广东省湛江市第二中学2009-2010学年度高一下学期期中测试(数学必修4)考试试卷(word版含答案)
【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题含答案(1)
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．
在Rt△ 中， ，
由勾股定理 得 ，
∴球的表面积 ，故选A.
考点：球的体积和表面积
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.
【详解】
设长方体的棱长分别为 ，则 ，
所以 ，于是 ，
设球的半径为 ，则 ，所以这个球面的表面积为 ．
本题选择C选项.
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面ABC， ，则该球的体积为_________.
15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为__________.
【详解】
如图：连接 ， ，
在三角形 中， ，故C正确．
平面 ， ， 与 垂直，故A正确；
【解析版】数学高一下期中经典测试卷(培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．43．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在4．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=5．(0分)[ID ：12352]已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a =)A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．(0分)[ID ：12342]从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A．B ．5C D ．47．(0分)[ID ：12336]在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43π C ．53πD ．2π8．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．(0分)[ID ：12388]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+410．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 11．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,312．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥13．(0分)[ID ：12385]一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．√33B ．√17C ．√41D ．√4214．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12479]光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．18．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．19．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .20．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12471]若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.23．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .24．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.25．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.三、解答题26．(0分)[ID ：12586]如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 27．(0分)[ID ：12564]四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ； （2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.28．(0分)[ID ：12561]在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC AB BC =====，且点O 为AC 中点.(1)证明：1A O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥1C ABC -的体积.29．(0分)[ID ：12547]已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程. 30．(0分)[ID ：12529]设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．A4．B5．D6．A7．C8．D9．D10．D11．B12．D13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问18．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直19．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积20．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90 21．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为23．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因24．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角25．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 234312343S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．5．D解析：D【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴= 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 8．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121, 3.0130PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和3在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ3tanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 9．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为π×12+12×2π×1×2+2×2=3π+4 ,选D. 10．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.11．B解析：B【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.13．C解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面ABCD 边长为4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，点P 在底面的射影为E ，所以PE ⊥AD,DE =1,AE =4,PE =4,所以PA =√PE 2+AE 2=5,PB =√PE 2+BE 2=√41,PC =√PE 2+CE 2=√33,PD =√PE 2+DE 2=√17,底面边长为4，所以最长的棱长为√41，故选C.考点：简单几何体的三视图．14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．B解析：B【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-，平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 18．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．19．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积20．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 21．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π 【解析】【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 22．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为 解析：165-【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值.【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ，即22224224a b a b c x y ， 圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r = 由题意，得111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称， 则112,122112221,22b a b a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C 的半径22r ==， 解得165c =-. 故答案为：165- 【点睛】 本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.23．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅， 解得2234d x x =-+. 而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+ 设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤. 则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==- 故231x t =- 此时，221(31)[23(31)]t t V -----= 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤， 所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 24．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离.【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,2AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 25．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=. 故答案为：28．【点睛】 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF .【详解】（1）E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴BD ； 又EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，EF ∴平面ABD .（2）BD CD ⊥，EF BD ，EF CD ∴⊥； AE 平面BCD ，AE CD ∴⊥；又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， CD平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ， ∴平面AEF ⊥平面ACD .【点睛】本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面.27．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】【分析】(1)直角梯形ABCD 中,过D 作DF ⊥AB 于F ,求解三角形可得ABD △为正三角形，又PAD △为正三角形，M 为线段AD 的中点，可得PM ⊥AD ，BM ⊥AD ，再由线面垂直的判定可得AD ⊥平面PBM ，从而得到平面PMB ⊥平面ABCD ；(2)在平面PMB 中，过B 作BO ⊥PM ,垂足为O ,则BO ⊥平面P AD ,连接AO ,则∠BAO 为直线BA 与平面P AD 所成角，然后求解三角形得答案.【详解】（1）证明：过D 作DF ⊥AB 于F在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==,3BAD π∴∠=∴BAD 和PAD △是正三角形，∵M 是AD 的中点，∴AD MB ⊥，AD MP ⊥，又∵MB MP M ⋂=，∴AD ⊥平面PMB ，又∵AD ⊂平面ABCD∴平面PMB ⊥平面ABCD.（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角 ∴23PMB π∠=. 由（1）知AD ⊥平面PMB∵AD ⊂平面P AD∴平面PAD ⊥平面PBM∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上, ∴3BME π∠=. 连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,∴3BM =，∴32BE =， ∴3sin 4BAE BE AB ∠== 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题. 28．（1）证明见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得1A O AC ⊥，利用面面垂直的性质可得1A O ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明11||A C 平面ABC ，可得1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 11233132⨯⨯=. 试题解析：（1）∵11AA A C =，且O 为AC 的中点.∴1A O AC ⊥.又∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⋂平面ABC AC =，且1AO ⊂平面11AAC C ，∴1A O ⊥平面ABC .∵BC ⊂平面ABC ，∴1A O BC ⊥.（2）∵11||A C AC ，11A C ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴11||A C 平面ABC .即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离.由（1）知1A O ⊥平面ABC 且1AO ==∴三棱锥1C ABC -的体积：11113C ABC A ABC ABC V V S AO --∆==⋅= 112132⨯⨯=. 29．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=.【解析】【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标. 由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程.【详解】解：（1）12//l l ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQk -==+，则1l 的斜率113PQ k k =-=- ，即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=.【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.30．(1)证明见解析；(2)10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题附答案(1)
【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题附答案(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+3．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．644．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．46．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C ．26D ．42+9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763 B ．1603C ．1283D ．3211．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56πC ．14πD ．64π12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.16．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积. 23．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．24．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.25．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则2a OA =,1PO ⊥平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=-令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．C解析：C 【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.14．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．15．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 16．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k，下底半径为3k，由因为母线与底面的夹角是60o，得到母线长为2k，高为3k.就可以根据轴截面的面积k=，代公式求出侧面积即可.解出6【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k，下底半径为3k，由于母线与底面的夹角是60o，所以母线长为2k3k.由于轴截面的面积为1803， 所以()46318032k k k+⨯=，解得6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：26+ 【解析】 【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 26+【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】【解析】 【分析】将y y =()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：y ==()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC +，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，1BA ==min y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，77k -≤≤或34k =±． 