有限非齐次马尔可夫链的强极限定理
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（ ． ）成立 ， ）如 （ ． ）定 义 ， １１ Ｆ（ １３ 则有
［ ｎ ）一・１ ｎ Ｆ（ （／ ）
ｍ ｘ （ 一） ８（ ｔ ｝ ｔ ｐ （ ， ］ ＝０ 。 ｓ ， ａ ｔ ，ｊＸ ） ｇ （ ） ｔ ， ） ・・
（・ ） ２ １
收 稿 日期 ：０ ６—１ ２ ２０ ０— ０
（， ）＝ｌ ｐ１ｎ ｆ ： ，ｐ（，ｅ ｉ ｓ （／） （Ｊ Ｉｉ） ｍｕ ∑ｇ ） Ｊ
则 ［ ）一（ ／ ） ，（ １ ｎ ｇ（ ｔ
ｎ
’ ＜∞，
＝０ ， 一
（．） １１
（． ） １２
Ｊｐ（ ）
其中，
，（） １ ） 。 ＝（ ｎ ∑ｇ（ ， ） ／ 一Ｘ ．
作 者 简 介 ： 学 武 （ ９ ５一）， 龙 江青 冈 人 ， 教 授 ， 事 不 动 点 理 论 和 概 率 极 限 理 论 的 研 究 。 王 １６ 黑 副 从
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第 ３期
王学 武 ： 限 菲齐 次 马 尔 可 夫 链 的 强 极 限定 理 有
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第 ６卷 第 ３期 ２００７年 ３月
南 阳 师 范 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｖ ｒｉ ｙ
Ｖ０ ． ． １ ６ Ｎｏ ３ Ｍ ａ ． ２ ｏ７ ｒ ０
ｐ 一 ＝ （ ） ¨， ， （ ， ） ｐ 。兀Ｐ ） （ （ ＝ （ ｎ［ ｘ） ） 一 １ ）Ｉｐ 。 ＋∑Ｉｐ（¨， ）． ／ ｎ（ ｎ Ｘ］
２ 主 要 结 果
（．） １ ８ （．） １ ９
定理 ２ １ 设 ｛ ｎ≥ ０｝ ． Ｘ， 具有 初 始分 布 （ ． ）与转 移矩 阵 （ ． ）的马 氏链 ， １６ １７ 如果存 在 常 数 ａ ＞０使
１ 预 备 知 识
信 息论 中 的一个 重要 问题 是相 对熵 密度 的极 限性 质 ． ｈ ｎ ｏ Ｓ ａ ｎ ｎ于 １４ ９ ８年 最先 证 明 了平 稳 遍 历 马 氏链
的相对 熵 密度 （ ） 概率 收敛 于一 常数 ， Ｍｉａ 依 Ｍｃ ｌ ｎ于 １５ ｌ ９ ３年 和 Ｂｅｍ ｎ于 １５ ｒｉ ａ ９ ７年分 别证 明 了如果 ｛ ｝ 是 平稳 遍历 的 ， 么 （ 分别 依 。 那 ） 收敛 和 ａ ｓ 收敛 到 某 一 常数 ． ．． 后来 有 一 些 作者 讨 论 更 为一 般 的 情况 见 文 ［ ］ ４ ． ｉ Ｗｅ １ ］ Ｌｕ ｎ和 Ｙ ｎ ｉ ｏ于 １ ９ ａ ｇＷｅ ｕ ｇ ９ ６年 证 明 了下 面 的定理 ： 定理 Ａ 设 ｛ ｎ ｝ Ｘ ， ≥０ 具有 初始 分布 （ ． ） １ ６ 与转 移矩 阵 （ ． ） １７ 的马 氏链 ， 如果存 在 常数 ＞ ０满 足
分别 为
（ （ ） ｐ ２ ， ， （ ）Ｐ ｉ ＞ ０， Ｓ ｐ １ ，（ ） … ｐ ｍ） ，（ ） ｉ∈ ， Ｐ ＝ （ ｉ『 ）Ｐ （ ，） ＞ ０ ｉ『∈ Ｓ， ≥ １ ｐ（ ， ， ｉ ． ） Ｊ ，， ． ｎ ， （． ） １６ （． ） １７
其中Ｐ （， ｉ『 ． ）＝Ｐ Ｘ ｌ ＝ｉ ， １则 （ ＝ Ｘ ）ｎ≥ ，
Ｐ Ｘ ＝ 戈 ， ， ＝ 戈 ） ＝ Ｐ（ ０ … ， ＞ ０， （０ ｏ… Ｘ ｘ， 戈） 戈 ∈ Ｓ ０ ≤ ｉ ｎ ， ≤ ． （． ） １４ （． ） １５
令
（ ） ＝一（ ／ ）ｎＰ Ｘ ， ， ） １ ｎ Ｉ （ 。 … ，
则 称 （ ）为 ｛ ｎ≥ ０｝的相对熵 密 度． Ｘ， 设 ｛ ｎ≥ ０｝ 取值 于状 态空 间 Ｓ＝ ｛ ， ， ， 上 的非 齐次 马 尔可 夫链 ， Ｘ， 是 １２ … ｍ｝ 其初 始分 布 和转 移 矩 阵
