一元二次方程整数根问题
一元二次方程的整数根问题--数不清
设(5p－132)2－17 404＝n2(n＞0，n为自然数).移项分解可得
(5p－132＋n)(5p－132－n)
＝22×19×229. 又(5p－132＋n)，(5p－132－n)同奇偶，所以，
解得p＝76.
注：从表面上看，此题中的p是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是 自然数，故可采用前法求得.
各位博友，请留下您的足迹，让我 不断学习、成长！数不清谢谢您！
听课+开课+反思=成长!
态度决定一切！
一元二次方程的整数根问题
数不清
[ 2011-3-5 22:15:00 | By: 数不清 ]
一元二次方程的整数根问题
1
推荐 迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件， 通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条 件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的 范围.
例4
设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8
＝0有两个整数根.求m的值及方程的根.
(1993,天津市初中数学竞赛)
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，故例1，例2的方法均不可用 .
广 Re:期末宣誓词 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:信封?关爱?感悟
有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为 一个整数或有理数的完全平方.考察判别式
△ ＝232＋36(n2＋2n＋2)
＝36(n＋1)2＋565.
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
含参数的一元二次方程的整数根问题
含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丰0, m z 土1 .△ =36(m> 0,所以m^ 3 .用求根公式可得6 12盟1 =--------- ，盟2 = ------------- ；，ni -1 m +1由于X1 , X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3 , 6, m+1=1 , 2, 3 , 4 , 6 , 12 ,解得m=2 .这时X1 =6 , X2=4 .解法2首先，m2-1丰0 , m z±设两个不相等的正整数根为X1 ,沁,则由根与系数的关系知6(3m -1) 一-饥m - I m - 1所以m2-仁2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36, 72 ,即m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 19 , 25 , 37 , 73,只有m2=4 , 9 , 25才有可能，即m=± 2，土3，土5 .经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-（3a 2-8a）x + 2a2-13a + 15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a工0,所以(3a2 -8a) ± 7(3a2 - 8a)2 -4a a(2a a - 13a + 15)(3J - 8a) + + 2a)2? ”所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3 , 5.例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△ =(m1)2_4m = n2,其中n是非负整数，于是2 2m -6m+1= n ,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以（舍去）■所Klm = 6,这时方程的两个根为£-说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值•解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解•当a工0寸，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数•令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3（否则“0）,所1如由求根公式得-2(a - 3) ± 2n _ 3 ±n亠一］---2a4(3 ±n)1+ 9-n所以要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n 可取1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合” •既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候，往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为x i》x,由韦达定理得从上面两式中消去a得x i X2+x i+X2= 6,所以(X i+ 1)(X2 + 1)=7 ,= 6, Xj = -2,--8>所以a=x 1X2=0 或16 .说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的例6求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x + (r-1)=0的所有根是整数•分析首先对r=0和r工0进行讨论.r=0时，是关于x的一次方程；r工时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r工0寸，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x i, X2,且x i>X2 ,贝U消去r得X1X2-X1-X2 = 2,所以(X i-1)(X2-1)=3 .ax 2 + 2(2a-1)x + 4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x + 2丰0于是2(^ + 6) a = ----------- + Cx+2)a由于a 是正整数，所以a > 1，即所以 x 2+2x- 8 < 0 ,(x + 4)(x-2) W 0 ,所以^! = 4, I ^! = 0, 心=2;= -1;所以 =-* 或1.综上所述，当心・$ 0, 1咏 方程的所有根都是整数.例7已知a 是正整数, 且使得关于x 的一元二次方程所以-4 W x W 2(X2)产当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1 , 6, 10, 3,”，1*所以咼妁值为1* 3, 6, 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时,方程只有一个整数根•有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解•例8已知方程x2+bx+c=0 与x2+cx + b=0各有两个整数根刘,和盟1，5!3,且盟1起2〉°*勒岂〉0*X2Cl)求证：X2<CQ J显;<0, Qi：⑵求证：b-1 W c W b1±(3)求b, c的所有可能的值.解⑴由X1X2> 0知，刘与X2同号.若X1> 0,则X2> 0 ,所以t)<CL与t> =盟；盟；〉。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名__________1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
含参数的一元二次方程的整数根问题.