【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 相切时，由223402321k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又202357554DE DFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 22．（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积. 【详解】（1）在平面图中，因为12BE AB CD ==且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形； 在立体图中，连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ，所以//PD 平面MCE ；（2）在平面图中，因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥；在立体图中，PD DE ⊥，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ，在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==所以11222OM PD AD ===，又1BCE ADE S S ∆∆==， 所以1236M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.23．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 24．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值. 25．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：34 (,)55C-，(5,0)D，直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD的方程为750x y+-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F+++=设(3,4)(01)C m m m-<≤，则D(5+4,0)m，从而()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=解之得(54),0D m F=-+=,103E m=--,整理得22435(2)0x y x y m x y+---+=，所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A-，所以22(3)45OA=-+=， 1分又因为4AC=，所以1OC=，所以34(,)55C-， 3分由4BD=，得(5,0)D， 4分所以直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD的方程为1(5)7y x=--，即750x y+-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m-<≤，则5OC m=． 7分则55AC OA OC m=-=-，因为AC BD=，所以5+4OD OB BD m=-=，所以D点的坐标为(5+4,0)m8分又设OCD∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F+++=，则有()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=， 令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，DE平面ABC.所以//【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。
【典型题】高中必修二数学下期中一模试题(带答案)
【典型题】高中必修二数学下期中一模试题(带答案)一、选择题1．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π 2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 417．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π 9．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+10．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π11．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高二科目：数学注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。
一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则4a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{}n a 中，若52a =，387a a a =，则{}n a 的公比q =（ ）A B ．2C ．D ．43．已知两条直线1l ：350x y +−=和2l ：0x ay −=相互垂直，则a =（ ） A ．13B ．13−C ．3−D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为(1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=5．在等比数列{}n a 中，24334a a a =，且652a a =，则{}n a 的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：2213x y −=的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，2OF PF =，则△OPF 的面积为（ ）A ．1B C D ．127．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c −、()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF F ∆的内切圆的半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．30,5B ．40,5C ．3,15D ．4,158．已知双曲线C ：22221x y a b−=（0a >，0b >），点B 的坐标为()0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB b ≥，则C 的离心率取值范围是（ ）A ．B ．+∞C ．(D ．)+∞二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．222a a +=B ．371a a =C ．99S =D ．1010S =10，已知圆M ：22430x y x +−+=，则下列说法正确的是（ ） A ．点()4,0在随M 内 B ．圆M 关于320x y +−=对称CD ．直线0x −=与圆M 相切11．已知双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若AB ≥（ ）A ．23BCD 12．若数列{}n a 满足121a a ==，12n n n a a a −−=+（3n ≥），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以n a 为边长的正方形中的扇形面积为n b ，数列{}n b 的前n 项和为n S ．则下列说法正确的是（ ）：A ．821a =B ．2023a 是奇数C ．24620222023a a a a a ++++=D ．2023202320244s a a π=⋅三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{}n a 的通项公式n a =，若9n S =，则n = ．14．已知直线l ：y x =被圆C ：()()22231x y r −+−=（0r >）截得的弦长为2，则r = ． 15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C 上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 ．16．已知A ，B 分别是椭圆E ：22143x y +=的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD的斜率1k ，2k 满足122k k =，则直线CD 过定点，定点坐标为 ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()2214x y ++=与圆2C ：()22310x y +−=相交于P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆1C 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆2C 上滑动，求2MNC ∆面积最大时的直线MN 的方程． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，{}n b 为等比数列，且11b =，0n b >，2210b S +=，53253S b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19．已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4370x y −+=相切． （1）求圆的方程；（2）设直线420ax y a −+−=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点()3,1P −？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，圆1O ：()2221x y ++=，圆2O ：()2221x y −+=，点()1,0H ，一动圆M 与圆1O 内切、与圆2O 外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，113b =，且()n n S T =．（1）求n T ； （2令nn na cb =，求正整数n ，使得“11n n n c c c −+=+”与“n c 是1n c −，1n c +的等差中项”同时成立； （3）设27n n d a =+，()()112nn nn n d e d d +−+=，求数列{}n e 的前2n 项和2n Y ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F，12F F =P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线1PF ，PO ，2PF 分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有112PF F M =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求12POF POF PQMPQNs s s s ∆∆∆∆+的最大值。
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教A版(2019)必修第二册6.2.4节的向量数量积。内容包括向量数量积的定义、性质以及计算方法。这部分内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中已经掌握了向量的基本概念、线性运算以及坐标表示，这些知识为理解向量数量积提供了基础。向量数量积是向量乘法的一种特殊形式，它将两个向量的长度与它们夹角的余弦值联系起来，有助于学生深化对向量几何意义的理解，并为后续学习向量叉乘等更复杂概念打下基础。
解答：
由正方形性质知，向量OA与向量OC相等，向量OB与向量OD相等。
设向量OC = (x, y)，则有：
OA + OC = OB
(3, 4) + (x, y) = (5, 0)
解得：
x = 2, y = -4
所以向量OC的坐标为(2, -4)。
八、教学反思
在本次向量数量积的教学中，我发现学生们对向量概念的理解较为扎实，能够较好地跟上课堂节奏。但在讲解向量数量积的性质和计算方法时，部分学生显得有些吃力。为此，我做了以下几点反思：
1. 教学方法的选择：在讲解向量数量积的定义和性质时，我应该更多地采用直观的图形演示，帮助学生形象地理解向量数量积的几何意义。此外，通过实际案例引入，让学生感受向量数量积在解决实际问题中的作用，以提高他们的学习兴趣。
2. 课堂互动的加强：在讲解典型例题时，我应该鼓励学生积极参与，大胆提出自己的疑问。在解答问题时，可以让学生先尝试解答，然后我再进行点评和讲解，以培养学生的独立思考能力。
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A ＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（ ） A ．{0}∈AB ．0∉AC ．{0，﹣1，1，2}⊆AD ．∅⊆A2．命题“∀x ∈[0，+∞），x 3+x ≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ＜0 B ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0＜0 C ．∀x ∈（﹣∞，0），x 3+x ≥0D ．∃x 0∈[0，+∞），x 03+x 0≥03．已知x ∈R ，则“x ＜1”是“x 2＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数y =lg(2−x)1x+1的定义域为（ ） A ．（﹣1，2] B ．[﹣1，2） C ．（﹣1，2） D ．[﹣1，2）5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．126．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．下列可能是函数y =x 2−1e|x|的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥1010．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ） A ．−1a＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为012．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．不等式﹣x 2+2x +8＞0的解集是 ．14．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜﹣2或x ＞2}，N ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 ． 16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b）．①若f（x）＝x2﹣2x+2，则d（1，2）＝；②若f(x)=x+mx，且d（1，2）≠|f（2）﹣f（1）|，则实数m的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log12(x+4)+m．（1）求m的值并求出f（x）在R上的解析式；（2）若f（a）＞1，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a2+6a+9）x+a+1．（1）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜n}，求1m +1n的最小值；（2）设关于x的不等式f（x）＜0在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？22．（12分）已知函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）＝﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f（x）＜m2﹣2am+2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年广东省东莞市四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.)1．若集合A＝{0，1，2}，则下列结论正确的是（）A．{0}∈A B．0∉AC．{0，﹣1，1，2}⊆A D．∅⊆A解：{0}⊂A而不是{0}∈A，故A不正确；由0∈A，可知B不正确；集合{0，﹣1，1，2}中含有元素﹣1，它不在A中，故{0，﹣1，1，2}⊈A，C不正确；空集是任何集合的子集，故∅⊆A，D正确．故选：D．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0，故选：B．3．已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．函数y=lg(2−x)1√x+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）解：由{2−x＞0x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．∴函数y=lg(2−x)+1x+1的定义域为（﹣1，2）．故选：C．5．设函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （9）的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．0D ．12解：∵函数f （x ）={x 2−2x ，x ≤0f(x −3)，x ＞0，∴f （9）＝f （0）＝02﹣20＝﹣1．故选：B ．6．设a ＝30.7，b =(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：∵b =(13)−0.8=30.8＞30.7＞30＝1， ∴b ＞a ＞1，∵log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，∴c ＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：D ． 7．下列可能是函数y =x 2−1e |x|的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数定义域为R ，排除选项AB ，当x ＞1时，y ＞0，排除选项D ， 故选：C ． 8．已知函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，12]B ．（13，12]C ．[12，1）D ．（13，1）解：因为函数f （x ）={(1−3a)x +a +1，x ＜22a x ，x ≥2满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则函数f （x ）在R 上是单调递减函数，则一定有{1−3a ＜00＜a ＜1(1−3a)×2+a +1≥2a 2，解得{a ＞130＜a ＜1−3≤a ≤12，即13＜a ≤12，所以实数a 的范围为（13，12]， 故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.） 9．以下结论正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立 B ．存在a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b ∈（0，+∞），则ba +a b ≥2D ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y ≥10解：不等式a +b ≥2√ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确； 当a 为负数时，不等式a +1a ≤2成立，故B 正确； 若a ，b ∈（0，+∞），则ba+a b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，C 正确；由于2x+1y=(2x+1y)(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时取等号，故D 不正确． 