求解格林函数的本征函数法
格林函数法
（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
第六讲格林函数法刘
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0
G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x
x0
)2
y
y0
2
z
z0
2
2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x
x0
)2
y
y0
2
z02
u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
热传导问题的通用格林函数及格林函数解
=
0 ∈边界
Si
,t
> τ (9)
i = 1 ,2 , …s
初始条件 G t =τ = δ( r - r′) ec ∈区 域 R (10 ) ,
( IV)
解得本征值
λ m
,本征函数
ρcδ( r - r′)δ( t - τ) 的内热源分布. 根据能量守恒定律 ,τ时刻区域内任一空间位置处微元
dυ温度升高所吸收的热量等于其内热源产生的热量
ρcdυ[ G t =τ - G t =τ ] = ρcδ( r - r′)δ( t - τ) dυdτ
考虑到 (6) 式得
G t =τ = δ( r - r′)
产生的温度场 ,先求点源的场 ,即先求问题 ( I) 的辅助问题 ( II) 的解 —基本解.
可以证明 ,满足辅助问题 ( II) 的格林函数 G( r , t| r′,τ) 服从如下互易关系 :
G( r , t | r′,τ) = G( r′, - τ| r , - t)
(21)
根据 (21) 式 ,将 (4) 式写成以函数 G( r′, - τ| r , - t) 表示的形式 ,为
[2 ] 陆振球. 经典和现代数学物理方程. 上海 :上 海科技出版社 ,1991 ,112 —119
Generalpurpose Green Function and Green Function Solution to Heat Conduction Problems
Hu Hanping
( Department of Thermal Science and Energy Engineering , USTC)
m
N
1 (λm
)
e
多体量子力学中的格林函数方法
多体量子力学中的格林函数方法多体量子力学是研究多粒子体系中粒子之间相互作用的力学理论。
在这个理论框架下，我们需要处理多个粒子的波函数，同时考虑它们之间的相互作用。
为了解决这个问题，物理学家们提出了多种方法，其中一种重要的方法就是格林函数方法。
格林函数方法最早由德国物理学家赫尔曼·哈库斯（Hermann Hankel）于1859年提出，后来由多位物理学家进一步发展和推广。
格林函数可以用来描述量子态的演化和性质，是求解多体问题的有力工具。
在多体量子力学中，格林函数是描述粒子行为的函数。
它可以用来计算不同时间和位置下粒子的性质，比如粒子的动量、位置和电荷等。
格林函数的形式由一般的波函数演化方程决定。
它可以被分为两个部分：单粒子格林函数和相互作用格林函数。
单粒子格林函数描述了一个单粒子在外势场下的行为。
它可以被定义为粒子在某个时刻从一个位置传播到另一个位置的概率幅。
通过计算单粒子格林函数，可以得到粒子的一些重要性质，比如能谱和态密度等。
相互作用格林函数描述了多个粒子之间的相互作用。
在多体问题中，粒子之间的相互作用是一个非常重要的因素。
通过计算相互作用格林函数，可以探究粒子之间的相互作用强度和方式。
相互作用格林函数的求解可以通过一系列的近似方法，比如平均场理论、扰动方法和重整化群等。
格林函数方法在各个领域都有广泛的应用。
在凝聚态物理中，格林函数方法可以用来研究电子系统和其他凝聚态物理体系的性质。
通过计算格林函数，可以得到电子的输运性质、激发态和自能等重要信息。
格林函数方法在量子化学、固体物理、统计物理和粒子物理等领域也都有着重要的应用。
虽然求解格林函数的问题是一个复杂的任务，但是近年来，在计算机科学和数值方法的发展下，越来越多的精确和高效的方法被提出。
比如，基于数值求解的格林函数方法、基于图像处理的格林函数方法、基于机器学习的格林函数方法等。
这些方法为求解多体问题提供了新的思路和工具。
总结起来，格林函数方法是解决多体量子力学问题的一种重要方法。
格林函数
第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。
B: 理论物理中的Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF ）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。
特别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。
(See below)数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。
