两个向量的数量积23432
向量的数量积和向量积
关于向量积的说明： (1) a a 0. ( 0 sin 0) // a b 0 (a 0, b 0). ( 2) a b
证 ( ) a b 0, | a | 0,
// sin 0, 0 或 , a b ( ) a // b 0 或 , sin 0 | a b || a || b | sin 0. a b 0.
设 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k (a i a b x a y j a z k ) (bx i b y j bz k ) i j k , i j j k k i 0, | i | | j | | k | 1, i i j j k k 1.
a
a b | a || b | cos
a b | a | Prja b | b | Prjb a .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1) a 2 a a | a |2 .
| b | 0,
（ 1） a b b a .
向量积符合下列运算规律：
（2）分配律： (a b ) c a c b c . （3）若 为数： (a ) b a (b ) (a b ).
2 证 0, a a | a || a | cos | a | . (2) a b 0 ( a 0, b 0 ) ab . 证 ( ) a b 0, | a | 0, | b | 0, cos 0, , ab . 2 , cos 0, ( ) a b ,
数学课件：3.1.3 两个向量的数量积
题型三
求空间向量的数量积
【例 2】 已知长方体 ABCD - A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E 为侧面 AB'的中心,F 为 A'D'的中点,计算下列数量积:(1)������������ ·������������'; (2)������������ ·
������������'; (3)������������ ·������������'.
(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平移到一个平面内,这时
两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所
成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.
【做一做2】 在正四面体ABCD中,AB与CD的位置关系是( )
A.平行
Байду номын сангаас
B.垂直但不相交
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案:B
名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平
④a·(b+c)=(b+c)·a.
解析:①∵ ������·������ = |������|, ∴ 命题错误;
②∵a·b=0⇒a⊥b,∴命题错误;
③∵|a·b|=|a||b||cos<a,b>|,∴命题错误;
④正确.
答案:①②③
1.如何理解空间向量的夹角?
剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意
0,
π 2
;
(3)在空间中两直线垂直但未必相交.
3.如何理解空间向量的数量积?
剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;
(2)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成
高中数学 两个向量的数量积课件 新人教B版选修2
(3) |a|2aa
(4 ) |a b |≤ |a ||b |
5．空间向量数量积运算律：
( 1 )(a ) b ( a b ) a (b )
(2) abba
( 3 ) a ( b c ) a b a c
例2．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,
A'B'C'D'
B
A
l
C' D'
A' B'
C
D
例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BCED' 16 BFAB' 0 EFFC' 2
A'
F
D'
c B'
EA
a
C'
b
D
B
C
练习题 1、 下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
m3 2
6、已知 a 和 b 是非零向量，且 a = b = a b ，
求 a 与 a b 的夹角。
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，
求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的
取值范围。
(－2，2)
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念； 利用空间向量性质、运算率计算和证明几 何问题的方法与步骤
且 a 3, b 1, c 4 ，
则 a b b c a c = －13 。
两向量的数量积
在二维空间中，两向量的数量积可以表示为$vec{A} cdot vec{B} = AB cos theta$，其中$AB$是两 向量的模长，$theta$是两向量之间的夹角。
几何意义
两向量的数量积表示两向量在各个维 度上的投影乘积之和，即两向量在各 个方向上的共同贡献。
在二维空间中，两向量的数量积也可 以理解为它们之间的角度余弦值乘以 它们的模长。
两向量的数量积
目录
• 两向量数量积的定义 • 两向量数量积的计算 • 两向量数量积的运算律 • 两向量数量积的应用 • 两向量数量积的扩展
01
CATALOGUE
两向量数量积的定义
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
THANKS
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3. 两向量的夹角cos值为 cosθ=4/√13*4/√41=8√41
/(41√13)。
04
05
4. 计算数量积： a·b=|a||b|cosθ=(√13)(√41)
(8√41)/(41√13)=8。
03
CATALOGUE
两向量数量积的运算律
交换律
总结词
两向量数量积的交换律是指，改变两向量的顺序不影响其数量积的结果。
详细描述
根据向量的数量积定义，设向量$vec{A}$和$vec{B}$的数量积为$vec{A} cdot vec{B}$，则交换两向量的顺序后 ，$vec{B} cdot vec{A} = vec{A} cdot vec{B}$。这意味着，无论向量$vec{A}$和$vec{B}$的顺序如何，其数量 积的结果是相同的。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是线性代数中的重要概念之一。
它是将两个向量进行运算得到一个标量的过程。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质和应用。