［ ］～［ ］ 主 要 结 果 ， 立 了新 的 有 限 非 齐次 马 尔可 夫 链 的 强 极 限 定理 １ ３的 建
关键词 ： 强极 限 定 理 ； 尔 可 夫链 ； ； 对 熵 密度 马 熵 相
中 图 分 类 号 ： ｌ ． ０ ２ １４
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ６ ３ （０ ７ ０ １７ — １２ ２ ０ ）３—０ １ ０ ０ ４— ４
（．） １ ３
本 文受 到 ＬｕＷｅ ｉ ｎ的启 发 ， 在定 理 Ａ的条件 下 ， 采用 分析 法得 到理 想 的结果 ， 见定 理 ２ １ ．．
设 ｛ ｎ≥ ０｝ 取值 于状 态空 间 Ｓ＝ ｛ ，， ， 上 的一 列 随机 变量 ， 联 合分 布为 Ｘ， 是 １２ … ｍ｝ 其
有 限 非 齐 次 马 尔 可 夫 链 的 强 极 限 定 理
王 学 武
（ 东工 商 学 院 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 东 烟 台 ２ ４ ０ ） 山 山 ６ ０ ５
摘
要 ： 用 分析 法研 究 了马 氏 链 相 对 熵 密度 的 若 干 极 限性 质 ， 广 了 Ｓ ａ ｎ ｎ Ｍ Ｍｉａ 利 推 ｈ ｎ ｏ — ｃ ｌ ｎ的 极 限 定理 ， 进 并 推 广 了文 ｌ 改
即
ｉ （ ／ ） ａ ｒ １ １ ｎ ［ ｇ （ … ）一
． ＋
ｍ ｘ （ 一） （ ） ｇ （ ， ｐ （ ， ］ ＝０ ａ ， ， ｝ ｉ ） ‘『 ｊ ＿ ） ，
（・） ２ ２
口 ． 中 ， 一） ６（ ）是 Ｋ ｏ ｅ ｋ ｒ 其 ６（ １ ， ｒｎ ｃ ｅ 函数．
证明
我们考 虑 基本 的概率 空 间 （ ０ １ ， Ｐ） 其 中 Ｆ是 ［ ， ）区间上 的 Ｌ ｂ ｓｕ 可 测 集 的全 体 ， ［ ， ） Ｆ， ， ０１ ｅ ｅｇ ｅ Ｐ
［ ｎ ）一・１ ｎ Ｆ（ （／ ）
ｍ ｘ （ 一） ８（ ｔ ｝ ｔ ｐ （ ， ］ ＝０ 。 ｓ ， ａ ｔ ，ｊＸ ） ｇ （ ） ｔ ， ） ・・
（・ ） ２ １
收 稿 日期 ：０ ６—１ ２ ２０ ０— ０
（， ）＝ｌ ｐ１ｎ ｆ ： ，ｐ（，ｅ ｉ ｓ （／） （Ｊ Ｉｉ） ｍｕ ∑ｇ ） Ｊ
则 ［ ）一（ ／ ） ，（ １ ｎ ｇ（ ｔ
ｎ
’ ＜∞，
＝０ ， 一
（．） １１
（． ） １２
Ｊｐ（ ）
其中，
，（） １ ） 。 ＝（ ｎ ∑ｇ（ ， ） ／ 一Ｘ ．
作 者 简 介 ： 学 武 （ ９ ５一）， 龙 江青 冈 人 ， 教 授 ， 事 不 动 点 理 论 和 概 率 极 限 理 论 的 研 究 。 王 １６ 黑 副 从
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第 ３期
王学 武 ： 限 菲齐 次 马 尔 可 夫 链 的 强 极 限定 理 有
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第 ６卷 第 ３期 ２００７年 ３月
南 阳 师 范 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｖ ｒｉ ｙ
Ｖ０ ． ． １ ６ Ｎｏ ３ Ｍ ａ ． ２ ｏ７ ｒ ０
ｐ 一 ＝ （ ） ¨， ， （ ， ） ｐ 。兀Ｐ ） （ （ ＝ （ ｎ［ ｘ） ） 一 １ ）Ｉｐ 。 ＋∑Ｉｐ（¨， ）． ／ ｎ（ ｎ Ｘ］
２ 主 要 结 果
（．） １ ８ （．） １ ９
定理 ２ １ 设 ｛ ｎ≥ ０｝ ． Ｘ， 具有 初 始分 布 （ ． ）与转 移矩 阵 （ ． ）的马 氏链 ， １６ １７ 如果存 在 常 数 ａ ＞０使
