曲线 曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧

一.曲线积分的计算方法与技巧

计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰+L

xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到

)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1：A O )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,

2,

2

x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212

dx x

x x dy --=

分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解2：在弧A O )

上取)1,1(B 点，

B O )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,

2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12

dy y y dx -= A B )的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,

11,

2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12

dy y y dx --= 分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以y 为参数时，路径L 不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。 解3：A O )

的参数方程为,sin ,cos 1θθ=+=y x L 由,A B O →→θ由,0→π

.cos ,sin θθθθd dy d dx =-=

解4：A O )

的极坐标方程为,cos 2θ=r 因此参数方程为

,cos 2cos 2θθ==r x ,cos sin 2sin θθθ==r dy L 由,A B O →→θ由

,02

→π

.)sin (cos 2,cos sin 422θθθθθθd dy d dx -=-=

分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解5：添加辅助线段AO ，利用格林公式求解。因,

,x Q y P ==,011=-=∂∂-∂∂y

P

x Q 于是 而

⎰⎰==+AO

dx xdy ydx 0

2

,00

故得=

+⎰L

xdy ydx ⎰

+AO

L .0=-

⎰

AO

分析：在利用格林公式dxdy y

P

x Q dy y x Q dx y x P D

L

)(

),(),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但Q P ,必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L 是D 的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段,AO 使曲线AO L +为正向封闭曲线。

解6：由于,

,x Q y P ==,1=∂∂=∂∂y

P

x Q 于是此积分与路径无关，故 分析：由于Q P ,在闭区域D 上应具有一阶连续偏导数，且在D 内

,y

P

x Q ∂∂=∂∂因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L 上的积分为在OA 上积分，注意

O 点对应L 的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。

解7：由全微分公式),(xy d xdy ydx =+

分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。

例二．计算曲线积分⎰-+-+-C

dz y x dy z x dx y z ,)()()(其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,

122z y x y x 从z

轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的。

解1：设∑表示平面2=+-z y x 上以曲线L 为边界的曲面，其中∑的正侧与L 的正向一致，即∑是下侧曲面，∑在xoy 面上的投影区域xy D ：.122=+y x 由斯托克斯公式

解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出

而平面∑：2=+-z y x 的法向量向下，故取},1,1,1{--=,31cos -=γ于是

上式.21)1(13

23

21

222π-=+-+-=

-=

⎰⎰⎰⎰

∑

≤+dxdy dS y x

分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算

的。在利用斯托克斯公式dz R Qdy Pdx R

Q P z y x dxdy

dzdx dydz L ⎰⎰⎰

++=∂∂

∂∂∂∂

∑

计算时首先应验证函数R Q P ,,在曲面∑连同边界L 上具有一阶连续的偏导数，且L 的正向与∑的侧符合右手规

则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。

解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设,cos θ=x ,sin θ=y 则,sin cos 22θθ+-=+-=y x z θ从.02→π

例三．计算,)2(2

2

ds z y x ++⎰Γ

其中Γ为曲线⎩⎨

⎧=++=++)

2(.0)

1(,2222z y x R z y x 解1：由于当积分变量z y x ,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有

由曲线Γ是球面2222R z y x =++上的大圆周曲线，其长为.2R π故 由于Γ关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 .0=⎰Γ

ds z 于是

解2：利用在Γ上，2222R z y x =++，

原式⎰⎰⎰⎰Γ

Γ

Γ

Γ

+-=+-++=zds ds z ds R ds z z z y x 2)2(222222

再由对称性可得R R ds z π232

2

⋅=⎰Γ

（同解1）

，于是 上式.3

4

02232322

R R R R R πππ=⋅+⋅-⋅= 分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积