二次函数综合提高题典型题3(与特殊三角形有关)

类型三 与特殊三角形有关的问题

针对演练

1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .

(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式； (2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；

(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．

第1题图

2. (2016重庆巴蜀九下入学考试)如图，抛物线y ＝－

45x 2＋24

5

x －4与x 轴交于点A 、

B ，与y 轴交于点

C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点M .P 是抛物线在x 轴上方的一个动点(点P 、M 、C 不在同一条直线上)． (1)求点A ，B 的坐标；

(2)连接AC 、PB 、BC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求出此时点P 的坐标； (3)分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接MD 、ME .问△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由．

第2题图

3. (2016重庆南开阶段测试三)如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ，连接AC 、BC ，其中CO ＝BO ＝2AO . (1)求抛物线的解析式；

(2)点Q 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点Q 作QE ∥AC 交BC 于点E ，作QN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点M ，当△EMQ 的周长L 最大时，求点Q 的坐标及L 的最大值；

(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ 分别交BC 于点F ，交OC 于点G ，四边形BOGF 从F 开始沿射线FC 平移，同时点P 从C 开始沿折线CO －OB 运动，且点P 的运动速度为四边形BOGF 平移速度的2倍，当点P 到达B 点时，四边形BOGF 停止运动，设四边形BOGF 平移过程中对应的图形为B 1O 1G 1F 1，当△PFF 1为等腰三角形时，求B 1F 的长度．

第3题图

4. (2016重庆十一中一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)，直线x＝1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)点P为直线x＝1右方抛物线上的一点(点P不与点B重合)，记A、B、C、P

四点所构成的四边形面积为S，若S ＝5

2S△BCD，求点P的坐标；

(3)点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q 使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长；若不存在，请说明理由．

5. (2016重庆一中上期期末考试)已知如图，抛物线y＝－1

2x

2＋2x＋5

2与x轴交于A，

B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E.

(1)如图①，连接BD，试求出直线BD的解析式；

(2)如图②，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC 的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF∶BF的值；

(3)如图③，已知点K(0，－

2)，连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移(包括△BOK)，在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图

6. (2016重庆A卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－

1

3x

2＋23

3x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q经过的最短路径的长；

(3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△

A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

第6题图

答案

类型三 与特殊三角形有关的问题

针对演练

1. 解：(1)依题意，得⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==++-=-3

012c c b a a b

，解得,321⎪⎩⎪

⎨⎧=-=-=c b a

∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.

∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．

设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，

把B (－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得，

,303⎩⎨

⎧==+-n n m 解得,31

⎩

⎨⎧==n m ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.

(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接MA ， ∴MA ＝MB ，

∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC .

∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2)．

(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.

① 若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10， 解得t ＝－2；

②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，

解得t 1＝3＋172，t 2＝3－17

2

.

综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172

)．

2. 解：(1)令y ＝－45x 2＋24

5

x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，

∴A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0)．

(2)如解图①，过点A 作AP ∥BC ，与抛物线交于点P ，则S △PBC ＝S △ABC ，

第1题解图 第2题解图①第2题解图②

当x ＝0时，y ＝－45x 2＋24

5

x －4 ＝－4，

∴点C 的坐标为(0，－4)，

设过点B ，C 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，

则有,054⎩⎨⎧=+-=b k b 解得,4

54⎪⎩⎪

⎨⎧-==b k

∴直线BC 的解析式为y ＝4

5

x －4，

由于P A ∥BC ，设AP 的解析式为y ＝45x ＋m ，代入点A (1，0)，解得m ＝－4

5

，

∴直线AP 的解析式为y ＝45x －4

5

，

联立方程组得,4524545

4542⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-+-=-=x x y x y 解得： ,5124

,0122

11⎪⎩

⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x ∴P 点的坐标为(4，12

5

)．

(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：

∵抛物线y ＝－45x 2＋245x －4＝－45(x －3)2＋16

5

，

∴对称轴是直线x ＝3. ∴M (3，0)．