2-1 傅立叶变换与拉普拉斯变换
积分变换2-1
广义拉氏变换
L [ f ( t )] f ( t ) e st d t f ( t ) e st d t L [ f ( t )]
当f(t)在t=0处有界时, 则
st 所以拉氏变换 L[ f ( t )] 0 f (t ) e d t
0
0
kt
f (t ) e std t
0
( 2.1)
5.L[d ( t )] 1
6.周期函数
k 3.L[sin kt ] 2 (Re(s ) 0 ) 2 s k s 4.L[cos kt ] 2 (Re(s ) 0 ) 2 s k
1 L[ f ( t )] 1 e sT
( j ) t
0
f (t ) e
dt
0
f (t ) e
st
dt
其中 s j , f ( t ) ( t )u( t ) s 若再设 F ( s ) G j 则得 F ( s )
0
f ( t ) e st d t
j 1 1 k s j k s j k s 2 k 2 (Re(s ) 0 ) 2
同理可得
L[cos kt ] cos kt e st d t
0
1 j kt j kt st (e e ) e d t 2 0 1 ( s jk )t ( s jk )t e dt e dt 0 0 2 1 1 ( s jk )t s jk e 2
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质地区别
傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。
而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。
所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。
而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。
傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。
主要用于信号处理。
拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。
z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。
第四章Z变换1 Z变换的定义(1) 序列的ZT：(2) 复变函数的IZT：，是复变量。
(3) 称与为一对Z变换对。
简记为或(4) 序列的ZT是的幂级数。
代表了时延，是单位时延。
(5) 单边ZT：(6) 双边ZT：2 ZT收敛域ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。
收敛的充要条件是它(3) 有限长序列的ROC序列在或(其中)时。
收敛域至少是。
序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)右边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
左边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为反因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换的区别
傅里叶变换和拉氏变换是数学中两个非常重要的变换。
它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域中有着广泛的应用。
虽然它们有一些相似之处，但是它们的本质区别还是很大的。
傅里叶变换主要用来分析周期信号。
它将一个周期为T的函数
f(t)分解成频率为整数倍的正弦和余弦函数的线性组合。
这意味着通过傅里叶变换，我们可以将时域的信号转换到频域中，从而更好地理解信号的频率特性。
而拉氏变换则是用于分析非周期信号。
它将一个函数f(t)转换成一个复数函数F(s)，其中s是复数域中的一个变量。
这个复数函数包含了函数f(t)的幅度和相位信息。
通过拉氏变换，我们可以更好地了解信号的稳定性、阻尼特性和频率响应等信息。
另外，傅里叶变换和拉氏变换的逆变换也有所不同。
傅里叶变换的逆变换是傅里叶反变换，它将频域的信号转换回时域中。
而拉氏变换的逆变换是拉氏反变换，它将复数函数F(s)转换回原始函数f(t)。
总的来说，傅里叶变换和拉氏变换是两个不同的数学工具，它们分别适用于周期信号和非周期信号的分析。
通过它们的应用，我们可以更好地了解信号的频率特性、稳定性和响应等信息。
- 1 -。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用
1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。
类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。
积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。
什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。
分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。
可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。
傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。
Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。
即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。
之后才创立了现代算子理论。
算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。
这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处在它的间断点处定义1.2.1（傅里叶变换）设函数满足定理 1.2.1中的条件，则称为的傅里叶变换，记作。
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换 汇总对比
