江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13_空间的平行与垂直问题

专题13：空间的平行与垂直问题 班级 姓名一、前测训练1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 、E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形．“中心投影法”延长BD 与B 1C 1交于M ，利用三角线中位线证DE ∥法二：用面面平行的性质取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1． 2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C(2)若E ，F 分别是A 1A ，C 1C 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面BDF ．提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ．(2)证明BD ∥B 1D 1，BF ∥D 1E ．【变式】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1A 的中点．点F 在棱CC 1上，使得平面EB 1D 1∥平面BDF ． 求证：点F 为棱CC 1的中点．3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ，求证：A 1O ⊥平面MBD提示：用线面垂直的判定定理：证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ； 在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均相等，D 为BB 1的中点，求证：A 1B ⊥C D ． 分析：要证明A 1B ⊥C D ，只要证明A 1B 与CD 所在的平面垂直，或CD 与A 1B 所在的平面垂直， 但都没有现成的平面，构造经过CD 的平面与直线A 1B 垂直，或经过A 1B 的平面与直线CD 垂直．方法1：取AB 的中点E ，连CE ，证A 1B ⊥平面CDE ； 方法2：取B 1C 1的中点F ，连BF ，证CD ⊥平面A 1BF ．A E A 1B CC 1B 1DAM OA 1 D 1 ABCDB 1C 1【变式】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 为BB 1的中点， A 1B ⊥CD ，求证：AA 1＝AB ．5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点． 求证：平面PEF ⊥平面P AC ．提示：设EF 与AC 交于点O ，证EF ⊥AC ，EF ⊥OP ， 从而得出EF ⊥平面P AC ．【变式】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点，若平面PEF ⊥平面P AC ，求证：四边形ABCD 是菱形．6．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形． 提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．7．（1）设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．(2)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案 ：（1）6π；(2) 3二、方法联想1. 线线平行（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理；B C DA P EF B CV方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理； 方法7：利用面面平行．（2）已知线线平行，可得线面平行【变式1】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为平行四边形，求证：EF ∥BC ． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 2．线面平行（1）证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P ；②连接P A 交平面α于点M ；③连接P A 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平行于平面α内一条直线A ’C ’；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．（2）已知线面平行方法1 可得线线平行，过直线l 做平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．方法2 可得面面平行【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 是棱CC 1，AB 的上的点，且AE ＝23AB ，若DE ∥平面AB 1C 1，求CDDC 1的值．（已知线面，转化为线线平行）（2）E ，P ，G ，H 分别是四面体的棱ABCD 的棱AB 、CD 、CA 、CB求证：PE ∥平面PGH ． （通过面面的平行证明线面平行） 3．面面平行（1）证明面面平行方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．（2）已知面面平行 可得线线平行 4．线线垂直 （1）证明线线垂直方法1：利用线面垂直；构造垂面证线线垂直 要证l 垂直于AB ，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A 找垂直于l 的直线AC ；②连结BC ，③证BC 垂直l ，则l ⊥面ABC ． 方法2：利用线线平行转移线线垂直；m lα① ② A B CA ’C ’ ①② ① A M NB 或①② ③ P A B ④ ① ② ③ A BP ④M N M N ABlC①② M NN方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形． （2）已知线线垂直 可得线面垂直 5．线面垂直 （1）证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． （2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直 【变式】（1）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 交BD 于O ，点M 在棱CC 1上，且A 1O ⊥平面MBD ，求证：M 为棱CC 1的中点． （线面垂直得线线垂直）（2）在四面体ABCD 中，AD ⊥BC ，CA ＝CB ＝CD ＝1，BD ＝2，则△ABC 的面积为_____． （计算证明线线垂直）（3）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1． （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直）6．面面垂直（1）证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．找垂线的一般方法：①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； ②找（或作）两平面交线的垂线．③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内．（2）已知面面垂直优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．【变式】在四棱锥P －ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，△P AD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB ．求证：平面PBC ⊥平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD 中点M ，则AM ⊥平面PDC ，下面只需将AM 平移到平面PBC 内． 提示2：作出平面P AD 与平面PBC 的交线PN ，只需证明PN ⊥平面PDC ．7．有关表面积、体积计算①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积M OA 1D 1ABCDB 1C 1PABC A 1三、例题分析例1：在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ．(1)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； (2)求证：CE ∥平面P AB ．提示：(1)证明：PC ⊥AF ，PC ⊥EF ．(2)①中心投影法：延长CD 与AB 交于G ，证明CE ∥PG ． ②平行投影法：取P A 中点M ，过C 作CN ∥AD 交AB 于N ．证四边形CEMN 是平行四边形，从而得CE ∥MN ．③面面平行的性质：取AD 中点H ，证明平面CEH ∥平面P AB ． 〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．证明直线与平面垂直．方法：(1)定义法：a ⊥b ，b 为平面α内任意一条直线⇒ a ⊥平面α．(2)线面垂直的判定定理：a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂平面α，n ⊂平面α，m ∩n ＝A ⇒ a ⊥平面α．(3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l ，a ⊂平面α，a ⊥l ⇒ a ⊥平面α． 2．证明直线与平面平行．方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：a ∥b ，a ⊄平面α，b ⊂平面α⇒ a ∥平面α．用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法：①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ⇒m ∥n ． ③线面垂直的性质：a ⊥平面α，b ⊥平面α⇒a ∥b ． ④公理4：a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ．(3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a ⊂平面α⇒ a ∥平面α．二、方法选择与优化建议：1．用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。

