圆锥曲线的统一定义终课件

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（2）准线方程为：y ? ? 2 5 , y ? 2 5
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例3：已知椭圆 x2 ? y2 ? 1上一点P到左焦点的 64 36
距离为 4，求 P点到右准线的距离．
分析： 思路1：利用统一定义先求点 P到左准线的距离， 再用两准线间的距离为定值，求出点 P到右焦点 的距离。 思路2：利用椭圆定义求出点 P到右焦点的距离， 再用统一定义先求点 P到右准线的距离。
探究实验 提出猜想 证明猜想
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思考2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得
到这样一个方程： a 2?cx ? a ?x ? c?2 ? y2
将其变形为
?x ? c?2 ? y2 ? c
a2 ? x
a
，
c
能解释这个方程的 几何意义吗？
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例1：已知点 P（x,y ）到定点 F（c,0）的距离与
它到定直线 l：x ? a 2 的距离的比是常数 c
对应(0, ? c )
(? c,0)
y ? ? a2 c
x ? ? a2 c
(0, ? c )
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y ? ? a2 c
二、例题
例2：求下列曲线的准线方程．
（1）x2 ? y2 ? 1 25 9
（2）4 y2 ? x2 ? 16 化为：y2 ? x2 ? 1
4 16
（1）准线方程为：x ? ? 25 , x ? 25
抛物线有 一条 准线
根据图形的对称性可知 , 椭圆和双曲线 都有两条准线.
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x2 a2
?
y2 b2
?1
(a ? b ? 0)
y2 a2
?
x2 b2
?1
(a ? b ? 0)
x2 a2
?
y2 b2
?1
(a ? 0, b ? 0)
y2 a2
?
x2 b2
?
1
(a ? 0,b ? 0)
(? c,0)
x ? ? a2 c
表达式|PF1-PF2|=2a (2a<F1F2)
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3、抛物线的定义：
平面内到定点 F的距离和到定直线 l的距离相等的点的 轨迹 表达式PF=d (d 为动点到定直线距离）
二、探究
PF ? 1 d
Байду номын сангаас
思考1：当这个比值是一个不等于 1的常 数时，动点 P的轨迹又是什么曲线呢？
tongyi-dingyi.gsp
2018年11月1日
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什么是圆锥曲线？
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一、复习回顾
1、椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a> F1F2）的点的轨迹
表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于常数 2a (2a< F1F2) 的点的轨迹
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三、课堂小结
1、理解圆锥曲线的统一定义； 2、学会分析代数式的几何意义； 3、会求动点的轨迹方程；
4、注重数形结合和分类讨论的分析方法. 5、利用圆锥曲线统一定义解决相关的
简单的圆锥曲线问题。
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(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 椭圆.
(2)当 e >1 时, 点的轨迹是 双曲线.
(3)当 e =1 时, 点的轨迹是 抛物线.
其中，常数 e 叫做圆锥曲线的 离心率,定点F叫 做圆锥曲线的 焦点, 定直线 l 就是该圆锥曲 线的准线.
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思考3： （1）三种曲线分别有几条准线？ （2）准线方程分别是什么？
变式：如果我们在 例１中，将条件 （a＞ c ＞0）改为（ c ＞a＞0），点 P的轨迹又发生如何变化呢？
结论：平面内到一个定点F的距离与到一条 定直线l（ F不在l上）的距离的比值是常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线；
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结论：我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲 线的一种统一定义 ：
平面内到一定点 F 与到一条定直线 l 的距离之 比为常数 e 的点的轨迹 .( 注：点F 不在直线l 上）
c a
（a＞c＞0），求点 P的轨迹。
y
解:根据题意可得
(
P
x |
? a
c
2
)2 ?
? x
|
ly
2
?
c a
? ? ? ? 化简得
·c a 2 ? c2O x2 ? a 2 yF2 ? a 2 a 2? c2
x
令 a 2 ? c2 ? b2 ，上式可化为
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
b
?
0)
.
结论：平面内到一个定点F的距离与到一条 定直线l （ F不在l上）的距离的比值是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆；