2.1导数定义

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关于导数的说明： 关于导数的说明： 1、 点导数是因变量在点 x 0处的变化率 , 它 、
反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快 慢程度 . 2、 如果函数 y = f ( x )在开区间 I 内的每点 、
处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.
3、 、 对于任一 x ∈ I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的
即
(a x )′ = a x ln a. ′ = ex . (e )
x
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例7 求函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 的导数 . 解
log a ( x + h) − log a x y ′ = lim h→ 0 h h h log a (1 + ) ln(1 + ) x = lim x = lim h→ 0 h→ 0 h h ln a
h 1 x . = = lim h→ 0 h ln a x ln a
即
1 1 (loga x)′ = . (ln x)′ = . x lna x
20
五、小结
1. 导数的实质 增量比的极限 导数的实质: 增量比的极限; 2. 导数的几何意义 切线的斜率 导数的几何意义: 切线的斜率; 3. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 4. 求导数最基本的方法 由定义求导数. 求导数最基本的方法: 由定义求导数 思考问题
x→x0 x→x0
或
x→x0
lim f (x) = f (x0 ) ，从而函数在 x 0点连续． 点连续．
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四．用定义求基本初等函数的导数
下面看一下如何使用微商的定义求出一个函数的 也 可 导数．按定义可知，求导数的步骤为： 导数．按定义可知，求导数的步骤为： 可 分 (1) 求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x); 合 开 ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) 并 步 (2) 算比值 ; = ∆x ∆x 写 骤 ∆y ． 写 ′ = lim (3) 求极限 y . ∆x→0 ∆x ， 例３ 求函数 f ( x ) = C (C为 数 ) 的导数 . ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 解 f ′( x ) = lim lim ∆ x → 0 ∆ x = ∆x → 0 ∆x
数 某 的 数 １．函 f (x) 在 点x0处 导 f ′( x0 ) 导 数 与 函 f ′(x)有 么 别 联 ？ 什 区 与 系
2．可导是否有切线？有切线是否可导？ 可导是否有切线？有切线是否可导？
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作业与练习： 页习题１ 作业与练习：第47页习题１－６ 页习题
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C −C = 0. = lim ∆x → 0 ∆x
(C)′ = 0.
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例４ 求函数 y = x n ( n为正整数 ) 的导数 . 解
( x + h) n − x n ( x n )′ = lim h→ 0 h n( n − 1) n− 2 n −1 x h + ⋯ + h n−1 ] = nx n − 1 = lim[nx + h→ 0 2!
即
更一般地 例如, 例如
( x n )′ = nx n −1 .
( xµ )′ = µxµ−1 .
1
(µ∈ R)
( x )′ = ( −1) x
−1 − 1− 1
1 2 −1 = 1 . ( x )′ = x 2 x 2
1 =− 2. x
( x 2 )′ x = 3 = 2 x
x=3
=6
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注意 f ′( x0 ) = f ′( x) x=x0 .
11
例１ 讨论函数 f ( x ) = x 在 x = 0处的可导性 . 解
f ( 0 + h) − f ( 0 ) h ∵ = , h h
y
y= x
f ( 0 + h) − f ( 0 ) h lim+ = lim+ = 1, h→ 0 h→ 0 h h f ( 0 + h) − f ( 0 ) −h lim− = lim− = −1. h→ 0 h→ 0 h h
α
T
M
x0
x
切线方程为 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).
