黎曼可积的周期函数的性质

即
kf x c kf x T * c .
所以kf x c也是集M上以T *为周期的周期函数. 现假设T *不是kf x c的最小正周期, 则必存在T ' 0 T ' T * 是kf x c的周期,


则有
kf x T ' c kf x c ,
有界,它在每个 i 上存在上、下确界：
M i sup f x , mi inf f x , i 1,2,, n.
x i x i
4
作和
S T M i xi , sT mi xi ,
i 1 i 1 n n
分别称为 f x 关于分割 T 的上和与下和. 定义 2.4.2 定理 2.4.1 设 i M i mi ,称为 f x 在 i 上振幅. 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使
设 T1 为区间 kT, k 1T 的任意分割,有 T1 x0 , x1 ,, xn , 对 i xi1 , xi , i 1,, n . T1 maxxi , xi xi xi1 ,
1in
由于
lim
T1 0
f i xi lim
黎曼可积的周期函数的性质
高远
摘要: 函数一直都在数学研究领域扮演着重要角色,而周期函数与黎曼可积函数又是函 数中两类特殊的函数，掌握这两类函数的定义、性质与判别方法是十分重要的.在本文中就 先介绍了周期函数的定义与判定方法， 之后又介绍了黎曼可积函数的定义与判定方法， 并对 其中较难理解的判定方法给予了证明.最后，主要就是来研究黎曼可积的周期函数的性质， 并相应的给与了详细证明. 关键词: 周期函数 黎曼可积 性质
所以, f g x 是 M 1 上的周期函数. 定理 2.2.3 周期,若 设 f1 x , f 2 x 都是集合 M 上的周期函数. T1 , T2 分别是它们的
T1 Q ,则它们的和、 差、 积也是 M 上的周期函数, T1 与 T2 的公倍数为它 T2
们的周期.
2
证 设 T T1q T2 p ,其中 p, q 1 , 则有
记 f x 在小区间 ' b ' , b上的振幅为 ' ,则
' ' M m
2M m



2
.
因为 f x 在 a, b ' 上连续, 知 f x 在 a, b ' 上可积 , 存在对 a, b ' 的 某个分割 T ' 1 , 2 ,, n1 ,使得
T a x a
*


* b (ax b T ) M ,
且
T* f ax b T * f ax b , f a x b a


3
所以,
T* 是 f ax b 的周期. a T* 是 f ax b 的最小正周期. a
T1 , T2 ,…, Tn 分别是它们的周期，若 T1 , T2 ,…, Tn 中任意两个之比都是有理数 ,
则此 n 个函数之和、差、积也是 M 上的周期函数. 定理 2.2.4 设 f1 x sin a1 x , f 2 x cos a2 x ,则 f1 x 与 f 2 x 之和、差、积
i M i mi sup f x ' f x ''
x ' , x '' i

ba
,
从而导致
x
i T
i


ba
x
T
i
.
所以证得 f x 在 a, b 可积. 定理 2.2.4 若 f x 是区间 a, b 上只有有限个间断点的有界函数,则 f x 在
2 2.1
预备知识 周期函数的定义 对于函数 y f x , 如果存在一个不为零的常数 T , 使得当 x 取定义域的每
一个值时, 都有 f x T f x 成立 ,那就把函数 y f x 叫做周期函数 ,不为零 的常数 T 叫做函数的周期，如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数



数,且当 x M 1 时, g x M ,则复合函数 f g x 是 M 1 的周期函数. 证 设 T 是 u g x 的周期,则有 x T M 1 , g ( x T ) g ( x) . 所以
f g x T f g x ,
a1 Q. a2
是周期函数的充要条件是 定理 2.2.5
设 f x 是集合 M 上以 T * 为最小正周期的周期函数,则
f ax b 是集合 x ax b M 上的以
T* 证 先证 是 f ax b 的周期. a
T* 为最小正周期的周期函数. a
因为 T * 是 f x 的周期,所以 x T * M , 所以
a, b 可积.
5
证
不失一般性,这里只证明 f x 在 a, b 上仅有一个间断点的情形，并假设
该间断点即为端点 b . 任给 0 , 取 ' 满足 0 '
2M m