方法(1)一般不常用，方法(3)的前提是条件中要有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。

本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便于找以直线与直线的垂直，因而用方法(2)比较好．2．用方法(2)与方法(3)均可以，但显然方法(2)比方法(3)要简单些，因为方法(3)要先证明面面平行，而证明面面平行，要先证明两个线面平行；对于方法(2)，一般中心投影法和平行投影法均可，证明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便． 例2：如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°．(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ． 提示：(1)证明：BD ⊥平面ADD 1A 1．ABEPF(2)利用平行投影法，设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1， 证明CC 1∥EA 1．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．证明直线与直线垂直．方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；(2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直；(3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等．2．证明直线与平面平行．方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：a ∥b ，a ⊄平面α，b ⊂平面α⇒ a ∥平面α．用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法：①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ⇒m ∥n ． ③线面垂直的性质：a ⊥平面α，b ⊥平面α⇒a ∥b ． ④公理4：a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ．(3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a ⊂平面α⇒ a ∥平面α．二、方法选择与优化建议：1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；方法(3)是证明共面直线垂直常用的方法；方法(2)只是转化为证明另一直线与直线的垂直．本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，由于条件中有DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BD ，因而目标是证明：BD ⊥平面ADD 1A 1，． 又因为BD 与AD 共面，所以下一步考虑证明BD ⊥AD ．2．证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”．例3：如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)求三棱锥P －ADE 的体积；(3)在线段AC 上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．提示：(1)证明：AD ⊥平面PDC ． (2)答案： 83．(3) 当M 为AC 中点时，P A ∥平面EDM ，此时AM ＝5．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：ABDCEP1．证明直线与直线垂直．方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直；(2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直；(3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等．2．求几何体的体积问题：方法：根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所需的量．对于高要先证明垂直关系． 3．探究命题成立的条件问题：(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．二、方法选择与优化建议：1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，2．多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．．3．本题是对命题条件的探索；采用方法②，先找到使得P A ∥平面EDM 所应具备的条件，再反过来去证明．四、反馈练习1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的有 ． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α． 答案：② (考查空间直线与平面位置关系的判定) 2．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l 与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l 与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直． 其中正确的是___________．（填写正确命题序号）答案：①④．(考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力)3．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______． 答案：π．(考查圆锥的侧面展开图及体积的计算)．4．如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ， 则四棱锥A ―BB 1D 1D 的体积为 cm 3． 答案：6 (考查空间几何体的体积计算)5．三棱锥P - ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D - ABE 的体积为V 1，P - ABC 的体积为A BC DD 1C 1B 1A 1ABCSGFEV 2，则V 1V 2＝________．答案：14(考查空间多面体的体积的关系)6．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 ．答案：4π (考查球的表面积) 7．设甲、乙两个圆柱的底面分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V1V 2的值是 ． 答案：32(考查圆柱的侧面积与体积)8．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°， 侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的 体积为 ．9．如图，在直三棱柱ABC ―A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 是B 1C 1的中点． 求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE ．答案：证明略 (考查平面与平面平行，直线与平面平行)10． 如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ； （2）BC ⊥SA ． 答案：证明略 (考查平面与平面平行，线线垂直)11．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5．ACDB 1E FA 1C 1B第8题PABCDBA 1B 1C 1MN A求证： (1)直线P A ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .答案：证明略 (考查线面平行，面面垂直)12. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点．现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥ABCDE.(1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．答案：（1）证明略；（2）223(考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算)13．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E 为AB 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF ＝2a .(1) 求证：C 1E ∥平面ADF ；(2) 试在BB 1上找一点G ，使得CG ⊥平面ADF ； (3) 求三棱锥DAB 1F 的体积．答案：（1）（2）证明略；（3）523a 3(考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算)14．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．答案：证明略(考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理， 综合考查空间想象及逻辑推理能力)．A F E D C P。