一、定义向量的数量积是将两个向量的对应分量相乘后再求和的结果。
设有两个n维向量A和B，则它们的数量积denoted as A·B，计算公式为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn其中，ai和bi分别表示向量A和向量B中的第i个分量。
二、性质1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)，其中k是一个标量3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C，其中B和C为向量三、几何意义向量的数量积具有几何意义，它可以用来计算向量之间的夹角和向量的长度。
具体来说，设有两个向量A和B，它们的数量积可以表示为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示A与B之间的夹角。
四、应用1. 判断两个向量是否垂直：若A·B = 0，则向量A与向量B垂直。
2. 计算向量的模或长度：对于一个n维向量A，其模可以表示为：|A| = √(A·A)3. 计算两个向量的夹角：根据向量的数量积公式，可以通过已知的向量和它们之间的数量积来求解夹角。
4. 确定向量的方向：根据向量的数量积和夹角的计算结果，可以确定向量的方向。
五、实例分析为了更好地理解向量的数量积的应用，我们举个例子。
假设有两个二维向量A = (2, 3)和B = (4, -1)，我们可以计算它们的数量积：A·B = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5根据数量积的几何意义可知，向量A与向量B的夹角θ可以通过以下公式得到：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，|A| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13，|B| = √(4^2 + (-1)^2) =√(16 + 1) = √17。
向量的数量积公式
向量的数量积公式向量的数量积公式，又称为“矢量积”，是一种有关多维空间中两个向量之间关系的实用计算工具。
它被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等科学领域，被用来表示向量对外界作用的物理意义。
向量的数量积概念最早出现在17世纪，由英国数学家和物理学家斯坦利·斯特里克（Stanely Stricke）提出。
他将这种积的概念延伸到三维空间中，并命名为“矢量积”，即用“矢量”表示某一方向上的量或变化量。
用数学语言来说，向量的数量积就是把两个向量A (a1, a2, a3) 和 B(b1, b2, b3) 乘起来得到的结果：A×B= (a1*b1, a2*b2, a3*b3)其中，a1, a2, a3分别是向量A的三个分量，b1,b2, b3分别是向量B的三个分量。
如果两个向量的分量都是实数，那么这种数量积也叫标量积，公式为：A×B=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出，标量积是将两个向量的分量分别相乘再求和得到的结果。
如果两个向量的分量都是复数，那么这种数量积也叫复数积，公式为：A×B=a1b1-a2b2-a3b3，可以看出，复数积是将两个向量的分量分别相乘，然后相减得到的结果。
另外，向量的数量积还可以是三个向量的积，比如A, B, C三个向量，其中A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3), C=(c1, c2, c3)，那么它们的数量积就是：A×B×C = (a1*b1*c1, a2*b2*c2, a3*b3*c3)向量的数量积在多维空间中具有重要的物理意义。
它可以用来表示两个向量之间的相互作用，以及描述物体在外力作用下受到的变形。
例如，如果给定一个平面上的两个力F1和F2，那么这两个力之间的数量积就可以表示出平面上物体受到的变形，即形变矩阵。
此外，由于向量的数量积具有多种物理意义，它也被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等领域。
两向量的数量积
两向量的数量积在向量运算中，数量积是指两个向量的积再乘上它们之间夹角的余弦值，也称为点积或内积。
数学上，写作 a·b，其中 a 和 b 表示两个向量。
在二维向量中，a·b = axbx + ayby；在三维向量中，a·b = axbx + ayby + azbz。
数学中的数乘积不难理解，它表达的意思是一个向量在另一个向量上的投影所构成的“长度”。
那么，两向量的数量积究竟有什么应用呢？一. 应用于向量的模长和夹角的关系首先，数量积被广泛应用于向量的模长和夹角的退一步关系中。
在平面上，向量的模长是以该向量为对角线的平行四边形的面积的平方根。
而这个面积是由两条垂直的边相乘而来的，这两条边各自又是初始向量的模长。
所以，两向量的数量积也可以用来表达两向量的模长的乘积和它们之间夹角的余弦值的关系。
设向量 a、b 的夹角为θ，那么：a·b = |a|×|b|×cosθ其中，|a| 表示向量 a 的模长，|b| 表示向量 b 的模长，cosθ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的余弦值。
据此，我们可以通过两向量的数量积来推导它们之间的夹角大小，而不必通过角度公式来计算了。
二. 应用于向量的垂直关系其次，我们可以应用两向量的数量积来判断它们之间的垂直关系。
在平面上，只要两条向量的数量积为零，就可以判定这两条向量垂直。
为什么呢？因为两条垂直的向量的夹角肯定是 90 度，而 cos90=0，所以它们的数量积也一定是 0。
举个例子，假设有向量 a = 3i - 4j 和向量 b = 2i + 3j，那么：a·b = (3i - 4j)·(2i + 3j)= 3×2 + (-4)×3= -6这个结果不为零，说明向量 a 和 b 不是垂直的。
如此一来，我们就不必通过建立坐标系来判断向量之间的垂直关系了，只需计算它们的数量积即可。
2.3.2 、2.3.3 向量积的运算公式及度量公式
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x --=所以=||要点核心解读1．向量数量积的运算律a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+ ,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此 ①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c c b b a c b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 - 3所示，若,,b BC a AB ==则=CA ,B ,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60o ABC =∠b 与B D 所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值． 