含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以c≥b-1．同理有所以c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不相同的正整数根，则k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．。
一元二次方程整数根问题的题与解法
一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学（364412） 李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。
它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。
学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。
一、观察已知的方程的两根能否先求出。
若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。
例1 已知方程（a 2 – 1）x 2 – 2(5a+1)x +24 =0有两个不相等的负整数根根，则整数a =解析：在a 2 – 1≠ 0条件下，可求得方程的两个根x 1 = ，x 2 = ； 由x 1是负整数可得a 的可能值为：- 2，-3，-5；由x 2是负整数可得a 的可能值为：- 1，-2，-5；取相同的a 值- 2、- 5，即为所求。
评注：原方程的两根可以先求出（用a 表示），利用整除的性质，确定出所有的a 的可能值。
14+a 16-a二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。
例2 已知方程x2 + kx – k + 1 = 0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k =解析：依题意可知∆ = k2 + 4k - 4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2 + 4k – 4= t2, (k + t +2)(k+2 -t) = 8(k + t +2)与(k+2 -t)同奇偶且8是偶数，所以有：解得k = 1 或– 5经检验：k = 1 或– 5满足题目的要求。
评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数 整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。
三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。
例3 求所有有理数r,使得方程rx2 + (r+1)x + r – 1= 0的所有根为整数。
一元二次方程整数根问题
总结和展望
一元二次方程是数学中重要的一种方程类型，它具有广泛的应用和实际意义。未来，我们可以更深入地研究一 元二次方程的理论和应用，探索更多有趣的问题。
数学兴趣小组
如果你对数学感兴趣，可以加入你的学校或社区的数学兴趣小组，和志同道合的伙伴一起学习和探索。
图像特征
一元二次方程的图像是抛物线， 开口方向由a的正负性决定。
实际应用
一元二次方程可以用来建模和解 决现实生活中的问题，例如物体 运动、金融分析和天文学等。
一元二次方程整数根的概念
一元二次方程的整数根是指方程的解为整数的情况。我们需要找出如何判断方程是否有整数根。
1 定理
如果一元二次方程x²+px+q=0有整数根，那么它的两个根的和p和积q都是整数。
找出一元二次方程整数根的步骤和技巧
1
Step 1
先使用整除性判别法、完全平方数判别
Step 2
2
法和勾股数判别法判断方程是否有整数 根。
如果方程有整数根，可以使用试除法找
出正负两个根的可能值。
3
Step 3
将可能值带入方程验证，如果能够满足 方程的等式，则找到了方程的整数根。
一元二次方程整数根问题的实际应用
2 推论
当p和q都是整数时，一元二次方程x²+px+q=0可能有整数根。
判断一元二次方程是否有整数根的方法
整除性判别法
若方程的常数项q是一个质数 或一个质因数个数不超过2的 合数，则该方程没有整数根。
完全平方数判别法
若方程的判别式b²-4ac是一 个完全平方数，则该方程有 整数根。
勾股数判别法
若方程的系数a、b、c都是整 数，且a、b、c的最大公约数 为1，且有一个解为a、b、c 的三元组满足勾股定理，则 该方程有整数根。
一元二次方程整数根问题
一、整数根的情况分类
1．判别式为一次式
2．判别式为二次完全平方式
3．判别式为二次非完全平方式
一元二次方程整数根问题
根据求出参数的范围，然后代入参数的整数值，使得为完全平方数，最后代入求根公式，求出符合题意的整数解即可．直接代入求根公式，化成分子为常数的分式的形式，根据整数根，分子和分母的整除关系，求出符合题意的整数根．
【拓展】①若解得，则，，再求解．②若解得，则化简为，则，，再求解．③若解得，则化简为，则，，再求解．④若解得，则化简为，则，，再求解．
⑤若解得，则化简为，则，，，再求解．
必定为完全平方数才能有整数根，所以，令，利用平方差公式，求出符合为完全平方数的参数值，再代入求根公式，求出符合题意的整数解即可．爱智康
2018/06/12
Δ=−4ac b 2Δ⩾0Δx =−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a Δ=−4ac b 2x =−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a x =2k +1
k +1=±1±2x =2k +2k x =2+2k k =±1±2x =2+2k 2k x =2k +2k k =±1±2x =+2k 2k +1x ==+=k −1+−1+3k 2k +1−1k 2k +13k +13k +1k +1=±1±3x =2+2k 2k +1x ==+=2(k −1)+2(−1)+4k 2k +12(k +1)(k −1)k +14k +14k +1k +1=±1±2±4Δ=−4ac b 2ΔΔ=n 2Δx =−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a。
一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合
一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。
1、 如果()112++-x m x 是完全平方式，求m 的值 2、 若20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的值3、关于x ，y 的方程29222=++y xy x 有整数解，求满足条件的()y x ,的值 4、设k 为整数，且0≠k ，方程()0112=+--x k kx 有有理根，求k 的值。
5、当q 是什么实数时，对于任意有理数p ，方程()()0431222=+--++q p p x p x 有有理根？ 6、已知关于x 的方程()01212=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_________个。
7、已知a 是正整数，且使得关于x 方程()()0341222=-+-+a x a ax 至少有一个整数根。
求a 的值。
8、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()02322=-+++r x r rx 有根且只有整数根。