故选：BC ．10．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则下列不等式中错误的是（ ）A ．−1a ＜−1bB ．c 2＜cdC ．a +c ＜b +dD ．a d＜bc解：在a ＞b 两边同除以负数﹣ab 得−1b＜−1a，即−1a＞−1b，与A 项矛盾． 由c ＜d ＜0，c 2﹣cd ＝c （c ﹣d ）＞0，得c 2＞cd ，与B 项矛盾． 由a +c ﹣（b +d ）＝（a ﹣b ）+（c ﹣d ），a ﹣b ＞0，c ﹣d ＜0， 故（a ﹣b ）+（c ﹣d ）不一定小于0，故C 不正确．由c ＜d ＜0得﹣c ＞﹣d ＞0，又a ＞b ＞0，两式相乘得﹣ac ＞﹣bd ， 两边同除以负数﹣cd ，可得ad＜bc ，故D 正确．故选：ABC ．11．函数f （x ）＝x +1，g （x ）＝（x +1）2，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则下列说法正确的是（ ） A ．M （2）＝3 B ．∀x ≥1，M （x ）≥4 C ．M （x ）有最大值D ．M （x ）最小值为0解：令g （x ）＞f （x ），即（x +1）2＞（x +1），解得x ＜﹣1或x ＞0， 所以可知M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={(x +1)2，x ＜−1或x ＞0x +1，−1≤x ≤0，作出M （x ）的图象，如图所示：所以M （2）＝（2+1）2＝9，故A 错误；当∀x ≥1时，M （x ）＝（x +1）2≥（1+1）2＝4，故B 正确；由M （x ）＝（x +1）2（x ＜﹣1或x ＞0）可知，函数无最大值，故C 错误； 当x ＜﹣1或x ＞0时，M （x ）＞0，当﹣1≤x ≤0时，1≥M （x ）≥0， 所以M （x ）最小值为0，故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f （x ）是偶函数，f （x +1）是奇函数，当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，则下列选项正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，﹣2）上为减函数B ．f （x ）的最大值是1C ．f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称D ．f （x ）在（﹣4，﹣3）上f （x ）＜0解：当x ∈[2，3]时，f （x ）＝1﹣|x ﹣2|，且f （x ）在[2，3]递减，由偶函数的图象关于y 轴对称，可得f （x ）在（﹣3，﹣2）单调递增，选项A 错误； 函数f （x ）是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），f（x+1）是奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），所以f（﹣x）＝﹣f（x+2），即f（x）＝﹣f（x+2），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由f（﹣4+x）＝f（x），可得f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，选项C正确；当x∈[2，3]时，f（x）＝1﹣|x﹣2|＝3﹣x，由f（x）为偶函数．可得x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝x+3，x∈[1，2]时，x﹣4∈（﹣3，﹣2），则f（x﹣4）＝x﹣1，所以x∈[1，2]时，f（x）＝x﹣1；由于f（x）的图象关于（1，0），可得f（1）＝0，f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，所以x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣1；由f（x）的图象关于y轴对称，可得x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x﹣1．则f（x）在一个周期内的最小值为﹣1，最大值为1，选项B正确；所以当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）＝f（x+4）＝x+3∈（﹣1，0），选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．不等式﹣x2+2x+8＞0的解集是{x|﹣2＜x＜4}解：不等式﹣x2+2x+8＞0等价于x2﹣2x﹣8＜0由于方程x2﹣2x﹣8＝0的解为：x＝﹣2或x＝4所以﹣2＜x＜4故答案为：{x|﹣2＜x＜4}14．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是{x|1＜x≤2}．解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（∁U M），因为M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以∁U M＝{x|﹣2≤x≤2}，则N∩（∁U M）＝{x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．15．已知奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则不等式f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0的解集为 （0，12） ．解：根据题意，奇函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则f （1﹣x ）+f （1﹣3x ）＜0，则f （1﹣x ）＜﹣f （1﹣3x ），变形可得f （1﹣x ）＜f （3x ﹣1）． 又函数f （x ）是定义在（﹣1，1）上的减函数，所以{−1＜1−x ＜1−1＜3x −1＜11−x ＞3x −1，解得0＜x ＜12，故所求不等式的解集为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．定义：函数f （x ）在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的差为f （x ）在区间[a ，b ]上的极差，记作d （a ，b ）．①若f （x ）＝x 2﹣2x +2，则d （1，2）＝ 1 ；②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|，则实数m 的取值范围是 （1，4） ． 解：①f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴为x ＝1， 可得f （x ）在[1，2]递增， 可得f （x ）的最大值为f （2）＝2， 最小值为f （1）＝1， 可得d （1，2）＝2﹣1＝1； ②若f(x)=x +mx ，且d （1，2）≠|f （2）﹣f （1）|， 可得f （x ）不为单调函数，若m ＝0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＜0时，f （x ）为[1，2]的递增函数， 若m ＞0时，由于f （x ）在x =√m 处取得极值， 则1＜√m ＜2，可得1＜m ＜4， 即m 的范围是（1，4）． 故答案为：1，（1，4）．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}．（1）若m ＝2，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，∵m ＝2，∴B ＝{x |1＜x ＜5}，可得A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜5}；（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅，即m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时满足题意；当B ≠∅，即m ＞﹣2时，{m −1≥−32m +1≤2，即−2＜m ≤12． 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤12}=（﹣∞，12]． 18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1为偶函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）若函数g(x)=f(x)+1x，根据定义证明g （x ）在区间（1，+∞）上单调递增． 解：（1）由已知可得m 2﹣3m +3＝1，解得m ＝1或2，又函数为偶函数，则m ＝1，则f （x ）＝x 2；（2）g （x ）=f(x)+1x =x +1x， 证明：设任意1＜x 1＜x 2，则g （x 1）﹣g （x 2）=x 1+1x 1−x 2−1x 2=（x 1﹣x 2）（1−1x 1x 2）， 因为1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞1，所以1−1x 1x 2＞0， 则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增．19．（12分）已知f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 12(x +4)+m ．（1）求m 的值并求出f （x ）在R 上的解析式；（2）若f （a ）＞1，求a 的取值范围．解：（1）由题可知f （0）＝﹣2+m ＝0，即m ＝2，即有当x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，经检验符合题意，则x ≥0时，f （x ）＝lo g 12（x +4）+2，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝lo g 12（﹣x +4）+2，又f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣lo g 12（﹣x +4）﹣2，x ＜0，故f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={log 12(x +4)+2，x ≥0−log 12(−x +4)−2，x ＜0． （2）由函数性质可知f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则f （x ）在R 上单调递减，又因为f(−4)=−log 128−2=1，所以f （a ）＞1，即f （a ）＞f （﹣4），所以当a ＜﹣4时，f （a ）＞1，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1．（1）若a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，求1m +1n 的最小值； （2）设关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，求a 的取值范围．解：（1）因为a ＞0，且关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，所以x ＝m 和x ＝n 是方程x 2﹣（a 2+6a +9）x +a +1＝0的两根，所以m +n ＝a 2+6a +9，mn ＝a +1．所以1m +1n =m+n mn =a 2+6a+9a+1=(a+1)2+4(a+1)+4a+1=(a +1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a ＝1时等号成立，所以1m +1n 的最小值为8． （2）因为关于x 的不等式f （x ）＜0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)＜0f(1)＜0，所以{a +1＜01−(a 2+6a +9)+a +1＜0，解得a ＜﹣1， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．21．（12分）某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为y x=x 2+3200x +40，x ∈[70，100]， 又x 2+3200x+40≥2√x 2⋅3200x +40=120， 当且仅当x 2=3200x ，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为120＞110，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，则y 1=110x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+70x −900=−12(x −70)2+1550，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为1550元；若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，则y 2=110x +30x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+100x −3200=−12(x −100)2+1800，因为x ∈[70，100]，所以当x ＝100吨时，企业获得最大利润，为1800元；综上：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润1550元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，可以获得最大利润1800元；所以为了获得最大利润，应选择方案二进行补贴．22．（12分）已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且f （1）＝﹣2．（1）判断f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）若f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：由题意函数f （x ）对任意实数x ，y ，恒有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），令y ＝x ＝0，可得f （0）＝0，领y ﹣x ，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数．（2）由f （x ）＝f [（x ﹣y ）+y ]＝f （x ﹣y ）+f （y ），∴f （x ）﹣f （y ）＝f （x ﹣y ），设x ＞y ，那么x ﹣y ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x ﹣y ）＜0，即f （x ）﹣f （y ）＜0，∴f （x ）＜f （y ），可得f （x ）是单调递减函数；可得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）；∵f （1）＝﹣2，∴f （﹣1）＝2，那么f （﹣3）＝f （﹣2﹣1）＝f （﹣2）+f （﹣1）＝3f （﹣1）＝6，故得f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值为f （﹣3）＝6；（3）根据（2）可得f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （﹣1）＝2；那么f （x ）＜m 2﹣2am +2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，即m 2﹣2am +2＞2 可得m 2﹣2am ＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，令g （a ）＝﹣2am +m 2＞0，在a ∈[﹣1，1]恒成立，可得{g(−1)＞0g(1)＞0，解得m ＞2或m ＜﹣2， 故得实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。
广东省湛江二中09-10学年高一下学期期中考试(历史理)
湛江市第二中学2009-2010学年第二学期期中考试高一理科水平测试历史试卷（考试时间：60分钟。
命题人：支金平。
审题人：何珍）一、单项选择题Ⅰ：本大题共40小题，每小题1分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、“刀耕火种”时代主要的生产工具是A．石器 B．铜器 C．铁器 D．牛2、《汉书》记载西汉农民每年亩产约一石半，而《昌言》上说东汉时的农田平均亩产约为“亩收三斛”，亩产量有了较大的增长。
你认为造成当时粮产量增长的主要原因是什么？A.人民更加勤劳B.牛耕、犁具等劳动工具的进步和推广C.农作物品种的改良D.更加合理利用了土地资源3、自宋代始，租佃经营已成为仅次于自耕农形式的重要经营方式．造成这种局面的主要原因是A．农民乐于接受这种经营方式 B．土地兼并造成大量农民失去土地C．封建人身依附关系的彻底废除 D．商品经济的发展4、中国古代每一个历史时期，都会有某种手工制品代表该时期手工业的最高水平。
下列分类正确的是A.商周/铁器－唐代/陶器－明清瓷器B.商周/漆器－唐宋/青铜器－明清/瓷器C.商周/青铜器－唐宋/瓷器－明清/棉布D.商周/玉器－唐宋/漆器－明清/棉布5、张籍的《贾客乐》：“金陵向西贾客多，船中生长乐风波。
……金多众中为上客，夜夜逄缗眠独迟。
”姚合《庄居野行》：“客行野田间，比屋皆闭户。
借问屋中人，尽去作商贾。
”唐人的这些诗句，反映A．唐朝出现盛世局面 B．唐朝的商业繁荣与发展C．政府鼓励商业的发展 D．金钱至上的社会道德风6、明朝时，浙江一带“商贾从旁郡贩棉花列肆吾土，小民以纺织所成，或纱或布，清晨入市，易棉花而归，纺织之，明旦复持以易”。
这种生产方式的新特点在于A．商品经济渗透到社会下层 B．大量的棉纺织品投入市场C．物物交换成为市场交换的主要形式 D．小生产者开始丧失生产独立性7、清朝后期“处处皆关，则关关有税”：“如有打造五百石以上桅式船只出海者，不论官兵民人，俱发边卫充军”。
广东省湛江市第二中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
广东省湛江市第二中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知随机变量X的分布列为二、多选题9．关于()7-的展开式，下列判断正确的是()7xA．展开式共有8项B．展开式的各二项式系数的和为128C．展开式的第7项的二项式系数为49D．展开式的各项系数的和为76三、填空题中点，将ADEV沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．(1)证明：PB⊥AE；(2)当二面角P AE B--等于90°时，求P A与平面PEC所成角的正弦值．20．2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多个平台购买电影票），得到如下表格：当1a =时，()010f a =-=，函数()f x 有一个零点.（2）由（1）知：当1a <时，()010f a =-<，则函数()f x 无零点，当1a =时，()010f a =-=，函数()f x 有一个零点.当1a >时，()010f a =->， ()e 0a f a --=-<，()2e a f a a =-，()2e a f a ¢=-，当ln 2a <时，()0f a ¢>，()f a 在 (),ln 2-¥上递增；当 ln 2a >时，()0f a ¢<，()f a 在()ln 2,+¥上递减；所以()()maxln 22ln 220f a f ==-<，则 ()0f a <，所以()f x 在(),0¥-， ()0,¥+上各有一个零点；则1a >，且120a x x a -<<<<，要证1220x x +<，则证212x x <-，因为()f x 在(),0¥-上递减，所以只需证()()212f x f x >-，又()()210f x f x ==，只需证()()112f x f x >-，令()()()2g x x f x f =--，则()()()22e 2e 3e e x x x x g x x x x a a --=-+---+=-+，则()23e -2e x x g x -=-¢，设()23e -2e x x h x -=-，则()()20e +4e 0x x h x h -¢=->¢=，。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
