2018学年四川省自贡市富顺县童寺学区九年级(下)第一次月考数学试卷

2017-2018学年四川省自贡市富顺县童寺学区九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2=a4B．a8÷a2=a4 C．（2a2）3=8a6D．（ab）﹣2=﹣a2b22．（4分）下列图案是轴对称图形的是（）A．2008年北京B．2004年雅典C．1988年汉城D．1980年莫斯科3．（4分）将二次函数化成y=a（x+m）2+n的形式是（）A．B．C．D．4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A．4 B．0或2 C．1 D．﹣15．（4分）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米6．（4分）为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捞100条鱼都做上记号，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞100条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖中大约有（）鱼．A．500条B．600条C．800条D．1000条7．（4分）已知在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（4分）如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD=AB，连接AC、BC、CD，如果AB=2，那么CD等于（）A．2 B．1 C．D．9．（4分）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（）A．B．C．1 D．10．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF 交DC于F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，则图中三部分面积S1：S2：S3=．12．（4分）函数的自变量x的取值范围是．x=，y=．14．（4分）在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是海里．（精确到0.1海里，≈1.414，≈1.732）15．（4分）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是，破译“正做数学”的真实意思是．三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）16．（8分）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++|﹣|17．（8分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．四、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）18．（8分）如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，取1.73）．19．（8分）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD=4．（1）求反比例函数解析式；（2）求点C的坐标．五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）20．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=PM．（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．21．（10分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．六、解答题（满分12分．）22．（12分）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米．（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？（2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？七、解答题（本题满分12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．八、解答题（本题满分14分）24．（14分）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c 经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省自贡市富顺县童寺学区九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2013•广陵区校级模拟）下列运算中，正确的是（）A．a2+a2=a4B．a8÷a2=a4 C．（2a2）3=8a6D．（ab）﹣2=﹣a2b2【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据积的乘方，负整数指数幂，可判断D．【解答】解：A、系数相加字母部分不变，故A错误；B、底数不变指数相减，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．2．（4分）（2012秋•怀仁县校级期末）下列图案是轴对称图形的是（）A．2008年北京B．2004年雅典C．1988年汉城D．1980年莫斯科【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选；：D．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．（4分）（2001•山东）将二次函数化成y=a（x+m）2+n的形式是（）A．B．C．D．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：原式=（x2+4x﹣4）=（x2+4x+4﹣8）=（x+2）2﹣2故选A．【点评】此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解．4．（4分）（2007•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【解答】解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出p的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，此题二次项系数是1，不用考虑．因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．5．（4分）（2011•桂林模拟）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA．根据垂径定理，得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5故选：A．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．6．（4分）（2006•茂名）为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捞100条鱼都做上记号，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞100条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖中大约有（）鱼．A．500条B．600条C．800条D．1000条【分析】在样本中“捕捞100条鱼，发现其中10条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【解答】解：设湖中有x条鱼，则100：10=x：100，解得x=1 000（条）．故选D．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．7．（4分）（2007•昌平区二模）已知在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据绝对值及完全平方的非负性可得出sinA及cosB的值，继而可得出∠A及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：∵，∴sinA=，cosB=，∴∠A=60°，∠B=60°，故可得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，属于基础题，解答本题的关键是根据特殊角的三角函数值得出∠A及∠B的度数．8．（4分）（2010•武汉模拟）如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB 并延长到D，使BD=AB，连接AC、BC、CD，如果AB=2，那么CD等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD．【解答】解：如图，连OA，OB，∵B是弧AC的中点，AB=BC=BD，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，由勾股定理知，OA2=AE2+OE2，AE2+BE2=AB2，∵AB=2，AO=BO=3，代入解得，BE=，∵∠AEB=∠ACD=90°，∴BE∥CD，∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD=2BE=．故选D．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的判定和性质．9．（4分）（2007•昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（）A．B．C．1 D．【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5=1×+×+×+×+×=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．关键是找出每个锐角相应直角三角形，根据正切的定义求值．10．（4分）（2010•桂林）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】通过设出BE=x，FC=y，且△AEF为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象．【解答】解：设BE=x，FC=y，则AE2=x2+42，EF2=（4﹣x）2+y2，AF2=（4﹣y）2+42．又∵△AEF为直角三角形，∴AE2+EF2=AF2．即x2+42+（4﹣x）2+y2=（4﹣y）2+42，化简得：，再化为，很明显，函数对应A选项．故选：A．【点评】此题为动点函数问题，关键列出动点的函数关系，再判断选项．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）（2016春•富顺县校级月考）如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，则图中三部分面积S1：S2：S3=1：3：5．【分析】由平行可得△ADF∽△AEG∽△ABC可知，，可得，，可以得到S1，S2，S3之间的关系，可求出其比例【解答】解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC，∵D、E把AB三等分，∴，，∴，，解得S2=3S1，S3=5S1，∴S1：S2：S3=1：3：5，故答案为：1：3：5．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件判定出三角形相似，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方找到S1，S2，S3之间的关系是解题的关键．12．