2.4涉及平面的位置关系

z
n
M
M0
o
y
x
例、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为矢量M1M2(2，2，-4) 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n(1,1,-2).
又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
s1 (m1, n1, p1)
s2 =(m2, n2, p2)
两直线夹角的特殊情况：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m 2 n2 p2
例如， 直线 L1 : s1 (1,4, 0),
n1 ( A1 , B1 , C1 ),
1
n2 ( A2 , B2 , C 2 ),
n2
n1

2
按照两向量夹角余弦公式有 A1 A2 B1 B2 C1C2 cos 1 , 2 A12 B12 C12 A2 2 B2 2 C2 2 两平面位置特征：
M0M n M0 M n 0
代入向量的坐标
其中法向量 n( A, B, C ),
z
n
M
M0
已知定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ).
M0 M n M0 M n 0
o
y
x
M 0 M n A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 )
1 1 0
所以L1与L2为异面直线。 又s1s2 (0,0,2),所以
c a
b
| M 1M 2 ( s1 s2 ) | 4 d 2 | s1 s2 | 2
x y z 1 x 1 y 1 z 1 l2 : 例4 已知两直线 l1 : 1 1 0 1 1 0
所以:

4
x 1 y 1 z 例 6 求过点 M ( 2,1,3)且与直线 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知 直线垂直的平面


M
N
L
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) A2 B 2 C 2 A x 0 B y0 C z 0 D A B C
2 2 2
d
P 1
d
点到平面的距离公式
例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0 的距离
直线 L2 : s2 (0,0,1), s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
x 1 y z3 x y2 z 例5 : 求直线L1 : 和L2 : 的夹角. 1 4 1 2 2 1
解: 直线L1, L2的方向向量 s1{1, 4, 1}
ab a b | a || b | cos cos , | a || b | a x bx a y b y a z bz cos 2 2 2 2 2 2 a x a y a z bx b y bz n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C 2 },
x
o
z
n
M
M0
y
一般式(交面式)方程的方向向量 :
s n1 n2
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) A2 x B2 y C 2 z D2 0 ( 2)
n2
n1
n1 ( A1 , B1 , C1 ) n2 ( A2 , B2 , C2 )
例1 研究以下两平面的位置关系：
x 2 y z 1 0,
解
y 3z 1 0
| 1 0 2 1 1 3 | cos 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 3
1 cos 两平面相交，夹角 arccos 1 . 60
D1 A1 B1 C1 ( 2) 1 // 2 A2 B2 C2 D2
z
补充： 平面的点法式方程
n
M
M0
o
y
x
已知平面的法向量 n的坐标为( A , B , C ),
M0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一定点，
则平面上的任一点 M ( x , y , z ) 满足几何条件
n
M1
M2
N2
s1 N1
L2
M1 L1
M1 M 2
s2
L1
s1
2.22、两直线的公垂线方程
公垂线可看为由过L1上的点M1，以s1,s1s2为方位 矢量的平面与过L2上的点M2，以s2,s1s2为方位矢量 的平面的交线，因此，公垂线的方程为：
x x1 y y1 z z1
X Y Z x x2 y y2 z z2 Y2 Z2 0 X2 X Y Z
1 2 1 解：因为 n1 // n2 . 3 6 3
在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
d
3 0 6 0 31 4 3 2 6 2 ( 3 )2

7 3 6
.
§4.2.2 空间直线与点距离
设直线L, s ( m, n, p), P0 x 0 , y 0 , z 0 是L外一点,
i 0
s1s2 0,0,2),所以
j k 0 2
公垂线为z 轴.
1 1 0
2i 2 j , 过 L0与 L1 的平面方程为2 x 0 2 y 0 0, L L 过 0 与 2的平面方程为 2 x 1 2 y 1 0, L 2i 2 j , s1
M1
L1
§ 4.3 夹角 § 4.3.1平面与平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
n2
n1

2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0,
s2{2, 2, 1}
| s1 s 2 | 有:cos | cos( s 1 , s 2 ) | | s1 | | s 2 |


| 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) | 1 2 ( 4 ) 2 1 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 2 2
60
§ 4.3.2 直线与直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角（锐角）称为 两直线的夹角. L1 L2 直线 L1 : s1 ( m1 , n1 , p1 ) s1 直线 L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 ) s 则两直线的夹角公式：
2
s1 s2 cos L1 , L2 s1 s2 | m1m2 n1n2 p1 p2 | 2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
两平面夹角余弦公式
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C 2 0; cos 0, 2
n1 n2
cos 1 , 2
| A1 A2 B1 B2 C1C2 | A12 B12 C12 A2 2 B2 2 C2 2
§4涉及平面和直线 的度量关系
§4 .1、直角坐标系中平面方程系数的几何意义
Ax By Cz D 0
称向量 n ( A, B, C )为平面 的一个法向量。 回顾
定理2.1 假设平面 的一般方程是： Ax By Cz D 0
则向量r (k , m, n)平行于的充要条件是 Ak Bm Cn 0 n r
其中{X，Y，Z}为s1s2 的分量。
L2 L0 s2 M2 N2 s1 N1 M1 L1
X1
Y1
Z1 0
例3 已知两直线
x y z 1 x 1 y 1 z 1 l1 : l2 : 1 1 0 1 1 0
试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。 解： 1 1 2 ( M 1M 2 , s1 , s2 ) 1 1 0 4 0
2
i
j
k
0 0 2 1 1 0
x x1 y y1 z z1 Y1 Z1 0 X1 X Y Z x x2 y y 2 z z 2 X Y2 Z2 0 2 Y Z X
x y 0 x y 0
L0
例2
求点(5,4,2)到直线
的距离d.
x 1 y 3 z 1 2 3 1
解
P0 5,4,2, 取点P1 1,3,1, 方向向量s 2,3,1,
2 2 2 s 2 3 1 14 ,
则P1 P0的坐标为6, 1, 1,
则 P1 P0 s 6 2 PP0 s 1 d s
d
1 1 2 2 2 1 10 1 2 2
2 2 2
3 1 3
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D A B C
2 2 2
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B 2 C 2
例 1 求两平面
z x 2 y 1, 3x 6 y 3z 4 间的距离.