广东省湛江市雷州市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考英语试题
广东省湛江市雷州市第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考英语试题一、阅读理解The following list focuses on the top 4 not-to-be-missed world-class parks, helping tourists better explore the city of Atlanta.Centennial Olympic ParkCreated for the 1996 Olympics, this park is well worth a visit. Visitors can be entertained by free music and lots of public art. Photography lovers should take advantage of all the photo opportunities the park affords. One of the big draws especially for children in summer is the fountains. Sometimes there are free concerts and movies in the park. Overnight campgrounds are offered.Chattahooche Nature CenterVisitors can begin their exploration at the Discovery Center, where they can see Atlanta from the top. There’s also a river boardwalk crossing the wetland area. Besides effortless and short-distance hiking paths, there is a variety of native wildlife as well. Don’t miss Wildlife Walk, where visitors can enjoy close and personal views of native animals and plants.Chastain Memorial Park and AmphitheatreApart from the running and walking roads, there’re also tennis courts and fields for playing ball games. Looking for a spot to host a family get-together? This could be an ideal place as there`re many pavilions(亭子)available. Kids can play on the special playgrounds. Of course, there is an amphitheater, which hosts outdoor concerts during summer.Cloudland Canyon(峡谷)State ParkFeaturing a beautiful canyon, this park is one of the largest and most scenic parks in Atlanta. At the bottom of the canyon are two waterfalls, where visitors can watch the water run over the sandstone. There are several different hiking paths around the park, but some may take several hours. If you’d like to stay overnight, there are regular camp places.1．What do Centennial Olympic Park and Cloudland Canyon State Park have in common?A．They offer campsites.B．They have beautiful fountains.C．They host photo exhibitions regularly.D．They are equipped with top tennis courts. 2．What can a tourist do in Chattahooche Nature Center?A．Interact with rare animals.B．Have a bird view of the city.C．Take challenging hiking routes.D．Row a boat across the wetland.3．Which is the best place for people to have a family party?A．Centennial Olympic Park.B．Chattahooche Nature Center.C．Chastain Memorial Park and Amphitheatre.D．Cloudland Canyon State Park.Natural disasters take many different forms and can happen without warning.The surface of the Earth has not always looked as it does today; it is moving continuously and has done so for billions of years. This is one cause of earthquakes, when one section of the Earth (tectonic plate) crashes with another. Scientists can predict where (but not when) this might happen and the area between p lates is called a fault line. However, earthquakes do not always happen on fault lines, which is why they are so dangerous and unpredictable.V olcanoes happen where the earth’s crust (地壳) is thin — lava (熔岩), dust and gases burst out from beneath the earth. They can rise into a massive cone (锥体) shape — like a mountain — and erupt, or they can be so violent that they just explode directly from the earth with no warning. However, scientists are becoming more skilled at predicting volcanic eruptions.Hurricanes are extremely strong storms and often happen in the Caribbean. They cause high winds, huge waves and heavy flooding and can be hundreds of miles across.Floods happen in many countries after very heavy rainfall. When rain pours for weeks at a time, rivers overflow and people and belongings can be trapped or simply washed away.Another kind of natural disaster is a drought. This happens when there is no water — when it doesn’t rain for a long time and rivers dry up. Plants, animals and even humans die as a result of drought, for we all need water to live.All the disasters mentioned above are very dangerous and continue to kill thousands of people each year, but they are nowhere near the most dangerous disaster to ever happen on earth: asteroid (小行星) impacts. About once every million years the Earth is hit by a piece of rock and ice from space large enough to cause massive destruction and sometimes to kill entire species. 4．What is Paragraph 2 mainly about?A．Why an earthquake happens.B．How scientists describe an earthquake.C．When sections of the Earth crash.D．What the surface of the Earth looks like. 5．Which of the following is the most dangerous natural disaster?A．V olcanoes.B．Hurricanes.C．Droughts.D．Asteroid impacts. 6．How many natural disasters are mentioned in the text?A．4.B．5.C．6.D．7.7．How does the author develop the text?A．By expressing opinions.B．By listing examples.C．By telling some stories.D．By describing experiences.I presented a group project to my classmates. The first question asked was, “What words do you associate with rural education?” Some of the responses were positive.Others accurately portrayed a few of the negatives like “isolated” and “underfunded.” But I was surprised that some used words like “hillbillies” and “hicks” (乡巴佬).Previously, I felt proud of myself as a student from rural West Virginia. But at that moment, my pride sank. For a place that claims to welcome all, the Brown University has actually left its rural students feeling looked down upon.For a while, I never mentioned where I called home unless it was absolutely necessary. By the third month of my first year, I was prepared to transfer out of Brown and finish college at a school where I would be surrounded by people like me, people from rural communities. Then I realized that this response was just the one that my tormentors expected.Now I have decided to fight back. We need to change. But this deeply-rooted culture won’t change on its own. The University and its non-rural students can’t and won’t do it. So it is up to us, the rural students, to make a difference. So rural students, talk with your long, drawn-out accent, defend your hometown of hard-working people and condemn (谴责) the ignorance that attempts to deny your personhood. We must uplift other rural students in their academic and professional careers. We must be the ones to support each other.What we need is a club for that exact purpose. A rural students’ collective is the formal meeting place that we need and deserve. In an institution where rural students feel lost and deserted, we will soon find a common ground for each other.For the non-rural students and faculty wondering how to support us, don’t stick to yourstereotypes (刻板印象) that rural students are dumb, ignorant and unintelligent. On the contrary, we are valuable, deserving and hard-working individuals. Brown’s faculty and students should welcome and embrace our contributions.8．How did the writer feel after presenting the group project?A．Frustrated.B．Proud.C．Angry.D．Confused. 9．What group of students does the underlined word “tormentors” in Paragraph 2 probably refer to?A．Those who come from rural West Virginia.B．Those who are determined to make a change.C．Those who used words like “hillbillies” and “hicks” in their remarks.D．Those who associated rural education with “isolated” and “underfunded” .10．How does the writer think rural students should fight back?A．They should turn to the college authority for help.B．They should unite and reach out to assist each other.C．They need to setup a special club for all the students.D．They are supposed to avoid speaking with their local accent.11．What message does the writer want to convey?A．Positive attitudes contribute to a harmonious college.B．Discrimination is a common phenomenon in Virginia.C．Rural students in Brown are valuable and deserve respect.D．The Brown University badly needs to adjust its moral education.A new study has found that smiling at London bus drivers increases happiness. The finding feels obvious and unexpected at the same time. The authors of the research, which was conducted by the University of Sussex and others, hope it will lead to “more interaction and kindness on buses”. On the Number 24 bus to Hampstead Heath, Londoners are sceptical. “Bus drivers,” says Liz Hands, a passenger, “are generally annoying.”It might seem improbable that a report on London’s buses could change behaviour. But it has happened before. London’s buses have an underappreciated role in the history of medical science. In the 1940s, a single study of London’s transport workers transformed epidemiology (流行病学), medicine and the way we live now. Every time you go on a run, check your step-count, or take the stairs instead of the lift, you are following a path pioneered by the feet of the workers on London’s buses.In the late 1940s, doctors were worried. Britain, like many rich countries, was suffering from an “epidemic” of heart disease and no one knew why Various hypotheses (假设), such as stress, were suggested; but one thing that was not exercising researchers was exercise. The idea that health and exercise were linked “wasn’t the accepted fact that we know today”, says Nick Wareham, a professor of epidemiology at Cambridge University. Some even felt that “too much physical activity was a bad thing for your health”. Miners and farmers who did physical exercise also suffered from various diseases and died young.At this time a young doctor called Jerry Morris started to suspect that the increasing deaths from heart disease might be linked to occupation. He began studying the medical records of 31,000 London transport workers. His findings were breathtaking: conductors, who spent their time running up and down stairs, had an approximately 30% lower possibility of disease than drivers, who sat down all day. Exercise was keeping people alive.Morris’s research was eventually published in 1953, just three years after a study by Richard Doll proving the link between smoking and lung cancer. Morris’s work had consequences both big and small. Morris now also took up exercise, handing his jacket to his daughter and just running. “People thought I was bananas.” Slowly, the rest of the world took off its jacket and followed.12．