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换1、傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
2、拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
(完整word版)傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用
1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。
类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。
积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。
什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。
分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。
可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。
傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。
Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。
即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。
之后才创立了现代算子理论。
算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。
这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。
1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数f(t)满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面f(t)满足狄利克雷条件；（2）∫|f (t )|+∞−∞dt <+∞，即f (t )在（-∞，+∞）上绝对可积；则f (t )的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t 处12π∫(∫f(τ)+∞−∞e −iωτdτ)+∞−∞e iωτdω=f (t ) 在它的间断点t 处12π∫(∫f(τ)+∞−∞e −iωτdτ)+∞−∞e iωτdω=f (t +0)+f (t −0)2定义1.2.1（傅里叶变换）设函数f (t )满足定理 1.2.1中的条件，则称∫e −iωt +∞−∞f (t )dt为f (t )的傅里叶变换，记作ℱ(ω)＝∫e −iωt +∞−∞f (t )dt 。
傅里叶变换拉普拉斯变换求解偏微分方程
傅里叶变换拉普拉斯变换求解偏微分方程偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具。
在科学技术领域广泛应用，如物理学、工程学、天文学等。
解析方法是解决偏微分方程的一种重要方法。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是解析方法中的两个重要工具，可以用来求解偏微分方程。
傅里叶变换是将一个函数在时间域的表达式转换为在频率域的表达式。
它是一种将信号从时间域转换到频率域的技术，可以将时域信号分解成不同频率的正弦和余弦波。
在偏微分方程中，傅里叶变换可以通过将方程中的函数进行傅里叶变换，将偏微分方程转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
拉普拉斯变换是将一个函数在时间域的表达式转换为在复频域的表达式。
它是一种将时间域信号转换为复平面上的函数的技术。
在偏微分方程中，拉普拉斯变换可以将偏微分方程转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
以热传导方程为例，热传导方程是描述物体温度分布变化的偏微分方程，可以使用傅里叶变换和拉普拉斯变换求解。
假设一个物体的初始温度分布为f(x)，热传导方程可以表示为：∂u(x,t)/∂t = k * ∂^2u(x,t)/∂x^2其中，u(x,t)是时间t和位置x上的温度，k是热传导系数。
使用傅里叶变换，将u(x,t)进行傅里叶变换，得到U(k,t)，则热传导方程可以表示为：∂U(k,t)/∂t = -k * k * U(k,t)使用拉普拉斯变换，将u(x,t)进行拉普拉斯变换，得到U(s)，则热传导方程可以表示为：s * U(s) - f(x) = -k * U''(s)其中，U''(s)表示U(s)对x的二阶导数。
通过求解上述代数方程，可以得到热传导方程的解。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用，使得求解偏微分方程的过程更加简便、高效。
除了热传导方程外，傅里叶变换和拉普拉斯变换还可以应用于其他偏微分方程的求解。
例如，波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程等，都可以使用这两种变换转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
傅里叶变换,拉普拉斯变换和z变换
傅里叶变换，拉普拉斯变换和z变换傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统领域中常用的数学工具，它们在信号分析和处理、控制系统设计等方面发挥着重要作用。
本文将分别介绍这三种变换的基本概念和应用。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它通过对信号进行分解，将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换可以将信号的时域特性转换为频域特性，使得我们可以更加清晰地了解信号的频域特点，如频率成分、振幅等。
这对于音频、图像、视频等信号的处理和分析非常重要。
傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析、信号压缩等方面。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的数学工具。
它是傅里叶变换在复平面上的推广，可以更加全面地描述信号在频域上的特性。
