数量关系之隔板模型

在数量关系的考试中，排列组合问题往往是比较重要的一类题目，但同时也是很多人相对比较头疼的一类题目，其实排列组合问题中的一些特定问题可以根据相应的方法进一步解决。就此，我们来看一下利用“隔板模型”如何解决相关题目。

一、隔板模型

1.本质：相同元素的不同分堆。

2.解题公式：n个相同元素分给m个不同对象，每个对象至少一个，有

种不同的分法。

3.适用条件：

①要分的元素必须完全相同;

②要分的元素必须全部分完，无剩余;

③每个对象至少分到1个。

二、方法应用

例1.10个相同的篮球分给四个班级，每个班级都要分得，共有多少种不同的分法?

A.64

B.210

C.36

D.84

【答案】D。解析：题目相当于需要我们解决的是：将10个相同元素分给4个不同的对象，且每个对象都要有，也就是至少1个。利用隔板法，10个元素

中间形成9个空，用3个板去插，就能将10个元素分为四堆，即，故选择D。

例2.有15个相同的小球，需要放置进编号为1、2、3、4的四个盒子，要求每个盒子中的小球数不得小于盒子的标号。有多少种不同的分法?

A.56

B.126

C.210

D.35

【答案】A。解析：共有15个相同的小球，放置进4个盒子，每个盒子数量不得小于盒子编号，即1号盒子需至少1个小球、2号盒子需至少2个小球、3号盒子需至少3个小球、4号盒子需至少4个小球，此时我们无法直接利用隔板模型的公式来进行解答，因为只有1号盒子符合“每个对象至少1个”这个条件。为了将2、3、4号盒子也变为“每个至少需要1个”，可以先分小球，保证最后结果为至少需要1个，如表格所示：

此时问题转化为15-6=9个小球，分给4个不同的盒子，每个盒子至少分得1个，即

，故选择A。

对于此类型题目，要学会灵活运用公式，从而更好地应对“同素分堆问题”。