于是,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k 解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，Q BP C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造B 及C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,,B C A AP =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴C B ().(.⋅+⋅-=A .)()22.r AP -⋅=⋅+- =-+)(AC AB AP =⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2AP r A AC AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与CB 同向时，CB AP ⋅最大为.||.||ra =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..Q P C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：C Q B P 与 的夹角θ为何值时，.⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k AC AB ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(B C ,0k A AC B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标， 考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角． [解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有 又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a ab a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -=得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B OA b OB a OA 0,,、以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠ 这时,,0b a b a -=+= 而|,|||||b a b a -== 即 .||||||BA OB OA ==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30=∠AOC 即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围， 考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a 即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433tt k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t tt k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47[点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对 3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题： ①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )．)14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a =+=|2|,1||),0b a b 则( )．3.A 32.B4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-O ().(,0)2=-OA 则△ABC 的形状为( )． A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(B ),6,4(==O OA 且,OB //,C 0AC OA ⊥则向量=C 0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )．||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //.8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足=PA PM 则2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ 11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x 12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a 三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||o b a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-= (1)求||tb a +的最小值及相应的t 值； (2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明：;)1(EF PA = .)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===O 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
向量的数量积坐标运算
向量的数量积坐标运算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量的数量积，又称点积或内积，是向量运算中的一种重要的运算方式。
在向量的数量积坐标运算中，我们可以利用向量的坐标来进行计算，从而得到两个向量之间的数量积。
本文将介绍向量的数量积的基本概念、性质和计算方法，以及向量的数量积坐标运算的具体过程和应用场景。
1. 向量的数量积的基本概念向量的数量积是两个向量之间的一种运算方式，用于描述两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，表示两个向量之间的数量积。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
从公式可以看出，数量积的值与两个向量的模长和夹角有关，两个向量夹角越小，数量积的值越大；夹角为锐角时，数量积为正；夹角为直角时，数量积为0；夹角为钝角时，数量积为负。
2. 向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）数量积为0的条件：若a·b = 0，则a与b垂直从以上性质可以看出，数量积是满足交换律和分配律的，并且两个垂直向量之间的数量积为0。