拉普拉斯变换可以将时域信号转换为复频域函数，从而可以更方便地进行信号的频域分析和系统的频域特性描述。
拉普拉斯变换在电路分析、控制系统设计、信号处理等方面有广泛的应用。
它可以用于系统的稳定性分析、频域响应计算、滤波器设计等。
z变换是一种将离散时间域信号转换为复频域信号的数学工具。
它是傅里叶变换和拉普拉斯变换在离散领域的推广，用于描述离散时间系统的频域特性。
z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而可以更方便地进行频域分析和系统特性描述。
z变换在数字滤波器设计、离散时间控制系统设计等方面有广泛的应用。
它可以用于系统的稳定性分析、频域响应计算、滤波器设计等。
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统领域中不可或缺的数学工具。
它们通过将信号从时域转换为频域或复频域，使得我们可以更加清晰地了解信号的特性和系统的行为。
这三种变换在信号处理、控制系统设计、通信等领域都有广泛的应用。
熟练掌握这些变换的基本原理和应用方法，对于深入理解信号与系统的特性和进行相关工程设计具有重要意义。
总结起来，傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统领域中的重要数学工具。
它们分别用于时域信号到频域信号、时域信号到复频域信号、离散时间信号到复频域信号的转换。
傅里叶变换、拉普拉斯变换、z 变换的联系
一、引言傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是信号与系统领域中重要的数学工具，它们在时域和频域之间建立了数学关系，广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。
本文将对这三种变换进行介绍，并讨论它们之间的联系。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
对于一个连续时间信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)可以表示为：X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt其中，ω为频率，e^(-jωt)为复指数函数，表示频率为ω的正弦波。
傅里叶变换将信号在时域和频域之间进行了转换，使得我们可以通过频域分析来理解信号的频率特性。
三、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复域信号的数学工具。
对于一个连续时间信号x(t)，它的拉普拉斯变换X(s)可以表示为：X(s) = ∫x(t)e^(-st)dt其中，s为复变量，e^(-st)为复指数函数，可以表示不同的衰减和增长特性。
拉普拉斯变换不仅可以用于分析信号的频率特性，还可以用于分析系统的稳定性和时域响应。
四、z变换z变换是一种将离散时间信号转换为复域信号的数学工具。
对于一个离散时间信号x[n]，它的z变换X(z)可以表示为：X(z) = ∑x[n]z^(-n)其中，z为复变量，z^(-n)为z的负幂，可以表示离散时间信号的序列。
z变换可以用于分析离散时间系统的稳定性和频率响应。
五、联系与比较1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的联系傅里叶变换和拉普拉斯变换都是将时域信号转换为复域信号的数学工具，它们之间存在一定的联系。
在一定条件下，可以通过拉普拉斯变换来推导傅里叶变换，从而将连续时间系统的频域特性转换为复域特性。
这种联系使得我们可以统一地分析连续时间信号和系统的频率特性。
2. 拉普拉斯变换与z变换的联系拉普拉斯变换和z变换同样是将时域信号转换为复域信号的工具，它们之间也存在联系。
在一定条件下，可以通过z变换来推导离散时间系统的拉普拉斯变换，从而将离散时间系统的频率特性转换为复域特性。
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别
傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。
而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。
所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。
而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。
傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。
主要用于信号处理。
拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。
z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。
第四章 Z变换1 Z变换的定义(1) 序列的ZT：(2) 复变函数的IZT：，是复变量。
(3) 称与为一对Z变换对。
简记为或(4) 序列的ZT是的幂级数。
代表了时延，是单位时延。
(5) 单边ZT：(6) 双边ZT：2 ZT收敛域 ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。
收敛的充要条件是它(3) 有限长序列的ROC序列在或 (其中 )时。
收敛域至少是。
序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为 ( 除外)当时，收敛域为 ( 除外)当时，收敛域为 ( 除外)右边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
左边序列的ROC序列在时。
如果，则序列为反因果序列。
ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。
双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。
双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
开
平 0 平 Res
面
面
0收 敛 坐 标
图 5-2
图 5-1
式(5-9)中的 0 值指出了函数 f tet 的收敛条件。 0 的值由函数 f t 的性质确定。根据 0
