曲线论复习

r
r
r
r
r
r
r
⇔ x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) 不全为零。
③ 在正常点的邻域内，曲线的方程总可以写成一般式
y = ϕ ( x) x = ϕ ( y) x = ϕ ( z) 或 , （或 z = ψ ( y ) z = ψ ( x) y = ψ ( z)
r r ∆ϕ 给定 r = r (t ) ，给 t 一增量 ∆t ， ∆ϕ = ∠(r (t ), r (t + ∆t )), 则极限 lim | | t
r
r
r 叫做向量函数 r (t ) 对于它的变量 t 的旋转速度。 r ③ 命题 2 单位向量 r (t ) 对于它的变量 t
∆t
r r (t )
r 则当 t 在(a,b)内取值时, r (t ) 的终点在空间画出一条轨迹.
这轨迹就是曲线:
x = x(t ) y = y (t ), a < t < b, t为参数。 z = z (t )
v e3
v r (t )
O
v e2
v e1
r r r = r (t ) 称为曲线的矢量式方程.
M
r | r 的旋转速度等于其微商的模 ′ ( t ) | 。
M ′ ∆ϕ r r (t + ∆t )
§3 曲线的概念
一 曲线的概念 1 有关映射的知识 映射： 映射 ∀ x ∈ E
∃ x ′ ∈ E ′ 使 f ( x) = x ′
有 f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ∈ E ′
单射： 单射 ∀ x1 ≠ x2 ∈ E 满射： 满射 f ( E ) = E ′ 一般映射
2 + 3t 2 2 4 + 12t 2 + 9t 4
=
2 + 3t 2 2 (2 + 3t 2 )
=
1 2
θ=
π
4
§4 空间曲线
一 空间曲线的密切平面、 间曲线的密切平面、副法线 1 密切平面、 密切平面、副法线的定义： 副法线的定义
(c) 上 P 点的切线与 Q 可作一平面 σ
当Q → P 时
，
则 P 点的切线方程是：
r
ρ = r (t 0 ) + λr ′(t 0 )
或对称式：
v
v
v
x − x (t0 ) y − y (t0 ) z − z (t0 ) = = x ′( t 0 ) y ′( t 0 ) z ′( t 0 )
。
r π P21.例 1： 求圆柱螺线 r (t ) = {a cos t , a sin t , bt}在= 处的切线方程。 3
） 。
3 正则曲线 定义：若曲线上的每个点是正常点，则该曲线叫做正则曲线。 注：正则曲线与简单曲线是两个独立的概念。 三 曲线的切线与法面 1 切线的方程 设切点 P 对应的参数为 t 0 ， P 点的向径：
v r (t 0 ) = {x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 )} = {x 0 y 0 z 0 }
对 (c ) ： r 密切平面的法线方程： ρ 副法线的标准方程是：
v
r
r r r = r (t0 )+λ(r ′(t 0 ) × r ′′(t0 ))
x − x ( t 0 ) y − y (t 0 ) z − z (t 0 ) = = , X Y Z
σ
的极限位置
π 称为
(c) 在 P 的密切平面 密切平面． 密切平面
密切平面在 P 点的法线称为曲线 在 P 点的副法线 副法线。 副法线
v r ′(t 0 )
P(t 0 )
Q(t 0 + ∆t )
σ
(c )
O 2 密切平面、 切平面、副法线的方程
密切平面，方程是：
r r r ′ ( ρ − r ( t 0 )， r ( t 0 )， r ′′ ( t 0 )) = 0
向径关于自然参数的微商的模等于 1！
。
r = r (t ) ，则 t 为弧长参数的充要条件是 命题：若曲线的方程为 命题 r r 它的切向量 r ′( t ) 满足 | r ′( t ) |= 1 。 （即对自然参数的切向量是单位向量）
⑤ 为区别起见，对自然参数的微商用“˙”表示， 即
r
r
r dr r &, =r ds
-1
都连续）的映射
2 简单曲线段 ① 定义 称开线段到三维空间中的拓扑映射的像为简单曲线段。 即：如果一个开的直线段到三维欧氏空间的对应 f 是一一的， 双方连续的满射（拓扑映射或同胚） ，则其象称为简单曲线段． ② 曲线的方程 在直线上引入坐标 t (a<t<b), 在空间引入直角坐标 (x,y,z), 即
圆(挖掉(a,0)点)的矢量式参数方程为:
பைடு நூலகம்
r r = {a cos t , b sin t}, 0 < t < 2π
圆柱螺线的向量式参数方程是:
r r = {a cos t , a sin t , bt}, −∞ < t < +∞ .
