2019届陕西省渭南市澄城县高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2019届陕西省渭南市澄城县高三上学期第一次月考
数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合A={﹣1，2}，B={x ∈Z|0≤x ≤2}，则A ∩B 等于（ ）
A ．{0}
B ．{2}
C ．{0，1，2}
D ．∅
2．函数f （x ）=+lg （x+1）的定义域是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣1，1）∪（1，+∞）
3．若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数f （x ）=lnx ﹣x 2的单调减区间是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（0，]
C ．[1，+∞）
D ．[，+∞）
5．已知函数y=x 2+2（a ﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是增函数，则a 的取值范围（ ）
A ．a ≤﹣2
B ．a ≥﹣2
C ．a ≥﹣6
D ．a ≤﹣6
6．函数f （x ）=lnx ﹣零点所在的大致区间为（ ）
A ．（2，3）
B ．（1，2）
C ．
D ．（e ，+∞）
7．已知m ∈R ，“函数y=2x +m ﹣1有零点”是“函数y=log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“x=1”是“x ≥1”的充分不必要条件
C ．“sinx=”的必要不充分条件是“x=”
D ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02≥0，则命题￢p ：∀x ∈R ，x 2＜0
9．设f （x ）=3x +3x ﹣8，用二分法求方程3x +3x ﹣8=0在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A ．（1，1.25）
B ．（1.25，1.5）
C ．（1.5，2）
D ．不能确定
10．已知奇函数f （x ）定义在（﹣1，1）上，且对任意的x 1，x 2∈（﹣1，1）（x 1≠x 2），都有
成立，若f （2x ﹣1）+f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（0，2）
C ．（0，1）
D ．（0，）
11．定义域为R 的可导函数y=f （x ）的导函数f ′（x ），满足f （x ）＞f ′（x ），且f （0）=2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为（ ）
A ．（﹣∞，0）
B ．（﹣∞，2）
C ．（0，+∞）
D ．（2，+∞）
12．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
二、填空题
13．函数y=log
（2x﹣x2）的单调递增区间是．
2
14．函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是．
15．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ．
16．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n= ．
17．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．
三、解答题
18．计算：（1）0.25×（）﹣4﹣4÷（﹣1）0﹣（）；
（2）lg25+lg2•lg50+（lg2）2．
19．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．
（1）求A∩B；
（2）若集合C=[a，2a﹣1]，且C∪B=B，求实数a的取值范围．
20．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．
2019届陕西省渭南市澄城县高三上学期第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）
A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，
∴A∩B={2}．
故选B．
2．函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，
即，
解得x＞﹣1且x≠1，
即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），
故选：D
3．若函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）
A．B．C．D．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．
【分析】由函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴f（x）=log
a
x是减函数．
∴log
a a=3•log
a
2a．
∴log
a
2a=．
∴1+log
a
2=．
2=﹣．
∴log
a
∴a=．
故选A
4．函数f（x）=lnx﹣x2的单调减区间是（）
A．（﹣∞，] B．（0，] C．[1，+∞）D．[，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣2x≤0，
即x2≥，
解的x≥，
故选：D．
5．已知函数y=x2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是增函数，则a的取值范围（）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a≥﹣6 D．a≤﹣6
【考点】二次函数的性质．
【分析】先求出函数的对称轴x=2﹣a，再由二次函数的图象和条件列出关于a的不等式．
【解答】解：函数y=x2+2（a﹣2）x+5的对称轴为：x=2﹣a，
∵函数y=x2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是增函数，
∴2﹣a≤4，解得a≥﹣2，
故选B．
6．函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（）
A．（2，3）B．（1，2）C．D．（e，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】解答时可以直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．
【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），由函数在定义域上是递增函数，
所以函数只有唯一一个零点．
又∵f（3）=ln3﹣=ln3﹣1＞0，f（2）=ln2﹣＜0，∴f（2）•f（3）＜0，
函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（2，3）．
故选：A．
7．已知m ∈R ，“函数y=2x +m ﹣1有零点”是“函数y=log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数的性质求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若函数y=f （x ）=2x +m ﹣1有零点，则f （0）=1+m ﹣1=m ＜1，
当m ≤0时，函数y=log m x 在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，
若y=log m x 在（0，+∞）上为减函数，则0＜m ＜1，此时函数y=2x +m ﹣1有零点成立，即必要性成立， 故“函数y=2x +m ﹣1有零点”是“函数y=log m x 在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B
8．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“x=1”是“x ≥1”的充分不必要条件
C ．“sinx=”的必要不充分条件是“x=”
D ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02≥0，则命题￢p ：∀x ∈R ，x 2＜0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断A ；根据充要条件的定义，可判断B ，C ，根据特称命题的否定，可判断D ．
【解答】解：若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故A 正确；
“x=1”时，“x ≥1”成立，“x ≥1”时，“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x ≥1”的充分不必要条件，故B 正确；
“sinx=”时，“x=
”不一定成立，“x=”时，“sinx=”成立，故“sinx=”的充分不必要条件是
“x=”，故C 错误；
若命题p ：∃x 0∈R ，x 02≥0，则命题￢p ：∀x ∈R ，x 2＜0，故D 正确；
故选：C ．
9．设f （x ）=3x +3x ﹣8，用二分法求方程3x +3x ﹣8=0在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A ．（1，1.25）
B ．（1.25，1.5）
C ．（1.5，2）
D ．不能确定