2，GF 的分类：边界值GF ：(,')G r r 即源函数；初始值GF ：(,;',')G r t r t 即传播函数。
3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r =，它与定解问题相关，即与厄米性相关。
(See 4 below)2）时间传播函数没有对称性：(,;',')(',';,)G r t r t G r t r t ≠.（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在。
这是因为既有点源：(')r r δ-矛盾于又无流：|0.n G ∂∑∂= 本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！平面波(),ik xat Ae 球面波1()ik xat Ar e -和柱面波1/2()ik at A e ρρ-均是LaplaceEquation 的解，但不是Possion Equation 的解。
球、柱面波分别来自于1x时（散射问题）渐近行为：(1,2)[(1/2)/2](1,2)[(1)/2]21(),().i x m i x l ml xxH x e h x e πππ±-+±-+4，Green 函数的边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。
格林函数一维基本解
格林函数一维基本解格林函数是一种常用的数学函数，它可以用来描述一维欧拉方程的基本解。
在本文中，我们将介绍格林函数的一维基本解，并讨论它的性质和应用。
一、格林函数的定义格林函数是一种常用的数学函数，它可以用来描述一维欧拉方程的基本解。
它由著名的德国数学家威廉·格林提出，公式为：G(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt其中， G(x)表示格林函数，e 表示自然对数底数，t^2表示t的平方，而[0,x]表示从0到x的积分区间。
二、格林函数的基本性质1、格林函数的定义域是实数集R，值域也是实数集R。
2、格林函数的增减性：当x>0时，G(x)逐渐增大；而当x<0时，G(x)逐渐减少。
3、格林函数在x=0处取得极值，即G(0)=0。
4、格林函数的导数：G'(x)=-xe^(-x^2)5、格林函数的积分：∫G(x)dx=-e^(-x^2)/2+C三、格林函数的一维基本解1、一维欧拉方程的定义一维欧拉方程是描述物理系统中变量随时间变化的常微分方程，它的一般形式为：dy/dx+P(x)y=Q(x)其中，P(x)和Q(x)都是x的函数，而y是方程中的未知变量。
2、一维欧拉方程的基本解一维欧拉方程的基本解是一种特殊的解，它可以用格林函数来描述。
一般来说，基本解的形式为：y=A(x)G(x)+B(x)G'(x)其中，A(x)和B(x)都是x的函数，A(x)和B(x)是可以通过特定的条件确定的常数。
3、格林函数的一维基本解应用格林函数的一维基本解可以用于计算一维欧拉方程的解。
在很多物理系统中，我们可以通过解决一维欧拉方程来研究物理系统的特性，格林函数的基本解可以提供一种有效的数学工具，从而帮助我们更好地理解物理系统的运动规律。
四、总结本文介绍了格林函数的一维基本解，并讨论了它的性质和应用。
格林函数的一维基本解可以用来描述一维欧拉方程的基本解，它可以提供一种有效的数学工具，从而帮助我们更好地理解物理系统的运动规律。
理论计算物理中的格林函数方法研究
理论计算物理中的格林函数方法研究一、引言格林函数是量子力学中重要的物理量，其被广泛应用于最先进的理论物理实验和计算中。
因此，理论计算物理中的格林函数方法研究也得到了广泛关注。
本文将介绍格林函数的定义、性质，以及其在物理学中的应用。
二、格林函数的定义在理论计算物理中，格林函数是指解决微分方程或差分方程问题的一种方法。
更具体地说，如果我们给定了一个微分方程或差分方程：Lψ = f其中L是一个线性微分或差分算子，f是一个给定的函数，而ψ是我们所要求解的函数。
那么，我们可以定义一个格林函数G(x,x')，满足下面的式子：L(x)G(x,x') = δ(x - x')其中，δ(x - x')是二维或三维的δ函数。
然后我们就可以得到这个方程的通解：ψ(x) = ∫dxf(x')G(x,x')其中f(x)为任意给定函数。
从上面这个通解可以看出，格林函数在解决微分方程问题时起到了很重要的作用。
三、格林函数的性质在理论计算物理中，格林函数具有一些性质，这些性质使其在物理学中的应用更加方便。
这些性质包括：1. 对称性：对于一个线性微分或差分算子L，其对应的格林函数满足：G(x,x') = G(x',x)这个性质在物理学中很有用，因为这意味着我们可以将体系中任意两点之间的格林函数看作是相等的。
2. 空间平移不变性：对于一个线性微分或差分算子L，其对应的格林函数满足：G(x,x') = G(x - x',0)这个性质也在物理学中很有用，因为它使得我们可以很轻松地将体系中任意两点之间的格林函数与原点之间的格林函数联系起来。
