2021届高考数学总复习：形如an+1=pan+qn(p、q为常数,n为正整数)求通项公式
2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d、通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解、等差数列中包含a1、d、n、a n、S n五个量、可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时、可将已知和所求都用a1、d表示、寻求两者间的联系、整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七、借问长儿多少岁、各儿岁数要详推．在这个问题中、记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n 、则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列、其公差为－3、则9a 1＋9×82×(－3)＝207、解得a 1＝35、故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量、即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n、a1＝1、a n≠0、a n a n＋1＝λS n－1、其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ、使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1、a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1、两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1、由于a n＋1≠0、所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1、a1a2＝λS1－1、可得a2＝λ－1.由(1)知、a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3、解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4、由此可得{a2n－1}是首项为1、公差为4的等差数列、a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3、公差为4的等差数列、a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1、a n＋1－a n＝2、因此存在λ＝4、使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列、则a m －1＋a m ＋1＝2a m 、则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0、解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39、则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n 、若对任意的n ∈N *、都有Sn Tn ＝2n －34n －3、则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8、∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn 、通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0、d <0时、满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0、d >0时、满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。
2021高考数学课标版文数一轮复习讲义+提能作业：第一章第一节 集合及其运算 Word版含解析
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算1.元素与集合(1)集合中元素的特性:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N⑥N*或N+⑦Z ⑧Q ⑨R2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⑩⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且∃x0∈B,x0∉A A B 或B A相等集合A,B的元素完全相同A⊆B,B⊆A A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A,⌀B(B≠⌀)⌀▶提醒(1)“⊆”与“”的区别:A⊆B⇒A=B或A B,若A⊆B和A⫋B同时成立,则A B更准确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U,则集合A的补集为∁U A图形表示{x|x∈A或意义{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}x∈B}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的性质:A∪∁U A=U;A∩∁U A=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=∁U A∩∁U B;∁U(A∩B)=∁U A∪∁U B.知识拓展1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1){x|x≤1}={t|t≤1}.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)含有n个元素的集合有(2n-1)个子集.()(4)集合{x|x=x3}用列举法表示为{-1,1}.()(5)若A∩B=A,则B⊆A.()(6)若A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合A=B.()答案(1)√(2)✕(3)✕(4)✕(5)✕(6)√2.(2019课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}答案C3.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.答案1或44.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)=.答案{x|x≤2或x≥10}5.已知集合P={2,3,4,5,6},Q={3,4,5,7},若M=P∩Q,则M的子集的个数为. 答案8集合的概念典例1(1)设a,b∈R,若{1,a+b,a}=｛0,b/a,b｝,则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B={y|6/y∈N*,y∈A}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案(1)C (2)D方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错警示要注意检验集合中元素的互异性.1-1若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=()A.92B.98C.0D.0或98答案 D 当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=9.81-2已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案-32解析因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m2+m=3时,或m=1(舍去),解得m=-32≠3符合题意.此时m+2=12所以m=-3.2集合间的基本关系典例2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则()A.B⊆AB.A=BC.A⫋BD.B⫋A(2)若集合A满足{a,b}⊆A⊆{a,b,c,d,e},则集合A的个数是()A.6B.7C.8D.9(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.(4)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(i)若B是A的子集,则实数a的取值范围是;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C (2)C (3)(-∞,3](4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1解析 (1)由x 2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B 中的元素可知A ⫋B,故选C.(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B ≠⌀,则{2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上可得,符合题意的实数m 的取值范围是(-∞,3].(4)由题意可得,A={0,-4}.(i)易知B ⊆A,∴B={0}或{-4}或⌀或{0,-4}.当B={0}或{-4}时,方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0有两个相等的实根,即[2(a+1)]2-4×(a 2-1)=0, ∴a=-1,此时B={0},满足题意.当B={0,-4}时,即x=0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根,易得a=1. 当B=⌀时,即方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0无解, 则Δ<0,即[2(a+1)]2-4(a 2-1)<0,解得a<-1. 综上可得,a ≤-1或a=1. (ii)易知A ⊆B,A={0,-4},即0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的根, ∴{a 2-1=0,a 2-8a +7=0⇒a=1. ◆探究 (变条件)若将本例(3)中的“A={x|-2≤x ≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,求实数m 的取值范围.解析 当B=⌀时,有2m-1<m+1, ∴m<2,符合题意;当B ≠⌀时,有{m +1≤2m -1,m +1>5或{m +1≤2m -1,2m -1<-2, 解得{m ≥2,m >4或{m ≥2,m <-12, 即m>4.综上可知,实数m 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).方法技巧已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观地解决这类问题. 2-1 已知集合P={1,3},则满足P ∪Q={1,2,3,4}的集合Q 的个数是( )A.1 B .2 C.3 D .4 答案 D2-2 已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x ≤a+3},若B ⊆(A ∩B),则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1]解析 因为B ⊆(A ∩B),所以B ⊆A. 当B=⌀时,满足B ⊆A,此时-a ≥a+3,即a ≤-32; 当B ≠⌀时,要使B ⊆A,则{-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1.综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].2-3 已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},若B 是A 的子集,则实数a 的取值集合为 . 答案 {0,1,-1}集合的基本运算典例3 (1)已知集合M={x|x -2x -3<0},N={x|2x -5x -2≤0},则M ∩N=( )A.[52,3) B .(2,52] C.[2,52] D.(52,3)(2)设全集U=R ,集合A={x|x 2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}(3)已知集合A={x|y=2≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)答案(1)B (2)D (3)C],解析(1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=(2,52].所以M∩N=(2,52(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞),所以A∪B=(-1,+∞),所以∁U(A∪B)=(-∞,-1],所以选D.方法技巧(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.3-1若集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}.若U=R,A∩∁U B=A,则实数m的取值范围是.答案 (-∞,3]解析 易知A={x|-4<x<2}.由A ∩∁U B=A,得A ⊆∁U B, 则A ∩B=⌀,由数轴得5-m ≥2m-1或{2m -1≤-4,5-m <2m -1或{5-m ≥2,5-m <2m -1,解得m ≤3.集合中的新定义问题典例4 (1)定义集合的商集运算为AB ={x|x =m n,m ∈A,n ∈B},已知集合A={2,4,6},B={x|x =k2-1,k ∈A},则集合BA ∪B 中的元素的个数为( ) A.6 B .7 C.8 D .9(2)设A,B 是两个非空集合,定义集合A-B={x|x ∈A,且x ∉B}.若A={x ∈N |0≤x ≤5},B={x|x 2-7x+10<0},则A-B=( )A.{0,1} B .{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,5} 答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意知,B={0,1,2}, 则BA ={0,12,14,16,1,13}, 则BA ∪B={0,12,14,16,1,13,2}, 共有7个元素.故选B.(2)∵A={x ∈N |0≤x ≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x 2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x ∈A,且x ∉B}, ∴A-B={0,1,2,5}.故选D. 方法技巧解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.4-1设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.1.(2019课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案A},B={x||x|<2},则A∩B=()2.已知集合A={x|y=√x+1A.(-1,2)B.(0,2)C.(-2,0)D.(-2,-1)答案A的定义域为B,则A∩B=()3.设函数y=2A,函数y=√1-xA.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D4.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B5.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是()A.B⊆AB.B⊇AC.B∈AD.A∈B答案 A 因为A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x>52}.在数轴上表示出集合A与集合B,如图所示,可知,B⊆A.6.已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()A.{1,2}B.{-2,-1,1,2}C.{1}D.{0,1,2}答案D7.集合A={1,2,3,4},B={x|(x-1)(x-a)<0},若集合A∩B={2,3},则实数a的范围是()A.3<a<4B.3<a≤4C.3≤a<4D.a>3答案B8.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C9.设集合M={x|-12<x<12},N={x|x2≤x},则M∩N=.答案[0,12)10.若{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m=.答案111.已知a∈R,b∈R,若{a,ln(b+1),1}={a2,a+b,0},则a2020+b2020=. 答案1解析 由已知得a ≠0,所以ln(b+1)=0,所以b=0,于是a 2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a 2020+b 2020=1.12.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-1,12,1},B={x|ax 2=1,a ≥0},若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”,则a 的取值集合为 . 答案 {0,1,4}解析 当a=0时,B 为空集,满足B ⊆A,此时A 与B 构成“全食”;当a>0时,B={√a ,-√a },由题意知√a =1或√a =12,解得a=1或a=4,经检验,均符合要求.故a 的取值集合为{0,1,4}.13.已知集合A={x|1≤x ≤2},B={x|m ≤x ≤m+3}.(1)当m=2时,求A ∪B;(2)若A ⊆B,求实数m 的取值范围.解析 (1)当m=2时,B={x|2≤x ≤5},∴A ∪B={x|1≤x ≤2}∪{x|2≤x ≤5}={x|1≤x ≤5}.(2)∵A ⊆B,∴{m ≤1,m +3≥2,解得-1≤m ≤1,∴实数m 的取值范围是[-1,1].14.已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A,求实数a 的值.解析 依题意得A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}.因为A ∪B=A,所以B ⊆A,所以集合B 可以为{1,2},{1},{2}或⌀.当B={1}时,有{Δ=a 2-4(a -1)=0,1-a +a -1=0,所以a=2,与题意相符;当B={2}时,有{Δ=a2-4(a-1)=0,22-2a+a-1=0,无解;当B=⌀,即方程x2-ax+a-1=0无实数根时,Δ=a2-4(a-1)<0=(a-2)2<0,无解;当B={1,2}时,有{Δ>0,a-1=1×2,a=1+2,所以a=3,与题意相符.综上,a=2或a=3.。
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
2021年高考数学一轮复习等比数列知识点知识点总结
2021年高考数学一轮复习等比数列知识点知识点总结
高考是高中最重要的时期，为了备战高考，为大家带来了等比数列知识点，希望能帮助大家复习本门课程，只有找到适合自己的复习方法，在复习中才会事半功倍!