１ 预 备 知 识
信 息论 中 的一个 重要 问题 是相 对熵 密度 的极 限性 质 ． ｈ ｎ ｏ Ｓ ａ ｎ ｎ于 １４ ９ ８年 最先 证 明 了平 稳 遍 历 马 氏链
的相对 熵 密度 （ ） 概率 收敛 于一 常数 ， Ｍｉａ 依 Ｍｃ ｌ ｎ于 １５ ｌ ９ ３年 和 Ｂｅｍ ｎ于 １５ ｒｉ ａ ９ ７年分 别证 明 了如果 ｛ ｝ 是 平稳 遍历 的 ， 么 （ 分别 依 。 那 ） 收敛 和 ａ ｓ 收敛 到 某 一 常数 ． ．． 后来 有 一 些 作者 讨 论 更 为一 般 的 情况 见 文 ［ ］ ４ ． ｉ Ｗｅ １ ］ Ｌｕ ｎ和 Ｙ ｎ ｉ ｏ于 １ ９ ａ ｇＷｅ ｕ ｇ ９ ６年 证 明 了下 面 的定理 ： 定理 Ａ 设 ｛ ｎ ｝ Ｘ ， ≥０ 具有 初始 分布 （ ． ） １ ６ 与转 移矩 阵 （ ． ） １７ 的马 氏链 ， 如果存 在 常数 ＞ ０满 足
分别 为
（ （ ） ｐ ２ ， ， （ ）Ｐ ｉ ＞ ０， Ｓ ｐ １ ，（ ） … ｐ ｍ） ，（ ） ｉ∈ ， Ｐ ＝ （ ｉ『 ）Ｐ （ ，） ＞ ０ ｉ『∈ Ｓ， ≥ １ ｐ（ ， ， ｉ ． ） Ｊ ，， ． ｎ ， （． ） １６ （． ） １７
其中Ｐ （， ｉ『 ． ）＝Ｐ Ｘ ｌ ＝ｉ ， １则 （ ＝ Ｘ ）ｎ≥ ，
Ｐ Ｘ ＝ 戈 ， ， ＝ 戈 ） ＝ Ｐ（ ０ … ， ＞ ０， （０ ｏ… Ｘ ｘ， 戈） 戈 ∈ Ｓ ０ ≤ ｉ ｎ ， ≤ ． （． ） １４ （． ） １５
令
（ ） ＝一（ ／ ）ｎＰ Ｘ ， ， ） １ ｎ Ｉ （ 。 … ，
则 称 （ ）为 ｛ ｎ≥ ０｝的相对熵 密 度． Ｘ， 设 ｛ ｎ≥ ０｝ 取值 于状 态空 间 Ｓ＝ ｛ ， ， ， 上 的非 齐次 马 尔可 夫链 ， Ｘ， 是 １２ … ｍ｝ 其初 始分 布 和转 移 矩 阵
［ ］～［ ］ 主 要 结 果 ， 立 了新 的 有 限 非 齐次 马 尔可 夫 链 的 强 极 限 定理 １ ３的 建
关键词 ： 强极 限 定 理 ； 尔 可 夫链 ； ； 对 熵 密度 马 熵 相
中 图 分 类 号 ： ｌ ． ０ ２ １４
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ６ ３ （０ ７ ０ １７ — １２ ２ ０ ）３—０ １ ０ ０ ４— ４
（．） １ ３
本 文受 到 ＬｕＷｅ ｉ ｎ的启 发 ， 在定 理 Ａ的条件 下 ， 采用 分析 法得 到理 想 的结果 ， 见定 理 ２ １ ．．
设 ｛ ｎ≥ ０｝ 取值 于状 态空 间 Ｓ＝ ｛ ，， ， 上 的一 列 随机 变量 ， 联 合分 布为 Ｘ， 是 １２ … ｍ｝ 其
有 限 非 齐 次 马 尔 可 夫 链 的 强 极 限 定 理
王 学 武
（ 东工 商 学 院 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 东 烟 台 ２ ４ ０ ） 山 山 ６ ０ ５
摘
要 ： 用 分析 法研 究 了马 氏 链 相 对 熵 密度 的 若 干 极 限性 质 ， 广 了 Ｓ ａ ｎ ｎ Ｍ Ｍｉａ 利 推 ｈ ｎ ｏ — ｃ ｌ ｎ的 极 限 定理 ， 进 并 推 广 了文 ｌ 改
即
ｉ （ ／ ） ａ ｒ １ １ ｎ ［ ｇ （ … ）一
． ＋
ｍ ｘ （ 一） （ ） ｇ （ ， ｐ （ ， ］ ＝０ ａ ， ， ｝ ｉ ） ‘『 ｊ ＿ ） ，
（・） ２ ２
口 ． 中 ， 一） ６（ ）是 Ｋ ｏ ｅ ｋ ｒ 其 ６（ １ ， ｒｎ ｃ ｅ 函数．
证明
我们考 虑 基本 的概率 空 间 （ ０ １ ， Ｐ） 其 中 Ｆ是 ［ ， ）区间上 的 Ｌ ｂ ｓｕ 可 测 集 的全 体 ， ［ ， ） Ｆ， ， ０１ ｅ ｅｇ ｅ Ｐ