3. 正定性：对于任意一个函数f(x)，其对应的格林函数G(x,x')都满足：∫dxf(x')G(x,x')f(x) ≥ 0这个性质在物理学中也有很大的作用，因为它确保了格林函数在物理上是有意义的。
四、格林函数的应用在理论计算物理中，格林函数被广泛应用于最先进的理论物理实验和计算中。
格林函数——精选推荐
格林函数格林函数这是⼀篇关于格林函数经典解法的⽂章。
从现代的讨论中寻求根本的解法。
在数学中，格林函数是⼀种⽤来解有边界条件的⾮齐次微分⽅程式的函数。
在多体理论中，这⼀术语也被应⽤于物理中，特别在量⼦场论，电动⼒学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。
格林函数的名称是来⾃于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第⼀个提出这个概念的⼈。
在线性偏微分⽅程的现代研究中，格林函数主要⽤于研究基本解。
内容1、定义及⽤法2、动机3、⾮齐次边值问题的求解3.1、研究框架3.2、定理4、寻求格林函数4.1、特征⽮量展开5、拉普拉斯算⼦的格林函数6、范例7、其他举例定义及⽤法技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着⼀个在流形M 中作⽤的线性算⼦L ，为以下⽅程式的解：)(),(s x s x LG -=δ (1)其中δ为狄拉克δ函数。
此技巧可⽤来解下列形式的微分⽅程： )()(x f x Lu = (2)若L 的核是⾮平凡的，则格林函数不只⼀个。
不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯⼀的格林函数。
⼀般来说，格林函数只需是⼀种数学分布即可，不⼀定要具有⼀般函数的特性。
格林函数在凝聚态物理学中常被使⽤，因为格林函数允许扩散⽅程式有较⾼的精度。
在量⼦⼒学中，哈密顿算⼦的格林函数和状态密度有重要的关系。
由于扩散⽅程式和薛定谔⽅程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
其⽅程如下：)(),(s x s x LG --=δ这⼀定义并不显著改变格林函数的任何性质。
如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成⼀个卷积算，即为：)(),(s x G s x G -=在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。
动机若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得：)()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此：ds s f s x LG x Lu )(),()(?=由于算符 L 为线式，且只对变量x 作⽤，不对被积分的变量 s 作⽤），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得：))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?=⽽以下的式⼦也会成⽴：ds s f s x G x u )(),()(?= (3)因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以⽤上述的⽅式得到)(x u 。
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
矩形波导和腔体的电并矢格林函数的完备本征函数展开
矩形波导和腔体的电并矢格林函数的完备本征函数展开
在传输线理论中，电矩形波导和腔体的电并矢格林函数(Electric Field Integral Equation，EFIE)具有重要意义。
为了提高EFIE分析技术的效率，完备本征函数展开不可或缺。
完备本征函数展开是指将一个矢量场函数展开成1、2、和3维本征函数的线性组合，从而提供一种理论模型，可用于电矩形波导和腔体BFIE的解析解。
首先，它是以本征函数为基础，采用传统求解方法解决电矩形波导和腔体BFIE计算问题，将完备本征函数用于EFIE计算有效强化EFIE计算能力，特别是在多层叠块结构和复杂场景应用中。
其次，它是将EFIE形态本征函数展开成单元模式，在此基础上建立线性组合，以提高EFIE分析技术的效率，极大减轻EFIE计算复杂性，提高EFIE计算精度，实现EFIE多层叠块结构简化计算，从而有效抑制计算时间的增长。
最后，它是一种十分有效的多层叠块结构简化计算方法，能够在低度分析中提供令人满意的精度，从而极大地提高EFIE分析技术的效率。
总之，完备本征函数展开技术是一种适用于电矩形波导和腔体EFIE分析的准确方法，其功能强大、极具效率。
它不仅能有效改进计算精度，而且还能缩短计算时间、减少计算开销，为电并矢格林函数EFIE提供高效完备的分析解决方案，在电矩形波导和腔体的应用研究中非常有用。
如何求格林函数
如何求格林函数格林函数是一种用于解决偏微分方程的数学工具。
