角形 ∴ ∠A=∠A′＝ 90
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智慧
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?
老师提示:对于含300角的直角三角形边 之间,角之间的关系要作为常识去认可.
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独立作业
3
3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧 棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底 面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物, 那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开, D1 连结AC1, A1 ∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
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命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题. 你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的 平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗?
想一想:一个命题是真命题,
它逆命题是真命题还是假命题?
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
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1
学无止境
P18《读一读》：
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理── 有四百多种说明！ 古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法， 不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政 治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里 德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第 二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多， 这在数学史上是十分罕见的.