11.2.4三角形全等的判定

小结
一般三角 形全等的 判定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ”“ ASA ” “ AAS ” “ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
巩固练习
如图， 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证： 求证：BF=DE
B
A
F E
C
D
变式训练1 变式训练1
如图， 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD平分EF 求证：BD平分EF 平分
B
A
F E G
C
D
变式训练2
如图， 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 想想：BD平分EF吗 想想：BD平分EF吗? 平分EF
A C B′
∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C ′ △ ≌ △
A′ C′
注意： 是仅适用于Rt△的特殊方法。 注意：“HL”是仅适用于 △的特殊方法。 是仅适用于 应用HL判定时 虽只有两个条件， 判定时， 应用 判定时，虽只有两个条件，但必须 先有两个Rt△ 书写格式为： 先有两个 △。书写格式为： 在Rt△______和Rt△______中， △ 和 △ 中
B
E A F G
C
D
例2
已知：如图， 是等腰三角形， 已知：如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是高 是等腰三角形 ， 是 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD 求证 ∠ ∠
证明： 证明：∵AD是高 是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD(公共边 公共边) 公共边 ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） △ ≌ △ （ ） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ∠ ∠ (全等三角形的对应边相等 对应角相等) 全等三角形的对应边相等,对应角相等 全等三角形的对应边相等 对应角相等 B D C
A D
C
B F
E
动手实践 探索规律
任意画一个Rt△ 90° 任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°， Rt 再画一Rt A′C′B′使 Rt△ 90° 再画一Rt△A′C′B′使∠C′﹦90° ， B′C′﹦BC， A′B′﹦AB ﹦ ， ﹦
B
A
C
动动手 做一做
1:画∠MC′N=90°; 画 ′ °
A
{
如图， 分别是高， 如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高， 和 中 、 分别是高 并且AC＝ 并且 ＝A′C′，CD＝C′D′， ， ＝ ， ∠ACB＝∠A′C′B′。 ＝ 。 求证： 求证：△ABC≌△A′B′C′ ≌
证明： 证明：∵ CD、C′D′分别是高 、 分别是高 ∴ ∠ADC= ∠A′D′C′=90° ° 在Rt△ ADC与Rt△ A′D′C′中 △ 与 △ 中 AC＝A′C′ ＝ CD＝C′D′ ＝ ∴ Rt△ ADC＝Rt△ A′D′C′（HL) △ ＝ △ （ ∴ ∠A ＝∠A′ 在△ABC与△A′B′C′中 与 中 ∠A ＝∠A′ AC＝A′C′ ＝ ∠ACB＝∠A′C′B′ ＝ ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA) ≌
N
B′
M
A′
C′ ′
动动手 做一做
1:画∠MC′N=90°; 画 ° 2:在射线 在射线CM上截取 上截取C′A′=CA; 在射线 上截取 3:以A′为圆心，AB为半径画弧，交射线 为圆心， 为半径画弧 交射线C′N于B′; 为半径画弧， 以 为圆心 于 4:连结 连结A′B′; 连结 △A′B′C′即为所要画的三角形 即为所要画的三角形
复习旧知 引入新知 1：如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应角、 ：如图 △ ≌ ，指出它们的对应角、 对应边。 对应边。
A D
B
E
C
F
AB——DE AC——DF BC——EF ∠A——∠D ∠ B——∠ ∠B——∠DEF ∠ACB——∠F ∠
2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ ：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ ）、（SAS）、（ ）、（ASA）、（ ）、（AAS） （SSS）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）
∴Rt△______≌Rt△______（HL） △ ≌ △ （ ）
例 1 ． 如 图 ， AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. ⊥ ⊥ 求证： 求证：BC=AD.
证明:∵ 证明 ∵ AC⊥BC,BD⊥AD ⊥ ⊥ ∴∠C=∠ ∴∠ ∠D=90° ° 在Rt△ABC 与Rt△BAD 中 △ △ AB=BA AC=BD ∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD(HL) △ ≌ △ BC﹦ ∴ BC﹦AD
N
M
C′
动动手 做一做
1:画∠MCN=90°; 画 ° 2:在射线 在射线C′M上截取 上截取C′C′
动动手 做一做
1:画∠MC′N=90°; 画 ° 2:在射线 在射线CM上截取 上截取C′A′=CA; 在射线 上截取 3:以A′为圆心，AB为半径画弧，交射线 为圆心， 为半径画弧 交射线C′N于B′; 为半径画弧， 以 为圆心 于
N
B′
M
A′
C′ ′
B′
A′ A′
C′ C′
B
B′
A
C
A′
C′
Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′ △ ≌ △
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简写成“斜边、直角边” 简写成“斜边、直角边” “HL” 或
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 和一条直角边 角形全等。简写成“斜边、直角边” 角形全等。简写成“斜边、直角边”或 “HL”.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C ′中 △ 和 △ 中
B
{
AB=A′B′ ′ ′ AC=A′C′ ′ ′
如图，具有下列条件的 △ 如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF（其中 与 △ （ ∠C＝∠F＝90°）是否全等，在（ ）里填写理 ＝ ＝ ° 是否全等， 如果不全等， 里打“ 由；如果不全等，在（ ）里打“×”： ： （1）AC＝DF,∠A＝∠D ） ＝ ∠ ＝ （ ASA ） （2）AC＝DF,BC＝EF ） ＝ ＝ （SAS ） （3）AB＝DE，∠B＝∠E （ AAS ） ＝ ， ＝ ） （4）∠A＝∠D，∠B＝∠E （ × ） ） ＝ ， ＝