(1)定义式：
(5)等比中项：
若
为
或者
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：
{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+ (3)
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
性质
(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am_an=ap_aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则”G =ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则
{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1 ，q1 …
{can}，c是常数，{an_bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
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2021版高考文科数学一轮复习第一章 第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N＋和N*的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.二、教材衍化1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.2．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．解析：由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)．答案：64一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若A B，则A⊆B且A≠B.()(4)N＋N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)忽视集合的互异性致错；(2)集合运算中端点取值致错；(3)忘记空集的情况导致出错．1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁U A＝________．解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁U A＝{－1}．答案：{－1}2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________.解析：由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x>2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1集合的基本概念(师生共研)(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)D (2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______． 【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】 (1)D (2)(－∞，1][提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－5<x<5}＝R.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A.法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N＋}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D.由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝()A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【解析】(1)依题意得∁U A＝{1，6，7}，故B∩∁U A＝{6，7}．故选C.(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D.【答案】(1)C(2)D集合基本运算的求解策略角度二利用集合的运算求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)D(2)D根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D.通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D.优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}解析：选B.阴影部分对应的集合为A∩∁R B，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁R B＝{x|－1<x<1}，则A∩∁R B＝{0}，故选B.3．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D.因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.4．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)解析：选A.由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x ≥1}，所以M ∩(∁U N )＝{x |x ≤0}≠∅，M ∪N ＝{x |x <1}＝M ，M ⃘(∁U N )，故选A.核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. 【答案】 B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去． 当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}， 所以A ∩B ＝{0，6}． 答案：{0，6}2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[基础题组练]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]解析：选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以∁U A＝{x|－1≤x≤1}，故选D.2．(2020·陕西西安模拟)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.因为B＝{x|－10<x<10}，所以A∩B＝{x∈Z|4<x<10}＝{5，6，7，8，9}．所以A∩B的元素个数为5，故选C.3．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为() A．1 B．2C．4 D．8解析：选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1)B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.5．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则A ∩B ＝______，∁U A ＝______．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，所以A ∩B ＝{3}，则∁U A ＝{2，5}．答案：{3} {2，5}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}7．已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，则a 的值是________．解析：因为集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，所以a ＝5.答案：58．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)当B ⊆∁R A 时，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m ，解得m ≤－12； 当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)．[综合题组练]1．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ＝∁R ND ．∁R N ⃘M解析：选C.由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，M ＝∁R N .故C 正确，A ，B ，D 错误．2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D.因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.3．(2020·江西九江模拟)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.由集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，可得M ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，∁U N ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2.要使M ∩(∁U N )＝∅，则－a 2≤－12，解得a ≥1，故选B. 4．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]。
2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.nB.n ＋12C.2n －1D.3n －12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析 由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析 等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1＞0，∴a 5＞0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一 等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8＝a 8＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.∴d ＝a 8－a 48－4＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a5.(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0，a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ， 又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以S n ＝n a 1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1， 代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2， 整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 法一 设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二 易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三 设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0， 解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四 设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0， 又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A.2 023B.－2 023C.4 046D.－4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9，∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′， 则S 2 020 2 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，把a 1＝1代入求得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.∴S n ＋10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7，∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2，由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，所以a 10＝14＋14×9＝52.3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝() A.－3 B.3 C.－13 D.13答案 A解析 数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0， 且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析 在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案 84解析 将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ， 假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列. 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ， 得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，∴数列{S n ＋kn }为等差数列.故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2－2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝______；a 2n ＋143n 的最小值为________.答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列.当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11，得公差d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44， 当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5， 解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4， 当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；当n ≥3时，T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.∵T n ≥1 464，∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100，3∴n的最小值为34.。
2021届高考数学总复习：形如an+1=pan+q(p、q为常数)求通项公式
2021届高考数学总复习：形如a n＋1＝pa n＋q(p、q为常数)求通项公式
【例】已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，则数列{a n}的通项公式为________。
解析因为a n＋1＝3a n＋2，所以a n＋1＋1＝3(a n＋1)，所以a n＋1＋1
a n＋1
＝3，所以数列{a n＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以a n＋1＝2·3n－1，所以a n＝2·3n－1－1(n∈N*)。
答案a n＝2·3n－1－1(n∈N*)
以a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0)的方式给出的递推数列问题均可使用本典例的方法求得其通项公式，过程为：设a n＋1＋λ＝p(a n
＋λ)，则a n＋1＝pa n＋(p－1)λ，比较得λ＝
q
p－1
，即数列
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a n＋
q
p－1
是首项为a1＋
q
p－1
，公比为p的等比数列，求出该数列通项公式即可求出
原数列的通项公式。
【变式训练】已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝4a n＋6，则数列{a n}的通项公式为a n＝________。
解析设a n＋1＋λ＝4(a n＋λ)，即a n＋1＝4a n＋3λ，与已知比较可得λ＝2，所以a n＋1＝4a n＋6可以转化为a n＋1＋2＝4(a n＋2)，又a1＋2＝4，故数列{a n＋2}是首项为4，公比为4的等比数列，所
以a n＋2＝4n，所以a n＝4n－2。
答案4n－2。
2021年高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念及运算 文(含解析)