它在物理学、工程学等领域中被广泛应用，用于描述空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
本文将以人类的视角，以一个具体的例子来介绍如何求解格林函数。
假设我们考虑一个二维空间中的热传导问题，即热量在空间中的传播。
假设有一个热源在坐标原点处，我们想求解在空间中任意点处的温度分布。
我们需要建立起偏微分方程描述这个问题。
热传导问题可以由热传导方程来描述，其形式为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是温度分布函数，t是时间，α是热扩散系数。
接下来，我们引入格林函数G(x, y, x', y')，它是满足以下方程的函数：α(∂²G/∂x² + ∂²G/∂y²) = δ(x - x')δ(y - y')其中，δ(x)是狄拉克函数，表示单位脉冲。
注意，这里的格林函数是关于空间坐标的函数，与时间无关。
有了格林函数之后，我们可以通过以下公式来求解温度分布函数u(x, y, t)：u(x, y, t) = ∫∫G(x, y, x', y')f(x', y', t)dxdy其中，f(x, y, t)是边界条件或初始条件。
在实际应用中，求解格林函数常常采用分离变量法、变换法等数学方法。
这些方法能够将偏微分方程转化为一系列普通微分方程或积分方程，从而求解出格林函数。
通过求解格林函数，我们可以得到任意时刻、任意位置的温度分布。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
格林函数的求解方法可以推广到其他偏微分方程问题中，因此具有广泛的应用价值。
总结起来，格林函数是一种用于求解偏微分方程的数学工具。
它通过满足特定的方程条件，描述了空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
通过求解格林函数，我们可以得到解析解，从而获得任意时刻、任意位置的场或势函数分布。
第5章格林函数法
第5章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．5.1 格林公式TΣ上具有连续一阶导数,在区域及其边界中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理d d T T div =∇∫∫∫∫∫∫i A V =A V (5.1.1)单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量单位时间内V 内各源头产生的流体的总量将对曲面Σ的积分化为体积分d ()d d d T T Tu u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2)()uv u v u v∇=∇⋅+∇以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d ()d d d T T T u u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3)上述两式相减得到()d ()d Tu u u u V Σ∇−∇=Δ−Δ∫∫∫∫∫i S v v v v的外法向偏导数．5.1.4）为第二格林公式．进一步改写为()d ()d Tu S u u V n Σ∂∂−=Δ−Δ∂∂∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）5.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=−r r (5.2.1)（5.2.2）是区域边界Σ上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()u f u u n αβϕΣΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r (5.2.3)上沿界面外法线方向的偏导数格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（5.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类(,)()[]0G G G n δαβΣΔ=−−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩00r r r r （5.2.4）()δ−0r r 代表三维空间变量的δ函数，在直角坐标系中其形式为0()()()()x x y y z z δδδδ−=−−−r r 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内）0r 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(5.