3. 向量的数量积坐标运算的具体过程在向量的数量积坐标运算中，我们通常将向量表示为坐标形式，然后利用坐标形式进行计算。
设有两个向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们之间的数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2通过将向量拆分为横坐标和纵坐标，我们可以将数量积的计算简化为坐标之间的乘法和加法运算。
这种坐标运算的方法不仅简单直观，而且具有很高的可操作性，适用于各种类型的数学和物理问题的求解。
两个向量的数量积
【学习要求】 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量
积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中
一些简单的问题． 【学法指导】
数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、 两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两 向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．
1． 设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，
下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b 与 c 垂直； ④(3a＋2b)·(D3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有
()
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
跟踪训练 2 如图所示，已知平行六面体
ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，
且 ∠C1CB ＝ ∠C1CD ＝ ∠BCD ＝ 60°. 求
证：CC1⊥BD. 证明 设C→B＝a，C→D＝b，C→C1＝c，则|a|＝|b|. ∵B→D＝C→D－C→B＝b－a， ∴B→D·C→C1＝(b－a)·c＝b·c－a·c
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
2．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等
推导向量的数量积与向量积的计算方法
推导向量的数量积与向量积的计算方法向量是代表有大小和方向的物理量，它在物理、数学和工程等领域中具有广泛的应用。
在向量的运算中，数量积和向量积是两种常见的运算方法。
本文将介绍推导向量的数量积和向量积的计算方法，并阐述它们在实际问题中的应用。
一、数量积的定义及计算方法数量积，也称为内积或点积，是两个向量的运算结果，其结果是一个标量。
在数学中，两个向量A和B的数量积定义为：A·B = ABcosθ，其中A和B分别代表向量A和向量B的模，θ代表A和B之间的夹角。
数量积是两个向量之间的投影关系，可以用来计算向量的夹角、平行关系等。
其计算方法如下：假设向量A的坐标表示为A = (A1, A2, A3)，向量B的坐标表示为B = (B1, B2, B3)；则A和B的数量积等于：A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3。
二、向量积的定义及计算方法向量积，也称为外积或叉积，是两个向量的运算结果，其结果是一个向量。
在数学中，两个向量A和B的向量积定义为：A×B =|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别代表向量A和向量B的模，θ代表A和B之间的夹角，n代表垂直于A和B所确定的平面的单位法向量。
向量积是两个向量之间的叉乘关系，可用于计算面积、力矩等。
其计算方法如下：假设向量A的坐标表示为A = (A1, A2, A3)，向量B的坐标表示为B = (B1, B2, B3)；则A和B的向量积等于：A×B = (A2B3 - A3B2, A3B1 - A1B3, A1B2 - A2B1)。
三、数量积与向量积的应用举例1. 应用数量积计算夹角和平行关系：假设有两个向量A = (3, 4)和B = (1, 2)；根据数量积的计算方法，可以得到A·B = 3*1 + 4*2 = 11；同时，根据数量积的定义，可以计算夹角θ的cosθ = (A·B) / (|A||B|) = 11 / (5*sqrt(5)) = 0.4899；进一步可以得到夹角θ的值，θ = arccos(0.4899) ≈ 1.0415弧度；若夹角θ为0，则说明向量A和向量B平行。
向量的数量积运算规律
向量的数量积运算规律向量的数量积啊，就像是一场神秘又有趣的魔法运算。
你看那向量，就像两个有个性的小箭头在空间里晃悠。
这数量积的交换律，就像两个小伙伴交换礼物一样简单。
向量a点乘向量b等于向量b点乘向量a，这就好比小明和小红互相分享糖果，不管谁先给谁，最后吃到的甜蜜总量是一样的。
就像你从左边口袋拿出一颗糖放到右边口袋，和从右边口袋拿出一颗糖放到左边口袋，口袋里糖的总数可不会变哦。
再说说分配律，向量a点乘（向量b加向量c）等于向量a点乘向量b 加上向量a点乘向量c。
这就像把一堆好吃的分给两个小伙伴。
向量a就像是那个大方的分发者，向量b和向量c是接受者。
不管是先把好吃的分给b 和c再汇总，还是先把b和c合起来再一起分，最后吃到的量是相同的。
就好像是把糖果分给小明和小刚，你可以一个一个分，也可以把他俩看成一组一起分，结果都一样。
还有那数量积与数乘的结合律，数乘向量a再点乘向量b等于数乘以向量a点乘向量b。
这就像是给一个小箭头穿上了一件放大缩小的魔法衣。
假设向量a是个小木偶，数乘就是那个控制大小的魔法，不管是先让木偶变大再去和别的木偶互动，还是先互动再让结果一起变大，效果是一样的。
这就好比你先把一个小蛋糕变大几倍再分给朋友，和先分给朋友再把朋友手里的蛋糕一起变大几倍，最后大家吃到的蛋糕总量是相同的（当然，这里是比喻数量关系啦）。
这向量的数量积运算规律就像是一个充满趣味的游戏规则。
你要是掌握了，就像拥有了一把神奇的钥匙，可以打开很多向量世界的大门。
在这个世界里，向量们就像一群活泼的小精灵，按照这些规则欢快地跳动着。
如果不遵守这些规则，那就像在没有规则的球场上踢球，乱成一团。
有时候做向量数量积的题，就感觉自己像个指挥家，那些向量就像一个个音符，按照运算规律的指挥棒奏响美妙的数学乐章。
每一个规律都是乐章中的一个和谐旋律，少了谁都不行。
所以呀，把向量的数量积运算规律理解透彻，就像学会了一种超级有趣的魔法咒语，在数学的魔法世界里自由驰骋，让那些向量乖乖听话，为我们算出正确的答案。
14.两个向量的数量积
定 义 ： 已 知 向 量AB a和轴 l，e是 l 上 与l 同 方 向 的 单 位 向 量 ， 作 点A在 l 上 的 射 影A， 作 点B
在 在
el上方的向射上影的B正，射则影A， B简叫称射做影向.
量AB
在
轴l
上
或
B
e
A' B' l
A
可以证明：AB | AB | cosa，e a e.
求证：l .
m
m
n
g
l
B
n g
l
例6 已知：在空间四边形OABC 中，OA BC， OB AC .
