自控原理 2007(附答案)

因相角裕度为 0° ，系统临界稳定(不稳定)；{相角裕度为 0.06° ，系统稳定，稳定裕度很小；} (3) 据题意有， γ = 180° − 90° − arctan 10ωc − arctan 0.1ωc = 30° ， arctan 解得， ωc = 0.1667 rad /s ；
k
10.1ωc = 60° ； 1 − ωc2
G4 R(s)
G1H1 + G1G2
(1 + G3 H 2 ) − G3G4 H1H 2 1 + G3 H 2
-
1 1 + G1H1 G1G2G3 H1H 2 1 + G3 H 2
E(s)
E (s) 1 + G3 H 2 − G3G4 H1H 2 = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2
(1 + G1H1 ) X = G1R − G1H1H 2C ； G2G3 X = −G3G4 R + (1 + G3 H 2 )C ；
2
C (s) G1G2G3 + G3G4 (1 + G1H1 ) = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2
4
G(s) =
K ( s + 1) ； s + a s 2 + 2s + 1
3
若使系统以 ω = 2 rad /s 频率持续振荡，试确定相应的 K 和 a 的值。 解：据题意，期望的特征多项式应为 得到
( s 2 + ω 2 )( s + b)
ω = 2，b > 0 ；
s 3 + as 2 + ( K + 2) s + K + 1 = s 3 + bs 2 + 4 s + 4b ；
2007 年招收硕士研究生入学考试试题 自动控制原理试题
一(15 分)已知系统如方框图所示， G4 R(s) G1 H1 + + G2 G3 H2
C(s)
C (s) E (s) 及以输入端定义的误差传递函数 。 试求闭环传递函数 R( s ) R( s )
解：系统信号流图为 G4 R E G1 -H1 - H1H2 G2 G3 -H2
0
σ 1 = 1.5 − 0.5 15 ， σ 2 = 1.5 + 0.5 15 ；
与虚轴的交点， Im：k − 1 = 0 ； Re ： 1.5k − ω = 0 ； kc = 1，ωc = ±0.5 6 ；
2
根轨迹上的箭头表示 T 值增大的方向。保证系统稳定的 T 值范围是，T > 4。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------点评：(1)正确列写规范的根轨迹方程；(2)给出 k 与 T 的关系；(3)完整的解题步骤；(4)明 确根轨迹箭头的意义；(5)指明系统稳定的 T 值范围。 ******************************************************************************** 四(15 分)已知最小相位系统的开环对数幅频渐近特性如图所示， 试求(1)系统的开环传递函数； (2)利用稳定裕度判别系统的稳定性； (3)若要求系统具有 30° 稳定裕度，试求开环放 大系数 K 应改变的倍数。 解：(1) ω1 = 0.1, T1 = 10 ； ω2 = 10, T2 = 0.1 ； K = 10 ； G ( s ) = 40 L(db) -20 -40 0.1 10
s →0
s ( s + 3) 2
1 K K ≥ ； ； K ≥ 4； 9 9 2.25
a > 0, b > 0 ；
(2)据题意，要求闭环极点均为负实数，取满足该条件的最大Km值，有重极点，即
s ( s + 3) 2 + K m = ( s + a ) 2 ( s + b)
2a + b = 6 a = 1 2 ； Km = a b = 4 ； K ≤ 4 ； ； 2 2ab + a = 9 b = 4 答案，同时满足两个条件的 K 值为 K = 4 。
解法三：消元法， G4 R(s) E(s) G1 H1 消去 X , E ，计算闭环传递函数 C ( s ) / R ( s ) ， X(s) + G2 + -
G3 H2
C(s)
E = R − H1 X − H1 H 2C ； X = G1 E ； C = G3G4 R + G2G3 X − G3 H 2C ；
2
1 a
ωc
ω
-60
10 ； s (10s + 1)(0.1s + 1) (2) 由对数幅频渐近特性得到， ωc = 1 rad /s ；由 | G ( jωc ) |= 1 得到 ωc = 0.9951 rad /s ；
γ = 180° − 90° − arctan 10ωc − arctan 0.1ωc = 0° (0.06°) ；
C
L1 = −G1 H1 ； L2 = −G3 H 2 ； L3 = −G1G2G3 H1H 2 ；
Δ = 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2 ；
C (s) ，P 1 = G1G2G3 ； P 2 = G3G4 ； Δ1 = 1 ； Δ 2 = 1 + G1 H 1 ； R( s ) C (s) G1G2G3 + G3G4 (1 + G1H1 ) = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2 E (s) 计算 ，P 2 = −G3G4 H 1 H 2 ； Δ1 = 1 + G3 H 2 ； Δ 2 = 1 ； 1 = 1； P R( s ) E (s) 1 + G3 H 2 − G3G4 H1H 2 = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2