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函格林函数互易定理：因为格林函数0(,)G r r 代表0r 处的脉冲（或点源）在r 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||−r r 的函数,故它应该遵守如下的互易定理：(,)()G G ,=r r r r （5.2.5）)得到())d (()())d T u S u G G u V n ∂⋅=Δ−Δ∂∫∫∫r r r （5.2.6）0()]d (()())d ())()()]d T G u S G u u G Vf u V δ∂−⋅=Δ−Δ∂−+−∫∫∫r r r r r r r n (5.2.7)根据δ函数性质有：00()()]d ()T u V u δ−=∫∫∫r r r r (5.2.8)故有0(,)()]d G u S ∂−∂r r r)r n (5.2.9)泊松方程的基本积分公式．00000000((,))d [(,)()]d u G V G u S n Σ∂∂+−∂∂∫∫ r )r r r r r n 格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到（5.2.10）解的基本思想：通过上面解的形式（5.2.9）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(5.2.1)与任意边值问题（5.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（5.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（5.2.9）即可求出（5.2.1）和（5.2.2）定解问题的解．考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()u f u ϕΣΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r （5.2.11）相应的格林函数0(,)G r r 是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.2.12）考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（5.2.9）可得第一类边值问题的解000(,)()(,)()d ()d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫ nr r r r r r r （5.2.13）另一形式的第一类边值问题的解000(,)()d G S ∂∂0n r r r (5.2.5)2.第二类边值问题()()|()p u f unϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.15）00,)|0n Σ=r （5.2.16）5.2.9）可得第二类边值问题解00(,)()d ()(,)d G f V G SϕΣ+∫∫ r r r r r r （5.2.17）3.第三类边值问题()() []()p u f u u n αβϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.18）0(,)]0G G n βΣ∂+=∂r r （5.2.19）边值条件，两边同乘以格林函数G（5.2.19）的边值条件的两边同乘以函数u得[]0Gu G nαβΣ∂+=∂G ϕ[]()p uG u G nαβϕΣ∂+=∂r ）得到第三类边值问题的解001,)()d ((,)d f V G S ϕβΣ+∫∫ r r r r)r r (5.2.20)格林函数的互易性则得到000001)()d ()(,)d 0f V G S ϕβΣ+∫∫r r r r r (5.2.21)这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T 中分布的源0()f r 在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的对于拉普拉斯方程0()0f ≡r 第一边值问题的解为0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫ r r r r n (5.2.22)第三边值问题的解为1()()(,)d u G S ϕβΣ=∫∫ r r r r (5.2.23)5.3 无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式（5.2.10）中的面积分应为零，故有000()(,)()d T u G f V =∫∫∫r r r r (5.3.1)选取()u r 和0(,)G r r 分别满足下列方程()()u f Δ=−r r (5.3.2)00(,)(-)G δΔ=−r r r r (5.3.3)5.