, 且 ' b a , 其中 M 与 m 分别为
f x 在 a, b 上的上确界与下确界.
x T x T1q x T 2p M ,
且
f1 x T f 2 x T f1 x T1q f 2 x T2 p f1 x f 2 x .
所以 f1 x f 2 x 是以 T1 和 T2 的公倍数 T 为周期的周期函数. 同理可证, f1 x f 2 x 也是以 T 为周期的周期函数. 推论 2.1 若 f1 x , f 2 x ,…, f n x 是集合 M 上的有限个周期函数，
S T sT ,
则函数 f x 在 a, b 上可积. 定理 2.4.2 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使得
x
i T
i
,
则函数 f x 在 a, b 上可积. 定理 2.4.3 证 若 f x 是 a, b 上连续函数,则 f x 在 a, b 可积.
设 f x 是增函数 , 且 f a f b , 对 a, b 上的任一分割 T , 由 f x 的增
性, f x 在 T 所属的小区间 i 上的振幅为
i f xi f xi 1 .
于是有
x f x f x
由于 f x 在 a, b 上连续,因此在 a, b 上一致连续.这就是说,任给 0 ,
存在 0 ,对 a, b 中任意两点 x ' , x '' ,只要 x ' x '' ,便有
f x ' f x ' '


ba
.
所以, 只要对 a, b 所作的分割 T 满足 T , 在 T 所属的任一小区间 i 上 , 就能使得振幅满足
f x 的最小正周期.
2.2 周期函数的判定方法 定理 2.2.1 若 f x 是在集 M 上以 T * 为最小正周期的周期函数,则
1
kf x ck 0 也是以 T * 为最小正周期的周期函数.
证 所以
f x T * f x ,
因为 T * 是 f x 的周期,


f x
i 1 i
n
i
J ,
则称函数 f x 在区间 a, b 上可积或黎曼可积.数 J 称为在 a, b 上的定积分或黎 曼积分,记作
b J f x dx . a
其中, f x 称为被积函数, x 称为积分变量, a, b 称为积分区间. a , b 分别称为 这个定积分的下限和上限. 2.4 黎曼可积的判定方法 定义 2.4.1 设 T i i 1,2,, n为对 a, b 的任意分割,由 f x 在 a, b 上
即
k f x T ' f x 0 .
所以 T ' 是 f x 的周期，这与 T * 是 f x 的周期矛盾. 综上, T * 是 kf x ck 0 的最小正周期. 定理 2.2.2 设 f u 是定义在集 M 上的函数, u g x 是集 M 1 上的周期函
T* ) 是 f ax b 的周期,则 f a x T ' b f ax b , a
再证
假设存在 T ' (0 T ' 即


f ax b aT ' f ax b ,
因当 x 取遍 x x M , ax b M 的各数时, ax b 就取遍 M 上所有的数, 所以 aT ' 是 f x 的周期,这与 T * 是 f x 的最小正周期矛盾. 2.3 黎曼可积的定义 设 f x 是定义在 a, b 上的一个函数 , J 是一个确定的实数 , 若对任给的正 数 ,总存在某一正数 ,使得对 a, b 的任意分割 T ,以及在其上任选的点集 i , 只要 T ,就有



Leabharlann xi T'
i


2
.
令 n ' ,则 T 1 , 2 ,, n 是对 a, b 的一个分割,对于 T ,有
x x
i i i T T'
i
' '

2


2
.
证得 f x 在 a, b 可积. 定理 2.4.5 证 若 f x 是 a, b 的单调函数,则 f x 在 a, b 可积.
i 1
n
T1 0
f
i 1
n
i
kT xi ,
且 i kT 0, T 和 f x 在 0, T 上可积,故 f x 在 kT, k 1T ( k )上可积. 再证 f x 在任何有限闭区间 lT , mT l m, l , m 上黎曼可积. 由于 lT , mT lT , l 1T m 1T , mT 且 f x 在 kT, k 1T ( k ) 上可积,故 f x 在任何有限闭区间 lT , mT l m, l , m 上黎曼可积. 最后证 f x 在任何有限闭区间 a, b 上黎曼可积.
1 引言
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质,在高中数学中仅三角函数与周期数 列的通项公式中涉及到周期函数,对一般的周期函数未作重点讨论 ;而黎曼可积 函数是所有高等教育理工类学生都应该掌握的知识，有许多好的性质.那如果将 周期函数与黎曼可积函数合二为一呢，即黎曼可积的周期函数，它又将有怎样的 性质呢？
i i T i 1 i i 1
n
T
f b f a T ,
由此可见,任给 0 ,只要 T
f b f a
6

,这时就有
x
i T
i
,
所以, f x 在 a, b 上可积.
3 黎曼可积的周期函数的定义
定义 3.1
设函数 f x 是在 , 上的以 T 为周期的周期函数 , 且函数
f x 在 0, T 上黎曼可积,则称函数 f x 是 , 上的黎曼可积的周期函数.
4 黎曼可积的周期函数的性质
定理 4.1
若函数 f x 是 , 上的黎曼可积的周期函数,则函数 f x 在
任何有限的闭区间 a, b 上黎曼可积. 证 先证 f x 在 kT, k 1T ( k )上可积.