计算 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------点评：正确理解“输入端定义的误差”是计算误差传递函数的要点；如下所述，本题可以 应用方框图简化计算传递函数，解题过程过于烦琐； 还可以应用消元法计算传递函数。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------解法二：方框图简化 R(s) -
5(1 − s ) (Ts + 1)( s + 1)
C(s)
试绘制 T 由 0→∞变化的根轨迹，并给出保证系统稳定的 T 值范围。 解：系统的特征方程、根轨迹方程依次为
3
Ts ( s + 1) − 4 s + 6 = 0 ；
k ( s − 1.5) 4 = 1， k = ； s ( s + 1) T
C (s) ， R( s )
G4 G1 H1 H1
1
+ G2 G3 H2 H2
C(s)
G4 R(s)
G1G2 1 + G1H1 -
+
G3 C(s) 1 + G3 H 2
H1H2
R(s)
G1G2 + G4 (1 + G1H1 ) 1 + G1H1
G3 (1 + G1H1 ) C(s) (1 + G1H1 )(1 + G3 H 2 ) + G1G2G3 H1H 2
解得， --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------点评：(a)计算满足稳态误差要求的最小 K 值，(b)计算临界阻尼(3 个极点均为负实数)的最 大 K 值。(c)应用根轨迹概念，计算满足条件(2)的 K 值， --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(2)解法二，根轨迹方程 K /[ s ( s + 3) ] = −1 ；实轴上根轨迹 (−∞, − 3) ， ( −3, 0) ；
ωc 1 + 100ωc2 1 + 0.01ωc2
= 1 ；得到 k = 0.324 ；Leabharlann Baidu
开环放大系数 K 应减小到原值的 0.0324 倍，即 K 应减小到 0.324。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------点评：(1)教材的基本要求；(2)应用对数幅频渐近特性计算剪切频率 ωc ；根据计算结果判 断系统稳定性；(3)应用相角关系剪切频率 ωc ；计算相应的 k 值。 ******************************************************************************** 五(20 分)已知单位反馈系统的开环传递函数为
******************************************************************************** 二(20 分)已知系统如方框图所示， 1 R(s) C(s)
K
试求同时满足下列两个条件的 K 值： (1) r (t ) = t 时，稳态误差 ess ≤ 2.25 ； (2) 阶跃响应无超调。 解：(1) K v = lim sG ( s ) =
2
根轨迹与实轴交点，解 3s + 12 s + 9 = 0 ，得 σ x = −1 ， K x = 4 ； K ≤ K x = 4 。
2
******************************************************************************** 三(15 分)已知系统如方框图所示， R(s) -
K = 2；b = 0.75；a = 0.75。
答案， a = 0.75、K = 2 满足要求。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------点评：(1) 持续振荡正表示系统有一对纯虚数极点 ± jω ；(2)根据特征方程计算所需参数； (3)可以用劳斯稳定判据求解， s3 s
p2
Im
根据根轨迹方程，绘制 0° 根轨迹：
kc
p1 z1 Re
p1 = 0 ， p2 = −1 ； z1 = 1.5 ； n − m = 1 ；
实轴上的根轨迹， ( −1, 0) ， (1.5, ∞) ； 与实轴的交点， (2 s + 1)( s − 1.5) − s ( s + 1) = 0 ，
C (s) G1G2G3 + G3G4 (1 + G1H1 ) = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2
R(s) E (s) ， R( s ) E(s) H1 G4 R(s) + H2 G3 + E(s) G2 G1
G3 H1H 2 1 + G3 H 2
消去 X , C ，计算闭环传递函数 E ( s ) / R ( s ) ，
H1H 2C = R − (1 + G1H1 ) E ； (1 + G3 H 2 )C = G3G4 R + G1G2G3 E ； E (s) 1 + G3 H 2 − G3G4 H1H 2 = ； R( s) 1 + G1H1 + G3 H 2 + G1G2G3 H1H 2 + G1G3 H1H 2