2021年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念及运算文（含解析）1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系意义符号表示属于集合是集合的元素不属于集合不是集合的元素③集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．④常用数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示2．集合间的基本关系①子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B．②真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B．③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.集合的基本运算4．集合A元素的个数为n则①A的子集个数为．②A的真子集个数为．5. 集合的运算及性质，．【例1】（xx延庆一模）已知集合，，，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】∵，∴，∴或．若，则，满足．若，解得或．若，则，满足．若，显然不成立，综上：或．【变式】（xx黑龙江质检）设集合，,则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴．【例2】(xx惠州调研）已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】(1)若时，得，满足；（2）若时，得．，∴或，解得，或．故所求实数的值为，或，或．【变式】已知集合，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．（1）当时，则，解得．（2）当时，则，解得．∴实数的取值范围是．【例3】（xx揭阳一模）已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，，∴．【变式】（xx 山东高考）已知集合、均为全集的子集，且，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵，∴且，∵，∴，，∴，或，或，或，∴，．【例4】(xx 珠海一模）设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合，（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】()[()]()()U U U X Y Z X Y Z X Y Z ⊕⊕=⊕=．【变式】设、为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】∵，，，∴当时，的值为1,2,6；当时，的值为3,4,8；当时，的值为6,7,11，∴，∴中有8个元素．第1课 集合的概念及运算的课后作业1．（xx 福建高考）若集合，则的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C【解析】∵，∴的子集为．2．（xx 惠州调研）已知集合，,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，故．3．（xx 全国高考）设集合则中的元素个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，有4个元素．4．(xx 中山质检）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）AB ．C ．D ． ．5.(xx·惠州一模)若集合 ， ，则A∩B＝( )A ．－1B ．{－1}C ．{－1,5}D ．{1，－1}【答案】B【解析】由集合A 中的方程，解得： 或，所以集合 ，由集合B 中的方程，解得： 或，所以集合 ，则 ．故选B.6. (xx·新课标全国卷Ⅰ)已知集合 ，，则 ( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【答案】A【解析】因为，所以 .所以 ．所以，故选A.7．(xx·梅州二模)已知集合 ，集合，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( )A ．{0,1,3}B ．{1,2,4}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【解析】因为，集合 ，且A∩B＝{1}，所以，解得： 或 ，当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ，此时，所以 ，集合 ，则 ．故选C.8．若全集 ，集合 ，则 ________.【答案】{x|0＜x<1}9．(xx·上海卷)若集合 ， ，则A∩B＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1 【解析】解得集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12，集合B ＝{x|－1＜x ＜1}，求得A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1. 10．(xx·河南调研)设全集 ， ，， ，则集合 的所有子集是________________．【答案】 、{1}、{2}、{1,2}【解析】因为，所以 ，所以|a ＋1|＝3，且 ，解得 或 .所以 ．11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x∈R ， ，若 ，求实数m 的值． 【解析】由6x ＋1＞1，得x －5x ＋1≤0，所以－1＜x≤5，即A ＝{x|－1＜x≤5}， 又A∩B＝{x|－1＜x ＜4}，所以4是方程 的根，于是，解得m＝8.此时，符合题意，故实数m的值为8.12．设全集，已知集合，．(1)求；(2)记集合，已知集合，若B∪A＝A，求实数的取值范围．【解析】(1)∵，，∴，．(2) ，∵，，∴或，当时，，∴；当时，，解得从而，综上所述，所求的取值范围为．t30464 7700 眀28956 711C 焜 28147 6DF3 淳L-23767 5CD7 峗25830 64E6 擦,ugt。
高三年级数学必修一复习知识点
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备战高考数学复习考点知识与题型讲解44---等差数列
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第44讲等差数列考向预测核心素养等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，中等难度.数学抽象、逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．等差数列的概念(1)定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a 与b的等差中项且a＋b＝2A．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋a n）2．3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d 是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.常用结论1．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若p ＋q ＝s ＋t ，则a p ＋a q ＝a s ＋a t .特别地，若p ＋q ＝2m ，则2a m ＝a p ＋a q (p ，q ，s ，t ，m ∈N *)．(3)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (4)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(5)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 成等差数列；数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n. 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 15练习T 4改编)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 10＝( )A ．18 B.16 C.20D.17解析：选A.因为a 4＋a 8＝2a 6＝20，所以a 6＝10.又a 7＝12，所以d ＝2，所以a 10＝a 7＋3d ＝12＋6＝18.2．(人A 选择性必修第二册P 21例6改编)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________．解析：由已知可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝6.所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126. 答案：1263．(人A 选择性必修第二册P 24练习T 3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为S n，则当n＝________时，S n取得最小值．解析：由已知得，a1＝－4.2，d＝0.5，所以a9＝a1＋8d＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n＝9时，S n取得最小值．答案：9一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．( )(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.( )(4)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )6A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：选ABD.S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5.由a7＝0，a6＞0知S6，S7均是S n中的最大值．从而ABD均正确．2．(忽视相邻项的符号致误)首项为30的等差数列{a n}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎨⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－307考点一 等差数列基本量的运算(综合研析)[学生用书P152]复习指导：探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(链接常用结论1)(2021·新高考卷Ⅱ)记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n ＞a n 成立的n 的最小值．【解】 (1)由等差数列的性质可得S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3，所以a 3＝0， 设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝(a 3－d )(a 3＋d )＝－d 2，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 3－2d )＋(a 3－d )＋a 3＋(a 3＋d )＝－2d ， 从而－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2， 数列的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －6.(2)由数列的通项公式可得a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×(－4)＋n （n －1）2×2＝n 2－5n ，则不等式S n ＞a n 即n 2－5n ＞2n －6，整理可得(n －1)·(n －6)＞0， 解得n ＜1或n ＞6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．|跟踪训练|1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B.54 C.45 D.－45解析：选C.因为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45.2．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2. 因为a 1＝－2，所以d ＝1. 所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 答案：25考点二 等差数列的判定和证明(综合研析)复习指导：判定一个数列是否为等差数列，可以根据数列的定义，也可以利用等差中项、等差数列的通项公式、前n 项和公式等．(链接常用结论1)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列． 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. 所以S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，则d 为常数， 所以数列{S n ＋kn }为等差数列．故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列．(1)等差数列的判定与证明的常用方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．②等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．③通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ④前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔{a n }为等差数列．(2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题，体现了逻辑推理的核心素养．[提醒] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n ∈N *都满足．|跟踪训练|(2021·高考全国卷乙)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n ＋1bn＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为b n是数列{S n}的前n项积，所以当n≥2时，S n＝bnbn－1，代入2Sn＋1bn＝2可得，2b n－1bn＋1bn＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2)．又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)可知，b n＝n＋22，则2Sn＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝32，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用(多维探究)复习指导：了解等差数列与一次函数的关系，并能用等差数列的有关知识解决相应问题．角度1 等差数列项的性质(1)在公差不为0的等差数列{a n}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝( )A．－1 B.0C.1D.2(2)(2020·高考北京卷)在等差数列{a n}中，a1＝－9，a5＝－1.记T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)，则数列{T n}( )A．有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【解析】(1)由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a 5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1.(2)设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝－9，a5＝－1，所以a5＝－9＋4d＝－1，所以d＝2，所以a n＝－9＋(n－1)×2＝2n－11.令a n＝2n－11≤0，则n≤5.5，所以n≤5时，a n<0；n≥6时，a n>0.所以T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，当n≥6时，a n>0，且a n≥1，所以T n＋1<T n<0，所以T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项．【答案】(1)C (2)B角度2 等差数列和的性质中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )A ．71 B.72 C.89D.90【解析】 设这些老人的年龄形成数列{}a n ，设最年长者的年龄为a 1， 则由题可知数列{}a n 是公差为－1的等差数列，且S 19＝1 520， 则S 19＝19a 1＋19×182×()－1＝1 520，解得a 1＝89.故选C. 【答案】 C角度3 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11.则当n 为多少时，S n最大？【解】 方法一：设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二：易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知A ＝－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值． (3)项的符号法(邻项变号法)：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .|跟踪训练|1．