9、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．10、已知p 为质数，使一元二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值。
11、已知198=+q p ，求方程02=++q px x 的整数根。
12、设关于x 的二次方程()()4462862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。
求满足条件的所有实数k 的值。
13、已知关于x 的方程()01122=-+--m x m x 的两个根都是正整数，求m 的值。
一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
一元二次方程的整数整数解(含答案)-
一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
中考数学专题 一元二次方程的整数根
解题思路：把 x2 xy 2 y2 29 看作关于 x 的二次方程，由 x 为整数得出关于 x 的二次方程的
根的判别式是完全平方数，从而确定 y 的取值范围，进而求出 x 的值.
【例 4】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx2 (r 2)x r 1 0 有根且只有整数根.
于______________.
5．两个质数 a, b 恰是 x 的整系数方程 x2 21x t 0 的两个根，则 b a 等于（ ） ab
A． 2213
B． 58 21
2402
C．
49
D． 365 38
6．若 x2 mx 6 0 的两个根都是整数，则 m 可取值的个数是（ ）
A．2 个
例题与求解
【例 1】 已知关于 x 的方程 (4 k)(8 k)x2 (80 12k)x 32 0 的解都是整数，求整数 k 的值.
（绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两
种情形讨论，这样确定 k 的值才能全面而准确.
【例 2】 p, q 为质数且是方程 x2 13x m 0 的根，那么 q p 的值是（
x2 2( y 50)x ( y2 y) 0 ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例 6】 试求出所有这样的正整数解 a ，使得二次方程 ax2 2(2a 1)x竞赛试题）
解题思路：本题有两种解法. 由于 a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以 a 为元，以 x 为已知数整理成
A．100
B．400
C．700
D．1000
（太原市竞赛试题）
9．求所有的实数 k ，使得方程 kx2 (k 1)x (k 1) 0 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）
17.6一元二次方程的整数根问题
第十七章 第6讲 一元二次方程整数根问题知识精要对于有理数系数的一元二次方程02=++c bx ax (c b a 、、为有理数，且0≠a )，可以通过对方程两边同时乘以一个适当的数(零除外)，将有理数系数的方程化为整系数方程.因此，我们常将有理数系数一元二次方程转化为整系数一元二次方程.整数根的问题是有关整系数一元二次方程的一个重点.常需要多角度、全面地思考问题，灵活地运用方程的判别式、根与系数的关系等各种性质来解决问题.1.判别式法使一元二次方程有整数根的前提条件是：0≥∆且∆是完全平方数.因此，求解一元二次方程整数根的问题常常可以从判别式情况出发分析、研究.2.韦达定理法在一元二次方程有解的条件下，利用根与系数的关系，构造适当的因式关系式，利用整数的约数进行分类讨论，进而求得一元二次方程的整数根.经典题型精讲(一)判别式法例1.已知关于x 的一元二次方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数根，求整数m 的值.例2.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例3.已知关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x m mx 有有理数根，求整数m 的值.例4.设方程03)2(2=-+--m x m mx 有整数解，试确定整数m 的值，并求出此时方程的所有整数解.(二)根与系数的关系例5.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(2=-+++k x k x 有两个整数根，求整数k 的值.例6.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.例7.已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根是非零整数，且198=+q p ，求p 的值.例8.若关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 的根都是整数，求所有整数a 的值.能力提升1.已知关于x 的一元二次方程05112822=+-+-a a x x 的根都是整数，求整数a 的值.2.设m 为整数，且404<<m ，关于x 的一元二次方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 及方程的根.3.求x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的恰好为两个连续的偶数乘积.4.已知关于x 的一元二次方程)0(0)6(2≠=+-+a a x a x 的两根都是整数，试求整数a 的值.5.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且它们是方程0122=+--m x mx 的两个根(m 为整数)，那么这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有直角三角形的三边长；若不存在，请说明理由.6.若一元二次方程012=++-m mx x 的两根都是整数，求整数m 的值.7.已知关于x 的一元二次方程024)15(2)1(22=++--x a x a 有两个不相等的负整数根，求实数a 的值.。
一元二次方程的整数根问题
一元二次方程的整数根问题一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
方程形式：通常形式使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
变小形式解题方法：公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字二者乘法解法因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法求解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边水解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解这两个一元一次方程，它们的求解就是原方程的求解.十字相乘法公式公式法（可解全部一元二次方程）求根公式去求出方程的木配方法（可以求解全部一元二次方程）开方法（可以求解部分一元二次方程）均值代换法（可以求解部分一元二次方程）设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