的值，可将 s 平面(复频率平面)分为两个区域，如图 5-2 所示。通过 0 点的垂直于 轴的直
线是两个区域的分界线，称为收敛轴， 0 称为收敛坐标。收敛轴以右的区域(不包括收敛轴
傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数 字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的 基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中 振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅 大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
即
Fs f testdt 0
(5-5)
复变量函数 Fs称为时间函数 f t的单边拉普拉斯变换。Fs称为 f t的像函数，f t称
为 Fs的原函数。一般记为
Fs L f t
符号 L1 为一算子，表示对括号内的时间函数 f t 进行拉普拉斯变换。
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用 无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个 条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白 了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换
傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，是在信号处理和控制系统领域中非常重要的数学工具和转换方法。
它们各自具有独特的数学特性和应用领域，对于理解和分析信号、系统和控制器具有重要意义。
在本篇文章中，我将从基础概念到深入原理，探讨这三种变换的定义、特性和应用，并共享我个人的见解和理解。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换在通信、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
1. 定义和公式对于一个连续信号x(t)，其傅里叶变换X(ω)定义如下：X(ω) = ∫[−∞, +∞]x(t)e^(−jωt)dt其中，X(ω)表示信号x(t)的频域表示，ω为角频率，e^(−jωt)为复指数函数。
2. 特性傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、频率缩放性等性质，这些性质使得我们可以通过傅里叶变换对信号进行分析和处理。
3. 应用傅里叶变换广泛应用于信号的频谱分析、滤波器设计、信息压缩等领域。
在音频处理中，通过傅里叶变换可以将时域的音频信号转换为频域表示，从而实现音频的频谱分析和变换。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种对信号进行复域转换的方法，它在控制系统分析和传递函数求解中有着重要的应用。
与傅里叶变换不同，拉普拉斯变换适用于非周期性信号和因果系统的分析。
1. 定义和公式对于一个连续信号x(t)，其拉普拉斯变换X(s)定义如下：X(s) = ∫[0, +∞]x(t)e^(−st)dt其中，X(s)表示信号x(t)的拉普拉斯域表示，s为复数变量，e^(−st)为复指数函数。
2. 特性拉普拉斯变换具有线性性、平移性、尺度变换性等性质，这些性质使得我们可以方便地对线性时不变系统进行稳定性分析和传递函数求解。
3. 应用拉普拉斯变换在控制系统分析、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而方便地进行系统的稳定性分析和控制器设计。
拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系
拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系
一、拉普拉斯变换与傅里叶变换
1. 什么是拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种变换，用于将函数从时域变换到频域。
它可以将
函数的值从x（t）到F（ω），其中ω为正弦波的角频率。
拉普拉斯变
换的定义如下：
$$F\left(\omega \right)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\left(t \right){e}^{-\imath
\omega t}dt$$
2. 什么是傅立叶变换
傅里叶变换是一种从时域到频域的变换，用于分析和解决频率的问题。
它可以将函数从x（t）变换到X（f），f表示正线性信号的频率。
傅
里叶变换定义如下：
$$X\left(f \right)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\left(t \right){e}^{-\imath 2 \pi f t}dt$$
二、拉普拉斯变换与傅理叶变换的关系
1. 拉普拉斯变换和傅里叶变换的基本功能完全相同
傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本功能完全相同，即从函数的时间域
到频域的变换，均可将源函数x（t）转换为新函数F（ω）或X（f）。
2. 拉普拉斯变换和傅里叶变换的区别
首先，从参数设置上看，拉普拉斯变换是以角频率ω为参数，而傅里叶变换是以线性频率f为参数。
其次，从调制角度来看，拉普拉斯变换是以角调制的形式，而傅里叶变换则是以线性调制的形式。
最后，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系是，拉普拉斯变换可以由傅里叶变换衍生：令f=ω/2π，将傅里叶变换表达式代入拉普拉斯变换表达式，即可得到拉普拉斯变换的表达式。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