(多选)(2022·济宁邹城期中)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差为d ，若S 9＝a 5＋a 12，a 1>0，则以下结论一定正确的是( )A ．d <0 B.S 2＝S 5C ．|a 1|>|a 9|D.S n 取得最大值时，n ＝3解析：选AB.因为数列{a n }是等差数列， 所以S 9＝a 5＋a 12⇒9a 1＋36d ＝2a 1＋15d ⇒a 1＝－3d . 对于A ：因为a 1>0，所以d <0，故A 对．对于B ：S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝－5d ，S 5＝－5d ，故B 对． 对于C: |a 9|＝|a 1＋8d |＝53|a 1|，因此|a 1|<|a 9|，故C 错误．对于D ：S n ＝d2n 2－7d 2n ，当n ＝72时S n 取到最大值，因为n ∈N *，所以n ＝3或4，故D错误．2．(链接常用结论1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023＝( )A ．2 023 B.－2 023 C ．4 046 D.－4 046解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，所以d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，所以S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，所以S 2 023＝2 023×2＝4 046.3．(2022·广东韶关一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________，若a 7＜0，则使得不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝________．解析：根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝6(a 6＋a 7)＝6； 若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13. 答案：6 134．(链接常用结论2)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9的值为________．解析：a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8， 又a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943.答案：2943[A 基础达标]1．(2022·新高考模拟)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C.2D.－12解析：选A.由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，且1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．－5B.－15C.5D.15 解析：选D.因为1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N*)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，又因为a 1＝2，a 2＝1，所以1a 1＝12，1a 2－1a 1＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列，所以1a n ＝n 2，a n ＝2n ，所以a 10＝15.故选D.3．两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正整数的n 的个数是( )A ．5 B.4 C.3D.2解析：选A.因为a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＋1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，a nb n为正整数．故选A.4．若等差数列{a n }首项为2，公差为2，其前n 项和记为S n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为( )A.2nn ＋1 B.n n ＋1C.1n （n ＋1）D.n 2（n ＋1）解析：选B.由题意得S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)，所以1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(多选)已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3＝S 6，则以下结论正确的是( )A ．a 10＝0 B.S 10最小 C ．S 7＝S 12D.S 19＝0解析：选ACD.因为2a 1＋3a 3＝S 6，所以2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ， 所以a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，A 正确； 当d ＜0时，S n 没有最小值，B 错误；S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0， 所以S 12＝S 7，C 正确；S 19＝（a 1＋a 19）×192＝19a 10＝0，D 正确．故选ACD.6．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.优解：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 4＋a 7)＝100.答案：1007．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 11，则S n 取最大值时n 的值是________． 解析：设S n ＝An 2＋Bn .由a 1＞0，S 4＝S 11可知，d ＜0，则d2＝A ＜0.易知{S n }是y ＝Ax 2＋Bx 图象上一系列孤立的点的纵坐标，y ＝Ax 2＋Bx 的图象开口向下，对称轴是直线x ＝4＋112＝152.故S n 取最大值时n 的值是7或8. 答案：7或88．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则a n＝________．解析：因为S n －S n －1＝1，所以{S n }为等差数列， 又S 1＝a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －19．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0， 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4， 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由题意得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．(2021·新高考卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．解：(1)因为b n ＝a 2n ，且a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5.因为b n ＝a 2n ，所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3， 所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，n ∈N *. (2)因为a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时，a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1，即a 2k ＝a 2k －1＋1 ①，a 2k ＋1＝a 2k ＋2 ②，a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1，即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1 ③， 所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3，即a 2k ＋1－a 2k －1＝3，所以数列{a n }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3，即a 2k ＋2－a 2k ＝3，又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300. [B 综合应用]11．(多选)设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200解析：选ABD.由题意得(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.A ．a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 选项正确；B ．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 选项正确；C.1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立， 所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误；D ．结合A 的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 选项正确．12．(多选)(2022·石家庄二中一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( )A ．a n ＝－12n －1B ．a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 050解析：选BCD.由题意得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 整理得1S n ＋1－1S n＝－1(常数)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合通项公式)， 故a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误； 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D 正确．13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为________．解析：因为所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列．如图：由图可得⎩⎨⎧y －36＝12x －107＝y ，解得⎩⎨⎧x ＝155y ＝48.答案：15514．(2022·河北桃城衡水中学检测)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n＝________；a 2n ＋143n的最小值为________． 解析：因为na n －(n －1)a n ＋1＝1， 所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1， 两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0， 所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列．当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11得公差d ＝2， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n－4＝44，当且仅当4n ＝144n，即n ＝6时等号成立．答案：2n －1 44[C 素养提升]15．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？ 解：(1)由题意得a n －a n －1＝4(n ＞1，n ∈N *)， 即数列{a n }是公差d ＝4的等差数列， 所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0，解得n ≥254， 所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．16．(2022·青岛高三模拟)已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①a 1＝2，②a 1＝1，③a 1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝(－1)n＋1a2n，求数列{b n}的前n项和T n.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝2放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．若选择条件②，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝1，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝1，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，当放在第一行第二列时，由题意知，可能的组合有a1＝1，a2＝9，a3＝12，不是等差数列，a1＝1，a2＝4，a3＝7，是等差数列，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝3放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．综上可知，a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2nn＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3＋a4)(a3－a4)＋…＋(a n－1＋a n)(a n－1－a n)＝－3(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝－3×n （1＋3n －2）2＝－92n 2＋32n ；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－92(n －1)2＋32(n －1)＋(3n －2)2＝92n 2－32n －2，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－92n 2＋32n ，n ＝2k ，k ∈N *，92n 2－32n －2，n ＝2k －1，k ∈N *.。
高三文科数学必修一知识点
高三文科数学必修一知识点数列是数学中的一个重要概念，是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的集合。
在高三文科数学必修一课程中，数列是一个重要的知识点，它包括等差数列、等比数列和通项公式等内容。
下面将详细介绍这些知识点及其应用。
一、等差数列等差数列是指一个数列中每个数之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，数列中的第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d。
在等差数列中，有一些重要的性质和公式：1. 求等差数列的前n项和：Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
2. 求等差数列的项数：n = (an - a₁)/d + 1。
3. 求等差数列的末项：an = a₁ + (n-1)d。
4. 求等差数列的公差：d = (an - a₁)/(n-1)。
5. 求等差数列的首项：a₁ = an - (n-1)d。
等差数列的应用非常广泛，例如在数学或物理问题中，可以通过等差数列来建立模型，解决实际问题。
二、等比数列等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，数列中的第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)。
在等比数列中，同样有一些重要的性质和公式：1. 求等比数列的前n项和（当公比q不等于1时）：Sn = a₁(1-q^n)/(1-q)。
2. 求等比数列的前n项和（当公比q等于1时）：Sn = na₁。
3. 求等比数列的无穷项和（当公比q的绝对值小于1时）：S∞ = a₁/(1-q)。
4. 求等比数列的前n项和（当公比q的绝对值大于1时）：Sn = a₁(q^n-1)/(q-1)。
等比数列同样具有广泛的应用，例如在金融领域中，可以通过等比数列来计算复利的利息等。
三、通项公式通项公式是指可以通过一个整数n来表示数列中的第n项的公式。
对于等差数列和等比数列来说，它们的通项公式分别为an = a₁ + (n-1)d和an = a₁ * q^(n-1)。
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)
故 不成立，故A错误.（或者易得 在上底面的射影为 ，故 不成立）
对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
【解析】： ，即 .故选：C.
8. 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（）
A. B. C. D.
【思路分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【解析】：因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝 概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%