What can we learn from the first two paragraphs?A．The former study made much difference.B．Running was regarded as harmful behavior.C．Smiling at drivers can cure passengers’ diseases.D．London passengers can understand bus drivers well.13．What does the underlined part “exercising researchers” in Paragraph 3 probably mean?A．Encouraging researchers to work out.B．Helping with researchers’ inquiry.C．Holding back researchers’ progress.D．Drawing researchers’ attention.14．How did Morris conduct his study on the transport employees?A．By carrying out survey.B．By observing their routines.C．By doing medical examinations.D．By analyzing the medical data.15．What is the best title for the text?A．Smiling and Its Effects on London Bus Drivers.B．The Evolution of London’s Transportation System.C．How London Bus Drivers Led the world to exercise.D．What Londoners Think about Studies on Bus Drivers.We all have times in our lives when we just have too many things to deal with. 16 Well, that’s crazy, because if you get ill then you’re going to be able to do nothing. Here are some ideas to take care of yourself.17 Living with clutter (杂乱) and never being able to find what you need when you need it causes stress. Take time to develop a system and then use it. Instead of keeping all the things you need to do in your head, write them down on a piece of paper.Spend 30 minutes per day on personal development. 18 And negative ones will disappear. If we want to be successful in work and life, we need to develop the habit of feeding our minds in a positive way. So take in good inspiring information.Say no to anything that is not important to you. Give yourself permission to focus on what’s important. Getting the unnecessary, tiresome responsibilities off your schedule will give you more time and space. 19 Take 5minute minibreaks every hour. 20 So no matter how efficiently you work, you should always have your mind relaxed or end up spending time doing other things when you try to keep going hour after hour. Instead, break up each hour by getting up from your chair and walking outside to take a 5minute break.A．Get organized.B．Write a journal entry every day.C．You can’t stay focused all the time.D．Fill your minds with positive thoughts.E．Besides, it will reduce the pressure that you feel.F．As a result, we often forget to look after ourselves.G．Eating healthily is one of the most sensible things you can do for yourself.二、完形填空When light snow began falling, the principal kept a careful eye on the approaching storm. It soon took on qualities of something more terrible. By midday he called the school buses back so the kids could get home safely 21 it was too late.My students gathered their belongings, and felt 22 to be going home early. Then the buses arrived. 23 , the storm suddenly became heavier and it was quickly clear that nobody was going anywhere any time soon. The original plan 24 . Over 300 children got 25 inside the school.As night approached and the storm showed no signs of stopping, we began to feel 26 . What would we feed several hundred children for dinner? Where would they sleep? After every parent was 27 that their children were safe, people who lived close enough to28 the bad weather were called and asked if they could help. Soon, a handful of people29 to travel through the blinding snow, bringing bags of food and blankets. There wasn’t much food, but everything was shared, nobody got hungry and nobody 30 . When night fell, we worked out sleeping arrangements for the kids. 31 by the tension of the day, most of them fell asleep soon on the carpeted floors.32 , the next morning we awoke to find the storm had stopped. With the roads now clear of snow, our students were soon safely on their way home, and all the staff breathed a sigh of 33 . What might have been a(n) 34 had instead resulted in strengthened 35 between the community and our school.21．A．as B．when C．before D．after 22．A．disappointed B．honored C．astonished D．thrilled 23．A．Therefore B．Moreover C．However D．Otherwise 24．A．broke down B．broke through C．broke out D．broke in 25．A．engaged B．stuck C．caught D．abandoned 26．A．concerned B．confused C．annoyed D．bored 27．A．convinced B．promised C．informed D．reminded 28．A．avoid B．brave C．escape D．ignore 29．A．attempted B．tended C．managed D．happened30．A．failed B．waited C．opposed D．complained 31．A．Exhausted B．Frightened C．Threatened D．Challenged 32．A．Surely B．Hopefully C．Thankfully D．Strangely 33．A．impatience B．relief C．regret D．surprise 34．A．accident B．intervention C．disaster D．adventure 35．A．feedbacks B．communications C．frictions D．bonds三、语法填空阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(含解析)
广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题考试用时：120分钟卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数z 满足i (1i)z =⋅+,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动,教师随机分成三组,每组至少一人,则甲、乙在同一组的概率为( )A.16 B.14C.13D.123.已知i 是虚数单位,复数1i 1||1i 2z z +=+-,则复数z 的虚部等于( )A.1 B.-1 C.i D.i-4.已知,a b 是两个不共线向量,且5,28,33AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则( )A.,,A B C 三点共线B.,,A B D 三点共线C.,,B C D 三点共线D.,,A C D 三点共线5.已知向量,OA OB是两个不共线向量,点C 在线段BA 的延长线上(如图)，且OC OA OB λμ=+ ,则( )A.1,0,0λμλμ+=<>B.1,0,0λμλμ+>><C.1,0,0λμλμ+=>< D.1,0,0λμλμ+<<>6.袋中装有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取一个球.事件1A =“第一次取出的球的数字为1”,事件2A =“第一次取出的球的数字为2”,事件3A =“两次取出的球的数字之和为8”,事件4A =“两次取出的球的数字之和为7”,则( )A.1A 与3A 相互独立B.1A 与4A 相互独立C.2A 与3A 相互独立D.3A 与4A 相互独立7.已知(2,0),(a b ==- ,则a 与a b -夹角的余弦值为( )A. B.12-C.128.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若3,2a b c ===,则ABC 外接圆半径等于( ).二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.若12,z z 是复数,则下列命题正确的是( )A.1212z z z z ⋅=⋅B.2211200z z z z +=⇔==C.1111z z z z ⋅=⋅ D.1212120z z z z z z -=+⇔⋅=10.已知向量,a b满足|||||a b a b a +=-== 则下列结论正确的是( )A.a b⊥ B.||1b = C.()3b a b ⋅-=-D.a b + 在a b -方向上的投影向量为1()3a b -11.如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着东偏北α角方向直线追击，恰好在E 点处追到走私船，则() .A.BC =B.C.∠BCE 为钝角D.150a =三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表(单位：t )：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060则可估计居民生活垃圾投放错误的概率为___________.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知8,60a b B ︒==∠=.则ABC 的面积等于________________.14.如图,在梯形ABCD 中,//,1,3AB CD AD CD AB ===.若AD BC ⊥,则AC BD ⋅的值为______________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知()3,23,(1,)a b k =-=- ,求k 为何值时:(1)//a b ;(2)a b ⊥ ;(3)a 与b 的夹角为锐角.16.(本题满分15分)从集合{1,2,3,4}中随机取两次数,每次取一个.记第一次取的数为x ,第二次取的数为y ,两次取数结束,算作一次试验,试验结果记为(,)x y .(1)写出这个试验的样本空间Ω,以及Ω中样本点的个数;(2)事件“5x y +=”包含哪几个样本点?事件“3x <且1y >”包含哪几个样本点?(3)若事件""4,""A x y B x y =⋅===,求()P A B ⋃.17.(本题满分15分)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 满足(2)cos cos b c A a C -=.(1)求角A 的大小;(2)若a BC =边上的中线AD ,求ABC 的面积.18.(本题满分17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下:拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘后,再让其品尝这n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设3n =,分别以123,,a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3的三种酒在第二次排序时的序号,并令123123X a a a =-+-+-,则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有0X =,则该品酒师被授予“特级品酒师”称号;若两轮测试都有2X ≤,且至少有一轮测试出现0X ≠,则该品酒师被授予“一级品酒师”称号.(1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的123,,a a a 排序结果,并求出相应的X 值;123,,a a a X1,2,3(2)甲参加了两轮测试,两轮测试结果相互独立,记事件D =“甲被授予一级品酒师称号”,求()P D ;(3)甲连续两年都参加了两轮测试,两年测试结果相互独立,记事件E =“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”,求()P E .19(本题满分17分)在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ,其面积记为S ,且满足22()b a c +=+.(1)求角B ;(2)D 为AC 边上一点,2BD =,且BA ADBC DC=,求S 的最小值.(3)圆O 是ABC 外接圆,P 是圆O 外一点,,PM PN 分别切圆O 于点,,M N 若1b =,求PM PN ⋅的最小值.广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】i (1i)1i 1i z z =⋅+=-+⇒=--,所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--,在第三象限.【考查目标】复数基本运算、共轭复数的概念、复数几何意义.基础题2.【答案】A.【解】甲、乙、丙、丁四名教师按要求分成三组,同一组两人共有下列6种情形:(甲乙),甲丙),甲丁),(乙丙),(乙丁),(丙丁),所以甲乙在同一组的概率16P =.【考查目标】简单古典概型概率计算.基础题3.【答案】A【解析】21i 1(1i)11||||i ||1i 21122z z z z ++=+=+=+-+,所以复数z 的虚部为1,故选项A 正确.【考查目标】复数基本概念和基本运算.基础题4.【答案】B.【解析】因为,AB BC 没有数乘关系,所以选项A 不正确;因为5BD BC CD a b AB =+=+=,所以//BD AB ,选项B 正确.【考查目标】利用向量数乘关系，判断三点共线.基础题5. 【答案】C .【解】过点C 分别作OA,OB 平行线,交OB 于F ,交OA 于E ,则,OE OA OF OB λμ== ,因为,OE OA同向,,OF OB反向,所以0,0λμ><,因为A,B,C 三点共线,所以1λμ+=.故只有选项C 正确.【考查目标】向量分解知识，三点共线性质定理.基础题6.【答案】B.【解】若第一次取出的数字为x ,第二次取出的数字为y ,试验结果记作(,)x y ,显然试验样本空间共有6636⨯=个样本点,事件1234,,,A A A A 样本点的个数分别为6,6,5,6.