（4分）（2016春•富顺县校级月考）函数的自变量x的取值范围是x＞﹣1．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1＞0，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．由图可知该二次函数的图象对称轴为x=1，x=2对应的函数值y=﹣8．【分析】①由表格的数据可以看出，x=﹣3和x=5时y的值相同都是7，所以可以判断出，点（﹣3，7）和点（5，7）关于二次函数的对称轴对称，利用公式：x=可求出对称轴；②利用表格中数据反映出来的对称性，结合对称轴x=1，可判断出x=2时关于直线x=1对称的点为x=0，故可求出y=﹣8．【解答】解：①∵x=﹣3和x=5时，y=7，∴对称轴x==1；②x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，∵x=0时，y=﹣8，∴x=2时，y=﹣8，故答案为1，﹣8．【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点．14．（4分）（2006•宿迁）在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是8.2海里．（精确到0.1海里，≈1.414，≈1.732）【分析】在直角△AOD中，根据AO和∠AOD的正切函数，先求出OD和AD．再把OD 放到直角△OBD中，利用45°角的正切值求出BD，最后相加即可．【解答】解：如图，∠EOA=60°，∠FOB=45°，OA=6．过点O作OD⊥AB于点D．∵∠EOA=60°，∴∠AOD=30°．∴AD=3，OD=3．∵∠FOB=45°，∴∠BOD=45°．∴OD=BD=3．∴AB=AD+BD=3+3≈8.2．∴A、B间的距离是8.2海里．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．15．（4分）（2013•随州）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是x+1，y+2，破译“正做数学”的真实意思是祝你成功．【分析】根据坐标中文字位置得出“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），进而得出密码钥匙，即可得出“正做数学”的真实意思．【解答】解：∵已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，∴“正”的位置为（4，2）对应字母位置是（5，4）即为“祝”，“做”的位置为（5，6）对应字母位置是（6，8）即为“你”，“数”的位置为（7，2）对应字母位置是（8，4）即为“成”，“学”的位置为（2，4）对应字母位置是（3，6）即为“功”，∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．故答案为：x+1，y+2；祝你成功．【点评】此题主要考查了推理论证，根据已知得出“今”对应文字位置是：（x+1，y+2）进而得出密码钥匙是解题关键．三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）16．（8分）（2014•凉山州）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++|﹣|【分析】先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．【解答】解：原式=4﹣6×﹣1+﹣+=4﹣3﹣1+=．【点评】此题考查负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，二次根式的混合运算，按照运算顺序，正确判定符号计算即可．17．（8分）（2014•凉山州）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=，当a2+3a﹣1=0，即a2+3a=1时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）18．（8分）（2012•天津）如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，取1.73）．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴DE=AB=123．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，∴AE====．在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，得CE=AE=．∴CD=CE+DE=≈335.8．答：乙楼CD的高度约为335.8m．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．（8分）（2014•甘孜州）如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD=4．（1）求反比例函数解析式；（2）求点C的坐标．【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到×k=4，解得k=8，所以反比例函数解析式为y=；（2）先确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=2x，然后解方程组即可得到C点坐标．【解答】解：（1）∵∠ABO=90°，S△BOD=4，∴×k=4，解得k=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵∠ABO=90°，OB=4，AB=8，∴A点坐标为（4，8），设直线OA的解析式为y=kx，把A（4，8）代入得4k=8，解得k=2，∴直线OA的解析式为y=2x，解方程组得或，∵C在第一象限，∴C点坐标为（2，4）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）20．（10分）（2010•双鸭山）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=PM．（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．【分析】图2和图3的结论一致，求解的方法也相同，以图2为例：过P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，仿照题干的做法，先证△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，联立PC、PA的比例关系，即可得到PF：PE的值，从而求得PN、PM的比例关系．【解答】解：如图2，如图3中都有结论：PN=PM．选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F；∴四边形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，∴=；又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，∴PF=PC，PE=PA，∴==；∵PC=PA，∴=，即：PN=PM．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，由于题干部分已经给出了解题的思路，使得此题的难度有所降低．21．（10分）（2010•丹东）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【解答】解：（1）P（抽到2）=；从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，∴P（两位数不超过32）=．∴游戏不公平．调整规则：法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．六、解答题（满分12分．）22．（12分）（2013•齐齐哈尔）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米．（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？（2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？【分析】（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米，然后根据两队修路的长度分别为200米和350米两个等量关系列出方程组，然后解方程组即可得解；（2）根据甲队抽调m人后两队所修路的长度不小于4000米，列出一元一次不等式，然后求出m的取值范围，再根据m是正整数解答；（3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，根据所修路的长度为4000米列出方程整理并用a表示出b，再根据0≤b≤30表示出a的取值范围，再根据总费用等于两队的费用之和列式整理，然后根据一次函数的增减性解答．【解答】解：（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米，依题意得，解得．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）依题意得，10×100+20××100+30×50≥4000，解得m≤，∵0＜m＜10，∴0＜m≤，∵m为正整数，∴m=1或2，∴甲队可以抽调1人或2人；（3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，依题意得，100a+50b=4000，所以，b=80﹣2a，∵0≤b≤30，∴0≤80﹣2a≤30，解得25≤a≤40，又∵0≤a≤30，∴25≤a≤30，设总费用为W元，依题意得，W=0.6a+0.35b，=0.6a+0.35（80﹣2a），=﹣0.1a+28，∵﹣0.1＜0，∴当a=30时，W最小=﹣0.1×30+28=25（万元），此时b=80﹣2a=80﹣2×30=20（天）．答：甲工程队需做30天，乙工程队需做20天，最低费用为25万元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理清题中熟练关系，准确找出等量关系与不等量关系分别列出方程组和不等式是解题的关键，（3）先根据总工作量表示出甲乙两个工程队的天数的关系是解题的关键．七、解答题（本题满分12分）23．（12分）（2014•甘孜州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD 为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE 为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC=2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．【解答】（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．八、解答题（本题满分14分）24．（14分）（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组解得：∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4，∴P1（﹣1，4）若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；（3）不存在．理由：如答图2，设点E（x，y），则S△ADE=①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．【点评】本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元二次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分类讨论计算，避免漏解；（3）问中是否存在点E的问题，转化为一元二次方程实数根个数的问题，需要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．。