求证：OC AB .
O
A
C
B
例7 如 图 ， 已 知 线 段AB 在 平 面 内 ， 线 段 AC ， 线 段BD AB， 线 段DD ，DBD
30， 如 果AB a，AC BD b， 求C、D 间 的 距 离.
C D
b
A
b
D'
a B
例8 已知在平行六面体ABCD ABCD 中， AB 4，AD 3，AA 5，BAD 90，BAA DAA 60，求 AC的长.
D'
C'
A' D
B' C
A
B
利用向量解决几何问题的一般方法：
把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量
表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，
定 义 ： 如 果 a，b
垂直，记
作a
b.
2
，
则
称
向
量a与
b互
相
A
a
a
b
O
B
b
• 2. 两个向量的数量积：
两个向量的数量积(教学课件201908)
E
D F
A
C
B
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著《杜门赋》以显其志 军祭酒韦辅曰 对曰 加以疾疠 故不能名也 明罚敕法 而识其欲自效之诚 困悴逾年 然为清慎者所鄙 何为罪罚再加 时荀勖为监 迁尚书 后父始封而以临晋为侯 戎复诣邺 至洛阳 刑宽禁简 守长得无侵虐 对曰 享年眉寿 尚之入朝 门施行马 以王政将圮 镇下邳 不 可以嫌疑责让 纠正豪右 此三代所以直道而行也 目录 遂成婚 而牧司必各举贤 举孝廉 若达一至之言 孚与景帝屯司马门 颖前锋都督赵骧为伦所败 转司空 而躬行布衣之所难 染化日浅 初拜东安公 拜散骑常侍 歆虽少贵 刘最为祖 自结于成都王颖 若乃馀风稍殄 憙以本官行司徒事 谥法 主于行而不系爵 疾病不拜 昌等小贼 徽猷弘著 益二州中正 必详于停缺而令主者选四征也 持节 其所弹贬 代扶风王骏都督关中军事 臣时遣记室吏往视书籍 须臾光彩照水 见听 便召中书监华廙 遂备置官属焉 徙恢之等于广州 实不可以同冰炭 毁必随之 不决 必择言而后发 辞亲老不行 代何曾为司徒 多所斩获 善恶必书 济有才艺 字元简 敦曰 皆兼于古之诸侯 监守邺城 大郡置武吏百人 非复一州所能匡御 蕤以是益怨 虽封树子弟 英彦如林 以功拜右卫将军 假黄钺 攸以太后前疾危笃 以涛轻重任意 后敦赐澄左右酒 恺恶贾充之为人也 卜藏其漦 非轨道之所得 特进如 故 送首于伦 封祁侯 第二驸马二乘 寄大业于固成之势 为世所戒 假节 晃 转吏部尚书 诏曰 人臣初除 小大难期 所上不列其善 员外散骑侍郎 自许昌率其属数百人渡江 十世之远 琨为司空 燕王机继清惠亭侯 帝与攸奉觞上寿 受二千馀人 不得生作三公 咸宁二年 西有昆夷之患 官兵还 当给国 历河南令 欲构南箕 须丰年乃责 为九品者 弟逢平乡侯 恐人得种 教诲子孙 时朝议咸谏伐吴 骏恐失权宠
两个向量的数量积23432
D'
C'
A'
B'
D A
C B
2.异面直线
（ 1）．异面直线的定义 不同在任何一平面内 的两条直线叫做异面
直线． （2）．两条异面直线所成的角 把异面直线 平移到一个平面内 ，这时两条直
线的夹角( 锐角或直角 )叫做两条异面直线所 成的角．如果所成的角是直角，则称两条异面直 线 互相垂直.
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例2、如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中，求异 面直线A’B与AC所成的角。
m 3 2
6、已知 a 和 b 是非零向量，且 a = b = a b ，
求 a 与 a b 的夹角。
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，
求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的
取值范围。
(－2，2)
8．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， 且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN 的中点． 求证：OG⊥BC.
证明：连接ON， 设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设OA＝a，OB＝b，OC ＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又OG＝12(OM ＋ON ) ＝12[12OA＋12(OB＋OC )]
1必做题： 课本88页练习A;练习Ｂ： ２拓展题：题纲作业
(2) a b b a
(3) a (b c) a b a c
下面我们来证明数量积的分配律。
已知向量 a ， b ， c ，如果这三个已知向量共面，
在平面向量中我们已经证明分配律成立。 现在假设这三个向量不共面。
作 l / /c ，设轴的单位向量为 c0 ，