[]j ()()e ()() σt s σωf t f t u t F s -=+⎡⎤=⋅=⎣⎦L F 由此可以得到因果信号的傅氏变换与拉氏变换的关系() et f t σ-拉氏变换的引出，是针对 不满足绝对可积条件，对其乘以一个衰减因子 作傅氏变换，演变成拉氏变换00 σ>00σ<00σ=当 时，收敛域边界落在s 右半平面当 时，收敛边界落在s 左半平面当 时，收敛边界位于虚轴j s σωt =+-∞<<∞傅氏变换j s ωt =-∞<<∞单边拉氏变换j 0s σωt =+<<∞双边拉氏变换0()0t f t <=如果0<σ[]()()()e (j )σt f t f t u t s σω-⎡⎤=⎣⎦=+L FO σωj α()e ()(0)αt f t u t α=>O t e ()αt u t 1() F s s α=-其拉氏变换σα>收敛域()()()F ωF s F ω不存在，不能由 求00 σ>当 时，收敛域边界落在s 右半平面O σωj α-O t e ()αt u t -()e ()(0)αt f t u t α-=>衰减函数，傅氏变换存在: 1(j )j F ωαω=+j (j )()s ωF ωF s ==σα>-收敛域1() F s αs =+拉氏变换00σ<当时，收敛边界落在s 左半平面()()f t u t =1() F s s =，1(j )π()j F ωδωω=+例如：()()()F s F F s ω存在的，因为傅氏变换中包括奇异函数项， 与 之间不再是简单的置换关系有j [()]()|π()s ωn n f t F s k δωω==+-∑F 对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴由F (s )出发，将其展开成部分分式 () j F s sω中以代[()]()j j n n n n k f t F s ωs ω==-∑L 是极点00σ=当 时，收敛边界位于虚轴例：已知 的拉普拉斯变换为求其傅里叶变换。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
傅里叶变换和拉普拉斯变换一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。
即()()dte tf j F t j ωω-∞∞-⎰∞= (正变换)(5.1)()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边正弦信号()t tU ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。
还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at ()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。
求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。
利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。
在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。
由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。
所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。
实际上，信号()t f总是在某一确定的时刻接入系统的。
若把信号()t f接入系统的时刻作为0=t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有()t f =0。
我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。
这样，式(5-1)即可改写为()()dte tf j F t j ωω-∞⎰-=0(5-3)式(5-3)中的积分下限取为-0，是考虑到在0=t 的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。
但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时()t f 才有定义，即()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21t ＞0 (5-4a)或用单位阶跃函数()t U 加以限制而写成下式，即()()()t U d e j F t f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞∞-ωωπω21(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子te σ-（σ为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数()te tf σ-。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅⾥叶变换和拉普拉斯变换公式总结（2022-02-09修正部分错误）（2020-03-18修正部分错误）因为傅⾥叶变换之类的很常⽤，时间长了不⽤总会忘记，所以⼀次性罗列出来权当总结好了。
主要参考《信号与线性系统分析》(吴⼤正)，也有的部分参考了复变函数。
δ-函数相关运算n阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1a nδ(n)(t)⼀阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0) n阶导数和函数的乘积f(t)δ(n)(t−t0)=n∑i=0(−1)ini f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)傅⾥叶级数和傅⾥叶变换傅⾥叶级数f(x)=a02+∞∑n=1a n cosnπL x+bn sinnπL x a n=1L∫L−Lf(x)cosnπL xdxb n=1L∫L−Lf(x)sinnπL xdx半幅傅⾥叶级数ϕ(x)=∞∑n=1C n sinnπxLC n=2L∫Lϕ(x)sinnπxL dx常见函数傅⾥叶变换这⾥傅⾥叶变换的定义中，因⼦12π统⼀放在逆变换前。