所以()()()()123411561,,,6636366P A P A P A P A =====,因为13,A A 是互斥事件,所以()()()13130P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项A 错误;因为14A A ⋂只有一个样本点,所以()()()1414136P A A P A P A ⋂==⨯,所以选项B 正确;因为23A A ⋂只有一个样本点,所以()()()2323136P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项C 错误;因为34,A A 是互斥事件,所以()()()34340P A A P A P A ⋂=≠⨯,所以选项D 错误;【考查目标】两事件相互独立判断方法，简单事件概率计算.基础题7.【答案】D.【解析】因为(2,0),(a b ==- ,所以(3,||a b a b -=⇒-==.所以()cos ,||||a a b a a b a a b ⋅-〈-〉===⋅- .【考查目标】向量减法坐标运算，数量积坐标运算，长度、夹角运算.基础题8.在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c若3,2a b c ===,则ABC 外接圆半径等于( )【答案】D.【解析】由三角形余弦定理有2229471cos sin 22322b c a A A bc +-+-===⇒=⨯⨯,设ABC 外接圆半径为R ,则2sin a R R A ==⇒=.【考查目标】三角形余弦定理,求三角形外接圆半径长方法.中档题二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9. 【答案】AC.【解析】由复数共轭的性质可以知道选项A 正确;取121,i z z ==,显然选项B 错误;取121,i z z ==,显然选项D 错误;对选项C,2111z z z ⋅=,又11z z =,所以选项C 正确.【考查目标】考查复数模、共轭、平方性质,考查复数、实数、向量三者在运算方面的联系与区别.基础题.10. 【答案】ABD.【解析】由向量加减法几何意义,不难看出选项AB 都正确,下面用直接推理的方法求解.由||||a b a b +=-= ,平方得到2222223,0,,231|| 1.a b a b a b a b a b a b b b ⎧⎧⎧++⋅=⋅=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-⋅===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 选项A,B 正确;因为2()011b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- ,所以选项C 错误;a b + 在a b -方向上的投影向量为2()()211()()()33()a b a b a b a b a b a b +⋅---=-=--,所以选项D 正确.【考查目标】综合考查向量基本知识，基础题.11. 【答案】ABD【解】由题设条件知道:60AC AB BAC ︒==+∠=,在ABC中由余弦定理有2222cos608(84)12,BC AC AB AC AB ︒=+-⋅⋅=++-+=所以BC =,选项A 正确:设,i j分别是正东、正北方向单位向量,则,,AB j BD j =+=-所以AD AB BD j =+=+ ,又AC =,所以||CD AD AC j CD =-=+⇒==所以选项B 正确;注：也可在ABC 中，用正弦定理解得45ABC ︒∠=，得到30CBD ︒∠=，解得CD =.在BCD 中,因为2221293BC BD CD ==+=+,所以90BDC ︒∠=.设巡逻艇用了t 时在E 点处追到走私船,则3,,36013590135DE t CE CDE ︒︒︒︒==∠=--=,在CDE 中,由正弦定理得:sin sin CE DECDE DCE=∠∠则1sin 2DCE ∠==,因为DCE ∠为锐角,所以故30DCE ︒∠=,因为60BCD ︒∠=,所以603090BCE BCD DCE ︒︒︒∠=∠+∠=+=,所以选项C 错误.所以1059015α︒︒︒=-=,选项D 正确.【考查目标】解三角形在实际问题中的应用.较难题三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【答案】310【解】从所给表格数据可以看出:生活垃圾投放正确共有40024060700t ++=,所以生活垃圾投放正确的概率估计为7007100010=,所以生活垃圾投放错误的概率估计为7311010-=.【考查目标】用频率估计概率.基础题13. 【解】由三角形的余弦定理有2222cos b a c ac B =+-,也即222966488320(4)48c c c c c =+-⇒--=⇒-=,因为0c >,所以44c =+=+,所以ABC的面积11sin 8(48(322S ac B ==⨯⨯+=+.【考查目标】余弦定理，三角形面积公式应用.基础题.14. 【答案】-3.【解】过C 作//CE AB ,交AB 于E ,则四边形ADCE 是菱形.由题设有,22BC CE BE CE ⊥==,所以30,60CBE CEB DAB ︒︒∠=∠=∠=,()()AC BD AE AD AD AB ⋅=+⋅-1()3AB AD AD AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212211313 3.3332AD AB AD AB =--⋅=--⨯⨯⨯=- 【考查目标】数量积计算，中档题.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解】(1)因为//a b ,所以33102k ⎛⎫--⨯-= ⎪⎝⎭,……………………………….2分解得12k =.………………………………………………………………………….2分(2)因为a b ⊥ ,所以33102k ⎛⎫-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭,…………………………………………6分解得92k =-.…………………………………………………………………………8分(3)因为0,2a b π<<>< ,所以cos ,00a b a b <>>⇒⋅>,……………………………9分所以3931022k k ⎛⎫-⨯-+⨯=+> ⎪⎝⎭,……………………………………………………10分解得9.2k >-……………………………………………………………………………11分由(1)知道,12k =时,//a b,此时,a b 共线同向,,0a b 〈〉= ,不符合要求, ……………12分所以当且仅当92k >-且12k ≠时,a 与b的夹角为锐角.…………………………13分16. 【解】(1){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)Ω=,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}…………………………………………………………………3分Ω中样本点的个数为16;…………………………………………………………………4分(2)事件“5x y +=”包含的样本点为:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1); …………………………6分事件“3x <且1y >”包含的样本点为:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).…………………8分(3)因为事件A 包含的样本点为:(1,4),(2,2),(4,1), ……………………………………………………9分所以3()16P A =.………………………………………………………………………………10分事件B 包含的样本点为:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…………………………………………………11分所以41()164P B ==.………………………………………………………………………………12分事件A B ⋂包含的样本点为:(2,2),…………………………………………………………………………13分所以1()16P A B ⋂=.………………………………………………………………………14分所以31163()()()()16416168P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂=+-==.………………………15分17. 【解】(1)由三角形正弦定理sin sin sin a b cA B C==及题设条件可得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=,…………………………………………………2分也即2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin()B A C A A C B A A C =+⇒=+………3分因为A C B π++=,所以sin sin()B A C =+,所以2sin cos sin B A B =,……………………………………………………………………4分因为(0,)B π∈,所以sin 0B >,所以12cos 1cos 2A A =⇒=,………………………………………………………………6分因为(0,)A π∈,所以3A π=.………………………………………………………………………………7分说明:不说明(0,),(0,)B A ππ∈∈,酌情扣1分.【解2】由三角形的余弦定理有222222(2)cos cos (2)22b c a a b c b c A a C b c a bc ab+-+--=⇒-=……………………2分化简整理得2222b c a bc +-=,………………………………………………………………………4分所以2221cos 22b c a A bc +-==,………………………………………………………………………6分因为(0,)A π∈,所以3A π=.……………………………………………………………………7分说明:不说明(0,)A π∈,酌情扣1分.(2)因为1()2AD AB AC =+,所以()()2222211192444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= ,也即2219c b bc ++=.……………………………………………………9分由余弦定理有222222cos 7a c b bc A c b bc =+-⇒=+-，……………………………………11分由222219,67c b bc bc c b bc ⎧++=⇒=⎨+-=⎩,……………………………………………………13分所以ABC 的面积11sin 622S bc A ==⨯=.…………………………………………15分18. 【解】(1)第二次排序时所有可能的123,,a a a 排序及相应的X 值列表如下:123,,a a a X1,2,301,3,222,1,322,3,143,1,243,2,14…………………………………………3分(2)令A 表示事件""0,X B =表示事件"2X =",C 表示事件""4X =.由(1)知道111(),(),()632P A P B P C ===.……………………6分甲参加第一轮测试X 值记为1X ,参加第二轮测试X 值记为2X ,记事件1122123120,2,2"""",0,2,2""D X X D X X D X X =========,则123D D D D =⋃⋃,……………………………………8分因为两轮测试结果相互独立,所以()()()11211102"""",6318D P X P X ==⋅==⨯=…………………9分()()()21211120,3618""""P D P X P X ==⋅==⨯=………………10分()()()312"""1"1122,339P D P X P X ==⋅==⨯=…………………11分因为123,,D D D 互斥,所以()()()()1231231112()181899P D P D D D P D P D P D =⋃⋃=++=++=.…………12分(3)记事件i E =“甲在第i 年测试中被授予特级品酒师称号”,1,2i =,则E =12E E ⋃.……………………………………………………………………………13分因为()()()()121 "0""0"36P E P E P X P X =====⋅，…………………………14分因为12,E E 相互独立,所以()()()()121212()P E P E E P E P E P E E =⋃=+-⋂……………………15分()()()()212121171.18361296P E P E P E P E ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭……………………17分19. 【解】(1)由22()b a c +=+及1sin 2S a c B =⋅,可得222sin 2b B a c ac +=++,所以22212a c b B ac+-=+,………………………………………………………………1分由三角形余弦定理知道222cos2a c bBac+-=,cos1B B=+,………………2分1cos1sin62B B Bπ⎛⎫-=⇒-=⎪⎝⎭………………………………………………3分因为5666B Bππππ<<⇒-<-<,…………………………………………4分所以66Bππ-=,也即3Bπ=.………………5分(2)在BAD中,sin sinAD ABABD ADB=∠∠,在BCD中,sin sinCD BCCBD BDC=∠∠,且sin sin()sinADB BDC BDCπ∠=-∠=∠,可得sin sinABD CBD∠=∠因为ABCπ∠<,所以6ABD CBDπ∠=∠=.………………………………………………7分由ABD CBDS S S=+可得111sin2sin2sin232626ac a cπππ=⨯⨯+⨯⨯,………………9分可得a c=+≥解得163ac≥,当且仅当a c==时取得等号.………………10分(3)设圆O半径为R,则12sin sin60bR RB︒===⇒=………………12分设,2OP d MONα=∠=,则sinα=,所以()222212||||cos2||12sin133 PM PN PM PN PM ddαα⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (14)分2221119dd=+-≥-=-,…………………………………………15分等号成立当且仅当2229d dd=⇒=分所以PM PN⋅1-.……………………………………………………17分。
2023-2024学年广东省广州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝02．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．83．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣14．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4 C ．1或4 D ．4或86．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√558．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝312．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 ． 14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 ．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AA 1B 1B 为矩形，AB ＝3，BC ＝5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值； （3）求点C 到平面A 1C 1B 的距离．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ADEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AE 和BD 上移动，且EM 和DN 的长度保持相等，记EM =DN =a(0＜a ＜√2)，活动弹子Q 在EF 上移动． （1）求证：直线MN ∥平面CDE ； （2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）Q 为EF 上的点，求EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝0解：由题意可得，直线的斜率k ＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y ＝﹣x ﹣1即x +y +1＝0 故选：A ．2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：∵直线l ∥平面α，∴l 的方向向量（2，m ，1）与平面α的一个法向量（1，12，2）垂直， ∴2×1+m ×12+1×2＝0， ∴m ＝﹣8． 故选：C ．3．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣1解：因为直线ax +（1+a ）y ＝3与（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，所以A 1A 2+B 1B 2＝0， 即：a （1+a ）+（1+a ）（3﹣2a ）＝0，解得：a ＝﹣1或 a ＝3． 故选：C ．4．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →解：∵M 为BC 的中点， ∴AM →=12(AB →+AC →)，∵N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，∴A 1N →=13A 1C 1→=13AC →，∴MN →=MA →+AA 1→+A 1N →=−12(AB →+AC →)+AA 1→+13AC →=−12(a →+b →)+c →+13b →=−12a →−16b →+c →，∴NM →=12a →+16b →−c →．故选：A ．5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4C ．1或4D ．4或8解：∵椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，知m ＞0， 当m ＞4时，椭圆焦点在x 轴上，此时a 2＝m ，b 2＝4， ∴c 2a 2=m−4m=34，解得m ＝16，则a ＝4，∴椭圆的长轴长为2a ＝8；当0＜m ＜4时，椭圆焦点在y 轴上，此时a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2a 2=4−m 4=34，解得m ＝1，满足题意，此时a ＝2，∴椭圆的长轴长为2a ＝4．综上，该椭圆的长轴长为4或8． 故选：D ．6．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)解：直线l ：mx +y +m ﹣1＝0，即m （x +1）+y ﹣1＝0， 则直线l 过定点C （﹣1，1），∵A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），C （﹣1，1）， ∴k AC =−3−12+1=−43，k BC =−2−1−5+1=34，∵直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点， ∴−m ≥34或﹣m ≤−43，解得m ≤−34或m ≥43，故实数m 的取值范围为（﹣∞，−34]∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√55解：取AC 中点E ，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，如图，∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC ，△ACD 均为等边三角形，不妨设AC ＝2，则△ABC ，△ACD 的边长都为2，且BE ⊥AC ，∵平面BAC ⊥平面DAC ，BE ⊥AC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC ，BE ⊂平面BAC ， ∴BE ⊥平面DAC ， 又CD ⊂平面DAC ， ∴BE ⊥CD ，又EF ⊥CD ，BE ∩EF ＝E ，且都在平面BEF 内， ∴CD ⊥平面BEF ， ∴∠BFE 为所求二面角，在△BEF 中，∠BEF ＝90°，BE =√22−1=√3，EF =1×sin60°=√32， ∴BF =√3+34=√152，∴cos ∠BFE =√32152=√55．故选：D ．8．