5. 正四棱台 上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
A. B. C. D.
6. 某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（）
A. 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于10 概率为0.5
【解析】：对于A选项， ， ，
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
联结词、全称量词与存在量词1．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．答案：D2．已知命题p1：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0，以下命题为真命题的是( )A．(綈p1)∧(綈p2) B.p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2 D.p1∧p2解析：∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．答案：C3．命题p ：若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题 B.“p 或q ”是假命题 C ．綈p 为假命题 D.綈q 为假命题 解析：∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角， ∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题．答案：B4．[xx ·河北衡水中学期中]设命题p ：函数y ＝1x在定义域上为减函数；命题q ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3，以下说法正确的是( )A ．p ∨q 为真 B.p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D.p ，q 均假解析：y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在定义域上不是减函数，所以命题p 假；1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b ＝3不成立，即命题q 假，故选D.答案：D5．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )A．a＝1或a≤－2 B.a≤－2或1≤a≤2C．a≥1 D.－2≤a≤1解析：若命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题，所以a＝1或a≤－2.答案：A6．已知命题p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p ∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2 B.m≤－2C．m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2解析：若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.答案：A7．已知命题：p：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；1p：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数；2则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )A．q1，q3 B.q2，q3C．q1，q4 D.q2，q4解析：∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R 上是增函数，p1为真，p2为假，故q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：(綈p1)∨p为假，q4：p1∧(綈p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.2答案：C8．已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________(用区间表示)．解析：若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解．由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.答案：(－∞，1]9．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1＜x ＜2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是__________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④10．已知命题p ：复数a ＋i1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)·x ＋1与x 轴没有交点．若“p ∨q ”为真，求实数a 的取值范围．解析：若命题p 为真，由a ＋i 1＋i＝a ＋i1－i2＝a ＋1＋1－a i2在复平面上对应的点在第二象限得⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，故a ＜－1.若命题q 为真，则(2a－3)2－4＜0，即12＜a ＜52.又“p ∨q ”为真，则p ，q 至少有一个为真，故a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.B 级 能力提升练11．下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点解析：对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m－1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案：B12．设有两个命题p ：不等式e x 4＋1e x ＞a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．1≤a ＜2B.2＜a ≤73C ．2≤a ＜73D.1＜a ≤2解析：记A ＝{a |不等式e x4＋1ex ＞a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}． 由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a ＜1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数， 故7－3a ＞1，即a ＜2，所以B ＝{a |a ＜2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁RB )∩A ]，而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (∁R B )]∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅， 因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A. 答案：A13．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．解析：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1. ∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1， ∴綈q ：c ＞12且c ≠1.又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩{c |c ＞12，且c ≠1}＝{c |12＜c ＜1}；②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩{c |0＜c ≤12}＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是{c |12＜c ＜1}．14．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，1＜x ＜3. 由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎨⎧ －2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3.所以q 为真时，2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3⇔2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x ＞3}， 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．X/21271 5317 北36899 9023 連n35475 8A93 誓33773 83ED 菭z26267 669B 暛 U31903 7C9F 粟22526 57FE 埾。
浙江省2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第1节等差数列与等比数列含解析
第1节 等差数列与等比数列考试要求 1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. (2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 2.等差数列的通项公式及求和公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d ，其前n 项和是S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）2d .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 特别地，当k ＋l ＝2m (k ，l ，m ∈N *)时，则a k ＋a l ＝2a m .(3)若{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (4)若等差数列{a n }的前n 项为S n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列.4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ≠0时，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数；当d ＝0时，等差数列的通项公式是常数函数.(2)求和公式：S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为0；当d ＝0时，等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1. 5.等比数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.6.等比数列的通项公式及求和公式如果等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，那么它的通项公式是a n ＝a 1·qn －1，其前n 项和是S n ，则(1)当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q 或S n ＝a 1－a n q1－q.7.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . 特别地，当k ＋l ＝2m (k ，l ，m ∈N *)时，则a k ·a l ＝a 2m .(3)若{a n }为等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等比数列，公比为q n(当公比q ＝－1，n 不能取正偶数). [常用结论与易错提醒]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.3.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.4.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (2)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (2)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.(3)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1D.6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B3.已知公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10D.11解析 由题意得2a 5a 6＝18，∴a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10，故选C. 答案 C4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n解析 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .故选A.答案 A5.(2020·浙江“超级全能生”联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为________里，后三天一共走________里.解析 由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为12的等比数列，设第一天走x 里，则x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得x ＝192，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋192×⎝⎛⎭⎪⎫124＋192×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝42(里). 答案 192 426.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________.解析 设首项为a 1，公差为d ，∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ≤0，则n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正. ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案 0 －10考点一 等差、等比数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12(2)(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1.∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 法二 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d .∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.(2)由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13（1－35）1－3＝1213.答案 (1)B (2)1213规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ；等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n .已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)等差数列的基本量为a 1，d ；等比数列的基本量为a 1，q .在运算过程中，常用基本量去表示未知量和已知量.【训练1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.(2)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A.16 B.8 C.4D.2解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 答案 (1)4 (2)C考点二 等差、等比数列的性质【例2】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，对n ∈N *且n >4时有S 8＝20，S 2n －1－S 2n －9＝116，则a n ＝( ) A.6 B.172C.39D.78(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2 B.73 C.83D.3解析 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a 8＝20，且S 2n －1－S 2n －9＝a 2n －8＋a 2n －7＋…＋a 2n －1＝116，故知a 1＋a 2n －1＝20＋1168＝17＝2a n ，所以a n ＝172.(2)法一 由等比数列的性质及题意得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)B规律方法 利用等差、等比数列的性质可简化运算.【训练2】 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.(2)(一题多解)(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________.解析 (1)由等比数列性质得a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.(2)法一 由S 9＝27⇒9（a 1＋a 9）2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.法二 同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16.答案 (1)8 (2)16考点三 等差、等比数列的判定与证明【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列.由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.