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00=r 对（5.3.3）式两边在球内积分)d V（5.3.4）T∫∫∫（5.3.5）5.1.1）得到2(,0)d (,0)d sin d d S S G G V G r r θθϕ∂⋅∇=∇⋅=∂∫∫∫∫ r r S (5.3.6)故有2sin d d (,0)d 1S T G r G V r θθϕ∂=Δ=−∂∫∫∫∫∫ r 使上式恒成立，有2(,0)4π1G r r∂=−∂r 14πcr=+0G →因此0c =，,故得到1(,0)4πG r=r对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||G =−r r r r （5.3.7）代入（5.3.1）得到三维无界区域问题的解为0（5.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式5.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即(,0)d ()d TTG V VδΔ=−∫∫∫∫∫∫r r ()d 1V δ=∫∫∫r ,0)d (,0)d SV G =∇∫∫i r SG只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即d d ()d 1T Gr z V r ϕδ=−=−∫∫∫r选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πG r r∂=−∂11(,0)ln 2πG c r =+r 令积分常数为0，得到11(,0)ln 2πG r=r 0011(,)ln 2π||G =−r r r r （5.3.9））代入式（5.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()ln d 2π|S u f S |=−∫∫r r r r。
keldysh格林函数
keldysh格林函数一、Keldysh格林函数的概念Keldysh格林函数是量子场论中的一个重要概念，用于描述非平衡态系统的动力学行为。
它是由Keldysh在1964年提出的，因此得名。
Keldysh格林函数描述了系统中两个不同时间点之间的关联性质，可以用来计算系统的响应和演化。
它是一个复数矩阵，有两个指标：一个是时间指标，另一个是空间指标。
在实际计算中，通常将时间指标离散化为离散时间点上的值。
二、Keldysh格林函数的定义设$\hat{\varphi}(x)$为场算符，在相互作用绘景下演化，则其演化方程为：$$i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\hat{\varphi}(x,t)=\left[\hat{\varphi}(x,t),\hat{H}_I(t)\right]$$其中$\hat{H}_I(t)$为相互作用哈密顿量。
定义正时间演化算符和反时间演化算符分别为：$$\hat{U}_+(t,t_0)=T_C\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\hat{H}_I(t')dt'\right]$$$$\hat{U}_-(t,t_0)=T_C^{-1}\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \hat{H}_I(t')dt'\right]$$其中$T_C$为按照时间顺序排列的时间序算符。
定义Keldysh格林函数为：$$G_{K}(x,x')=-i\langleT_C\hat{\varphi}(x)\hat{\varphi}(x')\rangle$$其中$\langle \cdot \rangle$表示对系统的密度矩阵进行平均，$T_C$表示按照时间顺序排列的时间序算符。
三、Keldysh格林函数的性质1. 对称性：$G_K(x,x')=G_K(x',x)^*$2. 反对称性：$G_K(x,x)=-i\rho(x)$，其中$\rho(x)$为场算符$\hat{\varphi}(x)$的自旋密度矩阵。
格林函数一维基本解
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兹授予我司________部门的________同志，
在________年度工作中，凭借其出色的业绩、卓越的专业技能、以及无私奉献的工作精神，展现了极高的职业素养和团队协作能力。
他/她在________（具体工作领域或项目）中取得了显著的成绩，为公司的发展做出了突出贡献。
特此颁发“________奖”（如：优秀员工奖、最佳新人奖、杰出贡献奖等），以资鼓励，并期望在未来的工作中继续保持这种积极进取的精神风貌，再创佳绩。
【落款部分】
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注：请根据实际情况填写空缺处的内容，使得奖状内容更加具体并
符合实际表彰情况。
格林函数方法)
ε potential 。
lattice ε mn = −(V xmn + V ymn + (V xm −1,n ) * + (V ym,n −1 ) * )