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2解：如图，设∠OPC ＝α，则−π4≤α≤π4， 根据题意可得：∠APO ＝45°， ∴PA →⋅PD →=|PA →|⋅|PD →|⋅cos(α+π4) =1×√2cosαcos(α+π4) ＝cos 2α﹣sin αcos α =1+cos2α−sin2α2=12+√22cos(2α+π4)，又−π4≤α≤π4， ∴当2α+π4=0，α=−π8，cos （2α+π4）＝1时， PA →⋅PD →取得最大值12+√22． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切解：直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角θ，可得tan θ＝sin α∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π），所以A 正确；“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”，可得√32+42=3．解得c ＝5，c ＝﹣25，所以“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确； 直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0），所以C 正确； 直线y ＝﹣2x +5即2x +y ﹣5＝0与直线2x +y +1＝0平行，√22+12=√5，所以直线y ＝﹣2x +5与圆x 2+y 2＝5相切， 所以D 正确； 故选：ACD ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：对于A ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，∵−12≠21，∴A →B 与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ：AB →=(2，1，0)，则与AB 同向的单位向量是AB→|AB →|=√5(2，1，0)=(2√55，√55，0)，故B 正确；对于C ：AB →=(2，1，0)，BC →=(−3，1，1)，∴cos〈AB →，BC →〉=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)， 设平面ABC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=(1，−2，5)，故D 正确． 故选：AC ．11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝3解：将圆化为标准方程可得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 所以，圆心C （1，1），半径r ＝2．对于A 项，由已知可得P A ⊥AC ，|CP|=√(5−1)2+(1−1)2=4． 所以，|PA|=√|CP|2−|AC|2=2√3． 同理可得，|PB|=2√3．故A 错误；对于B 项，因为P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以∠P AC ＝∠PBC ＝90°， 所以点A ，B 都在以PC 为直径的圆上， 所以P ，A ，C ，B 四点共圆．故B 正确； 对于C 项，因为|CP |＝4，|AC |＝2，在Rt △ACP 中，有sin ∠APC =|AC||CP|=12，所以∠APC ＝30°． 同理可得，∠BPC ＝30°． 所以∠APB ＝60°．故C 正确；对于D 项，线段PC 的中点为E （3，1），|CE|=12|CP|=2． 所以，圆E 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4． 显然，AB 是圆C 与圆E 的公共弦． 两圆方程作差，整理可得x ＝2．所以，直线AB 的方程为x ＝2．故D 错误． 故选：BC ．12．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 解：对于A ：△AA 1D 的面积不变，点P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长， 所以三棱锥P ﹣AA 1D 的体积的体积不变，且V P−AA 1D =13S △AA 1D ⋅AB =13×12×2×2×2=43，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系， 可得A 1（2，0，2），D 1（0，0，2），C 1（0，2，2），设P （x ，2﹣x ，0），0≤x ≤2，则D 1P →=(x ，2−x ，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设直线D 1P 与A 1C 1所成角为θ， 则cosθ=cos〈D 1P →，A 1C 1→〉=|D 1P →⋅A 1C 1→||D 1P →||A 1C 1→|=|x−1|√(x−1)+3，因为0≤|x ﹣1|≤1，当|x ﹣1|＝0时， 可得cos θ＝0，所以θ=π2； 当0＜|x ﹣1|≤1时，cosθ=|x−1|√(x−1)2+3=1√1+3|x−1|2≤12，由θ∈[0，π2]，所以π3≤θ＜π2，所以异面直线D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]，所以B 正确；对于C ，由B 1（2，2，2），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，2）， 设P （m ，n ，0），0≤m ≤2，0≤n ≤2，则CB 1→=(2，0，2)，CD 1→=(0，−2，2)，FP →=(m −2，n −1，−2)， 设平面CB 1D 1的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅CD 1→=−2b +2c =0n →⋅CB 1→=2a +2c =0， 取a ＝1，可得b ＝﹣1，c ＝﹣1，所以n →=(1，−1，−1)，因为PF ∥平面B 1CD ，所以FP →⋅n →=(m −2)−(n −1)+2=0，可得n ＝m +1， 所以|FP →|=√(m −2)2+(n −1)2+4=√2m 2−4m +8=√2(m −1)2+6≥√6， 当m ＝1时，等号成立，所以C 错误．对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°， 由AA 1⊥平面ABCD ，得直线AP 与AA 1所成的角为45°， 若点P 在平面DCC 1D 1和平面BCC 1B 1内， 因为∠B 1AB ＝45°，∠D 1AD ＝45°，故不成立； 在平面ADD 1A 1内，点P 的轨迹是AD 1=2√2； 在平面ABB 1A 1内，点P 的轨迹是AB 1=2√2； 在平面A 1B 1C 1D 1时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为∠P AM ＝45°，所以PM ＝AM ，又因为PM ＝AB ， 所以AM ＝AB ，所以A 1P ＝AB ，所以点P 的轨迹是以A 1点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P 的轨迹的长度为14×2π×2=π，综上，点P 的轨迹的总长度为π+4√2，所以D 正确； 故选：ABD ．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 （2，0，0） ． 解：空间向量a →=(2，2，1)和b →=(1，0，0)， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|a →⋅b→|a →||b →|b→|b →|=a →⋅b→|b →|2b →=2×112(1，0，0)=（2，0，0）． 故答案为：（2，0，0）．14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√322=1．故答案为：1．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 x 2+（y ﹣3）2＝4 ． 解：由已知可得，圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4的圆心C （3，0），半径r ＝2， 设点C （3，0）关于直线y ＝x 对称的点为C 1（x 0，y 0），则有{y 02=x 0+32y 0−0x 0−3=−1，解得{x 0=0y 0=3，即点C 1（0，3），所以圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝4． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝4．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于2√55．解：如图，圆锥面与其内切球O 1、O 2分别相切与B ，A ，连接O 1B ，O 2A ，则O 1B ⊥AB ，O 2A ⊥AB ，过O 1作O 1D ⊥O 2A 于D ， 连接O 1F ，O 2E ，EF 交O 1O 2于点C ．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt △O 1O 2D 中，DO 2＝3﹣1＝2，O 1D =√82−22=2√15． ∴cos α=O 1D O 1O 2=2√158=√154． ∵O 1O 2＝8， CO 2＝8﹣O 1C ， ∵△EO 2C ∽△FO 1C ， ∴8−O 1C O 2E=O 1C O 1F，解得O 1C ＝2．∴CF =√O 1C 2−FO 12=√22−12=√3． 即cos β=CFO 1C =√32． 则椭圆的离心率e =cosβcosα=√32154=2√55．O 故答案为：2√55．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．解：（1）3x +2y +2＝0的斜率为k =−32，则与其垂直的直线的斜率为23，则过点A（2，2）的直线方程为y−2=23(x−2)，化简得2x﹣3y+2＝0；（2）由题意，①当直线过原点时，设其方程为y＝kx，∴4＝3k，k=4 3，∴y=43x，即4x﹣3y＝0；②当直线不过原点，设方程为xa +ya=1(a≠0)，则3a +4a=1，解得a＝7，x 7+y7=1，即x+y﹣7＝0，综上可得：所求直线方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB ＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面ABC1与平面A1C1B所成角的正弦值；（3）求点C到平面A1C1B的距离．解：（1）证明：因为侧面AA1C1C为正方形，AA1B1B为矩形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，因为AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC；（2）解：由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB2+AC2＝BC2即AB⊥AC，如图，以A为原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B （0，3，0），A 1（0，0，4），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），C （4，0，0），连接AC 1， 所以AB →=(0，3，0)，AC 1→=(4，0，4)，A 1B →=(0，3，−4)，A 1C 1→=(4，0，0)， 设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，故m →⊥AB →，m →⊥AC 1→， 则{m →⋅AB →=0m →⋅AC 1→=0，即{3y 1=04x 1+4z 1=0，令z 1＝1，则x 1＝﹣1，y 1＝0，可得m →=(−1，0，1)，设平面A 1C 1B 的法向量为n →=(x ，y ，z)，故n →⊥A 1B →，n →⊥A 1C 1→， 则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1C 1→=0，即{3y −4z =04x =0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，可得n →=(0，4，3)， 设平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=32×5=3√210，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−18100=√8210； 故所求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为√8210； （3）由（1）知平面A 1C 1B 的法向量为n →=(0，4，3)，CC 1→=(0，0，4)， 则点C 到平面A 1C 1B 的距离为d =|CC 1→⋅n →||n →|=3×4√4+3=125， 故点C 到平面A 1C 1B 的距离为125．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值．解：（1）由题意可得{a 2=b 2+c 2=22c a=√32，解得：a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{y =12x +m x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0， ∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2，∴|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√52√4m 2−8m 2+8=√5⋅√2−m 2=√5， 解得m ＝±1．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．解：（1）易知圆O 的圆心（0，0），半径为1，圆M 的圆心（2，1），半径为3，已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，即x 2﹣4x +y 2﹣2y ＝4， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为l ：4x +2y +3＝0， 所以点O 到l 的距离为d =|3|√16+4=3√510，所以公共弦长为|AB|=2√12−(3510)2=√555，故两圆公共弦直线方程为l：4x+2y+3＝0，公共弦长为√55 5；（2）因为圆O的圆心（0，0），半径为1，圆M的圆心（2，1），半径为3，由图象可知，有一条公切线为：x＝﹣1，直线OM：y=12x与x＝﹣1的交点为(−1，−12)，设另一条公切线的方程为y+12=k(x+1)，即kx−y+k−12=0，则点M（2，1）到此公切线的距离d=|3k−32|√k+1=3，解得k=−34，所以另一条公切线的方程为y=−34x−54，即3x+4y+5＝0综上，两圆的公切线方程为x＝﹣1和3x+4y+5＝0．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记EM=DN=a(0＜a＜√2)，活动弹子Q在EF上移动．（1）求证：直线MN∥平面CDE；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）Q为EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图1，在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN，∵MG ∥DE ，∴AM ME=AG GD．由已知可得，AE =BD =√2，EM ＝DN ＝a ， ∴AM ＝BN ，AM ME=BN ND，∴AG GD=BN ND=AM ME，∴GN ∥AB ．又AB ∥CD ，∴GN ∥CD ．∵MG ⊄平面CDE ，MG ∥DE ，DE ⊂平面CDE ， ∴MG ∥平面CDE ， 同理可得，GN ∥平面CDE ．∵MG ⊂平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，MG ∩GN ＝G ， ∴平面MNG ∥平面CDE ．∵MN ⊂平面MNG ，∴直线MN ∥平面CDE ．（2）由（1）可知，MG ∥DE ，AM =AE −EM =√2−a ， ∴MG ED=AM AE，∴MG =AM⋅ED AE =√2−a2． 同理可得，GN =DN⋅AB DB =a2． 又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， ∴ED ⊥平面ABCD ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥CD ． ∵MG ∥DE ，GN ∥CD ，∴MG ⊥GN ， ∴△MGN 是直角三角形， ∴MN 2=MG 2+GN 2=(√2−a 2)2+(a 2)2=a 2−√2a +1=(a −√22)2+12．又0＜a ＜√2，∴a =√22，即M ，N 为线段中点时，MN 2有最小值12，∴当a =√22时，MN 的长度最小，最小值为√22．（3）由（2）知，ED ⊥平面ABCD ． 又DA ⊥DC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示，则D （0，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），B （1，1，0），设Q （b ，0，1），0≤b ≤1， ∴EB →=(1，1，−1)，DC →=(0，1，0)，DQ →=(b ，0，1)． 设n →=(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=y =0n →⋅DQ →=bx +z =0，取x ＝1，则n →=(1，0，−b)是平面QCD 的一个法向量． 设EB 与平面QCD 所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈EB →，n →〉|=|EB →⋅n →||EB →||n →|=√3×√b +1．当b ＝0时，sinθ=√33；当0＜b ≤1时， 有sin 2θ=(√3×√b +1)2=b 2+2b+13(b 2+1)=2b 3(b 2+1)+13=23(b+1b)+13． ∵b +1b ≥2√b ⋅1b =2，当且仅当b =1b ，即b ＝1时等号成立， ∴b +1b ≥2，0＜1b+1b≤12， ∴sin 2θ=23(b+1b )+13≤23×12+13=23． ∵sin θ＞0，∴sinθ≤√23=√63．综上所述，EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：（1）设P （x ，y ），由题意可得，|P A |＝2|PB |，即√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，化简得（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）设Q （x 0，y 0），由题意可得（x ﹣2）2+y 2＝4，{x 0+x =2×1y 0+y =0，即{x =2−x 0y =−y 0，代入上式可得x 02+y 02=4， ∴Q 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，|QB |2+|QC |2＝（x ﹣1）2+y 2+（x ﹣5）2+（y ﹣8）2＝2x 2+2y 2﹣12x ﹣16y +90＝﹣12x ﹣16y +98＝﹣4（3x +4y ）+98．令z ＝3x +4y ，∴3x +4y ﹣z ＝0，d =|z|5≤r ＝2， ∴﹣10≤z ≤10，因此，|QB |2+|QC |2的最大值为138；（3）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0． 显然Δ＞0，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2， ME →=(x 1−m ，y 1)，MF →=(x 2−m ，y 2)，∴ME →⋅MF →=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝m 2−2mk21+k 2+k 2−41+k 2+k 2 （k 2−41+k 2+2k 21+k 2+1）=(m 2−m−2)k 2+m 2−41+k 2要使上式为定值，需m 2﹣2m ﹣2＝m 2﹣4，解得m ＝1，∴ME →⋅MF →为定值﹣3，当直线l 的斜率不存在时E （1，√3），F （1，−√3），由M （1，0）可得ME →=（0，√3），MF →=（0，−√3），∴ME →⋅MF →=−3，综上所述，在x 轴上是否存在点M （1，0），使ME →⋅MF →恒为定值﹣3．。