规律方法 (1)等差数列的四种判断方法：①定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. ②等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. ③通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .④前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断. (2)判断、证明等比数列一般用定义式和等比中项，即用a n ＋1a n＝q (q 为不等于0的常数，n ∈N *)，a 2n ＋1＝a n a n ＋2(数列{a n }各项均不为零).【训练3】 (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式.解 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点四 等差数列最值问题【例4】 (1)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列16，14，12，…的前n 项和为S n ，且S n >0，则n 的最大值为________. 解析 (1)法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大.法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大. (2)等差数列的首项为a 1＝16，公差d ＝－2，S n ＝16n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋17n ，由S n >0，即－n 2＋17n >0，解得0<n <17，又n ∈N *， ∴n 的最大值为16. 答案 (1)C (2)16规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，若A ≠0，可看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练4】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A.9 B.10 C.11D.12(2)已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若S n 存在最大值，则在S 1，S 22，S 33，…，S 20182 018中最大的数是( )A.S 1B.S 20142 014C.S 20182 018D.无法确定解析 (1)由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大.(2)由题意可知数列{a n }是等差数列，且前n 项和S n 存在最大值，∴公差d <0，S n n ＝d 2n ＋a 1－d2在定义域上是单调递减函数，∴S 1最大. 答案 (1)B (2)A基础巩固题组一、选择题1.(2020·温州适应性测试)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 4＝a 4＋3，则a 2＝( ) A.－2 B.－1 C.1D.2解析 因为数列{a n }为等差数列，所以S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4＋3，则a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，解得a 2＝1，故选C. 答案 C2.(2020·嘉兴测试)已知等比数列{a n }的各项均为正，且5a 3，a 2，3a 4成等差数列，则数列{a n }的公比是( ) A.12 B.2 C.13D. 3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵{a n }为各项均为正数的等比数列，5a 3，a 2，3a 4成等差数列，∴2a 2＝5a 3＋3a 4，∴3q 2＋5q －2＝0，∵q ＞0，∴q ＝13，故选C.答案 C3.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f解析 由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率f 为首项，122为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为f ·(122)7＝1227f ，故选D. 答案 D4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A.13 B.12 C.11D.10解析 因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60， 所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ·602＝390，即n ＝13.答案 A5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( ) A.150 B.－200 C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，且S 30＝70.S 40＝150.故选A.答案 A6.数列{x n }满足x n ＋1＝x n －f （x n ）f ′（x n ），我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点α，β，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －αx n －β，已知a 1＝1，x n ＞max{α，β}，{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 020＋1＝( )A.2 019B.2 020C.22 019 D.22 020解析 ∵α，β是f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点，∴f (x )＝a (x －α)(x －β)＝a [x 2－(α＋β)x ＋αβ]，f ′(x )＝a (2x －α－β)，x n ＋1＝x n －a [（x 2n －（α＋β）x n ＋αβ]a （2x n －α－β）＝x 2n －αβ2x n －α－β，x n ＋1－αx n ＋1－β＝x 2n －αβ2x n －α－β－αx 2n －αβ2x n －α－β－β＝（x n －α）2（x n －β）2，故a n ＋1＝lnx n ＋1－αx n ＋1－β＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －αx n －β2＝2ln x n －αx n －β＝2a n，因此{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即a n ＝2n －1，所以S 2 020＋1＝1－22 0201－2＋1＝22 020，故选D.答案 D 二、填空题7.(2018·上海卷)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________. 解析 a 6＋a 7＝2a 1＋11d ＝14，a 3＝a 1＋2d ＝0，∴d ＝2，a 4＝2，S 7＝7a 4＝14. 答案 148.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝7，设其前n 项和为S n ，且S 4＝S 6，则其公差d ＝________，其前n 项和为S n 取得最大值时n ＝________.解析 由S 4＝S 6，知a 5＋a 6＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝92，d ＝－1，所以a n ＝92＋(n －1)×(－1)＝112－n .由112－n ≥0，得n ≤112，又n ∈N *，所以当n ＝5时，S n 取得最大值.答案 －1 59.设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 6410.(2020·嘉、丽、衢模拟)如图，将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形，第一次挖去中间的1个小三角形，将剩下的3个小正方三角形，分别再从中间挖去1个小三角形，保留它们的边，重复操作以上的做法，得到的集合为希尔宾斯基三角形.设A n 是前n 次挖去的小三角形面积之和(如A 1是第1次挖去的中间小三角形面积，A 2是前2次挖去的4个小三角形面积之和)，则A 2＝________，A n ＝________.解析 由图易得每次挖去三角形后，后一个图形中剩余的三角形的个数是前一个图形中剩余的三角形的个数的3倍，后一个图形中每个小三角形的边长是前一个图形中每个小三角形的边长的12，所以第n 个图形中三角形的个数为3n个，边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，则第n 个图形中剩余的三角形的面积为34⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，则挖去的三角形的面积为A n ＝34－34⎝ ⎛⎭⎪⎫34n＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，则A 2＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝7364. 答案 7364 34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n三、解答题11.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.12.(2018·北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e a 1＝eln 2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列. 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2n ＋1－2.能力提升题组13.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d >0，dS 4>0 B.a 1d <0，dS 4<0 C.a 1d >0，dS 4<0D.a 1d <0，dS 4>0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d＝－53d 2<0(d ≠0)，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23<0，故选B.答案 B14.如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n ＋1|长度的一半，即S n ＝12h n |B n B n ＋1|，由题目中条件可知|B n B n ＋1|的长度为定值，过A 1作垂线得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和相应两个垂足构成直角梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |sin θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |sin θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|sin θ)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|sin θ为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A15.(2020·浙江新高考仿真卷四)已知等差数列{a n }满足：a 4＞0，a 5＜0，数列的前n 项和为S n ，则S 5S 4的取值范围是________.解析 因为在等差数列{a n }中，a 4＞0，a 5＜0，所以等差数列{a n }的公差d ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＞0，a 5＝a 1＋4d ＜0，解得－3d ＜a 1＜－4d ，所以S 5S 4＝5a 1＋10d 4a 1＋6d ＝54＋52d 4a 1＋6d ＝54＋524a 1d＋6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫56，1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，1 16.已知等比数列{a n }的前n项和S n ＝3n＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n （n ＋4）⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.解析 由{a n }为等比数列，S n ＝3n ＋r ，得S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)，所以a n ＝2×3n －1，又a 1＝2×30＝3＋r ，则r ＝－1，则a 3－r ＝2×32＋1＝19；令b n ＝n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b k ≥b k －1，b k ≥b k ＋1，∴k ∈[10，10＋1]，∵k ∈N *，∴k ＝4.答案 19 417.(2020·金华十校期末调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *). (1)求通项公式a n ；(2)记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，求证：32－12n ≤T n ＜2.(1)解 ∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋1. ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1， 即a n ＋1－a n ＝a n ，∴a n ＋1＝2a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），2n －1（n ≥2），即a n ＝2n －1.(2)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＝2n－1， ∴当n ≥2时，12n ＜1S n ＜12n －1，∴T n ＞1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝32－12n ，T n ＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝2－12n －1＜2，又当n ＝1时，T 1＝1＜2，32－12＝1＝T 1，故32－12n ≤T n ＜2. 18.(2020·嘉兴测试)在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·a n ＋1，n ∈N *. (1)求a n 和S n ；(2)若n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值. 解 (1)因为a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2， 所以{a n }是等差数列， 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)因为a n ＝2n －1，所以3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·(2n －1)＋1，当n ≥2时，3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n －1)b n －1＋(2n ＋1)b n ＝2n·(2n －1)＋1， ① 3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n －1)b n －1＝2n －1·(2n －3)＋1， ②①－②可得(2n ＋1)b n ＝2n －1·(2n ＋1)，n ≥2，即b n ＝2n －1，而b 1＝1也满足上式，故b n ＝2n －1，令b n ≥8S n ，则2n －1≥8n 2，即2n －4≥n 2，因为210－4＜102，211－4＞112，依据指数增长性质，整数k 的最小值是11.。
【金版学案】2021届高考数学总温习 第五章 第三节等比数列及其前n项和课时精练 理(1)