二 光滑曲线 曲线的正常点
x = x(t ) 1 光滑曲线: 如果曲线的参数表示式 y = y (t ) , a < t < b, t为参数 或 z = z (t )
r
r
r
r
σ (t ) =
∫
t a
r r ′( t ) d t , t >
a .
1 自然参数 ①
v s ( t ) = r ∫ ' (t ) dt ，这里 t 可以大于、可以 定义一新函数：
t a
小于 a，因此 s(t) 也可能是负值。 ②
s(t)的性质：
，
σ (t ), t > a r , s ′( t ) = r ′( t ) > 0 s (t ) = 0 , t = a −σ (t ), t < a
∫
c b
r r (t ) d t
b b r r C. m 是常数时， ∫ a m r ( t ) d t = m ∫ a r ( t ) d t 。 b r r r r b r m r ( t ) d t = m D. m 是 常 向 量 时 ， ∫a ∫a r (t ) d t
.
E. m 是 常 向 量 时 ， ∫a m × r (t ) d t = m × F.
x r d r [ ∫ r (t ) d t ] = r ( x ) a dx
r
b
r
r
r
∫
b a
r r (t ) d t
.
.
三 两个重要命题 ①命题 命题 1 向量函数 r (t ) 具有固定长 ⇔ 对于 t 的每一个值，
r
r r r r r (t ) ⋅ r ′(t ) = 0 ⇔ r (t )与r ′(t )垂直 。 r ② 向量函数 r (t ) 对于它的变量 t 的旋转速度
r
v r = {2t , 3t 2 , t 3 }
的切线与直线
y = z − x = 0 交于定角．
[证]： r ′
v
= {2,2 3t ,3t 2 }
x y z = = 1 0 1
v u = {1,0,1}
y=0 直线 x − z = 0
v v r′⋅u cos θ = v v = ru
r
r
r r r 若 G 为平面域，则 x€G，x=x(u,v), 这时 r = r ( x) = r (u , v) 为二
元向量函数。 r ( x) 终点的轨迹是曲面。 向量函数可以用分量表示，它们的分量是三个实函数，
r
r r r r = r (t ) = {x(t ), y (t ), z (t )} ， r (u , v ) = {x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )} 。
所以 s(t)是 t 的增函数；于是存在 t = t ( s ) ，代入 r = r (t )
v
v
有
r r r = r ( s )或
x = x (s) y = y (s) . z = z (s)
r r ③ 自然参数：我们称 s 为曲线 r = r ( t ) 的自然参数。 r r r dr =1 r = r (t ) 关于自然参数的导矢的模 ④ 结论：曲线 结论 ds
t ∈ [ a, b)
( x, y, z ) ∈ R 3 ，则从直线段到空间曲线段的映射用代
数可以表示为：
x = x(t ) y = y (t ) , a < t < b, t为参数。 z = z (t )
这就是曲线的方程。
r r r r r 取 r (t ) = x ( t ) e1 + y (t ) e2 + z ( t ) e3 , 视 r ( t ) 的始点为原点,
ρ = {x, y, z} 是切线上任一点的径矢： v ρ = {x(t ) y (t ) z (t )} = {x, y, z}
v ′ , y0 ′ , z0 ′} r ′(t 0 ) = {x 0 v v v Q ρ − r (t 0 ) ∥ r ′(t 0 ) v v v ∴ ρ − r (t 0 ) = λr ′(t 0 )
r r r = r (t ) 中的函数是 C k 函数，则该曲线叫做 C k 类曲线。当 k=1 时，
即 C 类曲线叫做光滑曲线。
1
2 正常点： 正常点：设 r = r (t ) 是 C 1 类曲线，如果 r ′(t0 ) ≠ 0 ，则称 t 0 对 应的点是曲线的正常点。也叫正则点。否则叫奇异点。 说明 ①若恒有 r ′(t0 ) = 0 ，则 r = r (t ) 是常向量，常向量只表示一 r 点，所以在一段曲线上， r ′(t0 ) = 0 的点一般是孤立点。 这样的点毕竟很特殊，我们以后只考虑曲线的正常点。 ② t 0 对应的点是曲线的正常点 ⇔ r ′(t0 ) ≠ 0