广东湛江二中21-22学度高二下统一测试(一)-数学(文)
广东湛江二中21-22学度高二下统一测试（一）-数学（文）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1.设1z i =+（是虚数单位），则22z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i--2．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60° 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班人数超过50人C ．由平面三角形的性质估量空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)， 由此归纳出{a n }的通项公式4．右图给出运算201614121+⋅⋅⋅+++的值的 一个程序框图，其中判定框内应填入的条件A ．10i >B ．10?i >C ． 9?i ≤D ．9i ≤5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2020(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 6．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )题4图A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 7.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。
高中数学必修四试卷(含详细答案)
高中数学必修四试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）一、选择题1.下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角C.终边相同的角一定相等零向量的长度为零，方向是任意的以上命题中，正确命题序号是B.D.钝角是第二象限角不相等的角，它们终边必不相同 1 2.函数 y 2sin( - x一）的周期，振幅, 4初相分别是B. C.-D. 2,2,-3.如果cos(A) 1 F一,那么 sin(— A) 22A. 12B.C. D.4 .函数 y sin( A.奇函数5 .给出命题2005 2B.2004x)是偶函数 C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2) 若a , b 都是单位向量，则 a = b . uuu uuu(3) 向量AB 与向量BA 相等.uuu uuu若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A,B, C, D 四点共线.A. (1)B. (2)C. (1)和(3)D.(1)和(4)6.如果点P(sin 2 , cos2 ）位于第三象限，那么角所在象限是A.第一象限B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限uur uur7.在四边形 ABCD 中，如果ABgDD 0 uuu uuuAB DC ,那么四边形ABCD 的形状是A.矩形B.菱形C. 正方形D.直角梯形8.若是第一象限角，则sincos 的值与1的大小关系是A . sin cosB. sin cosC. sin cosD.不能确定9.在△ ABC 中, sinC 2cosAsinB,则此三角形必是A.等腰三角形B.正三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形(2)求满足条件sin( x) sin( x) 2cos常的锐角x.10 .如图，在△ ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于uur uuur(2)在^ ABC 中，若ABgAC 0,则^ ABC 是钝角三角形.uuu 1 uur uuur(3)在空间四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC,DA 的中点，则FE -(AB DC).2以上命题中，正确的命题序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15 .(本小题满分13分)3已知sin 25(1)求 cos2 及 cosuuur 2 uuu uuur uurA. BG — BEB. CG 2GF3uuur 1 uuur1 uur2 uuin 1 C. DG AG D.—DA 一 FC —BC23 3 211.设扇形的周长为 8cm,面积为4cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是12 .已知 tan 2, tan( r r13 .已知 a (3, 1), b (sin 14 .给出命题：r r 4sin 2coscos )，且 a / b则 ------5cos 3sin(1)在平行四边形 ABCD 中, uuu AB uuu r ADuuur AC . 5 3 [， 4 2的值；].点G ,则下列各等式中不正确的是 、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分))3,则 tan .5已知函数 f(x) sin x x/3cos- , x R . 2 2(1)求函数f(x)的最小正周期，并求函数f (x)在x [ 2 ,2 ]上的单调递增区间；(2)函数f (x) sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f(x)的图象.17 .(本小题满分13分)已知电流I 与时间t 的关系式为I Asin( t ).(1)下图是 I Asin( t ) (0, 求I Asin( t )的解析式；一,,_ 1 . .... .、、 (2)如果t 在任意一段 ——秒的时间内，电流 150I Asin( t )都能取得最大值和最小值,那么 的最小正整数值是多少？一)在一个周期内的图象，根据图中数据2 ------------------------------uuu uuu uuur已知向量 OA (3, 4) , OB (6, 3) , OC (5 m, 3 m).(D 若点A, B, C 能够成三角形，求实数 m 应满足的条件；(2)若△ ABC 为直角三角形，且 A 为直角，求实数 m 的值.19 .(本小题满分13分)uuu uuu 设平面内的向量 OA (1,7), OB uuu uuu uuu动点，且PAgPB 8 ,求OP 的坐标及 APB 的余弦值.uuuu(5,1), OM (2,1),点P 是直线OM 上的一个20.(本小题满分13分)一，一 r 3x 3x r 已知向重 a (cos - ,sin —), b2 2r r r r(1)求a8及a b ;(cos-, sin x),且 x [—,]. 2 2 2r r(2)求函数 f (x) agD的最大值，并求使函数取得最大值时 x 的值.三、解答题515.解：（1）因为一4因为x 为锐角，所以xsin z 单调递增区间是［—2k ,— 2k222k、选择题 (1) (2) (3)14.同11.2 12. -13 13. 二、填空题中数学必修（4）试卷参考答案及评分标准因此cos2sin 2 24分)由 cos 22cos 210 10 (8分)(2)因为 sin( x) sin( x) 2cos.10 10，所以 2cos (1 sin x)10 101,所以sin x 一2(11 分)(2分)13分)16.解：y sin- J32 （1）最小正周期 x cos-221 23分)](k Z).所以, 2 5 3 4k0,得函数y5 3x sin — 2 4k ,k w ，而[3 \?3cos-, 2 Z .x ［ 2 ,2 ］得单调递增区间是 5分)[K ]8分)uuu uuur（2）若△ ABC 为直角三角形，且 A 为直角，则AB AC,（2）把函数y sin x 图象向左平移 一，得到函数y sin （x 一）的图象，…㈠。
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广东省湛江市第二中学2009-2010学年度高一第二学期期中考试数学试题（必修4）（考试时间：120分钟，满分150分） 请同学们将答案写在答题卷上！一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．=0210cos （ ）A ．12-B ．12C． D2．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角3．如果角θ的终边经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21,23，那么θtan 的值是 （ ） A ．33-B ．23- C ．3 D ．214．0sin 27cos63cos 27sin 63+= （ ） A ．1 B ．1－ C ．22 D ．22- 5．为了得到函数)32sin(3π-=x y 的图象，只需要把函数x y 2sin 3=的图象上所有的点（ ）A ．向右平移3π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向左平移6π6．函数2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数[来源:七彩教育网] C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数7.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝ （ ）A ．(5,10)--B ．(4,8)--C ．(3,6)--D ．(2,4)--8．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = （ ）A ．26ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．23ωϕπ==，D ．126ωϕπ==，9．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 （ ） A ． 函数)(x f 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D ． 函数)(x f 是奇函数10．已知F E D 、、分别是ABC ∆的边AB CA BC 、、的中点，且=a ，=b，=AB c，则下列命题中正确命题的个数为 （ ）①=EF 21c 21-b； ②=BE a 21+b ；③=CF 21b 21-a； ④=++CF BE AD 0A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)11．已知21cos =θ，且)2,0(πθ∈，则=θsin ． 12．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 ．13．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是 .14．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ABC DE③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题(本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15．（本小题共12分）已知向量2123e e -=，214e e +=，其中)01(1，=e ，)1,0(2=e求： （1） ⋅+的值；（2） 与夹角θ的余弦值．16．（本小题共12分） 已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值．17.（本小题满分14分） 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．18．（本小题满分14分）已知向量)1,cos 3(α=，)sin 3,2(α-=，且⊥，其中)2,0(πα∈（1）求αsin 和αcos 的值；（2）若ββαcos 53)sin(5=+，),0(πβ∈，求角β的值． 19．（本小题满分14分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数，图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2．（1）求()f x 的解析式 ； （2）若 (,)32ππα∈- 且1()33f πα+=，求 )352sin(πα+ 的值．20．（本小题满分14分） 设函数2622cos 2sin 4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f （R x ∈），其中R t ∈，将()f x 的最小值记为()g t ．（1）求()g t 的表达式；（2）当 11≤≤-t 时，要使关于t 的方程kt t g =)(有且仅有一个实根，求实数k 的取值范围．湛江市第二中学2009-2010学年度第二学期期中考试高一年级数学（必修4）评分参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CB A A B A BCD C二、填空题 11．2312．13 13．－1 14． ①②③三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15．（本小题共12分）已知向量2123e e -=，214e e +=，其中)01(1，=e ，)1,0(2=e 求： （1）⋅+的值；（2）与夹角θ的余弦值．解：由已知，)1,4(),2,3(=-= ……………………………6分 （1） 10=⋅25)1,7(=-=+； （2）22122110cos ==θ． ……………………………12分 16．（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值． 解：（1）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，……………………………4分∴函数()f x 的最小正周期为π. ……………………………6分 （2）由323263ππππ≤≤-⇒≤≤-x x ，∴23sin 1≤≤-x ，……………………………8分∴()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值为23，最小值为1-．……………………12分17.（本小题满分14分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的单调递增取间； （2）将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的最大值及取得最大值时的x 的集合．解：（1）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． (4)分 当222242k x k Z πππππ-≤-≤+∈，（k ）即384k x k ππππ-≤≤+∈，（k Z ）……6分因此，函数()f x 的单调递增取间为 384k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（k Z ） ………………7分（2）有已知，())4g x x π=+ (12)分∴当 sin()1224424x x k x k Z ππππππ+=+=+=+∈，即 ，也即 （k ）时，max ()g x =∴ 当24x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（k ） ，()g x 14分18．（本小题满分14分）已知向量)1,cos 3(α=，)sin 3,2(α-=，且⊥，其中)2,0(πα∈（1）求αsin 和αcos 的值；（2）若ββαcos 53)sin(5=+，),0(πβ∈，求角β的值．解：（１）∵⊥， ∴ 0sin 3cos 6=+-=⋅αα，即ααcos 2sin = …………3分又∵1cos sin 22=+αα， ∴ 51c o s 2=α，54sin 2=α∴24sin 5θ= ……………5分又 )2,0(πα∈，∴ 55cos ,552sin ==αα …………………7分 (2) ∵ ββββαβαβαcos 53sin 5cos 52)sin cos cos (sin 5)sin(5=-=+=+∴ ββs i n c o s -=，即 1t a n -=β， …………………12分∵),0(πβ∈ ∴ 43πβ= …………………14分19．（本小题满分14分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数，图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2． （1） 求()f x 的解析式 ； （2） 若 (,)32ππα∈-且1()33f πα+=，求 )352sin(πα+ 的值． 解：（1） 图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,π2=∴T , 则12==Tπω. )sin()(ϕ+=∴x x f . ……………………………3分 )(x f 是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． …………………………7分（2）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+ ，)65,0(3ππα∈+∴． 则 322)3sin(=+πα． …………………………10分∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα． (14)分20．（本小题满分14分）设函数2622cos 2sin 4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f （R x ∈），其中R t ∈，将()f x 的最小值记为()g t ． （1）求()g t 的表达式；（2）当 11≤≤-t 时，要使关于t 的方程kt t g =)(有且仅有一个实根，求实数k 的取值范围．解：（1）由已知有： 262cos 2sin4cos )(22+-+⋅--=t t xx t x x f 16)(sin 162sin 2sin 2222+-+-=+-+⋅-=t t t x t t x t x由于R x ∈，∴ 1sin 1≤≤-x ……………………………3分 ∴ 当 1-<t 时，则当1sin -=x 时，242)(2min +-=t t x f ； 当 11≤≤-t 时，则当t x =sin 时，16)(2min +-=t t x f ； 当 1>t 时，则当1sin =x 时，282)(2min +-=t t x f ；综上，222242,(,1)()61,[1,1]282,(1,)t t t g t t t t t t t ⎧-+∈-∞-⎪=-+∈-⎨⎪-+∈+∞⎩……………………………7分（2）当 11≤≤-t 时，2()61g t t t =-+，方程kt t g =)( 即：261t t kt -+= 即方程 2(6)10t k t -++=在区间[1,1]-有且仅有一个实根， (8)分令 2()(6)1q t t k t =-++，则有：解法1：①若 2(6)40,k ∆=+-=即k=-4或k=-8；当k=-4时，方程有重根t=1，当k=-8时，方程有重根t=-1 ∴ 48t t =-=-或……10分② 628k k k +⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩＜-8＜-1k ＜-8q(-1)＜0＜k ＜-4q(1)＞0 或 624k k k +⎧⎪⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩＞1＞-4q(-1)＞0k ＞-8＞k ＞-4q(1)＜0综上，当(,8][4,)k ∈-∞--+∞ 时，关于t 的方程kt t g =)(在区间[1,1]-有且仅有一个实根． ……………………………………………………14分 解法2：由),4[]8,(0)4)(8(0)1()1(+∞---∞∈⇒≥++≤- k k k q q ，得．（以上答案仅供参考，其他方法请酌情给分！）。