1 ( x − x0 ). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x0 )
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例２ 解
求曲线
y= x
3
在点(2,8)处的切线方程 处的切线方程 在点
及法线方程． 及法线方程． 稍后我们可以求得曲线在x＝ 稍后我们可以求得曲线在 ＝２点的导数值为 12，即切线的斜率为 ， ，即切线的斜率为12， 1 而法线的斜率为 − 12 . 故由直线方程的点斜式,得 故由直线方程的点斜式 得
4
２．化学反应速度问题
所谓的化学反应速度，即浓度对时间的变化率． 所谓的化学反应速度，即浓度对时间的变化率． 在化学反应过程中，浓度是时间 的函数 的函数， 在化学反应过程中，浓度是时间t的函数，即 C=f(t)，我们现在要讨论在时刻 t 0 的反应速度． ， 的反应速度． 到时刻t， １）设从时刻 t 0到时刻 ，浓度从 C0 = f (t0 ) 变到C=f(t); 变到 ２）变化情况：用时 ∆t = t − t0 ，浓度变化 变化情况： ∆C = f (t ) − f (t 0 );
π x= 4
π x= 4
.
即
(sin x)′ = cos x.
= cos x
x= π 4
∴ (sin x )′
2 . = 2
(cos x)' = ?
－sinx
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例6 求函数 f ( x ) = a x (a > 0, a ≠ 1) 的导数 . 解
a x+h − a x ( a x )′ = lim h→ 0 h ah − 1 = a x lim h→ 0 h e h ln a − 1 = a x lim h→ 0 h h ln a x = a x ln a . = a lim h→ 0 h
t0
t
∆t
∆s s − s 0 g (t 2 − t0 2 ) g 平均速度 v = = ( t 0 + t ). = = 2 ∆t t − t 0 2(t − t0 )
当 t → t 0时,
取一邻近于 t 0的时刻 t , 运动时间 ∆t ,
取极限得
g (t 0 + t) = gt 0 . 瞬时速度 v = lim t →t0 2
f ( x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim . x→x0 x − x0
∆y f ' (x0 ) = lim ∆x→0 ∆ x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim . ∆x→0 ∆x f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim . h→0 h
注意: 注意: f ′(x0) = f ′(x) x=x0 ≠ [ f ( x0 )]′ = 0
我们今后要求导数或微商时，一般就是求导函数 我们今后要求导数或微商时， 简称导数）．除非特别指出求某点的导数， ）．除非特别指出求某点的导数 （简称导数）．除非特别指出求某点的导数， 在点x＝ 处的导数． 如：求函数y＝sinx在点 ＝０处的导数． 求函数 ＝ 在点 掌握定义的实质，可以讨论一些函数在某些点 掌握定义的实质， 是否存在导数的问题（不作要求）； ）；对我们来 是否存在导数的问题（不作要求）；对我们来 主要是利用定义求一些简单函数的导数． 说，主要是利用定义求一些简单函数的导数．
o
y
y = f (x)
N
C M
α
T
ϕ
x0
x
6
x
y
极限位置 即
y = f (x)
MN → 0, ∠NMT → 0.
N
设 M( x0 , y0 ), N( x, y).
割线 MN 的斜率为
o y − y 0 f ( x ) − f ( x0 ) tan ϕ = , = x − x0 x − x0
沿曲线 C
导数值 .这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数 . dy df ( x ) . 记作 y′, f ′( x ), 或 dx dx

f ( x + ∆x ) − f ( x ) 即 y ′ = lim ∆x → 0 ∆x f ( x + h) − f ( x ) . 或 f ′( x ) = lim h→ 0 h
y , 则称函数 = f ( x)在点x0处可导 并称这个极限为 , 或微商． 函数 y = f ( x)在点x0处的导数 或微商．
dy df ( x ) , 或 f 记为 ′( x0 ). 或 y′ x=x0 , 或 dx x= x0 dx =
x = x0
.
8
导数定义的不同形式： 导数定义的不同形式：
o
x
即 f +′ (0) ≠ f −′ (0), ∴ 函数 y = f ( x )在x = 0点不可导 .
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三、导数的几何意义
由引例３ 由引例３，知
y
y = f (x)
f ′( x0 )表示曲线y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 ,即 k o k = f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角 )
（注意：求几个幂函数的积和商的导数时，应先将它们 注意：求几个幂函数的积和商的导数时， 化成幂指函数的形式并对指数作加减运算后再导）． 化成幂指函数的形式并对指数作加减运算后再导）．