第三节 等比数列及其前n 项和1．(2021·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24. 答案：A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且9a 1,3a 2，a 3成等比数列．假设a 1＝3，那么a 4＝( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．5解析：设等差数列{a n }的公差为d ，那么有9(a 1＋d )2＝9a 1·(a 1＋2d )，因为a 1＝3，因此可解得d ＝0，因此{a n }为常数列，a 4＝a 1＝3.应选C.答案：C3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设8a 2＋a 5＝0，那么以下式子中数值不能确信的是( ) A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n解析：由8a 2＋a 5＝0知，公比q ＝－2，因此a 5a 3＝q 2＝4，S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113，a n ＋1a n＝q ＝－2.S n ＋1S n＝1－q n ＋11－q n，依照n 的奇偶性可知，该式的结果不定．应选D.答案：D4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.6164B.6364C.3116D.3316 解析：∵a 1＝1,9S 3＝S 6，∴q ≠1.那么9·1－q 31－q ＝1－q 61－q ，得q 3＝1(舍)，q 3＝8，∴q ＝2，∴1a n ＝12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……若是那个进程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只 B ．66只C ．63只D ．62只解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6,62,63，…，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，因此第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只．应选B.答案：B6．等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝∫304x d x ，那么公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：S 3＝∫304x d x ＝2x 2|30＝2×32－0＝18，由题知，a 1q 2＝6①a 1＋a 1q ＝12②②式除以①式得1q 2＋1q ＝2，解得q ＝1或－12，应选C.答案：C7．概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，若是关于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，那么称f (x )为“保等比数列函数”．现有概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.那么其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析：等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1，①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝2a n 2a n ＋2＝2a n ＋a n ＋2≠22a n ＋1＝f 2(a n ＋1)； ③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．应选C. 答案：C8．(2021·茂名一模)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3·a 9＝2a 25，那么q ＝__________.解析：设等比数列的首项为a 1，由a 3·a 9＝2a 25，得：(a 1q 2)·(a 1q 8)＝2(a 1q 4)2，即a 21q 10＝2a 21q 8， ∵a 1≠0，q ＞0，∴q ＝ 2.答案：29．(2021·北京卷)假设等比数列{a n }知足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，那么公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 11－q n1－q＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－210．(2021·广东深圳二模)已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，那么a 13a 10＝________.解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，那么a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6＝a 8a 2＝2，∴q 3＝2，∴a 13a 10＝q 3＝ 2.答案：211．若是数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，那么a 5＝________.解析：∵a na n －1＝a 1(－2)n －1＝(－2)n －1，∴a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1＝(－2)4＋3＋2＋1＝32.答案：3212．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }知足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，那么数列{b n }前n 项和的最大值为__________．解析：由题知，b 3＝18＝ln a 3，a 3＝e 18，b 6＝12＝l n a 6，a 6＝e 12，a 6a 3＝q 3＝e －6，q ＝e －2，那么a 1＝e 22，那么b 1＝22，b 2＝20，b n ＝22＋(n －1)·(－2)，n ＝12时，b n ＝0，那么S 12最大为132.答案：13213．(2021·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1) 分两种情形讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数数列，因此S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q ≠1时，数列S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 上面两式错位相减：(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n . ⇒S n ＝a 1－qa n 1－q＝a 11－q n1－q.③综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q ，q ≠1.(2)利用反证法．设{a n }是公比q ≠1的等比数列， 假设数列{a n ＋1}是等比数列．那么 ①当∃n ∈N *，使得a n ＋1＝0成立，那么{a n ＋1}不是等比数列． ②当∀n ∈N *，使得a n ＋1≠0成立，那么a n ＋1＋1a n ＋1＝a 1q n ＋1a 1q n －1＋1＝恒为常数⇒a 1q n ＋1＝a 1q n －1＋1⇒当a 1≠0时，q ＝1.这与题目条件q ≠1矛盾．③综上两种情形，假设数列{a n ＋1}是等比数列均不成立，因此当q ≠1时， 数列{a n ＋1}不是等比数列． 14．(2021·广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)假设p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判定a p－1，a q－1，a r－1是不是成等比数列？并说明理由．解析：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，∴当n＝1时，有a1＝(1－1)S1＋2，解得a1＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，①a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＋(n＋1)a n＋1＝nS n＋1＋2(n＋1)，②②－①得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2.③由③式得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2＝n(S n＋1－S n)＋S n＋2，得a n＋1＝S n＋2.④当n≥2时a n＝S n－1＋2，⑤⑤－④得：a n＋1＝2a n.由a1＋2a2＝S2＋4，得a2＝4，∴a2＝2a1.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝2n.(2)∵p，q，r成等差数列，∴p＋r＝2q.假设a p－1，a q－1，a r－1成等比数列，那么(a p－1)(a r－1)＝(a q－1)2，即(2p－1)(2r－1)＝(2q－1)2，化简得：2p＋2r＝2×2q.(*)∵p≠r，∴2p＋2r＞22p×2r＝2×2q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．∴a p－1，a q－1，a r－1不是等比数列．。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第35讲 数列的概念及其表示法 含答案
1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．3．算法(1)了解算法的含义，了解算法的思想．(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．(3)了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查数列的试题共13道，其中客观题6道，解答题7道．一般都是采用如下两种模式，一种是“两小”模式，占10分，另一种是“一大”模式，占12分．这两种模式是与三角函数的两种命题模式相互配合的，若三角函数采用“三小”模式，则数列命题采用“一大”模式，若三角函数采用“一大一小”模式，则数列采用“两小”模式．三角函数和数列两部分合起来每年考查所占分值保持不变(约为27分)．采用“两小”模式，一般是选择题、填空题各一个，一般为容易题或中等难度题．采用“一大”模式，一般设置2问，都是作为解答题的第一题，为容易题或中等难度题．考查的内容主要是等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、前n 项和公式；数列求和的方法，主要包括分组求和、裂项求和等．算法是高考命题的热点，主要以选择题的形式考查，除2018年卷Ⅰ外，其他各套都是1道试题，占5分．考查内容以循环结构为主，9套题中都是考查的循环结构．数列是高中代数的重要内容，也是与大学衔接较紧的内容之一，其涉及的基础知识、数学思想与方法，在高中数学的学习中起着重要作用，因而成为历年高考经久不衰的热点题型，但要特别注意近几年的高考试题，对数列难度要求有所降低．复习时，应注意在以下几个方面加强训练：1．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、前n 项和公式一直是考查的重点，这方面的考题多以小题形式出现，或出现在解答题第1问中，但解题方法灵活多样，技巧性强，要加强训练．要突出基本量法，注意方程思想的运用．2．对于由递推式所确定的数列通项问题，通常可通过对递推式的变形转化为等差数列或等比数列加以解决．这类问题在高考中有所降温，在复习时必须控制难度．3．数列求和问题由于综合性强、对运算要求高．高考常常作为重点进行考查，需要掌握的方法主要有：错位相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法等．算法要加强对算法思想的理解，加强程序框图的阅读理解，由于程序框图可与其他知识建立广泛的联系，在复习时还要注意与其他知识的综合，提高综合分析和运用能力．第35讲 数列的概念及其表示法1．理解数列的定义及其有关概念，了解数列与函数的关系． 2．根据已知数列前几项的特点归纳数列的通项公式． 3．掌握a n 与S n 的关系，根据S n 会求通项a n .4．会根据递推关系确定数列的前几项，掌握几类简单的递推关系求通项的方法．知识梳理1．数列的定义按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列的一般形式为 a 1，a 2，…，a n ，… ，简记为 {a n } . 2．数列的单调性3.数列的通项公式如果一个数列{a n }的第n 项a n 与 项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们把这个公式 a n ＝f (n ) 叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 递推公式 .1．数列与函数的关系数列是以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 的关系 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.3．两个常用恒等式：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.热身练习1．数列23，45，67，89，…的第10项是(C)A.1617B.1819C.2021D.2223由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1.当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.2．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A)A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假a n ＋a n ＋12<a n ，即a n ＋a n ＋1<2a n ，则a n ＋1<a n . 所以{a n }是递减数列．故原命题为真，其逆否命题也为真．若{a n }为递减数列，则a n ＋1<a n ，所以a n ＋a n ＋1<2a n ，所以a n ＋a n ＋12<a n ，故其逆命题也是真命题，则其否命题也为真命题．3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则132是该数列的(C) A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项 D ．第12项因为n (n ＋1)＝132，所以n 2＋n －132＝0，所以n ＝11，或n ＝－12(舍去)． 4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为(A) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64因为S 8＝a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7， 所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝(A)A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n由递推关系得：a 2＝2＋ln 2，a 3＝2＋ln 3，由题中选项特点知，选A.由数列的前几项求数列的通项写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)－23，38，－415，524，…；(2)3,5,9,17,33，….(1)观察每一项的符号：奇数项为负，偶数项为正，符号可由(－1)n 确定； 观察分子：符合规律：n ＋1； 观察分母：符合规律：(n ＋1)2－1.最后综合得所求通项公式为a n ＝(－1)n n ＋1(n ＋1)2－1(n ∈N *)． (2)(方法一)由于每项的值增长很快，与{2n }：2,4,8,16,32，…，进行比较， 得所求通项为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (方法二)考虑前后两项的关系，有a 2－a 1＝21，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，累加得，a n －a 1＝21＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(1)依据数列前几项的特点归纳出通项公式的方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．具体可通过观察(观察项与项数的特点)、分析(系数、分子、分母等)、比较(与熟知的数列如等差、等比、(－1)n,2n ，n 2等进行比较)、综合(综合写出项与项数的关系)得到所求数列的通项公式．(2)注意掌握下列恒等式：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.1．根据数列前几项，写出数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)1,3,6,10，….(1)注意到前四项中有两项的分子为4，不妨把分子都统一成4，即45，48，411，414，…，所以a n ＝43n ＋2.(2)(方法一)a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(方法二)观察得a n －a n －1＝n (n ≥2)．所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2.由数列的前n 项和S n 求数列的通项设数列{a n }前n 项和为S n .(1)若S n ＝3n －2，则a n ＝ ； (2)若S n ＝n 2＋3n ，则a n ＝ .(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋3n －(n －1)2－3(n －1) ＝2n ＋2，对于n ＝1，有2×1＋2＝a 1，所以所求数列的通项a n ＝2n ＋2(n ∈N *)．(1)⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2) (2)2n ＋2(n ∈N *)由S n 求a n 的步骤：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1；(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)当n ＝1的情况进行检验，若适合n ≥2的表达式，则可以合并；若不适合，则写也分段函数形式．2．(2017·陕西咸阳二模)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为(B)A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，①当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)n2，② ①－②得a n ＝n (n ＋1)2－(n －1)n2＝n ， 所以n ≥2时，a n ＝n 2.又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合上式．所以a n ＝n 2(n ∈N *)．简单的递推公式求通项根据下列各个数列{a n }的首项和递推关系，求其通项公式：(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)； (2)a 1＝－12，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)．(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1，所以a n －a n －1＝3n －1，令n ＝2,3,4，…，得a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…，a n －a n －1＝3n －1，以上n －1个等式相加得：a n －a 1＝3＋32＋…＋3n －1， 又a 1＝1，所以a n ＝1＋3＋9＋…＋3n －1＝3n －12(n ∈N *)．(2)设未知数x ，使a n ＋1＋x ＝12(a n ＋x )成立，所以a n ＋1＝12a n －12x ，与a n ＋1＝12a n ＋1比较得x ＝－2.a n ＋1－2＝12(a n －2)≠0.所以{a n －2}是以a 1－2＝－52为首项，q ＝12的等比数列．所以a n －2＝－52(12)n －1，即a n ＝2－5·(12)n (n ∈N *)．(1)由递推关系求通项，要求掌握如下方法： ①累加法与累乘法：a n －a n －1＝f (n )，可采用累加法求出a n (条件是f (n )可求和)； a na n －1＝g (n )，可采用累乘法求出a n (条件是g (n )可求积)． ②转化法：通过待定系数法、适当变形(如取倒数)等转化为等差数列或等比列数列求通项． 如a n ＝pa n －1＋q (p ，q 为常数)可采用待定系数法转化为等比数列求通项．3．(1)数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝ 1n (n ∈N *) .(2)已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则a n ＝ 2n ＋1(n ∈N *) .(1)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1，将以上n －1个式子相乘得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)，经检验n ＝1时也适合，所以a n ＝1n (n ∈N *)．(2)两边取倒数得 1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n 1a n ＋1－1a n ＝12， 所以{1a n }是以1a 1＝1为首项，以12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12，即a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．1．根据数列的前若干项写出数列的通项公式，关键是通过观察、分析、比较，发现项与项数之间的关系．如果关系不明显时，应将该项的值作适当的变形和分解，让规律凸现出来．同时，要熟悉一些基本数列的通项及其特点，如正整数数列，正整数的平方数列，奇数数列，偶数数列，2或3为底的幂的数列，数列{(－1)n }等．2．已知S n 求a n ，要注意公式a n ＝S n －S n －1成立的充要条件是n ≥2，所得到的a n 的表达式一定要检验a 1＝S 1是否适合n ≥2的表达式，如不适合，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，如适合，则a n ＝S n －S n －1 (n ≥1)．3．已知递推公式求通项，要求掌握如下常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．要求掌握如下结论： a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.(3)利用待定系数法或适当变形等转化为等差数列或等比数列求解的简单的递推关系问题．。