gτ(t)指的是关于y轴对称宽度为τ的门函数gτ(t)↔τSaωτ2其中Sa即Sinc.e−atε(t)↔1 a+iωe−a|t|↔2a a2+ω2 ()() ()e−at2↔πa e−ω24aδ(t)↔1ε(t)↔πδ(ω)+1 iωcos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]t n↔2π(i)nδ(n)(ω)1t↔−iπsgn(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)性质时域微分f(n)(t)↔(iω)n F(ω)时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω) iω频域微分(−it)n f(t)↔F(n)(ω)频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dν对称性F(t)↔2πf(−ω)尺度变换f(at)↔1|a|Fωa时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)卷积的微分性质设f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)卷积定理时域f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)时域f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)周期函数f T(t)傅⾥叶变换√()设函数f T(t)周期为T，记F n=1T∫T/2−T/2f T(t)e−iωt d t由指数形式的傅⾥叶级数，两边取傅⾥叶变换，所以周期函数的傅⾥叶变换时受到2πF n调制的梳状脉冲(T代表周期，Ω=2πT)f T(t)↔2π∞∑n=−∞F nδ(ω−nΩ)拉普拉斯变换因果信号f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)，⼀个因果信号及其单边拉普拉斯变换是⼀⼀对应的。
流体力学中的特殊函数变换求解
流体力学中的特殊函数变换求解流体力学是研究液体和气体的运动以及与力学有关的现象和规律的学科。
在流体力学的分析和求解过程中，特殊函数变换是一种重要的数学工具。
特殊函数变换广泛应用于流体力学中的方程求解、边界值问题、数值模拟等方面，能够简化问题、提高计算效率。
本文将介绍流体力学中常见的特殊函数变换及其应用。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的特殊函数变换。
在流体力学中，傅里叶变换常用于处理周期性变化的流场问题。
通过傅里叶变换，可以将流体力学方程转化为频域上的代数方程，从而更容易求解。
傅里叶变换在流体力学中的应用包括流体流动分析、振动模态分析等。
2. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将函数从时域转换到复频域的特殊函数变换。
在流体力学中，拉普拉斯变换常用于求解常微分方程和偏微分方程的边界值问题。
通过拉普拉斯变换，可以将流体力学方程转化为复频域上的代数方程或者常微分方程，从而简化求解过程。
3. Z变换Z变换是一种将离散信号从时域转换到复频域的特殊函数变换。
在流体力学中，离散化的问题求解往往采用Z变换来处理，如离散动力学方程求解、有限差分法等。
通过Z变换，可以将离散问题转化为复频域上的代数方程，从而方便求解。
4. Hankel变换Hankel变换是一种将函数从笛卡尔坐标变换到波动坐标的特殊函数变换。
在流体力学中，Hankel变换常用于分析旋转对称的流动问题，如圆柱绕流、圆锥绕流等。
通过Hankel变换，可以将旋转对称问题转化为波动坐标上的代数方程，从而求解旋转对称流动的特征和性质。
总结特殊函数变换在流体力学中具有重要的作用，能够简化问题、提高求解效率。
本文介绍了流体力学中常见的特殊函数变换，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换和Hankel变换，并举例说明了它们在流体力学中的应用。
通过合理选择特殊函数变换方法，能够更好地解决流体力学中的方程求解和边界值问题，为流体力学的研究提供有力的数学工具。
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1 d c1 { r 1 [ F (s)(s p1 )r ]}|s p1 (r 1)! ds
ak [F (s)(s pk )]|s pk
n cr t r 1 cr 1t r 2 p1t 则：f (t ) [ c2t c1 ]e ai e pit (r 1)! (r 2)! i r 1
2 2
§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换
2.1.1 傅立叶级数 一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数 f(t)可以展开成傅立叶级数的形式：
1 f (t ) a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
1 T a 0 2T f (t )dt T 2 2 T an 2T f (t ) cos ntdt T 2 2 T bn 2T f (t )sin ntdt T 2
B( s) ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) F ( s) A( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
zm ——零点； pn ——极点
(1) F(s)中具有不同的极点时，可展开为
an a1 a2 F ( s) s p1 s p2 s pn
2 1 1 3 2 4 F ( s ) 3 12 s ( s 3) ( s 1) 2 ( s 1)
2 1 3t 1 t 3 t f (t ) e te e 3 12 2 4
19
19
例5：求函数
s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)( s 2)
f (at )
d f (t ) n dt
n
s n F (s) s n r 1 f ( r ) (0)
r 0
n 1
6 对s微分
f (t )dt
tf (t )
1 [ F ( s) f ( 1) (0)] s d F ( s) ds
13 13
3. 拉普拉斯变换基本性质（续）
积分 2T | f (t ) | dt存在
2
7
7
2.1.2 傅立叶变换 对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级 数的形式，引入傅立叶变换：
1 逆变换：（t）= f 2
正变换：F ）= （
－
f (t )e jt dt