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由已知“方程3x +3x ﹣8=0在x ∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，它们异号．
【解答】解析：∵f （1.5）•f （1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B ．
10．已知奇函数f （x ）定义在（﹣1，1）上，且对任意的x 1，x 2∈（﹣1，1）（x 1≠x 2），都有
成立，若f （2x ﹣1）+f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（0，2）
C ．（0，1）
D ．（0，）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】先确定函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，即可将不等式转化为具体不等式，从而可求x 的取值范围．
【解答】解：∵对任意的x 1，x 2∈（﹣1，1）（x 1≠x 2），都有
成立，
∴函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减
∵函数是奇函数
∴f （2x ﹣1）+f （x ﹣1）＞0等价于f （2x ﹣1）＞f （1﹣x ）
∴，∴0＜x ＜
故选D ．
11．定义域为R 的可导函数y=f （x ）的导函数f ′（x ），满足f （x ）＞f ′（x ），且f （0）=2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为（ ）
A ．（﹣∞，0）
B ．（﹣∞，2）
C ．（0，+∞）
D ．（2，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数g （x ）=
，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x 的范围．
【解答】设g （x ）=， 则g'（x ）=，
∵f （x ）＞f ′（x ），
∴g'（x ）＜0，即函数g （x ）单调递减．
∵f （0）=2，
∴g （0）=f （0）=2，
则不等式等价于g （x ）＜g （0），
∵函数g （x ）单调递减．
∴x ＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选：C ．
12．已知函数f （x ）= 若f （2﹣x 2）＞f （x ），则实数x 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．
【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选D
二、填空题
（2x﹣x2）的单调递增区间是（0，1）．
13．函数y=log
2
【考点】复合函数的单调性．
【分析】确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（0，2）
令t=2x﹣x2，则t=﹣（x﹣1）2+1，所以函数的单调增区间为（0，1）
∵y=log
t在定义域内为增函数
2
∴函数y=的单调递增区间是（0，1）
故答案为：（0，1）
14．函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（1，5）．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】函数恒过定点即与a无关，由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出f（x）的值，从而可求出定点坐标．
【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数f（1）=a0+4=5，
即函数图象恒过一个定点（1，5）．
故答案为：（1，5）．
15．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ﹣5 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值．
【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据
F'（5）=﹣1求出f′（5），从而求出所求．
【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．
又F′（x）=f′（x）+x，
所以F′（5）=f′（5）+×5=﹣1，
解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．
故答案为：﹣5
16．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n= 11 ．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可
【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2
∴f′（x）=3x2+6mx+n
依题意可得
联立可得
当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0
函数在R上单调递增，函数无极值，舍
故答案为：11
17．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值
范围是（﹣1，0）．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．
【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），
如图示：
，
令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，
y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为：（﹣1，0）．
三、解答题
18．计算：（1）0.25×（）﹣4﹣4÷（﹣1）0﹣（）；
（2）lg25+lg2•lg50+（lg2）2．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣4﹣=4﹣4﹣4=﹣4．
（2）原式=2lg5+lg2（lg5+1）+（lg2）2
=2lg5+lg2（lg5+lg2）+lg2
=2（lg5+lg2）
=2．
19．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x（﹣1≤x≤0）的值域为集合
B．
（1）求A∩B；
（2）若集合C=[a，2a﹣1]，且C∪B=B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法．
【分析】（1）A是函数的定义域，只要解不等式log
（x﹣1）≥0即得，B是函数的值域，由指数函数的单
2
调性可得；
（2）条件C∪B=B，等价于C⊆B，C是B的子集，即可求解．
【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，
（x﹣1）≥0，解得x≥2，
则log
2
∴其定义域为集合A={x|x≥2}．
函数g（x）=（）x（﹣1≤x≤0）的值域为集合B={x|1≤x≤2}，
∴A∩B={2}．
（2）∵C∪B=B，∴C⊆B．
由题意2a﹣1＞a，即a＞1时，要使C⊆B，则，
解得1＜a≤．
20．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b
从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，
从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1
f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；
当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．
21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求出切点坐标，并求出f′（0），然后由直线方程的点斜式得答案；（2）求出原函数的导函数，对a分类分析，当a≤0时，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上为增函数，求
得函数最小值；当a＞0时，f′（x）=．然后由1分界讨论求得函数的最
小值．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x3﹣3x+2，切点为（0，2），
∴f′（x）=3x2﹣3，
∴切线的斜率为k=f′（0）=﹣3，
则切线方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0；
（2）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a）．
当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（x）
=f（0）=2；
min
当a＞0时，f′（x）=．
①若0＜，即0＜a＜1时，
当0时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[0，）上为减函数，在（]上为增函数．
∴；
②若，即a≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上为减函数．
∴f（x）
=f（1）=3﹣3a．
min
综上：．。