2023年新高考数学一轮复习7-1 数列的概念与简单表示(知识点讲解)含详解
专题7.1 数列的概念与简单表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几a.项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. （二）数列的分类（三）数列的通项公式： 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（四）数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （五）a n 与S n 的关系数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：则11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩特别地，若a 1满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，则不需要分段． （六）数列的性质----主要指：（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；（2）数列的周期性.【常考题型剖析】题型一：数列的概念与通项公式例1.（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <例2．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数1，2，3，4，5，中的所有()*2N n n ∈数（如2，4，8等），得到一个新数列，则这个数列的第2021项是（ ） A ．2032 B ．2031C ．2030D ．2029【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 题型二：数列的性质例3.（2020·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010 B ．11011 C ．10001D ．11001例4.（2022·北京·高考真题）己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．例5．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+，若{}n a 的前n 项和为n S ，且115511S S =，则21a a =__________ 例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．3.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 题型三：由递推公式推导通项公式例7.（江西·高考真题）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()112,22N n n a a a n n *+=-=+∈，则数列1na 的前2022项的和为___________. 例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植n n在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______． 【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-= （2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 题型四：n a 与n S 的关系求通项n a例10. （2022·青海西宁·二模（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，1221n n a S n ++=+，则2022S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2024例11．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．例12．（2016·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S = ，求λ． 【规律方法】已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．．专题7.1 数列的概念与简单表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几a.项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n2.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. （二）数列的分类（三）数列的通项公式： 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（四）数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （五）a n 与S n 的关系数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：则11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩特别地，若a 1满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，则不需要分段． （六）数列的性质----主要指：（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；（2）数列的周期性.【常考题型剖析】题型一：数列的概念与通项公式例1.（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <【答案】D 【解析】 【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确. 故选：D.例2．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））删去正整数1，2，3，4，5，中的所有()*2N n n ∈数（如2，4，8等），得到一个新数列，则这个数列的第2021项是（ ） A ．2032 B ．2031C ．2030D ．2029【答案】B【解析】 【分析】分析可得20211020312048+=<，由此可得出新数列第2021项的值. 【详解】1021024=，1122048=，且20211020312048+=<，故新数列的第2021项是正整数列中的第2031项，故新数列的第2021项是2031. 故选：B. 【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 题型二：数列的性质例3.（2020·全国·高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义，逐一检验即可 【详解】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =， 511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.例4.（2022·北京·高考真题）己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④ 【解析】 【分析】 推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得23a =<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错； 当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对； 假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.例5．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+，若{}n a 的前n 项和为n S ，且115511S S =，则21a a =__________ 【答案】1 【解析】【分析】根据11n n n n a a a a ++=+可得出数列{}n a 是周期为2的周期数列，利用周期数列求解即可. 【详解】因为正项数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++=+， 所以111n n n n a a a a +++=，即1111n n a a ++=， 则12111n n a a +++=，因此211n na a +=，即2n n a a +=， 数列{}n a 是周期为2的数列，因此由115511S S =可得，()()12112155112a a a a a a ++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得21a a =，即211a a =， 故答案为：1.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 【答案】3λ>- 【解析】 【分析】根据递增数列的定义直接求解即可. 【详解】依题意对于*n N ∀∈ ，都有10n n a a +-> ， 即()()22110n n n n λλ+++--> ，21n λ>-- ，()max 213--=-n ，∴3λ>- ，故答案为：3λ>- . 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．3.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 题型三：由递推公式推导通项公式n n例7.（江西·高考真题）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++--12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A. 例8.（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()112,22N n n a a a n n *+=-=+∈，则数列1na 的前2022项的和为___________. 【答案】20222023【解析】【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可. 【详解】由题意可知，满足112,22n n a a a n +=-=+， 当2n ≥时，()12122n n a a n n --=-+=， 21324314,6,8,,2n n a a a a a a a a n -∴-=-=-=-=，以上各式累加得，()()()()1213243124682n n n a a a a a a a a a a n -=+-+-+-++-=+++++.(22)(1)2n nn n +==+， 当1n =时，12,a =也满足上式，∴(1)n a n n =+，则1111(1)1n a n n n n ==-++. ∴数列1na 的前n 项和为1231111111111223111nn S a a a n n n n 1=+++=-+-++-=-=+++， ∴202220222023S =. 故答案为：20222023.例9．（北京·高考真题）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，11121555{1255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=． 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为___________．第2008棵树种植点的坐标应为______． 【答案】 (1,2) (3, 402) 【解析】 【详解】 T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k =1,2,3,4……)．一一代入计算得数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)．【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-= （2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 题型四：n a 与n S 的关系求通项n a例10. （2022·青海西宁·二模（理））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，1221n n a S n ++=+，则2022S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2024【答案】C 【解析】 【分析】利用()12-=-≥n n n a S S n 化简可得出12(2)++=≥n n a a n ，则可求出答案. 【详解】当1n =时， 212221=1a S a +=+⇒，当2n ≥时，由1221n n a S n ++=+得1221n n a S n -+=-， 两式相减可得122+-+=n n n a a a ，即12n n a a ++=，所以1n a =，可得n S n =， 所以20222022S =. 故选：C.例11．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】 （1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】 （1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111nn n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 例12．（2016·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，得到数列{}n a 的递推公式，即可得到{}n a 是等比数列及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用λ表示前n 项和n S ，结合n S 的值，建立方程可求得λ的值．试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.λ=-.解得1【规律方法】已知S n求a n的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．．。
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2021届高考数学总复习：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (p 、q 为常数，n 为正整数)求通项公式
【例】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________。
解析 由a n ＋1＝3a n ＋2n 两端同时除以2n ＋1，得a n ＋12
n ＋1＝32·a n 2n ＋12，两端同时加1，得a n ＋12
n ＋1＋1＝32·a n 2n ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1是首项为32，公比为32的等比数列，所以a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，所以a n 2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1，所以a n ＝3n －2n 。
答案 3n －2n
本题使用了两个变换，一是在递推式两端同时除以2n ＋1，把⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 看作新数列，令b n ＝a n 2n ，则b n ＋1＝32b n ＋12，即化为例2类型的递推式，求得b n ，再变换后得出a n 。
复杂的递推数列问题需要综合使用各种不同的方法加以解决。
【变式训练】 (2019·惠州市调研考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________。
解析 a n ＋1－2a n ＝2n 两边同时除以2n ＋1，可得a n ＋12
n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，所以
a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2
，所以a n ＝n ·2n －1。
答案 n ·2n －
1。