－
F ( )e jt d
傅立叶变换存在的充分条件：信号f(t)满 足绝对可积，即：
自动控制原理
PRINCIPLES OF AUTOMATION CONTROL
第二章 控制系统的数学模型
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烟台大学光电信息学院
1 1
在控制系统的分析和设计中，首先要建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型是描述系统内部物 理量之间关系的数学表达式。 静态数学模型 动态数学模型 建立系统数学模型是分析设计控制系统 的首要工作 建立系统模型有分析法和实验法两种。
12 12
3. 拉普拉斯变换基本性质（P28表2－2）
基本运算 1 线性 2 时域平移 3 尺度变换 4 对t微分 （P23） 5 对t积分 原函数 f (t ) 象函数 F ( s )
aF1 (s) bF2 (s)
1 s F( ) a a
af1 (t ) bf 2 (t )
f (t 0 )1(t 0 ) e s 0 F ( s)
7 2 t f (t ) e 5 1 j 2 1 j 2 5 5 ( s 1 j 2) ( s 1 j 2)
e jt e jt sin(t ) 2j e jt e jt cos(t ) 2
20 20
7 2t 2 t e e [cos(2t ) 2sin(2t )] 5 5
n=0 —— 直流分量 n=1 ——基波谐波 n=2 ——二次谐波 ：
(n 1, 2,3)
3 3
傅立叶级数的物理意义：
例1： 求周期方波的傅立叶级数展开式。（P19）
T T 0 , 2 t 4 T T f (t ) A , t 4 4 T T t 0 , 4 2
方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种 不同频率的谐波可以合成方波。
f(t) A
基波分量
一次谐波
0
t
0
t
各种不同频率 的谐波可以合成方 波。所含谐波越多， 越接近方波。低次 谐波影响顶部，高 次谐波影响跳变沿。
合成波形
三次谐波
0
t
五次谐波
0
t
Dir数必须满足 Dirichlet条件： （1）在一个周期内只有有限个不连续点； （2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值 （3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积， 即： T
18
18
s2 F ( s) 例4:求 s( s 1)2 ( s 3) 的原函数f(t)。
c3 c1 c2 c4 s2 解： F (s) 2 2 s( s 1) ( s 3) s ( s 3) ( s 1) ( s 1) 1 2 c2 ( s 3) F ( s ) |s 3 c1 sF ( s ) |s 0 12 3 1 2 c3 ( s 1) F ( s ) |s 1 2 1 d 3 2 c4 [( s 1) F ( s)] |s 1 (2 1)! dt 4
基本运算 7 对s积分
8 s域平移 9 初值
原函数 f (t )
1 f (t ) t
象函数 F ( s )
s
F ( s)ds
e at f (t )
t 0
t
F ( s a)
lim sF ( s )
s
lim f (t )
lim f (t )
10 终值
11 卷积
t
lim sF ( s )
的逆变换
s2 3 s2 3 解： F (s) 2 ( s 2)( s 2s 5) ( s 2)( s 1 j 2)( s 1 j 2)
c3 c1 c2 ( s 2) ( s 1 j 2) ( s 1 j 2)
1 j 2 c2 ( s 1 j 2) F ( s ) |s 1 j 2 5 1 j 2 c3 ( s 1 j 2) F ( s ) |s 1 j 2 欧拉公式： 5 7 c1 ( s 2) F ( s) |s 2 5
－ ＋
f (t )e dt
(双边)
0
f (t )e dt
st
(单边)
st
1 逆变换：f (t )= 2j
j
－j
F ( s)e ds
f (t )——原函数； F (s)——象函数
11 11
★
2.常用函数拉普拉斯变换（P28表2－3）
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
f(t) A
T T 2 4
0
T 4
T 2
t
4
4
1 T 1 T a0 2T f (t )dt 2T Adt A T 2 T 2
2 T 4 T A nT 2 A n 2 4 an T f (t ) cos ntdt A cos ntdt sin sin 0 T 2 T nT 4 n 2
17 17
(2) F(s)含有多重极点时，可展开为
an cr cr 1 c1 ar 1 F ( s) r r 1 ( s p1 ) ( s p1 ) (s p1 ) (s pr 1 ) (s pn )
cr [F (s)(s p1 )r ]|s p1 d cr 1 { [ F ( s )( s p1 ) r ]}|s p1 ds : 1 dj cr j { j [ F ( s)( s p1 ) r ]}|s p1 j ! ds : r 1
2 T bn 2T f (t )sin ntdt 0 T 2
1 A 2A n f (t ) a0 (an cos nt bn sin nt ) sin cos nt 2 2 n1 n 2 n 1
A 2A 1 1 (cos t cos 3t cos 5t ) 2 3 5
2aA |F(ω )|
sin a
3 a
2 a
a
0
a
2 a
3 a
ω
2.1.2 拉普拉斯变换
对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件， t 但引入一衰减因子 后，可以满足绝对收敛的 e 条件。
t
例如：阶跃函数1(t)不满足 但增加衰减因子后，满足 则： 令：s=σ＋jω
(6) (7) (8) 1 te 2 (s a) sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at at
(1) (2) (3) (4) (5)
(9) e sin t 2 2 ( s a) sa at (10) e cos t ( s a)2 2
ak [F (s)(s pk )]|s pk
pn
16 16
则：f (t ) a1e
p1
a2e
p2
ane
s2 例3:求 F ( s) 2 的原函数f(t)。 s 4s 3