(2-23)
哈密顿量的本征值问题可以写成：
H semi Ψ uv = E uv Ψ uv
其中 E uv 是总电子能量，本征态可以扩展为：
uv + Ψ uv = ∑ c mn a mn 0 mn
[40]
，把磁场的影响作为相位因子加入哈密顿量中，则：
i, j H i, j = −4V
(2-11a)
（ V =
h2 为 没 有 磁 场 时 的 晶 格 之 间 的 势 能 ， m∗ 为 电 子 有 效 质 量 ， 取 ∗ 2 2m a
m∗ =0.067m，m 为电子质量）
i, j H i, j + 1 = V i, j H i + 1, j = V exp(2πiB ' j )
第七章 格林函数方法
第一节 前言
从五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的 问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓 展，被认为是一种强有力的数学工具[1]。例如，对许多准粒子问题，只需知道相 互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得 到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的 系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性 质的直接有效的方法。 但是在很多的实际问题中，如一些较复杂的有限尺寸量子系统，要得出其格 林函数的解析表达式是很困难的，因此必须要通过数值计算来解决。格点格林函 数方法[2-17]是通过把系统分离成一些格点，然后通过计算这些格点及格点间的格 林函数，进而得出整个体系的格林函数的一种有效数值计算方法。它与其他的一 些数值方法如有限元法[18]、转移矩阵法[19,20]、散射矩阵法[21]、模式匹配法[22]等相 比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统 的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个 Peierls 相位因子。当系统的自由度很 大时， 用一般的格点格林函数方法求解系统的格林函数就对应一个很大维数的矩 阵计算。虽然计算机技术飞速发展，但是计算机的容量仍然制约着我们所能直接 处理的矩阵的维数。在这种情况下，迭代技术已经被越来越广泛地应用于处理这 一类问题。 递归格林函数方法也在这种要求下得到了很大的发展。 Lee、 Fisher[2,3] 和 MacKinnon[7]等作了开创性的工作，然后人们又发展了各种递归格林函数方法 来处理一些具体的结构或边界条件下的尺寸效应和多终端效应。 如 Soles[5,6]等用 递归格林函数方法计算了有 T-型突起的量子线的电子输运性质， Ando[9]则考虑了 在磁场调制下的量子点接触的电导。 在量子物理中，格林函数常常被定义为 v v v v v [ E − H (r )]G (r , r ' ; E ) = δ (r − r ' ) 其中 E 是复变量，H 是一个厄米的含时算符。 如果 E − H 的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式： 1 G= (2-2) E−H 如果 H 的本征函数ψ n 是正交完备的，且 λ n 是其相应的本征值，则
第三章格林函数法
对狄利克雷问题的格林函数应满足：
Gr r r ;r 0 0 Gr;r 0 0
G u ( r ) ( u ( r ) G ) d S ( uG ( r ) G uV ( r ) ) d T n n
即为
Gf ( () r) u () r ( r r ) ] d V 0 [
T
u G [ G u () r ]d S ( G u () r u () r GV ) d T n n
第三章 格林函数法
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的 一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点 源)产生的场(边 界无限远,无初始 条件）
U
积分得到
q
任意带电体(任意 源)产生的场(边 界无限远，无初 始条件）
UQ= dUq
V
若能求出某一点 源在给定初始和 边界条件下产生 的场
分析： 只须消掉公式中的
u n
G u u r u G d S G f d V 0 n n T
项即可得到结果。
相应的格林函数 G ( r , r0 ) 是下列问题的解：
Grr r r , 0 T ; 0 rr 0 Grr ; 0 0
由格林函数的对称性可得
G r , r 0 u r r d S G r , r f r d V 0 0 0 0 0 n T
第5章格林函数
标量格林函数的求法
5．2 用镜像法求标量格林函数