再求出x1, x2。
简单解法1．看看与否能够用因式分解法求解（因式分解的数学分析中，先考量加公因式法，再考虑平方公式法，最后考量十字相加法）2．看是否可以直接开方解3．采用公式法解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）如果要参加竞赛，可按如下顺序：a.因式分解；b.韦达定理；c.判别式； d.公式法；e.配方法；f.开平方；g.求根公式；h.表示法。
求一元二次方程整数根方法举隅_9
求一元二次方程整数根方法举隅对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。
本文对这一问题作一探讨。
1 直接求解例1．m 是什么整数时方程（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛） 解：显然m ≠±1,原方程可分解为[（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0x 1=16-m x 2=112+m ∵x 1 , x 2是正整数∴m-1=1或2或3或6m+1=1或2或3或4或6或12解得m=2或3.但m=3时x 1=x 2不合题意，舍去。
当m=2时x 1=6 ,x 2=4符合题意。
故m=2。
2.利用判别式Δ≥0例2 已知方程ax 2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a 的值解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a ≠0∵Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0∴3a 2-2a-9≤03)721(3)721(+≤≤-a 满足上式的整数a 的值有-1，1，2，检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ；当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ；当a=1时x 2+2x-1=0无整数解。
故a= -1或2例3 求满足方程y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对（x,y ）(1995江苏省初中数学竞赛)解：将原方程变形为2x 4-4yx 2+(y4+1)=0有△≥0即（-4y ）2-8(y 4+1)≥0即-8(y 2-1)2≥0 即（y 2-1）2≤0故y=1或-1当y= -1时原方程无解；当y=1时（x 2-1）2=0,x=1或-1∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。
3．利用判别式Δ是完全平方式例4 设m 为整数且4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4<m<40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38 例5． x 为何有理数时代数式9x 2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛）解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x 2+23x-2=k(k+2)即9x 2+23x-(k 2+2k+2)=0 ∵x 是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设232+4·9（k 2+2k+2）=565+[6(k+1)]2=p2 (p ≥0)p 2-[6(k+1)]2=565=113•5=565•1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113•5=565•1∴ p+6(k+1)=113p-6(k+1)=5或 p+6(k+1)=565p-6(k+1)=1分别解得k=8或k=46。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
班级__________ 姓名__________
1.利用判别式
例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，
∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1
又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根
∴22164(445)0m m m =---≥ 得54
m ≥-
综上所述，－45≤m ≤1
∴x 可取的整数值是-1，0，1
当m=-1时，方程为－x 2
-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数. ∴244m m =+-一定是完全平方数
设2244m m k +-=（k 为正整数）
∴22(2)8m k +-=
即：(2)(2)8m k m k +++-=
∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同
∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224
m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式
例 3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程
2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-
由求根公式得222642(6)2(68)
k k k x k k -++±-=-+
即 12241,142
x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=-
-=-++ 两式相减，得1224211
x x -=++ 即 12(3)2x x +=-
由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或
121,5x x ==-
分别代入，易得k=
3
10，6，3。
3.利用方程根的定义 例4.当b 为何值时，方程 220x bx --=和2
2(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)
当b ≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20b b b +-+-= 解得b=1,x=2
当b=2时,两方程无整数根.
∴b=1,相同的整数根是2 4.利用因式分解
例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.
解: 当a=1时,x=1
当a ≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a
==-+- ∵ x 是整数 ∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3
由上可知符合条件的整数有5个.
例 6.(1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程。