对于半空间的边值问题，例如无限大理想导电面以上半无限大 空间中点源产生的场，标量格林函数可以写作 (5-21) G G0 G ' Go 为自由空间格林函数，满足方程 2G0 r,r ' k 2G0 r,r ' r - r ' (5-22) 并满足辐射条件； G ' 满足齐次亥姆霍兹方程及相应的边界条件 2G ' k 2G ' 0 (5-23) 显而易见，由式(5-21)构成的标量格林函数满足方程(5-8)及齐次 边界条件式(5-9)。当 S 为无限大的平面，如果标量格林函数在该平 面边界满足第一类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-25) 式中, r'' 为源点 r ' 关于无限大的平面的镜像位置的位置矢量。如 果标量格林函数在该平面边界满足第二类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-26)
就可利用 G1 r, r ' 以及边 界上的法向导数、源分布 f r 以及边界上的 标量场通过式(5—13)的积分计算区域 V 中任一点的标量场。
对第二类边值问题，对应的格林函数记为 G2 r, r ' ， 由第二类格林函数的边界条件
G2 r,r ' n
S
0
代人式(5—12)得
'2G r ' ,r2 k 2G r ' ,r2 r ' - r2
格林函数一维基本解
格林函数一维基本解格林函数（GreenFunction）是用来描述特定类型物理系统的普遍方法。
它允许使用关于一维系统的解决方案，从而更加方便快捷地求解不同类型物理系统问题。
本文旨在探讨一维格林函数的基本解，以及如何将它们应用于求解不同物理系统的问题。
一般而言，物理问题的解可以用微分方程式来表示。
微分方程式的解可以分为定态状态和非定态状态。
定态状态的解即为格林函数的解。
格林函数是一个关于系统一维空间的函数，它可以描述某特定类型物理系统（如热力学系统）中的温度分布。
由此可见，格林函数的核心解就是定态状态的函数，可以用来解决微分方程式描述的一维系统问题。
为了求解一维系统的格林函数，首先需要将一维系统的问题描述成一维微分方程式。
然后再设定一般解的形式（如正弦波形的解），以此来描述某一特定的物理情况。
最后，根据特定的微分方程式，依据解的具体形式来确定边界条件。
有了这些条件之后，可以对一维系统格林函数进行求解。
一维格林函数的求解过程非常复杂，需要根据物理问题的类型来确定具体的求解方法。
热力学系统的格林函数求解一般使用拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种特定的数学方法，可以将一维空间的复杂问题转换为简单的数学模型。
拉普拉斯变换的计算结果是一维格林函数的解，它满足特定的微分方程式以及边界条件。
一维格林函数的解可以用来求解不同物理系统问题。
比如，可以使用格林函数解来求解无量纲化的热力学问题。
格林函数解可以帮助我们精确计算热力学量，如温度、密度、压强等。
这些量都是微分方程式的解，可以精确表达出热力学系统的定态状态。
此外，格林函数解还可以用于求解波动方程的解。
波动方程的解也可以用格林函数来求解。
此方法能够精确计算波动扩散，从而解决复杂的物理问题。
综上所述，一维格林函数的基本解是一种用来描述特定类型物理系统的普遍方法。
它们可以用来表示物理系统的温度分布，及热力学量的定态状态。
同时，格林函数不仅可以用于求解热力学问题，还可以用于求解波动方程的解。
薛定谔方程格林函数
薛定谔方程格林函数薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述量子力学中粒子的运动规律的方程。
对于稳态（平凡运动）薛定谔方程的解的形式通常可以表示为一个格林函数（Green's function）的形式。
格林函数是一个非常重要的数学工具，在物理学和工程学中都有广泛的应用。
薛定谔方程的格林函数可以通过求解薛定谔方程的本征态（eigenstate）得到。
本征态形式为Φ_n(x)exp(-iE_n t)，其中Φ_n(x)是空间部分的波函数，E_n是对应的能量值。
格林函数G(x,t;x',t')可以表示为薛定谔方程的本征态的线性叠加：G(x,t;x',t') = ∑_n Φ_n(x)Φ*_n(x')exp(-iE_n(t-t'))。
格林函数的物理意义可以理解为，在某一时刻t'下，在点x'处加入一个点源，那么在时刻t时，点源激发的波函数在点x处的贡献就是格林函数G(x,t;x',t')。
格林函数具有很多有用的性质，下面简要介绍两个重要的性质。
1. 波函数展开：对于任意时刻t，空间中的任意点x，波函数Ψ(x,t)可以通过格林函数和初始时刻的波函数Ψ(x',t')线性叠加的形式表示：Ψ(x,t) = ∫ d^3x' G(x,t;x',t')Ψ(x',t')。
这个性质对于求解时间依赖薛定谔方程非常有用，可以通过给定初始条件来求解任意时刻的波函数。
2. 归一化条件：格林函数具有归一化条件，即∫ d^3x ∫ d^3x' Ψ(x,t)G(x',t;x,t') = δ^3(x-x')δ(t-t')，其中δ^3(x-x')是三维δ函数，δ(t-t')是时间上的δ函数。
这个性质对于理解波函数的归一化（即满足概率守恒）非常重要。